2023~2024學(xué)年廣東茂名高考數(shù)學(xué)押題試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（二模）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先化簡集合與集合，再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C2.已知，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，然后由復(fù)數(shù)的幾何意義可得.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限．

故選：A3.某班在體育課上組織趣味游戲，統(tǒng)計(jì)了第一組14名學(xué)生的最終13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.12 B.13 C.13.5 D.14【正確答案】D【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排序，在根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由題意，將14名學(xué)生的最終得分，從小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，又由，所以這組數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)為第12個數(shù)，即為14.故選：D.4.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，則A＝（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由正弦定理得到，利用余弦定理得到，求出答案.【詳解】，由正弦定理得，因?yàn)?，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所?故選：B5.如圖，在正三棱柱中，底面邊長為6，側(cè)棱長為8，D是側(cè)面的兩條對角線的交點(diǎn)，則直線AD與底面ABC所成角的正切值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】取BC中點(diǎn)E，連接DE,AE,易得∠DAE為直線AD與底面ABC所成角，解三角形即可.【詳解】取BC中點(diǎn)E，連接DE，AE，由正三棱柱知平面，且，因?yàn)槭切本€在底面上的射影，所以∠DAE為直線AD與底面ABC所成角，在正三角形中，直線AD與底面ABC所成角的正切值為.故選：D6.已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為120°，則（）A. B. C. D.1【正確答案】D【分析】利用兩單位向量互相垂直可得，；再代入向量數(shù)量積公式可得，解出.【詳解】根據(jù)題意可知，且,可得，，又與的夾角為120°，所以，解得.故選：D7.2022年12月3日，南昌市出土了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜，如圖（1）所示．現(xiàn)在我們通過DIY手工制作一個六棱錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，，，，，，為圓O上的點(diǎn)，如圖（2）所示．，，，，，分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱錐，則六棱錐的體積最大時，正六邊形ABCDEF的邊長為（）A. B. C. D.5cm【正確答案】C【分析】連接，交EF于點(diǎn)H，則．設(shè)，從而求得六棱錐的高，正六邊形ABCDEF的面積，進(jìn)而求得體積，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而可求得最小值時的值，進(jìn)而可求解.【詳解】連接，交EF于點(diǎn)H，則．設(shè)，則，．因?yàn)椋粤忮F的高．正六邊形ABCDEF的面積，則六棱錐的體積令函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，正六棱錐的體積最大，此時正六邊形ABCDEF的底面邊長為．故選：C8.已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞增的函數(shù)，，，且，則（）A.54 B.55 C.56 D.57【正確答案】B【分析】由，所以因?yàn)?，，且單調(diào)遞增，所以，.然后推理求解即可.【詳解】因?yàn)橛?，令，則，顯然，否則，與矛盾.從而，由.即得，，即，于是，且.所以，所以，.因?yàn)樗?，于?因?yàn)樗?因?yàn)樗裕?因?yàn)?，，所以，，所以?故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知圓，直線，則下列說法正確的是（）A.直線l過定點(diǎn)B.當(dāng)時，直線l與圓C相切C.當(dāng)時，過直線l上一點(diǎn)P向圓C作切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為D.若圓C上只有一個點(diǎn)到直線l的距離為1，則【正確答案】BC【分析】由已知可得直線過定點(diǎn),可判斷A；當(dāng)時，求得圓心到直線的距離可判斷B；先求|PC|的最小值，再利用勾股定理可求|PQ|的最小值判斷C；由圓心到直線的距離為3可求得判斷D.【詳解】對于A，由直線，得，直線過定點(diǎn)，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，直線的方程為，圓的圓心，半徑為，圓心到直線的距離為，直線與圓相切，故B正確；對于C，當(dāng)時，直線的方程為，因?yàn)?，又，的最小值為，故C正確；對于D，若圓上只有一個點(diǎn)到直線的距離為1，圓心到直線的距離為，，解得，故D錯誤.故選：BC10.袋子中裝有紅球、黃球各個，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個，記事件A為“三個球都是紅球”，事件B為“三個球都是黃球”，事件C為“三個球至少有一個是黃球”，事件D為“三個球不都是紅球”，則（）A.事件A與事件B互斥且對立 B.C. D.