專題18數(shù)學(xué)文化與新情景問題（十一大題型）

專題18數(shù)學(xué)文化與新情景問題集合與邏輯語言1．（2022秋·福建寧德·高三寧德市民族中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素D．M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素【答案】ABD【分析】舉特例根據(jù)定義分析判斷，進(jìn)而可得到結(jié)果．【詳解】令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個(gè)最小元素，即選項(xiàng)A可能；令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項(xiàng)B可能；假設(shè)答案C可能，即集合M、N中存在兩個(gè)相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的；令，，顯然集合M中有一個(gè)最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項(xiàng)D可能.故選：ABD．2．（2022秋·遼寧沈陽·高三統(tǒng)考期中）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集.（Cantor）”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的開區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的開區(qū)間段，記為第二次操作；….如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的開區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去.以至無窮，剩下的區(qū)間集合即“康托三分集”.第三次操作后，從左到右第四個(gè)區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意依次寫出即可.【詳解】第一次操作剩下：；第二次操作剩下：；第三次操作剩下：；即從左到右第四個(gè)區(qū)間為.故選：C.3．（2022秋·河北張家口·高三校聯(lián)考期中）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩作《從軍行》中的詩句“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：A4．（山東省青島第二中學(xué)分校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)黑洞：無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等．定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù)．已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)自戀數(shù)的定義可得集合，再根據(jù)交集的定義求出，從而可得答案.【詳解】解：依題意，，，故，故的子集個(gè)數(shù)為8．故選：D．5．（2022秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）（多選）中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二問：物幾何?”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為（

）A．8 B．128 C．37 D．23【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件對(duì)各選項(xiàng)逐一分析計(jì)算即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因，則，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即；又，即；而，即，因此，，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即；又，即；而，即，因此，，選項(xiàng)D正確.故選：BD6．（河北省張家口市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）若集合，，，，且滿足集合中最大的數(shù)大于集合中最大的數(shù)，則稱有序集合對(duì)為“兄弟集合對(duì)”.當(dāng)時(shí)，這樣的“兄弟集合對(duì)”有對(duì)；當(dāng)時(shí)，這樣的“兄弟集合對(duì)”有對(duì)（用含有的表達(dá)式作答）.【答案】14【分析】當(dāng)時(shí)，分別對(duì)集合中最大數(shù)為1，2和3進(jìn)行討論即可；當(dāng)時(shí)，先找出集合中最大數(shù)為時(shí)，集合和的個(gè)數(shù)，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】由題意可知，時(shí)，.當(dāng)集合中最大數(shù)為1，即時(shí)，無滿足題意的集合；當(dāng)集合中最大數(shù)為2，即或時(shí)，只有一種滿足題意的集合，此時(shí)“兄弟集合對(duì)”有種；當(dāng)集合中最大數(shù)為3，即，，或時(shí)，滿足題意的集合有，和三種可能，此時(shí)“兄弟集合對(duì)”有種；故當(dāng)時(shí)，這樣的“兄弟集合對(duì)”有種.若集合中最大數(shù)為時(shí)，集合的個(gè)數(shù)為的子集個(gè)數(shù)，即個(gè)，此時(shí)集合的個(gè)數(shù)為的真子集個(gè)數(shù)，即個(gè)，因此這樣的“兄弟集合對(duì)”有種，故當(dāng)時(shí)，這樣的“兄弟集合對(duì)”有：種.故答案為：14；.7．（河北省大名縣第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，我們把取整函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如則點(diǎn)集所表示的平面區(qū)域的面積是.【答案】4【分析】根據(jù)定義有或，分別確定出所在區(qū)域，然后可求得面積．【詳解】根據(jù)定義有或，，則，這是一個(gè)邊長為1的正方形，面積為1，同理，，也都形成一個(gè)邊長為1的正方形，面積都是1，所以，故答案為：4．向量與復(fù)數(shù)8．（海南華僑中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖所示，

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，所以，，所以.故選：C.9．（遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）下圖是北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽的圖案，奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，做軸于點(diǎn)，可求出、、坐標(biāo)，及、、，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，做軸于點(diǎn)，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故選：B.

10．（2022秋·山東青島·高三山東省青島第一中學(xué)?？计谥校W拉公式由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位與三角函數(shù)，聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)，則z的虛部為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由歐拉公式化簡復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋詚的虛部為.故選：D.11．（2022秋·浙江紹興·高三紹興一中?？计谥校ǘ噙x）若的三個(gè)內(nèi)角均小于，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn).根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，向量滿足，且，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】設(shè)，，，則，即為點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和，由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，然后求解即可.【詳解】因?yàn)?，，設(shè)，，，則，即為點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和，則是等腰銳角三角形，如圖：

由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，所以，則的最小值是.故選：AB12．（2022秋·福建寧德·高三統(tǒng)考期中）（多選）任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)，時(shí)，C．當(dāng)，時(shí)， D．當(dāng)，時(shí)，若為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】AC【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用復(fù)數(shù)的棣莫弗定理可判斷B選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出復(fù)數(shù)，可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于復(fù)數(shù)，則，，而，所以A正確；當(dāng)，時(shí)，，所以B錯(cuò)誤；，時(shí)，，則，所以C正確；，時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，設(shè),，所以為奇數(shù)時(shí)，為純虛數(shù)；為偶數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.13．（2022秋·河北滄州·高三任丘市第一中學(xué)?？计谥校兑捉?jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形（圖2）中的正八邊形，其中為正八邊形的中心，邊長，則．【答案】【分析】連接，，根據(jù)正八邊形可知，，以，為基底表示，，在中，由余弦定理可得，求數(shù)量積即可.【詳解】如圖所示，連接，，由為正八邊形可知，且，則，所以，即，且，所以，則，在中，由余弦定理，解得，所以，故答案為：.函數(shù)14．（山東省青島市4區(qū)縣20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊(yùn)，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖是番禺區(qū)某風(fēng)景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心．圖是由此抽象出來的一個(gè)“心形”圖形，這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式可求得，知A錯(cuò)誤；由時(shí)，可知B錯(cuò)誤；根據(jù)、圖象中的特殊點(diǎn)及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根據(jù)函數(shù)定義域可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），在上的最大值為，與圖象不符，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，；又過點(diǎn)；由得：，解得：，即函數(shù)定義域?yàn)?；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：與圖象相符，C正確；對(duì)于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯(cuò)誤.故選：C.15．（山東省日照市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經(jīng)驗(yàn)規(guī)則.它是在1766年德國的一位中學(xué)教師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長波得歸納成了一個(gè)如下經(jīng)驗(yàn)公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1，若某行星的編號(hào)為n，則該行星到太陽的平均距離表示為，那么編號(hào)為9的行星用該公式推得的平均距離位于（

