人教版數(shù)學七年級上冊有理數(shù)章末重難點試題

專題01有理數(shù)章末重難點題型（舉一反三）

擊芍點I

考點［科學運改法R近似^

考點2表示相反意義的量

考點3有理數(shù)相關(guān)囁念

考點4利用新冊

考點5絕對值及儡次乘方的非負性

K典刃分沂II

【考點1科學記數(shù)法及近似數(shù)】

【方法點撥】（1）科學記數(shù)法的表示形式為。XI。的形式，解決此類問題只需確定。與〃的值，其中\(zhòng)<\a\

〈1（）,〃為整數(shù)位數(shù)減1,如若數(shù)帶單位可先將其還原；（2）一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說

這個數(shù)近似到哪一位，也叫做精確到哪一位，但有一個易錯點需注意，如2.019X105很多同學錯誤的認為

這個數(shù)是精確到千分位，解決此類問題需將這個數(shù)還原成整數(shù)201900,這時能確定這個9應在百位上，因

此這個數(shù)精確到百位.

［例1］（2018?浙河區(qū)校級期中）2018年河南省全年生產(chǎn)總值48055.86億元,數(shù)據(jù)“4805586億”用科學記

數(shù)法表示為（）

A.4.805586x104B.0.4805586x105

C.4.805586x1（）12D.4.805586xl0,3

【變式1-11（2018秋?沐陽縣期末）某種鯨魚的體重約為1.36x105依，關(guān)于這個近似數(shù)，下列說法正確的是

（）

A.它精確到百位B.它精確到0.01

C.它精確到千分位D.它精確到千位

【變式1-2］（2018?涼州區(qū)校級期中）綠水青山就是金山銀山，為了創(chuàng)造良好的生態(tài)生活環(huán)境，我省2017

年一季度清理垃圾約1.16X10,方，數(shù)字1.16xl（）7表示（）

A.1.16億B.116萬C.1160萬D.11.6億

【變式1-3】近似數(shù)3.5的準確值。的取值范圍是（)

A.3.45區(qū)3.55B.3.4<?<3.6

C.3.45<d<3.55D.3.45<?<3.55

【考點2表示相反意義的量】

【方法點撥】解決此類問題關(guān)鍵是明確正負數(shù)在題目中的實際意義從而進一步求解.

【例2】（2018秋?襄州區(qū)期中）一箱蘋果的重量標識為力0±0.25"千克，則下列每箱蘋果重量中合格的是（）

A.9.70千克B.10.30千克C.9.60千克D.10.21千克

【變式2-1］（2018秋?睢寧縣期中）某糧店出售4種品牌的面粉，袋上分別標有質(zhì)量為（20±（）.1）依、（20±（）.2）

kg、（20±0.3）kg、（20±0.4）kg,這種合格面粉最多相差（）

A.0.4AgB.0.5kgC.0.6kgD.0.8kg

【變式2-2］（2018秋?慈溪市期中）213路公交車從起點開始經(jīng)過A,B,C,。四站到達終點，各站上下車

人數(shù)如下（上車為正，下車為負）例如（7,-4）表示該站上車7人，下車4人.現(xiàn)在起點站有15人，

4（4,-8）,B（6,-5）,C（7,-3）,D（I,-4）.車上乘客最多時有（）名.

A.13B.14C.15D.16

【變式2-3］（2018秋?封開縣期中）如圖，檢測4個足球，其中超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)

量的克數(shù)記為負數(shù).從輕重的角度看，最接近標準的是（）

A.B.+2.5C.-0.6D.+0,7

【考點3有理數(shù)相關(guān)概念】

【方法點撥】解決此類問題需理解并熟記有理數(shù)相關(guān)概念，如①整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；②正有理數(shù)、0

和負有理數(shù)亦可稱為有理數(shù)；③只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)；④在數(shù)軸上原點的兩旁，離開原

點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)；⑤數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離叫做數(shù)。的絕對

值：⑥一個正數(shù)的絕對值是它木身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.

【例3】（2018秋?江城區(qū)期中）下列說法中正確的是（）

A.正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

B.有理數(shù)是指整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、負有理數(shù)和。五類

C.一個有理數(shù)不是整數(shù)，就是分數(shù)

D.整數(shù)包括正整數(shù)和負整數(shù)

7Q??

【變式3-1］（2018秋?常熟市期中）下列各數(shù):1.010010001,—,0,-兀，-2.626626662…，0.12,

433

其中有理數(shù)的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式3-2】下列說法正確的是（）

A.正數(shù)與負數(shù)互為相反數(shù)

B.符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)

C.數(shù)軸上原點兩旁的兩個點所表示的數(shù)是互為相反數(shù)

D.任何一個有理數(shù)都有它的相反數(shù)

【變式3-3］（2018秋?東臺市期中），下列說法正確的是（）

A.絕對值等于3的數(shù)是-3

B.絕對值不大于2的數(shù)有±2,±1,0

C.若同="，則C0

D.一個數(shù)的絕對值一定大于這個數(shù)的相反數(shù)

【考點4利用數(shù)軸判斷符號】

【方法點撥】解決此類問題需由數(shù)軸得知字母所表示的數(shù)的正負性，再根據(jù)有理數(shù)加、減、乘、除、乘方、

絕對值的意義以及數(shù)軸上右邊點的數(shù)總比左邊的數(shù)大判斷即可.