事件B與事件D可能同時發(fā)生【正確答案】BCD【分析】袋子中裝有紅球、黃球各個，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個，則根據(jù)互斥與對立事件的關(guān)系，對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)榇又醒b有紅球、黃球各個，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3個，則會有{三紅球，三黃球，一黃球二紅球，兩黃球一紅球}，所以事件A與事件B互斥但不對立，故A選項(xiàng)錯誤；事件C的對立事件即為事件A，則，故B選項(xiàng)正確；事件A與事件D互為對立事件，則，故C選項(xiàng)正確；因?yàn)槭录﨎與事件D不是互斥事件，故有可能同時發(fā)生，故D選項(xiàng)正確;故選：BCD11.若函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)值域?yàn)镃.直線y＝1與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有4個交點(diǎn)D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義，可得關(guān)于對稱和關(guān)于對稱，由此推理計(jì)算即可判斷各命題作答.【詳解】的定義域?yàn)?，由為偶函?shù)，得，令等價于，所以，所即，所以關(guān)于對稱，由圖象關(guān)于成中心對稱，得，于是，令等價于，所以，所以關(guān)于對稱，則，因此，所以，所以，則是周期為4周期函數(shù)，當(dāng)時，，，故A正確；在的圖象如下圖所示，故B正確；直線y＝1與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有5個交點(diǎn)，故C不正確；當(dāng)時，，可得：，，，，即，因此，故D正確；故選：ABD.12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，且，則橢圓C的離心率為B.若，且，則C的離心率為C.若對任意的直線l總有，則橢圓C的離心率的取值范圍為D.若存在直線l，使得，的等比中項(xiàng)為，則橢圓C的離心率的取值范圍為【正確答案】AD【分析】對于A，由可得，再由勾股定理可求解；對于B，設(shè)，則，由可得，然后利用橢圓的定義和勾股定理即可求解；對于C，若對任意的直線l總有，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，則，求解即可；對于D，利用橢圓的第二定義表示與長，在根據(jù)橢圓的定義建立不等式求解即可.【詳解】對于A，對兩邊同時平方可得：，設(shè)，則，在中，則，可得：，解得：，在中，，可得：，化簡可得：，故橢圓C的離心率為，故A正確；對于B，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，由橢圓的定義可得：，所以，則，，所以，因?yàn)?，在中，，即，所以，則，故B不正確；對于C，若對任意的直線l總有，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，則，則，所以，則，解得：，故C不正確；對于D，設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)，由橢圓的第二定義，可得：，，是與的等比中項(xiàng)，可得，即，即，，，，解得，所以橢圓的離心率的取值范圍為，故D正確；故選：AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則________．【正確答案】【分析】利用兩角差的正切公式展開可得，即可解得.【詳解】由兩角差的正切公式可得；解得.故14.若的展開式中的系數(shù)為80，則a＝________．【正確答案】【分析】先確定的展開式的通項(xiàng)公式，再由求解即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，而，令，得；令，得.所以的展開式中的系數(shù)為，所以，解得故答案為.15.已知拋物線，直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OM，ON的斜率分別為，，若，則t＝________．【正確答案】2【分析】直線與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理可以得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)所給的斜率關(guān)系即可求得.【詳解】畫出圖像如圖所示：聯(lián)立直線與拋物線方程得，，所以，因?yàn)橹本€OM，ON的斜率分別為，，且，所以，即，所以.故216.已知在邊長為2的菱形ABCD中，，沿對角線BD將折起，使平面平面BCD，則四面體ABCD外接球的表面積為________；若P為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的平面截該四面體ABCD的外接球所得截面面積為S，則S的最小值為________．【正確答案】①.##②.【分析】先取中點(diǎn)，利用面面垂直推出線面垂直，再分別取和的外心，，利用等邊三角形三心合一找到外接球球心，連接,,,,，利用勾股定理求出，最后利用外接球的表面積公式求解；由分析知當(dāng)P為截面圓圓心時，S最小，設(shè)截面圓的半徑為，，求出，代入即可得出答案.【詳解】由已知可得和均為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，則平面，分別取和的外心，，過，分別作對應(yīng)面的垂線，相交于，如圖，則為三棱錐的外接球的球心，由和均為邊長為的等邊三角形，可得，，，所以四面體的外接球的表面積為.P為AB的中點(diǎn)，且，又，所以為三等分點(diǎn)，取為的中點(diǎn)，，，，，過點(diǎn)P的平面截該四面體ABCD的外接球所得截面面積為S，當(dāng)P為截面圓圓心時，S最小，設(shè)截面圓的半徑為，，則，所以.故；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為．（1）求a；（2）求在上的值域．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，添加輔助角，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)角的范圍，由三角函數(shù)的性質(zhì)確定對應(yīng)的值域即可.【小問1詳解】其中，又函數(shù)的一條對稱軸為，即，故，即，整理得，解得．【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)?