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2023-2024學(xué)年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題(二模)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合,,則()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先化簡集合與集合,再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?,所?故選:C2.已知,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,然后由復(fù)數(shù)的幾何意義可得.【詳解】因?yàn)?,所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,位于第一象限.
故選:A3.某班在體育課上組織趣味游戲,統(tǒng)計(jì)了第一組14名學(xué)生的最終13,10,12,17,9,12,8,9,11,14,15,12,10,12.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是()A.12 B.13 C.13.5 D.14【正確答案】D【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排序,在根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法,即可求解.【詳解】由題意,將14名學(xué)生的最終得分,從小到大排序:8,9,9,10,10,11,12,12,12,12,13,14,15,17,又由,所以這組數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)為第12個數(shù),即為14.故選:D.4.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若,,則A=()A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由正弦定理得到,利用余弦定理得到,求出答案.【詳解】,由正弦定理得,因?yàn)?,所以由余弦定理得,因?yàn)?,所?故選:B5.如圖,在正三棱柱中,底面邊長為6,側(cè)棱長為8,D是側(cè)面的兩條對角線的交點(diǎn),則直線AD與底面ABC所成角的正切值為()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】取BC中點(diǎn)E,連接DE,AE,易得∠DAE為直線AD與底面ABC所成角,解三角形即可.【詳解】取BC中點(diǎn)E,連接DE,AE,由正三棱柱知平面,且,因?yàn)槭切本€在底面上的射影,所以∠DAE為直線AD與底面ABC所成角,在正三角形中,直線AD與底面ABC所成角的正切值為.故選:D6.已知是互相垂直的單位向量,若與的夾角為120°,則()A. B. C. D.1【正確答案】D【分析】利用兩單位向量互相垂直可得,;再代入向量數(shù)量積公式可得,解出.【詳解】根據(jù)題意可知,且,可得,,又與的夾角為120°,所以,解得.故選:D7.2022年12月3日,南昌市出土了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜,如圖(1)所示.現(xiàn)在我們通過DIY手工制作一個六棱錐吊墜模型.準(zhǔn)備一張圓形紙片,已知圓心為O,半徑為,該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O,,,,,,為圓O上的點(diǎn),如圖(2)所示.,,,,,分別是以AB,BC,CD,DE,EF,F(xiàn)A為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以AB,BC,CD,DE,EF,F(xiàn)A為折痕折起,,,,,,使,,,,,重合,得到六棱錐,則六棱錐的體積最大時,正六邊形ABCDEF的邊長為()A. B. C. D.5cm【正確答案】C【分析】連接,交EF于點(diǎn)H,則.設(shè),從而求得六棱錐的高,正六邊形ABCDEF的面積,進(jìn)而求得體積,令,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,從而可求得最小值時的值,進(jìn)而可求解.【詳解】連接,交EF于點(diǎn)H,則.設(shè),則,.因?yàn)椋粤忮F的高.正六邊形ABCDEF的面積,則六棱錐的體積令函數(shù),則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,正六棱錐的體積最大,此時正六邊形ABCDEF的底面邊長為.故選:C8.已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞增的函數(shù),,,且,則()A.54 B.55 C.56 D.57【正確答案】B【分析】由,所以因?yàn)?,,且單調(diào)遞增,所以,.然后推理求解即可.【詳解】因?yàn)橛?,令,則,顯然,否則,與矛盾.從而,由.即得,,即,于是,且.所以,所以,.因?yàn)樗?,于?因?yàn)樗?因?yàn)樗裕?因?yàn)?,,所以,,所以?故選:B.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知圓,直線,則下列說法正確的是()A.直線l過定點(diǎn)B.當(dāng)時,直線l與圓C相切C.當(dāng)時,過直線l上一點(diǎn)P向圓C作切線,切點(diǎn)為Q,則的最小值為D.若圓C上只有一個點(diǎn)到直線l的距離為1,則【正確答案】BC【分析】由已知可得直線過定點(diǎn),可判斷A;當(dāng)時,求得圓心到直線的距離可判斷B;先求|PC|的最小值,再利用勾股定理可求|PQ|的最小值判斷C;由圓心到直線的距離為3可求得判斷D.【詳解】對于A,由直線,得,直線過定點(diǎn),故A錯誤;對于B,當(dāng)時,直線的方程為,圓的圓心,半徑為,圓心到直線的距離為,直線與圓相切,故B正確;對于C,當(dāng)時,直線的方程為,因?yàn)?,又,的最小值為,故C正確;對于D,若圓上只有一個點(diǎn)到直線的距離為1,圓心到直線的距離為,,解得,故D錯誤.故選:BC10.袋子中裝有紅球、黃球各個,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個,記事件A為“三個球都是紅球”,事件B為“三個球都是黃球”,事件C為“三個球至少有一個是黃球”,事件D為“三個球不都是紅球”,則()A.事件A與事件B互斥且對立 B.C. D.