【例4】（2018秋?宿松縣期末）有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的表示如圖所示，則下列結(jié)論中：①函V0,②-4

?b,@a+b<Of?a-b<0,⑤。<|臼，正確的有（）

?--------->

.b0a

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式4-1］（2018秋?西城區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上A,B兩點對應的數(shù)分別是。和田對于以下四個式子：

①2a-b；②〃+岳③以-同：④也，其中值為負數(shù)的是（）

a

3A

0F

A.①②B.③?C.①③D.②④

【變式4-2］（2（）18秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，數(shù)軸上A、8兩點分別對應有理數(shù)〃、b,則下列結(jié)論：①時

<0:②。+6>0；③〃-Q1；④/-從V0,其中正確的有（）

BA

?1-------1?」A

b-10a1

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4-3］（2018秋?黃陂區(qū)期中）有理數(shù)a、〃、c在數(shù)軸上對應的點的位置，如圖所示：①HMVO；②|a

互為相反數(shù)，旦都不為零，c,d互為倒數(shù).

求：2a+2〃+（a+b-3cd）-m的值.

【考點7利用絕對值、乘方的性質(zhì)求值】

【方法點撥】解決此類問題需熟知一個數(shù)的絕對值或乘方是一個正數(shù)，那么這個數(shù)應該有兩個，需注意進

行分類討論，另外會熟練運用絕對值的意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反

數(shù)；0的絕對值是0.包括逆向用法.

【例7】（2018秋?江陰市校級月考）若實數(shù)mb滿足。2=16,步|=6,且a■力V0,求a+b的值.

【變式7-1］（2018秋?孝南區(qū)月考）已知同=8,護=36,若|a■加求的值.

【變式7-2］（2018秋?江岸區(qū)期中）已知|x+4|=5,（1-y）』9,且廠yV（）,求2A?+），的值.

【變式7-3］（2018秋?泰興市校級月考）若同=2,依=3,|d=6,\a+b\=-（a+b）,\b+c\=b+c.

計算a+b-c的值.

【考點8有理數(shù)混合運算】

【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握有理數(shù)混合運算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減,

有括號的先算括號里.，值得注意有些題可能會運用運算律進行簡便運算.

【例8】（2019春?黃州區(qū)校級月考）計算：

122

(2)(-3)24-2-X(一)+4+22x(—)

33

【變式8-1](2018秋?寶應縣期末)計算:

(1)-15-[-1-(4-22X5)J

(2)-12OI9-(1-1>|3-(-3)2|

【變式8-2](2019春?沙坪壩區(qū)校級月考)計算:

4

(1)[(-2)x(--)+(-2)3]—34+(-27).

2019

(2)-1-(1-J-+1)X(-24).

3126

【變式8-3](2018秋?渝中區(qū)校級期末)有理數(shù)的計算:

2232

(1)-1+(2—+1—)+(3——1-)

5353

(2)-2+(-1)刈9.gx[12-(|)2+$

【考點9有理數(shù)混合運算的應用】

【方法點撥】對于應用題理解題意是解決此類題型的關(guān)鍵.

[例9]（2018秋?新疆期末）某工廠一周計劃每日生產(chǎn)自行車100輛，山于工人實行輪休，每日上班人數(shù)

不一定相等，實際每日生產(chǎn)量與計劃量相比情況如下表（以計劃量為標準，增加的車輛數(shù)記為正數(shù)，減

少的車輛數(shù)記為負數(shù)）：

星期二—四五六□

增減/輛-1+3-2+4+7-5-10

（1）生產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少輛？

（2）本周總生產(chǎn)量是多少？比原計劃增加了還是減少了？增減數(shù)為多少？

【變式9-1］（2018秋?康巴什校級月考）根據(jù)實驗測定：高度每增加1千米，氣溫大約變化量為-6℃,某

登山運動員攀登2切?后，

（1）氣溫有什么變化？

（2）過一會后運動員在攀登途中發(fā)回信息，報告他所在高度的氣溫為-15C,如果當時地面溫度為3℃,

求此時該登山運動員攀登了少千米？

【變式9-2］（2018秋?雁塔區(qū)校級期末）快遞配送員王叔叔?直在??條南北走向的街道上送快遞，如果規(guī)定

向北為正，向南為負，某天他從出發(fā)點開始所行走的路程記錄為（長度單位：千米）：+3,-4,+2.+3.-

1,-1>-3

（1）這天送完最后一個快遞時，王叔叔在出發(fā)點的什么方向，距離是多少？

（2）如果干叔叔送完快說后，需立即返回出發(fā)點，那么他這天送快遞（含返回）共耗油多少升（已知每千

米耗油0.2升）?