）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號(hào)12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實(shí)測(cè)值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A． B． C． D．【答案】D【分析】代入數(shù)據(jù)計(jì)算的值即可.【詳解】由表格可得，故選：D16．（2022秋·山西臨汾·高三統(tǒng)考期中）從古至今，中國人一直追求著對(duì)稱美學(xué)．世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)——故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢白玉的階，琉璃瓦的頂……沿著一條子午線對(duì)稱分布，壯美有序，和諧莊嚴(yán)，映祇著藍(lán)天白云，宛如東方仙境．再往遠(yuǎn)眺，一線貫穿的對(duì)稱風(fēng)格，撐起了整座北京城．某建筑物的外形輪廓部分可用函數(shù)的圖像來刻畫，滿足關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且（其中），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定函數(shù)的對(duì)稱性，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性確定根，從而列出關(guān)于的方程組，解方程組即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，所以的根應(yīng)成對(duì)出現(xiàn)，又因?yàn)榈姆匠糖∮腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根且，所以該方程的一個(gè)根是，得，所以，由得，當(dāng)，即時(shí)，，①則，②由①②可求出，所以；當(dāng)，即時(shí)，，③，④由③④得方程組無實(shí)數(shù)解；綜上，方程組的解為，所以．故選：C.17．（湖南省長沙市南雅中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，例如，.已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將其變形分析其取值范圍結(jié)合取整函數(shù)，即可求得結(jié)果.【詳解】易知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，則函數(shù)的值域?yàn)?故選：C.18．（2022秋·山東日照·高三統(tǒng)考期中）（多選）意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”．當(dāng)微積分尚未出現(xiàn)時(shí)，伽利略猜測(cè)這種形狀是拋物線，直到1691年萊布尼茲和伯努利借助微積分推導(dǎo)出這種曲線是懸鏈線，其函數(shù)解析式（其中a是懸鏈線系數(shù)），當(dāng)時(shí)，稱為雙曲余弦函數(shù)，相應(yīng)的還得到了雙曲正弦函數(shù)．已知雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)具有如下性質(zhì)：①是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)；②（常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．則下列說法正確的是（

）A．雙曲正弦函數(shù)是周期函數(shù)B．C．若直線與和的圖象分別交于點(diǎn)，，則線段的長度隨著的增大而增大D．若直線與和的圖象共有三個(gè)交點(diǎn)，這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，則【答案】BD【分析】首先求出、的解析式，再一一分析即可.【詳解】依題意，解得，即，，易知不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；，故B正確．線段的長度為，且隨著的增大，越來越小，所以C錯(cuò)誤；如圖，若與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)，共有三個(gè)交點(diǎn)，則，

由雙曲余弦函數(shù)為偶函數(shù)，得，由，得，即，解得或（舍去），所以得，即，則，故D正確.故選：BD．19．（2022秋·山東·高三山東師范大學(xué)附中?？计谥校?shù)學(xué)上將形如（p為素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”．顯然，即使p是一個(gè)“不太大”的素?cái)?shù)，“梅森素?cái)?shù)”也可能是一個(gè)“很大”的數(shù)．利用和，可估計(jì)得出“梅森素?cái)?shù)”的位數(shù)為．【答案】21【分析】根據(jù)“梅森素?cái)?shù)”的定義及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得得結(jié)論.【詳解】依題意，得，所以，則“梅森素?cái)?shù)”的位數(shù)為21．故答案為：21．20．（湖北省荊荊宜三校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】12【分析】根據(jù)題意求出第n次操作后去掉的各區(qū)間長度之和,列不等式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意可知，每次操作剩下的區(qū)間長度為都是原來的，第n次操作后剩下的區(qū)間長度為，則所有去掉的區(qū)間長度之和為，由題意知，，得，兩邊取對(duì)數(shù)得，解得，又n為整數(shù)，∴n的最小值為12．故答案為：12．導(dǎo)數(shù)21．（湖南省張家界市慈利縣第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）閔氏距離（）是衡量數(shù)值點(diǎn)之間距離的一種非常常見的方法，設(shè)點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，，則閔氏距離.若點(diǎn)、分別在和的圖像上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由閔氏距離的定義和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求解.【詳解】由題意得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B分別在函數(shù)和的圖象上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，所以的最小值為.故選：A.22．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）英國數(shù)學(xué)家泰勒1712年提出了泰勒公式，這個(gè)公式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容之一.其正弦展開的形式如下：，（其中，），則的值約為（1弧度）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知公式，將公式兩邊分別求導(dǎo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可得到，求解即可．【詳解】因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，則有，又，則．故選：B．23．（2022秋·遼寧·高三校聯(lián)考期中）如圖，古建筑的主要受力構(gòu)件梁椽?樓板?柱子都是木頭，由于構(gòu)件的拼接需要，梁通常做成矩形.圓形的木頭加工成矩形斷面，梁是主要的水平受力構(gòu)件，作為水平或斜向受彎構(gòu)件，除了材料本身的特性，截面抵抗矩是唯一的標(biāo)準(zhǔn).矩形截面抵抗，（其中為垂直于彎矩作用方向的長度），木材本身的圓形直徑是確定的，則截面抵抗矩最大時(shí)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，代入整理可得，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最大值，即可得出答案.【詳解】由已知結(jié)合圖象可得，，所以，所以，，，所以，.解，可得.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得唯一極大值，也是最大值，此時(shí)，則，所以.故選：C.24．（2022秋·福建泉州·高三泉州五中?？计谥校┯?jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，精確到0.01的近似值為．【答案】【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到，求得的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)，令，代入上式，進(jìn)而求得的近似值.【詳解】取時(shí)，可得則，所以的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，令，代入上式可得.故答案為：；.25．（山東省大教育聯(lián)盟學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式，得名于英國數(shù)學(xué)家泰勒．根據(jù)泰勒公式，有，其中，，，．現(xiàn)用上述式子求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知公式，將公式兩邊求導(dǎo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式和角度弧度轉(zhuǎn)換即可得到答案.【詳解】由題意得當(dāng)時(shí)，于是故選：D.26．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中?？计谥校┌_克牛頓是英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)長，著名物理學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上也有杰出貢獻(xiàn).牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)1和2，數(shù)列為牛頓數(shù)列.設(shè)，已知，，的前項(xiàng)和為，則.【答案】/【分析】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可得，，的關(guān)系，從而得，求導(dǎo)后代入，整理可得，再由得數(shù)列是等比數(shù)列，通過等比數(shù)列的求和公式得答案.【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，則，解之得，則，則，則，則，由，可得，故，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和，則.故答案為:.三角函數(shù)27．（2022秋·山東濰坊·高三濰坊一中校考期中）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積（），弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)已知弧田面積為，且弦是矢的倍，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田的弧長是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)弧田面積可求得，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得半徑，并根據(jù)長度關(guān)系得到圓心角弧度數(shù)，利用扇形弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖，