事件B與事件D可能同時發(fā)生【正確答案】BCD【分析】袋子中裝有紅球、黃球各個,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個,則根據(jù)互斥與對立事件的關(guān)系,對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)榇又醒b有紅球、黃球各個,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個,則會有{三紅球,三黃球,一黃球二紅球,兩黃球一紅球},所以事件A與事件B互斥但不對立,故A選項(xiàng)錯誤;事件C的對立事件即為事件A,則,故B選項(xiàng)正確;事件A與事件D互為對立事件,則,故C選項(xiàng)正確;因?yàn)槭录﨎與事件D不是互斥事件,故有可能同時發(fā)生,故D選項(xiàng)正確;故選:BCD11.若函數(shù)的定義域?yàn)?,且為偶函?shù),的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,當(dāng)時,,則下列說法正確的是()A.B.函數(shù)值域?yàn)镃.直線y=1與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有4個交點(diǎn)D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合奇偶函數(shù)的定義,可得關(guān)于對稱和關(guān)于對稱,由此推理計(jì)算即可判斷各命題作答.【詳解】的定義域?yàn)?,由為偶函?shù),得,令等價于,所以,所即,所以關(guān)于對稱,由圖象關(guān)于成中心對稱,得,于是,令等價于,所以,所以關(guān)于對稱,則,因此,所以,所以,則是周期為4周期函數(shù),當(dāng)時,,,故A正確;在的圖象如下圖所示,故B正確;直線y=1與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有5個交點(diǎn),故C不正確;當(dāng)時,,可得:,,,,即,因此,故D正確;故選:ABD.12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過的直線l與C交于P,Q兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是()A.若,且,則橢圓C的離心率為B.若,且,則C的離心率為C.若對任意的直線l總有,則橢圓C的離心率的取值范圍為D.若存在直線l,使得,的等比中項(xiàng)為,則橢圓C的離心率的取值范圍為【正確答案】AD【分析】對于A,由可得,再由勾股定理可求解;對于B,設(shè),則,由可得,然后利用橢圓的定義和勾股定理即可求解;對于C,若對任意的直線l總有,因?yàn)橹本€過點(diǎn),,則,求解即可;對于D,利用橢圓的第二定義表示與長,在根據(jù)橢圓的定義建立不等式求解即可.【詳解】對于A,對兩邊同時平方可得:,設(shè),則,在中,則,可得:,解得:,在中,,可得:,化簡可得:,故橢圓C的離心率為,故A正確;對于B,設(shè),則,因?yàn)?,所以,則,由橢圓的定義可得:,所以,則,,所以,因?yàn)?,在中,,即,所以,則,故B不正確;對于C,若對任意的直線l總有,因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以,則,則,所以,則,解得:,故C不正確;對于D,設(shè)橢圓上存在一點(diǎn),由橢圓的第二定義,可得:,,是與的等比中項(xiàng),可得,即,即,,,,解得,所以橢圓的離心率的取值范圍為,故D正確;故選:AD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若,則________.【正確答案】【分析】利用兩角差的正切公式展開可得,即可解得.【詳解】由兩角差的正切公式可得;解得.故14.若的展開式中的系數(shù)為80,則a=________.【正確答案】【分析】先確定的展開式的通項(xiàng)公式,再由求解即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為,而,令,得;令,得.所以的展開式中的系數(shù)為,所以,解得故答案為.15.已知拋物線,直線與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),記直線OM,ON的斜率分別為,,若,則t=________.【正確答案】2【分析】直線與拋物線聯(lián)立,韋達(dá)定理可以得到兩根之和,兩根之積,再根據(jù)所給的斜率關(guān)系即可求得.【詳解】畫出圖像如圖所示:聯(lián)立直線與拋物線方程得,,所以,因?yàn)橹本€OM,ON的斜率分別為,,且,所以,即,所以.故216.已知在邊長為2的菱形ABCD中,,沿對角線BD將折起,使平面平面BCD,則四面體ABCD外接球的表面積為________;若P為AB的中點(diǎn),過點(diǎn)P的平面截該四面體ABCD的外接球所得截面面積為S,則S的最小值為________.【正確答案】①.##②.【分析】先取中點(diǎn),利用面面垂直推出線面垂直,再分別取和的外心,,利用等邊三角形三心合一找到外接球球心,連接,,,,,利用勾股定理求出,最后利用外接球的表面積公式求解;由分析知當(dāng)P為截面圓圓心時,S最小,設(shè)截面圓的半徑為,,求出,代入即可得出答案.【詳解】由已知可得和均為等邊三角形,取中點(diǎn),連接,,則,因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,則平面,分別取和的外心,,過,分別作對應(yīng)面的垂線,相交于,如圖,則為三棱錐的外接球的球心,由和均為邊長為的等邊三角形,可得,,,所以四面體的外接球的表面積為.P為AB的中點(diǎn),且,又,所以為三等分點(diǎn),取為的中點(diǎn),,,,,過點(diǎn)P的平面截該四面體ABCD的外接球所得截面面積為S,當(dāng)P為截面圓圓心時,S最小,設(shè)截面圓的半徑為,,則,所以.故;.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為.(1)求a;(2)求在上的值域.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)利用三角恒等變換化簡,添加輔助角,利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解;(2)根據(jù)角的范圍,由三角函數(shù)的性質(zhì)確定對應(yīng)的值域即可.【小問1詳解】其中,又函數(shù)的一條對稱軸為,即,故,即,整理得,解得.【小問2詳解】由(1)得,因?yàn)?,則,所以,所以,所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?8.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,且,,成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求使得成立的x的最小值【正確答案】(1)(2)7【分析】(1)由和,可得,所以為等比數(shù)列,再由,,成等差數(shù)列,通過遞推分別用表示,列方程可得首項(xiàng)為,進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式.