2023~2024學(xué)年廣東普寧高考數(shù)學(xué)押題試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年廣東省普寧市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（一模）一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】首先解得集合，，再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解：，，，故選A．本題考查一元二次不等式的解法，指數(shù)不等式的解法以及補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在（

）A．實(shí)軸上 B．虛軸上C．第一、三象限的角平分線上 D．第二、四象限的角平分線上【正確答案】D【分析】設(shè)，由可解得，則，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即可判斷【詳解】設(shè)，則，則，即，，∴，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，一定在第二、四象限的角平分線上，故選：D3．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，為常數(shù)列，A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由題意知，，當(dāng)時(shí)，能得到，由此能求出．【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，為常數(shù)列，由題意知，，當(dāng)時(shí)，，從而，，當(dāng)時(shí)上式成立，．故選B．本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累乘法的合理運(yùn)用．4．設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【正確答案】B【分析】由題知，進(jìn)而得，，再根據(jù)菱形的定義即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即，，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋?，所以四邊形是菱?故選：B5．把編號(hào)分別為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的電影票超過一張，則必須是連號(hào)，那么不同分法的種數(shù)為（

）A．36 B．40 C．42 D．48【正確答案】A【分析】將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.【詳解】當(dāng)分的票數(shù)為這種情況時(shí)：當(dāng)分的票數(shù)為這種情況時(shí)：一張票數(shù)的人可以選擇：不同分法的種數(shù)為36故答案選A本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.6．已知定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【正確答案】C【分析】利用函數(shù)的周期性及函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】由，得