由題意得：，弧田面積，解得：.設(shè)圓半徑為，則有，即，解得：，，則在中，，，所求弧長為.故選：D.28．（黑龍江省大慶中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）順德歡樂海岸摩天輪是南中國首座雙立柱全拉索設(shè)計(jì)的摩天輪，轉(zhuǎn)一圈21分鐘，摩天輪的吊艙是球形全景艙，摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為99，轉(zhuǎn)盤直徑為90，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，則在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，高度H關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖像的特征和性質(zhì)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)參數(shù)求解；【詳解】根據(jù)題意設(shè)，，因?yàn)槟衬μ燧喿罡唿c(diǎn)距離地面高度為99，轉(zhuǎn)盤直徑為90，所以，該摩天輪最低點(diǎn)距離地面高度為9，所以，解得：.因?yàn)殚_啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要21所以，解得，因?yàn)闀r(shí)，，故，即，解得：.所以.故選：B29．（廣東省佛山市第四中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）正割（Secant）及余割（Cosecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，sec，csc這兩個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割，余割．則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新定義及輔助角公式化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】，其中，所以，且，即的值域?yàn)?故選：D.30．（安徽省卓越縣中聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時(shí)被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數(shù)公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中的定義寫出，用表示出，然后分析可得．【詳解】由已知，則，，又，，，，因此，故選：C．31．（廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中2023屆高三上學(xué)期期中）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長等于表高與太陽天頂距的正切值的乘積，即．若對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，“晷影長”分別是“表高”的和，相應(yīng)的太陽天頂距為和，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】依題意可得，，利用兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】由題設(shè)，“晷影長”分別是“表高”的倍和倍時(shí)，，，所以.故選：D．32．（2022秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期中）（多選）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足（，，），則下列敘述正確的是（

）

A．B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件可得的值，從而求得函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，，，所以，則，又點(diǎn)，此時(shí)代入可得，解得，又，所以，故A正確；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，則，則，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，所以，故D正確；故選：AD33．（2021秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且.以為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為.則角.

【答案】/【分析】根據(jù)三角恒等變化可得，進(jìn)而可得，即可求解，【詳解】，則，故，所以，可得（負(fù)值舍），由，所以.故答案為：解三角形34．（湖南省岳陽市第五中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．若，，則△ABC面積S的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先利用正弦定理求出，代入公式，結(jié)合二次函數(shù)可求答案.【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，有最大值，最大值為.故選：C.35．（山東省濰坊市臨朐縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩書.”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長，音域?qū)拸V、音色柔美清撤，表現(xiàn)力強(qiáng).如圖是箜篌的一種常見的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A，B處分別作切線相交于點(diǎn)，測(cè)得切線，，，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為（

）

A．0.62 B．0.56 C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用四邊形的內(nèi)角和為、余弦定理及誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，

設(shè)弧AB對(duì)應(yīng)圓心是O，根據(jù)題意可知，，，則，因?yàn)?，，，則在△ACB中，，所以.故選：A.36．（江蘇省常州市金沙高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）哥特式建筑是1140年左右產(chǎn)生于法國的歐洲建筑風(fēng)格，它的特點(diǎn)是尖塔高聳、尖形拱門、大窗戶及繪有故事的花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常見，它是由線段和兩個(gè)圓弧、圍成，其中一個(gè)圓弧的圓心為，另一個(gè)圓弧的圓心為，圓與線段及兩個(gè)圓弧均相切，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造直角三角形，勾股定理求圓O的半徑，得到，余弦定理求，利用向量數(shù)量積公式求.【詳解】若，則圓弧、的半徑為2，設(shè)圓O的半徑為，則，過O作，則，，中，，即，解得，則有，中，由余弦定理得，．故選：A.37．（2022秋·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期中）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且.以為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為.

(1)求角；(2)若的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變化可得，進(jìn)而可得，即可求解，（2）利用正弦定理得，結(jié)合余弦定理即可聯(lián)立方程求解.【詳解】（1），則，故，所以，可得（負(fù)值舍），由，所以.（2）如圖，連接，由正弦定理得，,則，

正面積，而，則，在中，由余弦定理得：，即，則，在中，，由余弦定理得，則，，所以的周長為38．（江蘇省常州市橫林高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）（多選）2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）的正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡成為雙紐線，已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法正確的有（

）．

A．雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；B．；C．雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)；D．的最大值為.【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)雙紐線的定義求出曲線方程，然后將替換方程中的進(jìn)行判斷，對(duì)于B，根據(jù)三角形的等面積法分析判斷，對(duì)于C，由題意得，從而可得點(diǎn)在軸上，進(jìn)行可判斷，對(duì)于D，由向量的性質(zhì)結(jié)合余弦定理分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槎x在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，所以，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以A正確，對(duì)于B，設(shè)∵，，∴，∴，∴，故B正確；對(duì)于C，由知在的垂直平分線（方程為）上將代入得即，解得，∴這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ淼茫?，所以的最大值為，故D正確；故選：ABD.39．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）（多選）東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”如圖，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．我們通過類比得到圖，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，對(duì)于圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形B．若，，則C．若，則D．若是的中點(diǎn)，則三角形的面積是三角形面積的倍【答案】ABD【詳解】利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式即可求解.【解答】根據(jù)對(duì)稱性，所以，故A正確；在中，，而，所以，，由正弦定理得，解得，又因?yàn)椋裕蔅正確不妨設(shè)，，由余弦定理，解得，所以，故C錯(cuò)誤；若是的中點(diǎn)，，所以,故D正確.故選：ABD．40．（河北省張家口市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為米.【答案】【分析】根據(jù)已知角的關(guān)系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.【詳解】由題意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案為：數(shù)列41．（湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體2023屆高三上學(xué)期期中）我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測(cè)量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（