(2)寫出,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求,對不等式進(jìn)行化簡可得,即可求出n的最小值.【小問1詳解】由已知得時,,所以,因?yàn)?,,成等差?shù)列,所以即,所以是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以.【小問2詳解】由(1)知,,所以,所以由,因?yàn)?,所以,即n的最小值為7.19.如圖,在四棱錐中,,,,為棱的中點(diǎn).(1)在直線上找一點(diǎn),使得直線平面,并說明理由;(2)求二面角的余弦值.【正確答案】(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時平面,理由見解析(2)【分析】(1)取的中點(diǎn),連接、,此時可證平面,平面,即可得到平面平面,從而得證;(2)依題意可得平面,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】如圖取的中點(diǎn),連接、,此時平面,證明如下:因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn),所以,平面,平面,所以平面,又,,所以且,所以為平行四邊形,所以,平面,平面,所以平面,,平面,所以平面平面,平面,所以平面,即當(dāng)為的中點(diǎn)時平面.【小問2詳解】因?yàn)?,即,,,平面,所以平面,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,令,則,,,,所以,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,設(shè)二面角為,顯然二面角為銳二面角,所以,即二面角的余弦值為.20.為加快推動旅游業(yè)復(fù)蘇,進(jìn)一步增強(qiáng)居民旅游消費(fèi)意愿,山東省人民政府規(guī)定自2023年1月21日起至3月31日繼續(xù)在全省實(shí)施景區(qū)門票減免,全省國有A級旅游景區(qū)免首道門票,鼓勵非國有A級旅游景區(qū)首道門票至少半價優(yōu)惠.某機(jī)構(gòu)為了了解游客對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動的滿意度,從游客中按年齡40周歲及以下和40周歲以上隨機(jī)抽取100人,其中年齡在40周歲及以下的有40人,且有的游客表示滿意,年齡在40周歲以上的游客中表示滿意的人數(shù)與年齡在40周歲及以下的游客中表示滿意的人數(shù)相同.(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)?不滿意滿意總計(jì)40周歲及以下40周歲以上總計(jì)(2)按照年齡和滿意與否采用分層抽樣從這100名游客中隨機(jī)抽取10名,進(jìn)一步了解游客對本次活動的看法,再從這10名游客中隨機(jī)選取3名作為代表對本次活動提出改進(jìn)措施,記選取的3名代表中“40周歲及以下表示滿意”與“40周歲以上表示滿意”的人數(shù)差的絕對值為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù):,其中.0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析,能認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析,【分析】(1)根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表,計(jì)算出卡方,即可判斷;(2)利用分層抽樣求出各組的人數(shù),則的可能取值為、、、,求出所對應(yīng)的概率,即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】依題意年齡在周歲及以下且滿意的有人,則不滿意的有人,年齡在周歲以上且滿意的有人,不滿意的有人,所以列聯(lián)表如下:不滿意滿意總計(jì)40周歲及以下40周歲以上總計(jì)所以,所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】依題意周歲及以下表示滿意的抽取人,表示不滿意的抽取人,周歲以上表示滿意的抽取人,表示不滿意的抽取人,則的可能取值為、、、,所以,,,,所以的分布列為:所以.21.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,且焦距為6,點(diǎn)在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程;(2)已知M是直線上一點(diǎn),直線交雙曲線C于A(A在第一象限),B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)M作直線OA的平行線l,l與直線OB交于點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)Q,證明:P為線段MQ的中點(diǎn).【正確答案】(1);(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)題意列式運(yùn)算求解,即可得結(jié)果;(2)根據(jù)題意求直線的交點(diǎn)結(jié)合韋達(dá)定理分析證明.【小問1詳解】因?yàn)榻咕酁?,所以,將點(diǎn)代入的方程得,又因?yàn)?,?lián)立解得,所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由(1)可知:的橫坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,則的縱坐標(biāo)為.聯(lián)立方程組,消去x得:,則,可得,設(shè),則,因?yàn)?/,所以直線的方程為,又因?yàn)橹本€的方程為,聯(lián)立方程組,解得,即的縱坐標(biāo)為.由兩式相除,得,即,所以,因?yàn)?,所以,故為線段的中點(diǎn).方法點(diǎn)睛:利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,必要時計(jì)算;(3)列出韋達(dá)定理;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式;(5)代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù),.(1)判斷和的單調(diào)性;(2)若對任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a取值范圍.【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】(1)求得,分和,兩種情況討論,
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