，則，所以，所以，所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?8.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得成立的x的最小值【正確答案】（1）（2）7【分析】（1）由和，可得，所以為等比數(shù)列，再由，，成等差數(shù)列，通過遞推分別用表示，列方程可得首項(xiàng)為，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式.（2）寫出，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求，對不等式進(jìn)行化簡可得，即可求出n的最小值.【小問1詳解】由已知得時，，所以，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以即，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以．【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以由，因?yàn)?，所以，即n的最小值為7．19.如圖，在四棱錐中，，，，為棱的中點(diǎn)．（1）在直線上找一點(diǎn)，使得直線平面，并說明理由；（2）求二面角的余弦值．【正確答案】（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時平面，理由見解析（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，此時可證平面，平面，即可得到平面平面，從而得證；（2）依題意可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】如圖取的中點(diǎn)，連接、，此時平面，證明如下：因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，又，，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，即當(dāng)為的中點(diǎn)時平面.【小問2詳解】因?yàn)?，即，，，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳二面角，所以，即二面角的余弦值為.20.為加快推動旅游業(yè)復(fù)蘇，進(jìn)一步增強(qiáng)居民旅游消費(fèi)意愿，山東省人民政府規(guī)定自2023年1月21日起至3月31日繼續(xù)在全省實(shí)施景區(qū)門票減免，全省國有A級旅游景區(qū)免首道門票，鼓勵非國有A級旅游景區(qū)首道門票至少半價優(yōu)惠．某機(jī)構(gòu)為了了解游客對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動的滿意度，從游客中按年齡40周歲及以下和40周歲以上隨機(jī)抽取100人，其中年齡在40周歲及以下的有40人，且有的游客表示滿意，年齡在40周歲以上的游客中表示滿意的人數(shù)與年齡在40周歲及以下的游客中表示滿意的人數(shù)相同．（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)？不滿意滿意總計(jì)40周歲及以下40周歲以上總計(jì)（2）按照年齡和滿意與否采用分層抽樣從這100名游客中隨機(jī)抽取10名，進(jìn)一步了解游客對本次活動的看法，再從這10名游客中隨機(jī)選取3名作為代表對本次活動提出改進(jìn)措施，記選取的3名代表中“40周歲及以下表示滿意”與“40周歲以上表示滿意”的人數(shù)差的絕對值為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【正確答案】（1）列聯(lián)表見解析，能認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）利用分層抽樣求出各組的人數(shù)，則的可能取值為、、、，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】依題意年齡在周歲及以下且滿意的有人，則不滿意的有人，年齡在周歲以上且滿意的有人，不滿意的有人，所以列聯(lián)表如下：不滿意滿意總計(jì)40周歲及以下40周歲以上總計(jì)所以，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】依題意周歲及以下表示滿意的抽取人，表示不滿意的抽取人，周歲以上表示滿意的抽取人，表示不滿意的抽取人，則的可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列為：所以.21.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且焦距為6，點(diǎn)在雙曲線C上．（1）求雙曲線C的方程；（2）已知M是直線上一點(diǎn)，直線交雙曲線C于A（A在第一象限），B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線OA的平行線l，l與直線OB交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，證明：P為線段MQ的中點(diǎn)．【正確答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意列式運(yùn)算求解，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意求直線的交點(diǎn)結(jié)合韋達(dá)定理分析證明.【小問1詳解】因?yàn)榻咕酁?，所以，將點(diǎn)代入的方程得，又因?yàn)?，?lián)立解得，所以雙曲線的方程為．【小問2詳解】由（1）可知：的橫坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，則的縱坐標(biāo)為．聯(lián)立方程組，消去x得：，則，可得，設(shè)，則，因?yàn)?/，所以直線的方程為，又因?yàn)橹本€的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即的縱坐標(biāo)為．由兩式相除，得，即，所以，因?yàn)?，所以，故為線段的中點(diǎn)．方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù)，．（1）判斷和的單調(diào)性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，