專題225相似三角形的應(yīng)用（舉一反三）（滬科版）（原卷版）

專題22.5相似三角形的應(yīng)用【七大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】 1【題型2相似三角形的應(yīng)用（影長(zhǎng)問題）】 3【題型3相似三角形的應(yīng)用（杠桿問題）】 4【題型4相似三角形的應(yīng)用（建筑物問題）】 6【題型5相似三角形的應(yīng)用（樹高問題）】 8【題型6相似三角形的應(yīng)用（河寬問題）】 9【題型7相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問題）】 11【知識(shí)點(diǎn)相似三角形的應(yīng)用】在實(shí)際生活中，我們面對(duì)不能直接測(cè)量物體的高度和寬度時(shí)，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相似三角形模型，再利用對(duì)應(yīng)邊的比相等來(lái)達(dá)到求解的目的。同時(shí)，需要掌握并應(yīng)用一些簡(jiǎn)單的相似三角形模型。【題型1相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】【例1】（2021·北京大興·九年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長(zhǎng)為200步（“步”是古代的長(zhǎng)度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點(diǎn)，南門K位于ED的中點(diǎn)，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點(diǎn)D在直線AC上）．【變式11】（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CDA．5 B．4 C．3 D．2【變式12】（2022·河北·二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是：如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點(diǎn)，南門B位于EH的中點(diǎn)．從北門出去正北方向20步遠(yuǎn)的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長(zhǎng)為（

）A．105步 B．200步 C．250步 D．305步【變式13】（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）《海島算經(jīng)》是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，由劉徽于三國(guó)魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術(shù)注》之第十卷，題為《重差》，所有問題都是利用兩次或多次測(cè)望所得的數(shù)據(jù)來(lái)推算可望而不可及的目標(biāo)的高、深、廣、遠(yuǎn)，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)得名《海島算經(jīng)》，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．《海島算經(jīng)》中的第4道“望谷”的題目為：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勺端望谷底，入下股九尺一寸．又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸．問谷深幾何？大致意思是：望一個(gè)如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MN，在山谷邊緣處放置一個(gè)直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一條直線上，CN⊥MN，從點(diǎn)A處望山谷底部M處時(shí)，視線經(jīng)過BC上的點(diǎn)E處，測(cè)得EC長(zhǎng)為9尺1寸；將三角尺沿著射線CA方向向上平移3丈得到△A'B'C'，從A'處望山谷底部M處時(shí)，視線經(jīng)過B'C'上的點(diǎn)F處，測(cè)得FC'長(zhǎng)為8尺【題型2相似三角形的應(yīng)用（影長(zhǎng)問題）】【例2】（2022·浙江金華·九年級(jí)期末）如圖，小明在8：30測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為16m，13：00時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為4m，若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（

）A．10m B．8m C．6m D．4m【變式21】（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽(yáng)光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為120cm，在坡面上的影長(zhǎng)為180cm．同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)【變式22】（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖，河對(duì)岸有一路燈桿AB，在燈光下，小明在點(diǎn)D處，自己的影長(zhǎng)DF=4m，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)自己的影長(zhǎng)FG=5m，如果小明的身高為【變式23】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級(jí)期末）如圖,小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點(diǎn)時(shí),發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部,當(dāng)她向前再步行12m到Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)她身前影子的頂端剛好接觸到路燈B的底部.已知小萌的身高是1.6m，兩路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=xm.(1)求兩路燈之間的距離.(2)當(dāng)小萌在A，B之間走動(dòng)時(shí)，在兩燈光下的影子長(zhǎng)是變化的，那么兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和變嗎?請(qǐng)說明理由.【題型3相似三角形的應(yīng)用（杠桿問題）】【例3】（2022·山東臨沂·二模）如圖，EF是一個(gè)杠桿，可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，若動(dòng)力F動(dòng)和阻力F阻的施力方向都始終保持豎直向下，當(dāng)阻力F阻不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)FA．越來(lái)越小 B．不變 C．越來(lái)越大 D．無(wú)法確定【變式31】（2019·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)，現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿B端必須向上翹10cm，已知杠桿上的AC與BC長(zhǎng)度之比為5:1，則要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A【變式32】一根均勻的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O為支點(diǎn)，豎直向上將木棒的另一端A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動(dòng)，此時(shí)拉力為F，若點(diǎn)B為OA的中點(diǎn)，AC，BD分別垂直地面于點(diǎn)C，D，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力F的大小為（