①又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即

②聯(lián)立①②兩式，可得，所以，所以函數(shù)的一個(gè)周期為8，又，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.7．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因?yàn)椋浴?，設(shè)，則，設(shè)，則，．因?yàn)槠椒郑山瞧椒志€定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡(jiǎn)得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．8．已知定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】由題意得對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,即恒成立,又單增，且時(shí)，，因此,選D.點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.二、多選題9．已知正數(shù)，滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是1C．的最小值是4 D．的最大值是【正確答案】AD【分析】A.利用“1”代換求最值B.直接運(yùn)用基本不等式C.先把式子變形，再運(yùn)用基本不等式D.先構(gòu)造，再運(yùn)用基本不等式【詳解】A.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確.B.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.10．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若把的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上增函數(shù)C．若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)D．，若恒成立，則的最小值為.【正確答案】ACD【分析】對(duì)A，由函數(shù)圖像即可算出函數(shù)的周期，由,即可求出，再代入一個(gè)最高點(diǎn)即可求出函數(shù)的解析式；對(duì)B、C，由圖像的平移變換即可求得變換后的圖像，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性即可判斷；對(duì)D，通過分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，再利用三角函數(shù)知識(shí)即可求得的最小值.【詳解】對(duì)A，由題意知，，，，即，（），（），又，，，所以A正確；對(duì)B，把的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)，，，在上不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，把的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)為，是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)D，對(duì)，恒成立，即，恒成立，令，，則，，，，，的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．下列命題中，正確的命題是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，10的第60百分位數(shù)為5B．若隨機(jī)變量，，則C．若隨機(jī)變量，則取最大值時(shí)或4D．某小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績(jī)，其中男生成績(jī)的平均數(shù)為9，方差為11；女生成績(jī)的平均數(shù)為7，方差為8，則該10人成績(jī)的方差為10.5【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A：直接求出第60百分位數(shù)，即可判斷；對(duì)于B：由正態(tài)曲線的對(duì)稱性直接求解；對(duì)于C：表示出，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D：由分層隨機(jī)抽樣中方差的計(jì)算公式直接求解.【詳解】對(duì)于A：數(shù)據(jù)1，3，4，5，6，8，10一共有7個(gè).因?yàn)?，所以其?0百分位數(shù)為第5個(gè)，為6.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)殡S機(jī)變量，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：，所以，所以.故B正確；對(duì)于C：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以.所以要使最大，只需最大.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)或4時(shí)，最大.故C正確；對(duì)于D：由題意可得男生成績(jī)的平均數(shù)為9，方差為11，記為.女生成績(jī)的平均數(shù)為7，方差為8，記為.所以全部10名學(xué)生的成績(jī)的平均數(shù)為.由分層隨機(jī)抽樣中方差的計(jì)算公式可得：.故D正確.故選：BCD12．如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B．滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．存在點(diǎn)P滿足D．以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長(zhǎng)為【正確答案】AD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，利用面面平行的性質(zhì)證明線面平面，進(jìn)而求出軌跡長(zhǎng)度；對(duì)選項(xiàng)B，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直求出點(diǎn)P軌跡，進(jìn)而求出軌跡長(zhǎng)度；對(duì)選項(xiàng)C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用距離公式求出點(diǎn)P軌跡滿足的方程，再結(jié)合二次方程的判別式，進(jìn)而判斷不存在這樣的點(diǎn)P；對(duì)選項(xiàng)D，利用等體積法求出球心點(diǎn)B到面的距離，進(jìn)而求出交線長(zhǎng)度；【詳解】分別取的中點(diǎn)為，連接.可得：，.又有.可得：平面平面.故滿足平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故答案A正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系可得：，，，，.設(shè)，可得：，，，.由，可得.分別取的中點(diǎn)為，點(diǎn)滿足方程，說明點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為一條線段，則滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故答案B錯(cuò)誤.要使，只需.可得：（）.化簡(jiǎn)可得：（）.則：，即當(dāng)時(shí)，.顯然該方程無解，故不存在這樣的點(diǎn)，故答案C錯(cuò)誤.為正三角形，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)平面的距離為.由等體積法，可得.可得：，即故以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長(zhǎng)為：故答案D正確.故選：AD（1）與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖；（2）用向量方法解決立體幾何問題，樹立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算，要理解空間向量概念、性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類比；三、填空題13．已知，則f(8)＝________．【正確答案】7【分析】由于8<10，所以f(8)＝f(f(13），而13>10，所以f(13)＝13-3=10，從而可求出f(8)＝f(10)，進(jìn)而可求出值.【詳解】解：因?yàn)?<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5），即f(8)＝f(f(13）．因?yàn)?3>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.故7此題考查分段函數(shù)求值，求值時(shí)要注意自變量所在的范圍，屬于基礎(chǔ)題.14．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為___________.【正確答案】【分析】由二項(xiàng)式定理得出含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，由得，則含的項(xiàng)為，系數(shù)為故15．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以為直徑的圓過點(diǎn)，則的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為___________.【正確答案】2【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，推出圓和y軸相切，求出，，代入拋物線方程，求出．【詳解】拋物線方程為，焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線性質(zhì)，可得，因?yàn)閳A心是的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為，由已知圓半徑也為，據(jù)此可知該圓與軸相切于點(diǎn)，故圓心縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，即，代入拋物線方程得，所以，則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2,故216．已知函數(shù)，，設(shè)，且函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，則的最小值為________．【正確答案】9【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)、的單調(diào)性，進(jìn)而確定它們零點(diǎn)所在區(qū)間，得零點(diǎn)所在區(qū)間求解作答.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，函數(shù)是R上的增函數(shù)，而，于是得函數(shù)的唯一零點(diǎn)在內(nèi)，函數(shù)的唯一零點(diǎn)在內(nèi)，，則是R上的減函數(shù)，而，，有，，于是得函數(shù)的唯一零點(diǎn)在內(nèi)，函數(shù)的唯一零點(diǎn)在內(nèi)，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間和內(nèi)，都在區(qū)間，因函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，則，即有，且，，所以的最小值為9.故9四、解答題17．已知：為的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求證：成等比數(shù)列；（2）求.【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再整理，利用等比數(shù)列地域證明結(jié)果；（2）先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得通項(xiàng)公式，再求.【詳解】（1）；因?yàn)?，所以所以因此?gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）本題考查等比數(shù)列定義、等比數(shù)列通項(xiàng)公式、和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系，考查基本分析論證求解能力，屬基礎(chǔ)題.18．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)求角的大小；(2)若邊，求的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理與兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后求解（2）由正弦定理化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解【詳解】（1）∵在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，∴，∴，即，∴；（2）∵，∴，即，，且，，則，∵，∴，∴，故的取值范圍是．19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，且PA⊥平面ABCD，PA＝4．(1)若在邊BC上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍；(2)當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，求二面角A－PD－Q的余弦值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）連接AQ，設(shè)BQ＝t，則CQ＝a－t，在Rt△ADQ中，有，即，利用基本不等式可求a的取值范圍；（2）過Q作交AD于M，過M作MN⊥PD于N，連接NQ，可知∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角，進(jìn)而求出二面角A－PD－Q的余弦值．【詳解】（1）如圖，連接AQ，∵PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．設(shè)BQ＝t，則CQ＝a－t．在Rt△ABQ中，有．在Rt△CDQ中，有．在Rt△ADQ中，有，即，即，∴，故a的取值范圍是．（2）由（1）知，當(dāng)t＝2，a＝4時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q（Q為BC邊的中點(diǎn)），使PQ⊥QD．如圖，過Q作交AD于M，則QM⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM，∴QM⊥平面PAD．過M作MN⊥PD于N，連接NQ，則QN⊥PD．∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．在等腰Rt△PAD中，可求得，又MQ＝2，進(jìn)而．∴，即二面角A－PD－Q的余弦值為．20．2020年10月份黃山市某開發(fā)區(qū)一企業(yè)順利開工復(fù)產(chǎn)，該企業(yè)生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(單位：)與尺寸x(單位：)之間近似滿足關(guān)系式(b?c為大于0的常數(shù)).按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：尺寸384858687888質(zhì)量16.818.820.722.42425.5質(zhì)量與尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)試求隨機(jī)變量的分布列和期望；（2）根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：75.324.618.3101.4①根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程；②已知優(yōu)等品的收益z(單位：千元)與x，y的關(guān)系為，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸x為何值時(shí)，收益z的預(yù)報(bào)值最大？(精確到0.1)附：對(duì)于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，.【正確答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）①；②.（1）由題意首先確定的取值，然后求對(duì)應(yīng)的概率，即可列分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（2）①結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)計(jì)算回歸方程即可；②結(jié)合計(jì)算求得回歸方程得到收益的函數(shù)，討論函數(shù)的最值即可得最終結(jié)果.【詳解】（1）由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，即則隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品.現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)，，，的分布列為0123∴（2）對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，得，且，①根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有：，得，故所求y關(guān)于x的回歸方程為②由①可知，，則由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比，即.令，當(dāng)時(shí)，取最大值，即優(yōu)等品的尺寸，收益的預(yù)報(bào)值最大.思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）21．已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，短軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A，A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，過點(diǎn)B作，垂足為M，求面積的最大值．【正確答案】(1)(2)2【分析】（1）先求得橢圓C的離心率，又橢圓C的短軸長(zhǎng)為，可得a,b,c的值，即得