【變式9-3】小明是“環(huán)保小衛(wèi)士”，課后他經(jīng)常關(guān)心環(huán)境天氣的變化，最近他了解到上周白天的平均氣溫,

如下表（+表示比前一天升了，-表示比前一天下降了.單位：℃）

星期―-二三四五六七

氣溫變化+1.1-0.3+0.2+0.4+1+1.4-().3

已知上周周日平均氣溫是16.9℃,回答下列問題:

（1）這一周哪天的七平均氣溫最高是多少？

（2）計算這一周每天的平均氣溫？

（3）小明了解到本地的平均氣溫同期歷史最高氣溫是17.2C,最低氣溫是4.2℃,用一句話概括本地的

氣溫變化.

【考點10有關(guān)數(shù)軸的探究題】

【方法點撥】解決此類問題數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵.

【例10】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個公共點與數(shù)軸上的

原點重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒兀個單位，大圓的運動速度為每秒2兀個

單

位，

（1）若小圓不動，大圓沿數(shù)袖來回滾動，規(guī)定大圓向右滾動的時間記為正數(shù)，向左滾動時間即為負數(shù)，依

次滾動的情況錄如下（單位：秒）：

-1,+2?-4,-2?+3,+6

①第一次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點到原點的距離最遠；

②當大圓結(jié)束運動時，大圓運動的路程共有多少？此時兩圓與數(shù)軸重合的點之間的距離是多少？（結(jié)果保

留兀）

（2）若兩圓同時在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動，滾動一段時間后兩圓與數(shù)軸重合的點之間相距9兀,

求此的兩圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù).

【練1（）-1］（2018秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，數(shù)軸上A,8兩點對應的數(shù)分別-4,8.有一動點P從點A

出發(fā)第一次向左運動1個單位長度；然后在新的位置第二次運動，向右運動2個單位長度；在此位置第

三次運動，向左運動3個單位長度，…按照如此規(guī)律不斷地左右運動

（1）當運動到第2018次時，求點所對應的有理數(shù).

（2）點P會不會在某次運動時恰好到達某一個位置，使點P到點B的距離是點2到點A的距離的3倍？

若可能請求出此時點尸的位置，若不可能請說明理由.

??

0B

【練10-2】(2018秋?淮陰區(qū)期中)已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖I),折疊紙面.

(1)若1表示的點與-1表示的點重合，則-4表示的點與表示的點重合；

(2)若-2表示的點與8表示的點重合，回答以下問題：

①16表示的點與—表示的點重合；

②如圖2,若數(shù)軸上A、8兩點之間的距離為2018(A在8的左側(cè))，且A、8兩點經(jīng)折疊后重合，則A、

8兩點表示的數(shù)分別是—、—.

(3)如圖3,若〃，和〃表示的點C和點。經(jīng)折疊后重合，現(xiàn)數(shù)軸上P、。兩點之間的距離

為。(P在。的左側(cè))，且P、。兩點經(jīng)折疊后重合，求P、Q兩點表示的數(shù)分別是多少？(用含相，

。的代數(shù)式表示)

2018

________________A________________.

I__________________________________1

丁

圖2

a

/------------------'----------------

P、?G%

o〃冽

圖3

【練10-3】(2018秋?海淀區(qū)校級期中)下面材料：已知點A、8在數(shù)釉上分別表示有理數(shù)&b,A、B兩點、

之間的距離表示為|A陰.

當A、8兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1,\AB\=\()B\=\b\=\a-b\

當A、8兩點都不在原點時，

(1)如圖2,點A、4都在原點的右邊，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=b-a=\a-b\

(2)如圖3,點A、8都在原點的左邊，依用=|0陰-|。4|=網(wǎng)一同=■〃-(-a)=a-b=\a-b\

(3)如圖4,點A、8在原點的兩邊，\AB\=\OA\+\OB\=\a\+\b\=a+(-/?)=a-b=\a-b\

綜上，數(shù)軸上A、4兩點的距離|AB|=|a-"

回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示-2和-5兩點之間的距離是一；

（2）數(shù)軸上表示x和-1的兩點A、3之間的距離是|x+l|,如果|A陰=2,那么x為一；

（3）當代數(shù)式|x+l|+L?2|取最小值時，相應的x的取值范圍是—.