）

A．相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量為十寸B．秋分的晷長為75寸C．立秋的晷長比立春的晷長長D．立冬的晷長為一丈五寸【答案】C【分析】由題意可知夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中寸，寸，公差為寸，可求出，利用等差數(shù)列知識(shí)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】由題意可知夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中寸，寸，公差為寸，則，解得（寸），同理可知由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)，末項(xiàng)，公差（單位都為寸）.故選項(xiàng)A正確；春分的晷長為,秋分的晷長為，所以正確；立冬的晷長為，即立冬的晷長為一丈五寸，正確；立春的晷長，立秋的晷長分別為，，，故錯(cuò)誤.故選：C.42．（2022秋·浙江杭州·高三學(xué)軍中學(xué)?？计谥校胺e跬步以至千里，積小流以成江海．”出自荀子《勸學(xué)篇》．原文為“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”數(shù)學(xué)上這樣的兩個(gè)公式：①；②，也能說明這種積少成多，聚沙成塔的成功之道．它們所詮釋的含義是“每天增加1%，就會(huì)在一個(gè)月、一年以后產(chǎn)生巨大的變化．雖然這是一種理想化的模型，但也能充分地說明“小小的改變和時(shí)間積累的力量”．假設(shè)某同學(xué)通過學(xué)習(xí)和思考所帶來的知識(shí)積累的變化，以每天2.01%的速度“進(jìn)步”，則30天以后他的知識(shí)積累約為原來的（

）A．1.69倍 B．1.96倍 C．1.78倍 D．2.8倍【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案.【詳解】每天進(jìn)步2.01%，即0.0201，因?yàn)?，所?0天以后某同學(xué)的知識(shí)積累約為原來的1.69倍．故選：A.43．（2022秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)校考期中）如表所示的數(shù)陣稱為“森德拉姆素?cái)?shù)篩”，表中每行每列的數(shù)都成等差數(shù)列，設(shè)表示該數(shù)陣中第行、第列的數(shù)，則下列說法正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，依次計(jì)算選項(xiàng)中的結(jié)果是否正確，即可得答案．【詳解】對(duì)于A，第3行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，為第3行的第18個(gè)數(shù)，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，第6行是首項(xiàng)為7，公差為6的等差數(shù)列，為第6行的第8個(gè)數(shù)，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，第7行是首項(xiàng)為8，公差為7的等差數(shù)列，為第7行的第7個(gè)數(shù)，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，第12行是首項(xiàng)為13，公差為12的等差數(shù)列，為第12行的第4個(gè)數(shù)，則，D正確；故選：D．44．（湖北省部分省級(jí)示范高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列.若，數(shù)列為牛頓數(shù)列，且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則滿足的最大正整數(shù)n的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】根據(jù)題意可證得是等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，，所以是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，則，令，則，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以，所以最大正整數(shù)n的值為10.故選：A45．（遼寧省撫順市六校協(xié)作體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，令，則（

）A．7 B．8 C．17 D．18【答案】B【分析】根據(jù)與的關(guān)系，化簡可得，再由裂項(xiàng)相消法求，分析其范圍即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)值舍去）.由可得，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故，即，所以，所以，由知，，所以故，故選：B46．（2022秋·河北衡水·高三河北武強(qiáng)中學(xué)?？计谥校?934年，東印度（今孟加拉國）學(xué)者森德拉姆（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”：（1）“正方形篩子”中位于第10行的第10個(gè)數(shù)是.（2）若表示第行列的數(shù)，則（用，表示）

【答案】220【分析】（1）由所給“正方形篩子”觀察可知第1列數(shù)字通項(xiàng)公式，再分析第N行數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解；（2）觀察可知第n行和第n列的等差數(shù)列的公差相等，都是2n＋1，據(jù)此可求通項(xiàng).【詳解】（1）第一列的數(shù)字為4，7，10，13，16，，為等差數(shù)列，公差d=3，則，故第10行的第一個(gè)數(shù)為，再看行，第一行的數(shù)字是加3遞增，第二行是加5遞增，第三行是加7遞增，，第N行是加遞增，則第10行是加遞增，所以第10行的第10個(gè)數(shù)是；（2）觀察“正方形篩子"得：每一行都是等差數(shù)l列，每一列都是等差數(shù)列，第n行和第n列的等差數(shù)列的公差相等，都是2n＋1，第n行的第一個(gè)數(shù)是：，第n行第m個(gè)數(shù)為：，.故答案為：；47．（山西省運(yùn)城市2023屆高三上學(xué)期期中）風(fēng)雨橋（如圖①所示）是侗族最具特色的民間建筑之一.風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成.其中亭、塔的俯視圖通常是正方形、正六邊形或正八邊形.圖②是某風(fēng)雨橋亭的大致俯視圖，其中正六邊形的邊長的計(jì)算方法如下：，，…，，其中.已知該風(fēng)雨橋亭共層，若，，則圖②中的五個(gè)正六邊形的周長總和為.

