展開空間想象 掌握圖形結(jié)構(gòu)

【摘""要】展開與折疊是聯(lián)系立體圖形和平面圖形的重要橋梁?；谀X與數(shù)學(xué)的視角，教學(xué)中可采取“多感互聯(lián)”和“多材互聯(lián)”的教學(xué)策略，通過動手操作和想象驗(yàn)證的方法，輔以藝術(shù)欣賞和創(chuàng)意拓展等活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和記憶力，促進(jìn)其想象力和推理力的發(fā)展?！娟P(guān)鍵詞】展開與折疊；想象與推理；圖形與幾何“圖形與幾何”是發(fā)展學(xué)生空間觀念、推理意識和創(chuàng)新意識的重要領(lǐng)域。［1］其中，展開與折疊是聯(lián)系立體圖形和平面圖形的橋梁之一。人教版教材在編排時(shí)一開始就把長方體和正方體的六個(gè)面展開，同時(shí)推進(jìn)研究；而北師大版教材則是先重點(diǎn)探究正方體的展開圖，再過渡到長方體的展開圖。關(guān)于正方體展開圖的判斷方法，教材中鼓勵學(xué)生先想一想，再動手折一折。一些有經(jīng)驗(yàn)的教師還總結(jié)了“隔一相對，Z字兩端”的方法來判斷相對面，并概括出呈“田”字型、“凹”字型、“一”字型等的六連方圖形一定不能圍成正方體的規(guī)律，但這不能取代學(xué)生親自想象圖形展開與折疊的過程。從腦與數(shù)學(xué)的視角來看，在想象展開與折疊的過程中，人大腦中的上千神經(jīng)元會聯(lián)系起來，成為神經(jīng)元集群。如果多組神經(jīng)元同時(shí)連接在一起，就會形成活躍的想象。由此看來，立體圖形的展開圖不僅是理解立體圖形表面積概念和運(yùn)算法則的重要載體，也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象和推理能力的重要媒介，而正方體展開圖更是在其中占據(jù)重要地位。一、教學(xué)設(shè)計(jì)基于以上設(shè)想，“圖形的展開與折疊”教學(xué)可采取“多感互聯(lián)”和“多材互聯(lián)”的策略，組織學(xué)生進(jìn)行展開與折疊的空間想象活動，進(jìn)一步提升學(xué)生的想象力、推理力、記憶力和好奇心，從而促進(jìn)學(xué)生腦智的發(fā)展。（一）腦智發(fā)展目標(biāo)（1）想象力。通過操作、辨析、想象，開展二維圖形與三維圖形的轉(zhuǎn)換活動，認(rèn)識圖形特征，發(fā)展想象力。（2）推理力。通過有序分析思考，在類比中把握圖形規(guī)律，提升推理水平。（3）記憶力。通過操作、聯(lián)想、拓展，積累想象經(jīng)驗(yàn)，將知識系統(tǒng)化、個(gè)性化，發(fā)展記憶力。（4）好奇心。通過問題引領(lǐng)、動手探究、支架輔助、創(chuàng)意拓展等活動，從對正方體展開圖的探究過渡到對其他立體圖形的探究，增強(qiáng)聯(lián)想能力，激發(fā)好奇心。（二）教學(xué)策略設(shè)計(jì)為達(dá)成以上腦智發(fā)展目標(biāo)，可設(shè)計(jì)如下教學(xué)策略。（1）好奇引領(lǐng)。通過動手改造六連方，探究正方體展開圖，并依據(jù)正方體展開圖探究其他立體圖形的展開圖，引發(fā)結(jié)構(gòu)聯(lián)想和規(guī)律聯(lián)想，發(fā)展好奇心和想象力。（2）多感協(xié)同。通過用紙折、用磁力片擺、用示意圖表示、用軟件互動等活動，提供視覺、觸覺等刺激，動靜結(jié)合，協(xié)同多重感知，實(shí)現(xiàn)慧腦學(xué)習(xí)。（3）藝術(shù)嵌入。伴隨輕松的音樂，欣賞建筑大師貝聿銘的佳作，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，感悟空間想象與社會發(fā)展的聯(lián)系。（4）創(chuàng)意拓展。積累想象經(jīng)驗(yàn)，從展開圖的角度進(jìn)行立體圖形的研究，從而發(fā)現(xiàn)柱體與錐體的特征、性質(zhì)等。