A（O）BOAB

------1----------1--------??____________I________

ab0ab

圖1圖2

BAOBOA

iii.iIi.

baob0a

圖3圖4

專題01有理數(shù)章末重難點題型（舉一反三）

考點1科學記數(shù)法及近似

考點2表示相反意義的量

考點3有理數(shù)相關(guān)概念

考點4利用數(shù)軸判斷符目

考點5絕對值及偶次乘方的非負性

。冽分沂】

【考點1科學記數(shù)法及近似數(shù)】

【方法點撥】（1）科學記數(shù)法的表示形式為。xl伊的形式，解戾此類問題只需確定。與〃的值，其中\(zhòng)<\a\

<10,〃為整數(shù)位數(shù)減1,如若數(shù)帶單位可先將其還原；（2）一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說

這個數(shù)近似到哪一位，也叫做精確到哪一位，但有一個易錯點需注意，如2.019X105很多同學錯誤的認為

這個數(shù)是精確到千分位，解決此類問題需將這個數(shù)還原成整數(shù)20190（）,這時能確定這個9應在百位上，因

此這個數(shù)精確到百位.

[例1](2018?獅河區(qū)校級期中)2018年河南省全年生產(chǎn)總值48055.86億元，數(shù)據(jù)“48055.86億“用科學記

數(shù)法表示為()

A.4.805586x104B.0.4805586x105

C.4.805586x1()12D.4.805586X|()13

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為4X10〃的形式，其中15同＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原

數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值大于10時，〃

是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負數(shù).

【解答】解：48055.86億用科學記數(shù)法表示為4.805586X10%

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準確確定。與〃值是關(guān)鍵.

【變式1-1](2018秋?沐陽縣期末)某種鯨魚的體重約為1.36x105依，關(guān)于這個近似數(shù)，下列說法正確的是

()

A.它精確到百位B.它精確到0.01

C.它精確到千分位D.它精確到千位

【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度求解.

【解答】解：1.36x105精確到千位.

故選:D.

【點評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)為近似數(shù)；從一個數(shù)的左邊第一個不是

0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字.近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精

確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法.

【變式1-2](2018?涼州區(qū)校級期中)綠水青山就是金山銀山，為了創(chuàng)造良好的生態(tài)生活環(huán)境，我省2017

年一季度清理垃圾約1.16x107方，數(shù)字1.16x107表示()

A.1.16億B.116ZJC.1160)1D.11.6億

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為4X10〃的形式，其中理同＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原

數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值＞10時，〃是

正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，〃是負數(shù).

【解答】解:1.16x1()7=11600000=116()萬.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為。xlO"的形式，其中號同〈10,〃

為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

【變式1-3】近似數(shù)3.5的準確值。的取值范圍是（）

A.3.45<?<3.55B.3.4W.6

C.3.45<a<3,55D.3.45<?<3.55

【分析】根據(jù)四舍五入法，可以得到似數(shù)3.5的準確值。的取值范圍，本題得以解決.

【解答】解：近似數(shù)3.5的準確值。的取值范圍是3.453/W3.54,

故選：C.

【點評】本題考查近似數(shù)和有效數(shù)字，解答本題的關(guān)鍵是明確近似數(shù)和有效數(shù)字的含義.

【考點2表示相反意義的量】

【方法點撥】解決此類問題關(guān)鍵是明確正負數(shù)在題目中的實際意義從而進一步求解.

【例2】（2018秋?襄州區(qū)期中）一箱蘋果的重量標識為“10±0.25”千克，則下列每箱蘋果重量中合格的是（）

A.9.7（）千克B.10.3（）千克C.9.60千克D.10.21千克

【分析】根據(jù)“10±0.25千克”，可算出合格范圍，再根據(jù)合格范圍，選出答案.

【解答】解：???10?0.25=9.75（千克）,10+0.25=10.25（千克），

，合格范圍為：9.75?10.25千克.

故選：O.

【點評】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，計算出合格范圍是解題關(guān)鍵.

【變式2-1］（2（）18秋?睢寧縣期中）某糧店出售4種品牌的面粉，袋上分別標有質(zhì)量為（20±（）.1）依、（20±0.2）

kg、⑵±0.3）依、（20±0.4）kg,這種合格面粉最多相差（）

A.0.4依B.05kgC.0.6kgD.0.8依

【分析】根據(jù)題意給出4種品牌的質(zhì)量波動范圍，并求出任意兩袋質(zhì)量相差的最大數(shù).

【解答】解：根據(jù)題意從中找出兩袋質(zhì)量波動最大的（20±0.4）kg,則相差0.4-（-0.4）=0.8依.

故選：D.

【點評】本題考查了這止數(shù)和發(fā)數(shù)，有埋數(shù)的減法運算時解期關(guān)鍵.

【變式2-2］（2018秋?慈溪市期中）213路公交車從起點開始經(jīng)過A,B,C,。四站到達終點，各站.上下車

人數(shù)如下（上車為正，下車為負）例如（7,-4）表示該站上車7人，下車4人.現(xiàn)在起點站有15人，

4（4,-8）,8（6,-5）,C（7,?3）,D（1,-4）.車上乘客最多時有（）名.

A.13B.14C.15D.16

【分析】根據(jù)題意可以算出各個階段對應的乘客人數(shù)，從而可以解答本題.