【答案】【分析】分析可知圖②中五個(gè)六邊形的邊長（單位：）構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得這五個(gè)正六邊形的周長之和.【詳解】由已知可得（且），，則，所以，圖②中五個(gè)六邊形的邊長（單位：）構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，這五個(gè)正六邊形的周長之和為.故答案為：.48．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┠纤螖?shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為.【答案】191【分析】構(gòu)造數(shù)列，并利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得原數(shù)列的第20項(xiàng)為191.【詳解】高階等差數(shù)列：1，2，4，7，11，16，22，，令，則數(shù)列：1，2，3，4，5，6，，則數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，，則則，故答案為：191【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，利用累和法是解題的關(guān)鍵.解析幾何49．（安徽省合肥市廬江第五中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，由弦中點(diǎn)坐標(biāo)為可利用點(diǎn)差法求得，聯(lián)立即可解得，再由橢圓面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，即，如下圖所示：

易知，即；設(shè)，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以則；又兩點(diǎn)在橢圓上可得，兩式相減可得，整理得，解得，聯(lián)立可解得；即所以橢圓的面積為.故選：A50．（江蘇省連云港市灌南高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）加斯帕爾蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18【答案】D【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得后再求得，從而可得離心率，利用特殊的長方形（即邊長與橢圓的軸平行）求得蒙日?qǐng)A方程，從而可得長方形邊長的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得面積最大值，并得出長方形為正方形時(shí)的邊長．【詳解】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；當(dāng)長方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長方形的邊長分別為和4，其對(duì)角線長為，因此蒙日?qǐng)A半徑為，圓方程為，B正確；設(shè)矩形的邊長分別為，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長方形的面積的最大值是20，此時(shí)該長方形為正方形，邊長為，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D．51．（河北省安平中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）（多選）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置可判斷.B選項(xiàng)，利用雙曲線定義和勾股定理化簡可得.C選項(xiàng)，由雙曲線定義可判斷.D選項(xiàng)，利用角平分線性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義可得.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，漸近線方程為，選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即A正確；選項(xiàng)B，由雙曲線的定義知，，若，則，因?yàn)椋?，解得，即B正確；選項(xiàng)C：，即C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)槠椒郑山欠志€定理知，，所以，又，所以，解得，即D正確.故選：ABD.52．（2022秋·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓：，則的蒙日?qǐng)A的方程為；在圓上總存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義，可知點(diǎn)一定在蒙日?qǐng)A上，可求得蒙日?qǐng)A的半徑，進(jìn)而求得蒙日?qǐng)A的方程；根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系列不等式求的取值范圍.【詳解】橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的橢圓的切線方程為，過點(diǎn)的橢圓的切線方程為，直線與直線的交點(diǎn)為，所以點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，所以蒙日?qǐng)A的半徑，所以蒙日?qǐng)A的方程為；因?yàn)檫^點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線，所以點(diǎn)在上，又點(diǎn)在圓上，故圓與圓有交點(diǎn)，所以，所以，故答案為：，.53．（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點(diǎn)，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長軸長為.

【答案】【分析】根據(jù)給定條件，過切點(diǎn)E，F(xiàn)作出雙球模型的軸截面，利用圓的切線性質(zhì)及橢圓的定義求解作答.【詳解】過切點(diǎn)E，F(xiàn)作出雙球模型的軸截面，設(shè)球分別與圓錐的同一條母線切于A，B兩點(diǎn)，

有，過作于點(diǎn)C，則四邊形是矩形，于是，，又，從而，設(shè)直線AB與平面的交點(diǎn)為P，則有，，所以橢圓的長軸長.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識(shí)解題是解決問題的關(guān)鍵.54．（2022秋·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案陰影區(qū)域”，其中、是過拋物線焦點(diǎn)的兩條弦，且其焦點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，記，其中為銳角．

(1)求拋物線方程；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)算出焦參數(shù)，可得拋物線的方程；過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，在中利用三角函數(shù)的定義算出且，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線的方程得到關(guān)于、的等式，將其看作是關(guān)于的一元二次方程，利用求根公式加以計(jì)算可得，即成立．本題已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線的方程并證明關(guān)于線段長的一個(gè)等式．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直角三角形中三角函數(shù)的定義與一元二次方程根的求法等知識(shí)，屬于中檔題．【詳解】設(shè)拋物線的方程為，拋物線焦點(diǎn)為，，解得，因此，拋物線的方程為；過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，則中，，可得，，可得，，由此可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，，整理得將其看作是關(guān)于的一元二次方程，解得．為銳角，可得，且，不符合題意，得，即：成立．立體幾何該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．在如圖所示的“曲池”中，平面，記弧AB、弧DC的長度分別為，，已知，，E為弧的中點(diǎn)．(1)證明：．(2)若，求直線CE與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）延長，并相交于點(diǎn)，證明，再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值作答.【詳解】（1）延長，并相交于點(diǎn)，因?yàn)?，則，，連接，，因?yàn)镋為弧的中點(diǎn)，則，為正三角形，于是，因?yàn)槠矫?，，則有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令直線CE與平面所成角為，則，直線CE與平面所成角的正弦值為．56．（2022秋·山東青島·高三青島二中校考期中）故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡,故又稱四阿頂.如圖，某幾何體有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類似.已知底面為矩形，，底面，且，，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：，且平面.(2)若與底面所成的角為，過點(diǎn)作，垂足為，過作平面的垂線，寫出作法，并求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)作法見解析；.【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證明；分別證明，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理可得到過作平面的垂線的作法，解直角三角形求得到平面的距離.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，平?平面底面．所以；因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，所以，而，因?yàn)?，且，所以四邊形為梯形，且與必相交于一點(diǎn)，又,所以，而平面,故平面.（2）由(1)知平面,平面EFNM,所以,因?yàn)椋矫?，所以平面，則為與底面所成的角，則，因?yàn)椋?，作，垂足為G，連接,則,作，垂足為K，因?yàn)榈酌?，底?所以，平面,所以平面，平面,所以,平面,所以平面,則即為要求作的垂線,又底面，底面,所以，且，所以,所以H到平面的距離為.57．（江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）自古以來，斗笠是一個(gè)防曬遮雨的用具，是家喻戶曉的生活必需品之一，主要用竹篾和一種叫做棕櫚葉染白后編織而成，已列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測(cè)量如圖中一頂斗笠，得到圖中圓錐模型，經(jīng)測(cè)量底面圓的直徑，母線，若點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)．證明：平面；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形中位線證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論.【詳解】證明：如圖連接，因?yàn)榈酌鎴A的直徑，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?58．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)彎曲度、曲率的定義求得正確答案.（2）（i）結(jié)合多面體的表面積的求法求得；（ii）利用導(dǎo)數(shù)求得蜂房表面積最小時(shí)的值.令，利用余弦定理求得，結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)求得頂點(diǎn)的曲率的余弦值.【詳解】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個(gè)菱形的7個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于減去三個(gè)菱形的內(nèi)角和，再減去6個(gè)直角梯形中的兩個(gè)非直角內(nèi)角和，即蜂房曲頂空間的彎曲度為.（2）（i）如圖所示，連接AC，SH，則，設(shè)點(diǎn)在平面的射影為O，則，則，菱形SAHC的面積為，側(cè)面積，所以蜂房的表面積為.（ii），令得到，所以在遞增；在遞增.所以在處取得極小值，也即是最小值.此時(shí)，在中，令，由余弦定理得，又頂點(diǎn)的曲率為，.59．（江蘇省徐州市第七中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長都是（如圖），把它們拼接起來，使它們一個(gè)表面重合，得到一個(gè)新多面體.（1）求新多面體的體積；（2）求正八面體中二面角的余弦值；（3）判斷新多面體為幾面體？（只需給出答案，無需證明）【答案】（1）；（2）；（3）七面體.【分析】（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，證明出平面，計(jì)算出的面積，利用錐體的體積公式可求得正四面體的體積，利用錐體的體積公式可求得正八面體的體積，進(jìn)而可得出新多面體的體積為正四面體和正八面體體積之積，即可得解；（2）在正八面體中，取的中點(diǎn)為，連接，分析出為二面角的平面角，計(jì)算出三邊邊長，利用余弦定理可求得結(jié)果；（3）計(jì)算出正四面體相鄰面所構(gòu)成的二面角與正八面體相鄰面所構(gòu)成的二面角互補(bǔ)，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，如下圖所示：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則且，同理可知且，，所以，平面，為的中點(diǎn)，則，且，，所以正四面體的體積為；如下圖所示：在正八面體中，連接交平面于點(diǎn)，則平面，所以，，所以正八面體的體積為，因?yàn)樾露嗝骟w體積為原正四面體體積與正八面體體積之和，所以，新多面體的體積為；（2）如圖，在正八面體中，取的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，則，且，同理可知，且，所以，為二面角的平面角．，由余弦定理得，故二面角的余弦值為；（3）新多面體是七面體.