（5）思維構(gòu)圖。梳理全課，繪制思維地圖，掌握圖形結(jié)構(gòu)的實(shí)質(zhì)性規(guī)律。（三）適合神經(jīng)連接的環(huán)境設(shè)計(jì)（1）選用彩色紙、彩色磁力片等學(xué)習(xí)材料，在學(xué)生進(jìn)行雙手活動時(shí)，引發(fā)學(xué)生的注意，喚起學(xué)生的積極情緒，不斷調(diào)動大腦發(fā)出指令。而手又能傳遞各類感知覺，將刺激反饋給大腦，使腦內(nèi)神經(jīng)元更敏銳。（2）將學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)化，以減輕學(xué)生大腦的認(rèn)知負(fù)荷，加強(qiáng)其神經(jīng)元之間的連接。（3）伴隨輕松的音樂，欣賞建筑大師貝聿銘的佳作，促進(jìn)學(xué)生大腦不同區(qū)域產(chǎn)生豐富的神經(jīng)活動，刺激其腦內(nèi)多巴胺的釋放，強(qiáng)化大腦神經(jīng)元之間的連接，提高學(xué)生的認(rèn)知能力、創(chuàng)造力和想象力。二、教學(xué)實(shí)踐（一）問題整合，展開想象動腦想是想象力發(fā)展的前提。［2］因此，在教學(xué)時(shí)，教師要把“想”前置，以問題為導(dǎo)向，讓學(xué)生在觀察中想象，在想象中推理。1.操作引入，激發(fā)想象教師出示圖1，提問：“以下幾個(gè)平面圖形能否折成正方體？”學(xué)生能快速而正確地對①號、②號圖形作出判斷，但對③號、④號圖形能否折成正方體猶豫不決?；诖?，教師請學(xué)生動手折一折，利用彩色紙片操作驗(yàn)證。學(xué)生操作后，教師小結(jié)：能折成正方體的六連方就是正方體的展開圖。2.問題驅(qū)動，有序推理教師提問：“②號圖形為什么不能折成正方體？”引導(dǎo)學(xué)生想象和推理相對面的位置關(guān)系和正方體展開圖的結(jié)構(gòu)特征，得出要圍成正方體必須形成上下、左右、前后三組相對的面。接著，教師給②號圖形的6個(gè)面標(biāo)上序號（如圖2），引導(dǎo)學(xué)生思考：能否移動1個(gè)正方形，使它能折成正方體？學(xué)生先獨(dú)立思考，操作學(xué)具，畫出示意圖，再小組討論，最后全班交流。師：說一說，你移動的是哪個(gè)面？移到了哪里？為什么？生：我移動的是2號，將它移動到3、4、5、6號的下面都可以。因?yàn)檎郫B時(shí)2號和6號會重疊，1號則缺少相對的面，所以我將2號移動到了這四個(gè)位置。經(jīng)過驗(yàn)證，移動后都能折成正方體。生：因?yàn)?號和6號會重疊，所以還可以移動6號。生：可以將6號移動到2、3、4、5號的下面。師：老師根據(jù)大家的思路整理了一下，共得到8種方案（如圖3）。這8種方案中，有沒有經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)會重合的呢？生：第二行第一個(gè)圖形上下翻轉(zhuǎn)后會與第一行第二個(gè)圖形重合。生：第一行第三個(gè)圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度后會和第二行第四個(gè)圖形重合。3.語言表征，想象折疊教師提問：“如果沒有學(xué)具，怎么用想象的方法來驗(yàn)證呢？”通過交流討論，師生梳理出表達(dá)支架：把"""號看成底面，想象折疊的方式，找到相對面。通過實(shí)踐，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般選擇居中位置的面作為底面更容易想象出折疊后圖形的樣子。以圖4為例，可以將較為居中的4號看作底面不動，然后想象折疊的方式，即左3右5、上6下4、前2后1，從而形成三組相對的面。教師引導(dǎo)學(xué)生動手改造六連方，以探究正方體的展開圖，通過協(xié)同用紙折、用磁力片擺、用示意圖表示、用軟件互動等多重支架，為學(xué)生提供視覺、觸覺等刺激，動靜結(jié)合，多感互聯(lián)，助推學(xué)生有序推理，發(fā)展學(xué)生的好奇心和想象力，使學(xué)生的思維向更高的幾何思維水平發(fā)展。