【解答】解：由題意可得，

起點到A站之間，車上有15人,

A站到8站之間，車上有：15+4-8=11（人）,

8站到。站之間，車上有：11+6-5=12（人）,

C站到。站之間，車上有：12+7-3=16（人）,

。站到終點之間，車上有：16+1?4=13（人），

由上可得，車上乘客最多有16人,

故選：D.

【點評】本題考查正負數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確正負數(shù)在題目中的實際意義.

【變式2-3］（2018秋?封開縣期中）如圖，檢測4個足球，其中超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)

量的克數(shù)記為負數(shù).從輕重的角度看，最接近標準的是（）

【分析】求出每個數(shù)的絕對值，根據(jù)絕對值的大小找出絕對值最小的數(shù)即可.

【解答】解：V|-0.6|<|+0.7|<|+2.5|<|-3.5|,

-0.6最接近標準,

故選：C.

【點評】本題考查了絕對值和正數(shù)和負數(shù)的應用，掌握正數(shù)和負數(shù)的概念和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

主要考查學生的理解能力，題目具有一定的代表性，難度也不大.

【考點3有理數(shù)相關(guān)概念】

【方法點撥】解決此類問題需理解并熟記有理數(shù)相關(guān)概念，如①整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；②正有理數(shù)、0

和負有理數(shù)亦可稱為有理數(shù)；③只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)；④在數(shù)軸上原點的兩旁，離開

原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)：⑤數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離叫做數(shù)。的

絕對倩：⑥一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個偵數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.

【例3】（2018秋?江城區(qū)期中）下列說法中正確的是（）

A.正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

B.有理數(shù)是指整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、負有理數(shù)和。五類

C.一個有理數(shù)不是整數(shù)，就是分數(shù)

D.整數(shù)包括正整數(shù)和負整數(shù)

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，逐一做出判斷即可.

【解答】解：因為近、視是正數(shù)，卻不是有理數(shù)，故選項A錯誤；

有理數(shù)按定義分為整數(shù)和分數(shù)，按性質(zhì)分為正有理數(shù)、負有理數(shù)和0.故選項B錯誤；

因為整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，所以一個有理數(shù)不是整數(shù)，就是分數(shù)，故選項C正確；

整數(shù)包括正整數(shù)、負整數(shù)和0,由于缺少0故選項。錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的分類標準，做到不重不漏.

7Q??

【變式3-1］（2018秋?常熟市期中）下列各數(shù)：--,1.010010001,—,0,-冗，-2.626626662...,0.12,

433

其中有理數(shù)的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】直接利用有理數(shù)的概念分析得出答案.

【解答】解：-工，1.（）1（）010001,衛(wèi)，（），■兀，?2.626626662…，0.1p其中有理數(shù)為：-工，1.010（）10001,

433iZ4

且，0,0.19，共5個.

3312

故選：C.

【點評】此題主要考查了有理數(shù)的相關(guān)概念，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-2】下列說法正確的是（）

A.正數(shù)與負數(shù)互為相反數(shù)

B.符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)

C.數(shù)軸上原點兩旁的兩個點所表示的數(shù)是互為相反數(shù)

D.任何一個有理數(shù)都有它的相反數(shù)

【分析】A、8、C可舉反例判斷，。根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可.

【解答】解：A、B、C、如+3和-2不是互為相反數(shù)，故本選項錯誤；

。、任何一個有理數(shù)都有它的相反數(shù)，正確.

故選：O.

【點評】本題考查了相反數(shù)的意義，相反數(shù)是只有符號不同的兩個數(shù).

【變式3-3］（2018秋?東臺市期中）下列說法正確的是（）

A.絕對值等于3的數(shù)是-3

B.絕對值不大于2的數(shù)有±2,±1,0

C.若⑷=-〃,則H0

D.一個數(shù)的絕對值一定大于這個數(shù)的相反數(shù)

【分析】利用絕對值的知識分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：A、絕對值等于3的數(shù)是3和-3,故錯誤；

B、絕對值不大于2的整數(shù)有±2,±1,0,故錯誤；

C、若⑷=-a,則aSO,正確，

。、負數(shù)的絕對值等于這個數(shù)的相反數(shù)，故錯誤，

故選：C.

【點評】本題考查了絕對值的性質(zhì)，絕對值規(guī)律總結(jié)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值

是它的相反數(shù)；0的絕對值是（）.

【考點4利用數(shù)軸判斷符號】

【方法點撥】解決此類問題需由數(shù)軸得知字母所表示的數(shù)的正負性，再根據(jù)有理數(shù)加、減、乘、除、乘方、

絕對值的意義以及數(shù)軸上右邊點的數(shù)總比左邊的數(shù)大判斷即可.

【例4】（2018秋?宿松縣期末）有理數(shù)小〃在數(shù)軸上的表示如圖所示，則下列結(jié)論中：①"V0,②-a>

-力，③a+6V0,④a-bVO,⑤。<|可，正確的有（）

,~b0~a>

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析1根據(jù)數(shù)軸知〃VOVa,旦|a|V|M，再利用有理數(shù)的乘法、加法、減法及絕對值性質(zhì)等知識點逐

一判斷可得.