證明如下：由（2）可知，正八面體任何相鄰面構(gòu)成的二面角余弦值均為，設(shè)此角為．在正四面體中，因?yàn)椋?，故為二面角的平面角．由余弦定理得，即正四面體相鄰面所構(gòu)成的二面角的余弦值為，所以，因此新多面體是七面體.)60．（湖北省襄陽市部分學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中考）中國是風(fēng)箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鷂”，北方稱“鳶”，如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四棱錐，其中于，，，平面．（1）求證：；（2）試驗(yàn)表明，當(dāng)時(shí)，風(fēng)箏表現(xiàn)最好，求此時(shí)直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）利用平面可得，再利用即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系即可求出；或利用等體積法也可.【詳解】（1）證明：∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面．∴．（2）解：法一：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則．法二：如圖，在中，由得，在中，由得，在中，由得．在中，由得，在中，由，得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，設(shè)直線與平面所成的角為，則．計(jì)數(shù)原理61．（福建省石獅市永寧中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）歐幾里得在《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)，可以唯一分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么這個(gè)乘積形式是唯一的.記（其中是素?cái)?shù)，是正整數(shù)，，），這樣的分解稱為自然數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)素?cái)?shù)分解式.若的標(biāo)準(zhǔn)素?cái)?shù)分解式為，則的正因子有個(gè)，根據(jù)以上信息，180的正因子個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．12 C．13 D．18【答案】D【分析】先將180分解成素?cái)?shù)的乘積，然后根據(jù)題意求解即可.【詳解】根據(jù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式可得，故180的正因子個(gè)數(shù)為，故選：D.62．（云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想如下：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如30=7+23，在不超過25的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)恰好含有這組數(shù)的中位數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定不超過25的素?cái)?shù)，再確定中位數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率．【詳解】因?yàn)椴怀^25的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9個(gè)，這組數(shù)的中位數(shù)為11，所以所求概率．故選：C63．（河北省滄衡八校聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中）算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位檔撥一顆下珠，十位檔撥一顆上珠和兩顆下珠，則表示數(shù)字170，若在個(gè)、十、百、千位檔中，先隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件確定隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再求事件所撥數(shù)字大于所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式求其概率．【詳解】依題意得所撥數(shù)字共有種可能，即樣本空間中共含個(gè)樣本點(diǎn)，要使所撥數(shù)字大于，則：①上珠撥的是千位檔或百位檔，則所撥數(shù)字一定大于，有種;②上珠撥是十位檔或個(gè)位檔，則再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位必有千位檔，有種,則所撥數(shù)字大于1000的概率為.故選：D.64．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？计谥校┨扑伟舜蠹?，又稱唐宋散文八大家，是中國唐代韓愈、柳宗元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱，其中江西獨(dú)占三家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩文發(fā)展的陳舊面貌煥然一新.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節(jié)，連排五節(jié).若在來自江西的三位散文家中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有種.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論，第一種情況是來自江西的三位散文家中選出兩人，第二種情況是來自江西的三位散文家中選出三人，然后再結(jié)合插空法即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，若挑選來自江西的三位散文家中選出兩人，則另外五位中挑選三人，則有種情況，且他們互不相鄰，則有種情況，即；若挑選來自江西的三位散文家中選出三人，則另外五位中挑選兩人，且他們互不相鄰，則有種情況；故不同的排課方法共有種情況.故答案為：.65．（福建省寧德市高級(jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個(gè)陰陽魚，陽魚的頭部有個(gè)陰眼，陰魚的頭部有個(gè)陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取出4個(gè)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】C【分析】利用分類加法原理即可求解.【詳解】梯形的上、下底平行且不相等，如圖，若以為底邊，則可構(gòu)成2個(gè)梯形，根據(jù)對(duì)稱性可知此類梯形有16個(gè)，若以為底邊，則可構(gòu)成1個(gè)梯形，此類梯形共有8個(gè)，所以梯形的個(gè)數(shù)是16+8=24，故選：C.66．（山東省泰安市寧陽縣20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）（多選）“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．在第10行中第5個(gè)數(shù)最大B．C．第8行中第4個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)之比為D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為【答案】BC【分析】利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷，即可求解．【詳解】對(duì)于A：第行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，所以第行中第個(gè)數(shù)最大，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：第行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，又展開式的通項(xiàng)為，所以第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，所以第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)之比為，故C正確；對(duì)于D：第行是二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)，故第行的所有數(shù)字之和為，故D錯(cuò)誤；故選：BC67．（河北省高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）數(shù)字波是由0和1組成的脈沖信號(hào)序列，某類信號(hào)序列包含有個(gè)數(shù)字0和個(gè)數(shù)字1，且每個(gè)數(shù)字0之前1的個(gè)數(shù)多于0的個(gè)數(shù).當(dāng)?shù)扔?時(shí)，這樣的信號(hào)序列有種；當(dāng)?shù)扔?時(shí)，這樣的信號(hào)序列有種.【答案】542【分析】利用計(jì)數(shù)原理、插空法和列舉法即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，只有：一種；當(dāng)時(shí)，有、兩種；當(dāng)時(shí)，說明有個(gè)、個(gè)，且最后一位只能是，即_____，可得、、、、五種；當(dāng)時(shí)，根據(jù)卡特蘭數(shù)的模型可得，總排法為，不符合題意的排法為，符合題意的排法，所以時(shí)，共有種.故答案為：5；42統(tǒng)計(jì)與概率68．（2022秋·福建廈門·高三廈門一中校考期中）云南某鎮(zhèn)因地制宜，在政府的帶領(lǐng)下，數(shù)字力量賦能鄉(xiāng)村振興，利用“農(nóng)抬頭”智慧農(nóng)業(yè)平臺(tái)，通過大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)分析柑橘等特色產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)數(shù)量?價(jià)格走勢(shì)?市場(chǎng)供求等數(shù)據(jù)，幫助小農(nóng)戶找到大市場(chǎng)，開啟“直播+電商”銷售新模式，推進(jìn)當(dāng)?shù)靥厣r(nóng)產(chǎn)品“走出去”；通過“互聯(lián)網(wǎng)+旅游”聚焦特色農(nóng)產(chǎn)品?綠色食品?生態(tài)景區(qū)資源.下面是2022年7月到12月份該鎮(zhèn)甲?乙兩村銷售收入統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：百萬）：甲：5，6，6，7，8，16；乙：4，6，8，9，10，17.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，則（