）A．5N B．10N C．15N D．20N【變式33】（2021·甘肅白銀·九年級(jí)期末）如圖，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí)，拉力為F1，過點(diǎn)B1作B1C⊥OA，過點(diǎn)A1作A1D⊥OA，垂足分別為點(diǎn)C、D．在下列結(jié)論中：①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?ODA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【題型4相似三角形的應(yīng)用（建筑物問題）】【例4】（2019·四川·成都市雙流區(qū)立格實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）劉徽，公元3世紀(jì)人，是中國(guó)歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一．《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．《海島算經(jīng)》第一個(gè)問題的大意是：如圖，要測(cè)量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD＝1000步，點(diǎn)D、B、H成一線，從B處退行123步到點(diǎn)F處，人的眼睛貼著地面觀察點(diǎn)A，點(diǎn)A、C、F也成一線，從DE退行127步到點(diǎn)G處，從G觀察A點(diǎn)，A，E，G三點(diǎn)也成一線，試計(jì)算山峰的高度AH及BH的長(zhǎng)（這里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，結(jié)果用步來(lái)表示）．【變式41】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽(yáng)市之北杜鎮(zhèn)，用純鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環(huán)周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔為中國(guó)現(xiàn)存鐵塔中最高的一座．某數(shù)學(xué)興趣小組本著用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的想法，欲測(cè)量該塔的高度．如圖，在點(diǎn)C處有一建筑物，小麗同學(xué)站在建筑物上，眼睛位于點(diǎn)D處，她手拿一支長(zhǎng)0.5米的竹竿EF，邊觀察邊移動(dòng)竹竿（竹竿EF始終與地面垂直），當(dāng)移動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，眼睛D與竹竿、塔的頂端E、A共線，同時(shí)眼睛D與它們的底端F、B也恰好共線，此時(shí)測(cè)得∠BDC=63°，小麗的眼睛距竹竿的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC【變式42】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)）延安寶塔，是歷史名城延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，坐落在陜西省延安市主城東南的寶塔山景區(qū)內(nèi)．周末，數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具測(cè)量延安寶塔的高度．測(cè)量方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標(biāo)桿AB，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)D、標(biāo)桿頂端B與寶塔頂端M在一條直線上，測(cè)得AD=4.3m；然后，移開標(biāo)桿，在A處放置測(cè)角儀，調(diào)整測(cè)角儀的高度，當(dāng)測(cè)角儀高AC為1m時(shí)，恰好測(cè)得點(diǎn)M的仰角為45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，點(diǎn)D、A、N在一條直線上，點(diǎn)A，C、【變式43】（2022·陜西西安·一模）“攬?jiān)麻w”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標(biāo)志性建筑，陽(yáng)光明媚的一天，某校九年級(jí)一班的興趣小組去測(cè)量攬?jiān)麻w的高度．?dāng)堅(jiān)麻w前面有個(gè)高1米的平臺(tái)，身高1.8米的小強(qiáng)在臺(tái)上走動(dòng)，當(dāng)小強(qiáng)走到點(diǎn)C處，小紅蹲在臺(tái)下點(diǎn)N處，其視線通過邊緣點(diǎn)M和小強(qiáng)頭頂點(diǎn)D正好看到塔頂A點(diǎn)，測(cè)得CM=0.9米，然后小強(qiáng)從正前方跳下后，往前走到點(diǎn)E處，此時(shí)發(fā)現(xiàn)小強(qiáng)頭頂F在太陽(yáng)下的影子恰好和塔頂A在地面上的影子重合于點(diǎn)P處，測(cè)得NE=5米，EP【題型5相似三角形的應(yīng)用（樹高問題）】【例5】（2011·遼寧大連·中考真題）為了測(cè)量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：把鏡子放在離樹(AB)8.7m的點(diǎn)E處，然后觀測(cè)考沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE＝2.7m，觀測(cè)者目高CD＝1.6m，則樹高AB約是____．（精確到0.1m）【變式51】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”大意如下：如圖，今有山AB位于樹CD的西面.山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的F處，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，問山AB的高約為多少丈？(1丈=10尺，結(jié)果精確到個(gè)位)【變式52】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）小明想用鏡子測(cè)量一棵松樹的高度，但因樹旁有一條河，不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點(diǎn)，人在F點(diǎn)時(shí)正好在鏡子中看到樹尖A；第二次把鏡子放在D點(diǎn)，人在G點(diǎn)正好看到樹尖A．已知小明的眼睛距離地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．請(qǐng)你求出松樹的高．【變式53】（2021·陜西寶雞·一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的大樹，小華激動(dòng)地說：媽媽，我可以通過測(cè)量您的影長(zhǎng)，測(cè)得媽媽的影長(zhǎng)DF＝1.6m．媽媽沿BD的方向到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)小華測(cè)得媽媽的影長(zhǎng)FG＝2m．已知媽媽的身高為1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求這棵大樹的高度．【題型6相似三角形的應(yīng)用（河寬問題）】【例6】（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級(jí)期中）為了估計(jì)河的寬度，我們可以在河對(duì)岸的岸邊選定一個(gè)目標(biāo)記為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和點(diǎn)C，使得AB⊥BC，CE⊥BC，設(shè)BC與AE交于點(diǎn)D，如圖所示測(cè)得BD=120m，A．60m B．90m C．100m【變式61】（2019·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，E，使點(diǎn)A，B，D在一條直線上，且AD⊥DE，點(diǎn)A，C，E也在一條直線上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，則河的寬度AB約為(

)A．20m B．18m C．28m D．30m【變式62】（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵樹，小華站在離南岸20m的點(diǎn)P處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假設(shè)龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長(zhǎng)為18.5m，若龍舟行駛在河的中心，且龍舟與河岸平行，則河寬為_______m．【變式63】（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中九年級(jí)期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算該橋AF的長(zhǎng)．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC＝120米，DE＝210米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長(zhǎng)度．【題型7相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問題）】【例7】（2020·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長(zhǎng)為1cm，面積為1cm2，甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個(gè)正方形桌面，則①、②A．① B．② C．一樣大 D．無(wú)法判斷【變式71】（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長(zhǎng)為（）A．67 B．3037 C．127【變式72】（2019·浙江寧