【解答】解：由數(shù)軸知。VOVa,月

則①HV0,此結(jié)論正確；

②此結(jié)論錯誤；

③a+b<0,此結(jié)論正確；

④a-b>0,此結(jié)論錯誤；

⑤aV|〃|,此結(jié)論正確；

故選：B.

【點評】本題考瓷的是數(shù)軸和絕對值，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大及有理數(shù)的混合運算法則是解

答此題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2018秋?西城區(qū)期末〕如圖，數(shù)軸上A,8兩點對應的數(shù)分別是。和4對于以下四個式子：

①2a②a+乩③|例-|a|：④其其中值為負數(shù)的是（）

a

JA

?

03

A.①②B.③?C.①③D.②④

【分析】根據(jù)圖示，可得〃V-3,0<?<3,據(jù)此逐項判斷即可.

【解答】解：根據(jù)圖示，可得〃<-3,0<?<3,

①2。-Q0；

②a+〃VO；

③冏-同>0;

④kvo.

a

故其中值為負數(shù)的是②④.

故選：D.

【點評】此題主要考查了絕對值的含義和求法，以及數(shù)軸的特征和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵

是判斷出〃、〃的取值范圍.

【變式4-2］（2018秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，數(shù)軸上A、3兩點分別對應有理數(shù)a、b,則下列結(jié)論：①ab

<0；②a+/A（）；③a-/Al；?cr-/?2<0,其中正確的有（）

BA

?1----------1?A

b-10a1

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)，可以得到兩個點表示數(shù)的大小關(guān)系和符號，根據(jù)有理數(shù)計算法則可得出結(jié)論

【解答】解：-1V0,0<67<1

，①a〃V0,正確

②"〃>0,錯誤

③”Q1,正確

@cr-/V0,正確

故選：C.

【變式4-3］（2018秋?黃陂區(qū)期中）有理數(shù)〃、b、C在數(shù)軸上對應的點的位置，如圖所示：①而CV0：②|。

-b\+\b-c\=\a-c\；③（a-b）Cb-c）Cc-a）>0；?\a\<］-be,以上四個結(jié)論正確的有（）個.

aIIIIbIcI、

-101

A.4B.3C.2D.I

【分析】先根據(jù)數(shù)軸上。、氏c的位置判斷它們的正負、大小，利用乘法的符號法則、有理數(shù)的減法法

貝k絕對值的化簡等知識點逐個判斷得結(jié)論.

【解答】解：由數(shù)軸知：?<-l<O<b<c<\.

Vd<o./?>0,c>0,：.abc<of故①正確；

Vd</?,b<c,a<c,

|tz-b\+\b-c\=b-a+c-b=c-a,

\a-c\=c-ch

，M-b\+\b?c|=I。?c|，故②正確；

*：a<b,bVc,a<Ct

,,a-b<0,b-c<0,c-a>0

(a-/?)Cb-c)(c-a)>0,故③正確；

Vd<-1,，間>1,

V0<Z?<c<l,.\0<^<1,

1-bc<1,

，同>1-he,故④不正確.

故選：B.

【點評】本題考查了數(shù)軸上點的特點，有理數(shù)乘法的符號法則，有理數(shù)的大小比較，絕對值的化簡等知

識點，掌握減法、乘法的符號法則是解決本題的關(guān)鍵.

【考點5絕對值及偶次乘方的非負性】

【方法點撥】直接利用絕對值及偶次乘方的非負數(shù)的性質(zhì)分別得出字母的值，進而得出答案.

【例5】(2019春?瑞安市期中)若|"2|+(X+3尹1)2=(),則y'的值為.

【分析】直接利用絕對值以及偶次方的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【解答】解：???|x+2|+(x+3.v+l)2=0,

???.什2=0,x+3y+l=0,

解得：x=-2,y=—,

3

故,=(1)-2=9.

.3

故答案為：9.

【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出羽y的值是解題關(guān)鍵.

【變式5-1](2018秋?蔡甸區(qū)期末〕若(x-2)2與|I+2yl互為相反數(shù)，則y-x=—.

【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)分別得出x,)，的值，進而得出答案.

【解答】解：,??(『2)2與卜+2)，|互為相反數(shù)，

.*.A-2=0,x+2y=0,

解得：x=2,y=-1,

故y-x=-1-2=-3.

故答案為：-3.

【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出x,y的值是解題關(guān)鍵.

【變式5-2］（2018秋?濱湖區(qū)校級月考）當工時，2-（工+3）2有最大值.

【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：當x+3=0時，2-（戶3）2有最大值，

解得：x=-3.

故答案為：=-3.

【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確利用偶次方的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式5-3］（2018秋?江南區(qū)校級月考）當工=時，-10+bTI有最小值，最小值為.

【分析】直接錄用絕對值的性及分析得出答案.

【解答】解：?斗7|最小為0,

??.當x=l時，?10+lx-1|有最小值，最小值為：70.