）A．甲村銷售收入的第50百分位數(shù)為7百萬B．甲村銷售收入的平均數(shù)小于乙村銷售收入的的平均數(shù)C．甲村銷售收入的中位數(shù)大于乙村銷售收入的中位數(shù)D．甲村銷售收入的方差大于乙村銷售收入的方差【答案】B【分析】對(duì)于A，求出這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即可判斷；對(duì)于B，分別求出，即可判斷；對(duì)于C，分別求出甲村銷售收入的中位數(shù)和乙村銷售收入的中位數(shù)即可判斷；對(duì)于D，分別求出甲村銷售收入的方差和乙村銷售收入的方差即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故甲村銷售收入的平均數(shù)小于乙村銷售收入的平均數(shù)，故B正確；對(duì)于C，甲村銷售收入的中位數(shù)為，乙村銷售收入的中位數(shù)為，則甲村銷售收入的中位數(shù)小于乙村銷售收入的中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，甲村銷售收入的方差，乙村銷售收入的方差，所以甲村銷售收入的方差小于乙村銷售收入的方差，故D錯(cuò)誤.故選：B69．（江蘇省淮安市淮安區(qū)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）泊松分布是一種描述隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布，在經(jīng)濟(jì)生活、事故預(yù)測(cè)、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，泊松分布的概率分布列為，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值．當(dāng)n很大且p很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中．一般地，當(dāng)而時(shí)，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似．若隨機(jī)變量，的近似值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，代入公式用對(duì)立事件的概率和為1計(jì)算即可.【詳解】由題，，，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，此時(shí)，所以，所以，，則.故選：B70．（2022秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）（多選）1990年9月，CraigF·Whitaker給《Parade》雜志“AskMarilyn”專欄提了一個(gè)問題（著名的蒙提霍爾問題，也稱三門問題），在蒙提霍爾游戲節(jié)目中，事先在三扇關(guān)著的門背后放置好獎(jiǎng)品，然后讓游戲參與者在三扇關(guān)著的門中選擇一扇門并贏得所選門后的獎(jiǎng)品，游戲參與者知道其中一扇門背后是豪車，其余兩扇門背后是山羊，作為游戲參與者當(dāng)然希望選中并贏得豪車，主持人知道豪車在哪扇門后面.假定你初次選擇的是1號(hào)門，接著主持人會(huì)從號(hào)門中打開一道后面是山羊的門.則以下說法正確的是（