此時(shí)，大腦中上千的神經(jīng)元會聯(lián)系起來，成為神經(jīng)元集群，從而實(shí)現(xiàn)慧腦學(xué)習(xí)。（二）類比聯(lián)想，發(fā)散想象創(chuàng)造心理學(xué)有一個(gè)共識，即創(chuàng)造力與發(fā)散思維有著密切的聯(lián)系。一個(gè)人若能由一個(gè)事物聯(lián)想到盡可能多的事物，那么他就有可能表現(xiàn)出較強(qiáng)的創(chuàng)造力。師：（出示圖5）請繼續(xù)想象，與正方體的展開圖相比，這個(gè)長方體的展開圖有什么變化？生：上下兩個(gè)面不變，前后左右四個(gè)面從正方形變成了長方形。師：上下兩個(gè)面叫作底面，前后左右四個(gè)面叫作側(cè)面。我們可以從正方體的展開圖入手，去探究其他立體圖形的展開圖。1.結(jié)構(gòu)聯(lián)想：上底+側(cè)面+下底教師出示要求：畫出其他立體圖形的展開圖。讓學(xué)生先想一想，這些立體圖形的展開圖和正方體的展開圖相比有什么聯(lián)系與變化，再畫出示意圖。通過活動探究，學(xué)生聯(lián)想到長方體的展開圖有6個(gè)面，相對的面完全相同；三棱柱有5個(gè)面，側(cè)面比正方體少1個(gè)面；圓柱的展開圖有3個(gè)面，側(cè)面可以看作長方形，也可以看作平行四邊形。接著引導(dǎo)學(xué)生找一找這些立體圖形展開圖之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而發(fā)現(xiàn)它們都是由上底、下底和側(cè)面圍成的，區(qū)別在于它們側(cè)面的數(shù)量不一樣，有的是4個(gè)，有的是3個(gè)，還有的是1個(gè)。2.規(guī)律聯(lián)想：立體圖形側(cè)面展開圖的長=底面的周長教師提問：“圓柱展開圖中，長方形的長=底面圓的周長；圓錐展開圖中，扇形的弧長=底面圓的周長。除此之外，你們還有什么猜想？”引導(dǎo)學(xué)生猜測：長方體、正方體、三棱柱的展開圖中有沒有這樣的規(guī)律呢？學(xué)生通過想象、推理、交流、聯(lián)想，得到立體圖形側(cè)面展開圖的長=底面的周長。在教學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域的知識時(shí)，可采取“多材互聯(lián)”的方法，引導(dǎo)學(xué)生將零散的知識聯(lián)結(jié)在一起，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化思維的形成，從而加強(qiáng)神經(jīng)元之間的連接，減輕大腦的認(rèn)知負(fù)荷，使學(xué)習(xí)更富有情趣，讓學(xué)生更有創(chuàng)造力。以展開與折疊為例，教師可引導(dǎo)學(xué)生探索不同立體圖形展開圖的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，發(fā)散思維，對幾何圖形的規(guī)律或其中的位置關(guān)系作進(jìn)一步想象、推理與探究，從而發(fā)展學(xué)生的想象力和推理能力。（三）拓展創(chuàng)編，升華想象在已有活動的基礎(chǔ)上，學(xué)生能將展開與折疊的經(jīng)驗(yàn)、方法遷移到對立體圖形的研究中。在教學(xué)中，除了上述來源于教材的學(xué)習(xí)任務(wù)，教師還創(chuàng)編了關(guān)于錐體和柱體的展開與折疊的拓展性學(xué)習(xí)材料（如圖6）。學(xué)生通過活動發(fā)現(xiàn)，錐體尖尖的是因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面是三角形，直柱體直直的是因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面都是四邊形且上下底面完全相同。