故答案為：1,-10.

【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確掌握絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【考點6利用相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值定義求值】

【方法點撥】解決此類問題需熟知兩個互為相反數(shù)的數(shù)和為（），兩個互為倒數(shù)的數(shù)乘積為1，值得注意的是

已知一個數(shù)的絕對值為非0的數(shù)，那么這個數(shù)應該有兩個，此時應注意分類討論，結(jié)果往往有兩個.

【例6】（2018秋?富順縣期中）若a,b互為相反數(shù),c,d互為倒數(shù)，〃?的絕對值為4.

（1）直接寫出a+b,cd,m的值;

（2）求m+cd+°+人的值.

m

【分析】（1）直接利用互為相反數(shù)以及互為倒數(shù)和絕對值的定義分別分析得出答案；

（2）利用（1）中所求，代入得出答案.

【解答】解：（1）:小匕互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，，〃的絕對值為4,

a+b=（）,cd=1,m=±4；

（2）由（1）得：

原式=±4+1=5或-3.

【點評】此題主要考查了倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【變式6-1](2019春?白塔區(qū)校級月考)已知a,互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，用的絕對值等于3,求〃P+

(cd+a+b)xm+(cd)刈8的值.

【分析】利用倒數(shù)，相反數(shù)的性質(zhì)，以及絕時值的代數(shù)意義求出"從cd,機的值，代入原式計算即可

求出值.

【解.答】解：???m〃互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，〃?的絕對值等于3,

a+b=0,cd=I,|m|=3,

當加=-3時，m2+(cd+a+b)>5+(cd)20,8=(-3)2+(1+0)x(-3)+l20l8=9+lx(-3)+1=9+

(-3)+1=7；

2O,8

當加=3時,：.irr+(cd+a+b)xm+(cd)=I3

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2018秋?臨洲縣月考)若心。互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，〃的絕對值等于2,則關(guān)于x的方

程(〃+〃)/+3c?如'-/戶二。的解是多少？

【分析】直接利用倒數(shù)以及絕存值、相反數(shù)的定義得出答案.

【解答】解：???。、匕互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，〃的絕對值等于2,

，〃+/?=(),cd=1,p2=4,

(a+b)f+3cd?x-/?=0,

整理得:3A:-4=0,

解得：x=1.

3

【點評】此題主要考查了倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【變式6-3](2018秋?湖里區(qū)校級月考)已知：有理數(shù)m所表示的點與-1表示的點距離4個單位，a,b

互為相反數(shù)，且都不為零，c,d互為倒數(shù).

求：2a+2b+(a+b-3cd)-tn的值.

【分析】宜接利用相反數(shù)以及互為倒數(shù)的性質(zhì)得出“+〃=(),cd=1,進而分類討論得出答案.

【解答】解：???有理數(shù)機所表示的點與-1表示的點距離4個單位，

.?./〃=-5或3,

??Z,〃互為相反數(shù)，且都不為零，c,d互為倒數(shù)，

.*.d+/?=0,cd=1,

當m=-5時，

2a+2b+(.a+b-3cd)-in

=2(a+〃)+(a+Z?)-3cd-m

=-3-(-5)

=2,

當m=3時,

2a+2Z>+(a+b-3cd)-m

=2(a+b)+(a+b)-3cd-tn

=-3-3

=-6

綜上所述：原式=2或-6.

【點評】此題主要考查了倒數(shù)與相反數(shù)，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【考點7利用絕對值、乘方的性質(zhì)求值】

【方法點撥】解決此類問題需熟知一個數(shù)的絕對值或乘方是一個正數(shù)，那么這個數(shù)應該有兩個，需注意進

行分類討論，另外會熟練運用絕對值的意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反

數(shù)；0的絕對值是0.包括逆向用法.

【例7】(2018秋?江陰市校級月考)若實數(shù)a,b滿足°2=16,依=6,且V0,求a+b的值.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方和絕對值的性質(zhì)求出。、江再根據(jù)a-bVO判斷出。、〃的對應情況，然后

相加即可得解.

【解答】解：???a2=16,步|=6,

.*.d=±4,b=±6,

??Z-bVO,

：.a<hf

，①a=-4,b=6,則a+b=2,

②a=4,b=6,貝l」a+/?=10,

綜上所述，a+b的值等于2或1().

【點評】本題考查了有理數(shù)的加法，絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的減法，確定出a、b的值是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1](2018秋?孝南區(qū)月考)已知⑷=8,/=36,若求a+b的值.

【分析】根據(jù)絕對值和乘方的意義可得[=±8,b=±6,再山絕對值的性質(zhì)可得a-%0,進而可確定a、

〃的值，然后可得答案.

【解答】解：丁悶=8,序=36,

??□=±8,/?=±6,

'：\a-b\=b-a,

a-b<0,

?.a=-8,b=-6,則a+b=-14,

a=-8,b=6,a+b=-2,

故答案為：-2或-14.