）A．你獲得豪車的概率為B．主持人打開3號(hào)門的概率為C．在主持人打開3號(hào)門的條件下，2號(hào)門有豪車的概率為D．在主持人打開3號(hào)門的條件下，若主持人詢問你是否改選號(hào)碼，則改選2號(hào)門比保持原選擇獲得豪車的概率更大【答案】ABD【分析】設(shè)分別表示號(hào)門里有豪車，用分別表示主持人打開號(hào)門，然后用全概率公式和貝葉斯公式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可【詳解】設(shè)分別表示號(hào)門里有豪車，用分別表示主持人打開號(hào)門.對(duì)于A，如題意所述，游戲參與者初次選擇了1號(hào)門，因?yàn)樵谧鲞x擇的時(shí)候不知道豪車在哪個(gè)門里，故不影響豪車在三個(gè)門中的概率分配，所以事件發(fā)生的概率仍然為，即正確；對(duì)于B，在選擇了1號(hào)門的前提下，主持人打開1號(hào)門外的一個(gè)門有以下幾種可能的情況：豪車在1號(hào)門里，主持人打開2，3號(hào)門，故，豪車在2號(hào)門里，主持人只能打開3號(hào)門，故，豪車在3號(hào)門里，主持人只能打開2號(hào)門，故，由全概率公式，即正確；對(duì)于C，由貝葉斯公式，在3號(hào)門打開的條件下，1號(hào)門和2號(hào)門里有豪車的條件概率為，故選2號(hào)門會(huì)使獲得豪車的概率更大，是正確的決策，即錯(cuò)誤，正確.故選：ABD71．（海南省海口嘉勛高級(jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期11月期中）橘生淮南則為橘，生于淮北則為枳，出自《晏子使楚》.意思是說，橘樹生長在淮河以南的地方就是橘樹，生長在淮河以北的地方就是枳樹，現(xiàn)在常用來比喻一旦環(huán)境改變，事物的性質(zhì)也可能隨之改變.某科研院校培育橘樹新品種，使得橘樹在淮北種植成功，經(jīng)過科學(xué)統(tǒng)計(jì)，單個(gè)果品的質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，且，在有1000個(gè)的一批橘果中，估計(jì)單個(gè)果品質(zhì)量不低于的橘果個(gè)數(shù)為.【答案】300【分析】先按照正態(tài)分布計(jì)算出不低于的概率，再計(jì)算出個(gè)數(shù)即可.【詳解】結(jié)合正態(tài)分布特征，，，所以估計(jì)單個(gè)果品質(zhì)量不低于的橘果個(gè)數(shù)為.故答案為：300.72．（江蘇省淮安市漣水縣第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每列?每一個(gè)粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1~9，且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽.（1）賽前小明在某數(shù)獨(dú)上進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度（秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：（天）1234567（秒/題）910800600440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程（，用分?jǐn)?shù)表示）.（2）小明和小紅在數(shù)獨(dú)上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽局后結(jié)束，求隨機(jī)變量的分布列及期望.參考數(shù)據(jù)（其中）：17500.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【分析】（1）由題意可得，由有表中數(shù)據(jù)計(jì)算，根據(jù)公式計(jì)算和的值即可求解.（2）隨機(jī)變量X的可能取值為3，4，5，求出相應(yīng)的概率即可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，所以，所以，所以所求回歸方程為；（2）隨機(jī)變量X的可能取值為3，4，5，，，.所以隨機(jī)變量X的分布列為.73．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）《周易》包括《經(jīng)》和《傳》兩個(gè)部分，《經(jīng)》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中國古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代語解釋為：把陽爻“”當(dāng)做數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)做數(shù)字“0”，則六十四卦代表的數(shù)表示如下：卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000000剝0000011比0000102觀0000113…………(1)成語“否極泰來”包含了“否”卦和“泰”卦，試分別寫出這兩個(gè)卦所表示的十進(jìn)制數(shù)；(2)若某卦的符號(hào)由四個(gè)陽爻和兩個(gè)陰爻構(gòu)成，求所有這些卦表示的十進(jìn)制數(shù)的和；(3)在由三個(gè)陽爻和三個(gè)陰爻構(gòu)成的卦中任取一卦，若三個(gè)陽爻均相鄰，則記5分；若只有兩個(gè)陽爻相鄰，則記2分；若三個(gè)陽爻均不相鄰，則記1分．設(shè)任取一卦后的得分為隨機(jī)變量X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)7；56；(2)630；(3).分布列見解析【分析】（1）先寫出給定符號(hào)所表示的二進(jìn)制數(shù)，再將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)即可；（2）先列出該卦所表示的所有二進(jìn)制數(shù)，再求和；（3）根據(jù)相鄰問題捆綁、不相鄰問題插空分別求得概率，即可求得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）“否”卦所表示的二進(jìn)制數(shù)為000111，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是，“泰”卦所表示的二進(jìn)制數(shù)為111000，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是.（2）因?yàn)樵撠缘姆?hào)由四個(gè)陽爻和兩個(gè)陰爻構(gòu)成，所以該卦所表示的二進(jìn)制數(shù)共有個(gè)，分別為：001111,010111,011011,011101,011110,100111,101011,101101,101110,110011,110101,110110，111001,111010,111100，因?yàn)檫@15個(gè)數(shù)中，每個(gè)位置都是5次0,10次1，所以所有這些卦表示的十進(jìn)制數(shù)的和為.（3）依題意可得，則，所以X的概率分布列如下：125所以，即數(shù)學(xué)期望為.74．（湖北省武漢市江北重點(diǎn)高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）近日，某芯片研發(fā)團(tuán)隊(duì)表示已自主研發(fā)成功多維先進(jìn)封裝技術(shù)XDFOI，可以實(shí)現(xiàn)4nm手機(jī)SOC芯片的封裝，這是中國芯片技術(shù)的又一個(gè)重大突破，對(duì)中國芯片的發(fā)展具有極為重要的意義．可以說國產(chǎn)4nm先進(jìn)封裝技術(shù)的突破，激發(fā)了中國芯片的潛力，證明了知名院士倪光南所說的先進(jìn)技術(shù)是買不來的、求不來的，自主研發(fā)才是最終的出路．研發(fā)團(tuán)隊(duì)準(zhǔn)備在國內(nèi)某著名大學(xué)招募人才，準(zhǔn)備了3道測(cè)試題，答對(duì)兩道就可以被錄用，甲、乙兩人報(bào)名參加測(cè)試，他們通過每道試題的概率均為，且相互獨(dú)立，若甲選擇了全部3道試題，乙隨機(jī)選擇了其中2道試題，試回答下列問題．（所選的題全部答完后再判斷是否被錄用）(1)求甲和乙各自被錄用的概率；(2)設(shè)甲和乙中被錄用的人數(shù)為，請(qǐng)判斷是否存在唯一的值，使得？并說明理由．【答案】(1)甲被錄用的概率為，乙被錄用的概率為(2)存在；理由見解析【分析】（1）利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式可得解；（2）利用概率的乘法公式求出概率及期望，利用導(dǎo)數(shù)可得解.【詳解】（1）設(shè)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為，由題意，得，則甲被錄用的概率為，乙被錄用的概率為．（2）的可能取值為0，1，2，則，，，∴，設(shè)，則．∴當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．又，，所以存在唯一的的值，使得，即．1．（廣東省江門市新會(huì)區(qū)新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）記，若（且），則稱是的n次迭代函數(shù)．若，則（

）A． B． C．2022 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式迭代可得，由此可得，進(jìn)而可得，將代入計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，即，則，，，故有，所以，故.故選：B．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確理解題干給出的“n次迭代函數(shù)”的概念并正確應(yīng)用，是解決本題的關(guān)鍵.2．（湖北省襄陽市部分學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中考）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的