這不僅讓學(xué)生的想象力得到進(jìn)一步提升，還讓學(xué)生習(xí)得了今后研究立體圖形的策略，即從展開與折疊的角度進(jìn)行研究，從而發(fā)現(xiàn)幾何圖形的特征、性質(zhì)、定理等。將立體圖形展開研究，能促使大腦中的神經(jīng)元開始新的連接，建立新的記憶和經(jīng)驗(yàn)，提高大腦皮層的反應(yīng)能力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的好奇心和想象力，使他們的大腦不斷創(chuàng)造出新的想法和創(chuàng)意。（四）復(fù)盤整理，形成策略教師引導(dǎo)學(xué)生梳理本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，建立知識之間的關(guān)系網(wǎng)，形成思維地圖（如圖7～圖9），以幫助學(xué)生深入理解概念，掌握圖形結(jié)構(gòu)的實(shí)質(zhì)性規(guī)律。長期使用思維地圖可以幫助學(xué)生將知識以組塊的方式進(jìn)行儲存，實(shí)現(xiàn)知識的整合，從而增強(qiáng)大腦的記憶能力。教師總結(jié)本課內(nèi)容，并提問：“通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對展開與折疊有了哪些了解，還想問什么問題？”最后，展示建筑大師貝聿銘的佳作，并播放輕松的音樂，讓學(xué)生伴隨音樂欣賞建筑設(shè)計(jì)，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，感悟空間想象與社會發(fā)展的聯(lián)系。三、教學(xué)反思在快速迭代的世界中，空間想象與空間推理已然成為一項(xiàng)必備技能。無論是工程、設(shè)計(jì)還是日常生活都離不開空間想象與空間推理。腦科學(xué)研究表明，小學(xué)階段，學(xué)生的空間想象能力處在初步發(fā)展階段。通過訓(xùn)練和學(xué)習(xí)等刺激，可以提升他們的空間想象能力。為此，教師可以遵循腦的認(rèn)知特點(diǎn)，依托已有的課程內(nèi)容，開展圖形與幾何領(lǐng)域的學(xué)材設(shè)計(jì)與學(xué)科實(shí)踐，讓學(xué)生經(jīng)歷空間想象的過程，形成有邏輯關(guān)聯(lián)、緊密聯(lián)系的知識鏈，提升空間想象能力。（一）多感互聯(lián)，連接神經(jīng)元神經(jīng)元是大腦內(nèi)部傳遞信息的媒介。當(dāng)人們學(xué)習(xí)新知識時(shí)，大腦會產(chǎn)生電流。電流通過神經(jīng)元互相傳遞，把大腦的不同區(qū)域聯(lián)系在一起。因此，讓學(xué)生操作色彩明亮的磁力片、與軟件積極互動，或伴隨輕松的音樂欣賞建筑大師貝聿銘的佳作，能夠激活他們的視覺、觸覺、聽覺等神經(jīng)活動，促進(jìn)腦內(nèi)多巴胺的釋放，強(qiáng)化神經(jīng)元的再生與連接，從而使學(xué)生的心情更加愉悅，提高學(xué)習(xí)的注意力和積極性，發(fā)展認(rèn)知能力、創(chuàng)造力、記憶力和想象力。（二）多材互聯(lián)，聯(lián)通想象力想象力指能夠從已知經(jīng)驗(yàn)中創(chuàng)造新事物的能力，它的基礎(chǔ)就是聯(lián)想能力，即通過在腦中聯(lián)系、重組展現(xiàn)出創(chuàng)造力。學(xué)生探究正方體的展開圖時(shí)所積累的在“立體—平面”間雙向聯(lián)想的空間經(jīng)驗(yàn)，有利于他們解決后續(xù)相關(guān)的實(shí)際問題。橫向來看，正方體1-4-1結(jié)構(gòu)的展開圖中，4個(gè)側(cè)面不動，上下2個(gè)底面有序搭配，可以衍生出6種展開圖，有助于學(xué)生更好地形成圖式，發(fā)展推理能力。縱向來看，它聯(lián)系了直柱體