【點評】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)的乘方，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘方的意義，掌握非正數(shù)的

絕對值等于它的相反數(shù).

【變式7-2](2018秋?江岸區(qū)期中1已知,+4|=5,(1-y)2=9,且x-)Y0,求2x+y的值.

【分析】根據(jù)絕對值和偶次幕律出x，)，的值，進而解答即可.

【解答】解：因為附4|=5,(1-y)2=9,且x?yV0,

所以x=l,y=4,或x=-9,y=-2,

所以2v+y=6或-20.

【點評】本題考查有理數(shù)的乘方、絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對值和偶次累得出x,)，的值.

【變式7-3】(2018秋?泰興市校級月考)若同=2,依=3,|ci=6,\a+b\=-(a+b),\b+c\=b+c.

計算a+b-c的值.

【分析】根據(jù)題意可以求得。、。、c的值，從而可以求得所求式子的值.

【解答】解：???同=2,依=3,|c|=6,

.*.d=±2,Z?=±3,c=±6,

9：\a+b\=-(?+b),\b+c\=b+c,

/.。+%0,b+c>0,

.*.d=±2,b=-3,e=6,

???當。=2,b=-3,c=6時，

a+b-c=2+(-3)-6=-7>

a=-2,b=-3,c=6時，

a+b-c=-2+(-3)-6=-11.

【點評】本替考查有理數(shù)的加減混合運算、絕對值，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)加減混合運算的計算

方法.

【考點8有理數(shù)混合運算】

【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握有理數(shù)混合運算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，

有括號的先算括號里，值得注意有些題可能會運用運算律進行笥便運算.

【例8】(2019春?黃州區(qū)校級月考)計算：

,I35

(1))x36

6412

122

(2)(-3)24-2-x(--)+4+22x(--)

【分析】(1)原式利用乘法分配律計算即可求出值；

(2)原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最后算加減運算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=-6+27-15=6；

(2)原式=9x_lx(-2)+4-4x(?@)=■圖■?且2+4=-圖.

933333

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式8-1](2018秋?寶應縣期末)計算:

(1)-15-[-I-(4-22X5)]

(2)-i20,9-(i-l)-|3-(-3)2|

【分析】(1)先算乘方，再算乘法，最后算減法；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括

號，要先做括號內(nèi)的運算；

(2)先算乘方，再算除法，最后算減法；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號和絕對

值，要先做括號和絕對值內(nèi)的運算.

【蟀答】解：(1)-15-[-1-(4-22X5)]

=-15-I-1-(4-4x5)]

=-15-[-1-(4-20)]

=-15-(-1+16)

=-15-15

=-30：

(2)-I2019-(1?1)引3?(-3)2|

2

=-1-工引3-9|

2

=-1---?6

2

=-1-

12

=-12.

12

【點評】考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運

算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.進行有理數(shù)的混合運算時，注

意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【變式8-2](2019春?沙坪壩區(qū)校級月考)計算：

4

(1)[(-2)x(--)+(-2)3]-34+(-27).

(2)-(L-LL)(-24).

312+6X

【分析】(1)原式先計算乘方運算，再計算乘法運算，最后算加減運算即可求出值；

(2)原式利用乘方的意義，以及乘法分配律計算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=@?8-81?27=-1131；

33

(2)原式=-1+8-2+4=9.

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式8-3](2018秋?渝中區(qū)校級期末)有理數(shù)的計算：

2232

(1)-1+(2-+1-)+(3——1-)

5353

(2)-2+(-1)20,94-^X[12-(|)24--]

【分析】(1)去括號，再利用加法交換律和結(jié)合律計算可得；

(2)根據(jù)有理數(shù)的混合運算順序和運算法則計算可得.

【解答】解：(1)原式=-1+22+12+32-12

5353

=-1+6

=5；

(2)原式=-2-IxWx(12-9+9)

499

=-2-2x12

4

=-2-9

=-li.

【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則及其運

算律.

【考點9有理數(shù)混合運算的應用】

【方法點撥】對于應用題理解題意是解決此類題型的關(guān)鍵.

［例9］（2018秋?新疆期末）某工廠一周計劃每日生產(chǎn)自行車10（）輛，由于工人實行輪休，每日上班人數(shù)

不一定相等，實際每日生產(chǎn)量與計劃量相比情況如下表（以計劃量為標準，增加的車輛數(shù)記為正數(shù)，減

少的車輛數(shù)記為負數(shù)）：

星期—二三四五六a

增減/輛-1+3-2+4+7-5-10

（1）生產(chǎn)量最多的天比生產(chǎn)量最少的天多生產(chǎn)多少輛？

（2）本周總生產(chǎn)量是多少？比原計劃增加了還是減少了？增減數(shù)為多少？

【分析】（1）由表格找出生產(chǎn)量最多與最少的，相減即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：（1）7-（-10）=17（輛）：

（2）100x7+（-1+3-2+4+7-5-10）=696（輛