【課件】函數(shù)　課件北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊

4.1函數(shù)第四章

一次函數(shù)【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué)

八年級上冊

4.1函數(shù)

教案一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念，明確函數(shù)中自變量、因變量的含義，以及函數(shù)的三要素（定義域、值域、對應(yīng)法則）。熟練掌握函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），能根據(jù)具體問題選擇合適的方法表示函數(shù)，并能從函數(shù)的不同表示形式中獲取信息。過程與方法目標(biāo)通過分析生活中大量的實例，經(jīng)歷從具體到抽象概括函數(shù)概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和數(shù)學(xué)建模能力。在探究函數(shù)表示方法的過程中，體會不同表示方法的特點和優(yōu)勢，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，增強知識遷移能力。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)讓學(xué)生感受函數(shù)在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。在小組合作與交流中，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作精神和勇于探索的精神，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。二、教學(xué)重難點教學(xué)重點函數(shù)的概念及函數(shù)三要素的理解。函數(shù)的三種表示方法及其應(yīng)用。教學(xué)難點對函數(shù)概念中“任意一個自變量都有唯一確定的因變量與之對應(yīng)”這一本質(zhì)特征的理解。根據(jù)實際問題構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，并選擇合適的表示方法。三、教學(xué)方法講授法、討論法、探究法、情境教學(xué)法四、教學(xué)過程（一）情境導(dǎo)入（5分鐘）展示生活中的一些現(xiàn)象：現(xiàn)象一：隨著時間的推移，氣溫在不斷變化，記錄一天中不同時刻的氣溫?，F(xiàn)象二：汽車在行駛過程中，行駛的路程會隨著行駛時間的增加而增加?，F(xiàn)象三：購物時，購買商品的總價與購買商品的數(shù)量有關(guān)。提問學(xué)生：“在這些現(xiàn)象中，都存在著兩個變量，這兩個變量之間有什么聯(lián)系呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考變量之間的對應(yīng)關(guān)系，從而引出本節(jié)課的課題——函數(shù)。（二）探究新知（20分鐘）函數(shù)的概念（10分鐘）給出更多具體的例子，如：例子一：在圓的面積公式\(S=\pir^2\)中，對于半徑\(r\)的每一個確定的值，面積\(S\)都有唯一確定的值與之對應(yīng)。例子二：某手機套餐每月費用\(y\)（元）與通話時長\(x\)（分鐘）的關(guān)系，當(dāng)通話時長\(x\)確定時，費用\(y\)根據(jù)套餐規(guī)定有唯一確定的值。引導(dǎo)學(xué)生觀察這些例子，分析變量之間的對應(yīng)關(guān)系，組織學(xué)生進行小組討論：“這些對應(yīng)關(guān)系有什么共同特點？”小組代表發(fā)言后，教師進行總結(jié)歸納，給出函數(shù)的定義：在一個變化過程中，如果有兩個變量\(x\)與\(y\)，并且對于\(x\)的每一個確定的值，\(y\)都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說\(x\)是自變量，\(y\)是\(x\)的函數(shù)。進一步講解函數(shù)的三要素，強調(diào)定義域是自變量\(x\)的取值范圍，值域是函數(shù)值\(y\)的取值范圍，對應(yīng)法則是確定\(x\)與\(y\)之間對應(yīng)關(guān)系的規(guī)則。通過具體例子，讓學(xué)生找出函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則，加深對函數(shù)概念的理解。函數(shù)的表示方法（10分鐘）解析法：以\(S=\pir^2\)、\(y=2x+1\)等為例，講解解析法的定義，即通過數(shù)學(xué)式子表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。分析解析法的優(yōu)點是能準(zhǔn)確地反映出函數(shù)與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，便于進行理論分析和計算；缺點是不夠直觀。列表法：展示某商店一周內(nèi)每天的銷售額表格，說明列表法是通過列出表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生分析列表法的特點，優(yōu)點是一目了然，能直接從表格中獲取自變量和函數(shù)值的對應(yīng)數(shù)據(jù)；缺點是不能全面地反映函數(shù)的變化情況，只能列出部分自變量和函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系。圖象法：畫出一次函數(shù)\(y=x\)的圖象，講解圖象法是用圖象來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。讓學(xué)生觀察圖象，體會圖象法的優(yōu)勢是非常直觀形象，能清晰地展示函數(shù)的變化趨勢；缺點是從圖象上獲取的函數(shù)值往往是近似的。通過具體問題，如描述某物體自由下落過程中下落距離與時間的關(guān)系，讓學(xué)生分別用三種方法表示函數(shù)，感受不同表示方法的特點，學(xué)會根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)表示方法。（三）鞏固練習(xí)（15分鐘）基礎(chǔ)練習(xí)：判斷下列關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系：①\(y=\pm\sqrt{x}\)（\(x\geq0\)）；②班級中每個學(xué)生的學(xué)號與身高的關(guān)系。已知函數(shù)\(y=2x-1\)，當(dāng)\(x=2\)時，求函數(shù)值\(y\)；當(dāng)\(y=5\)時，求自變量\(x\)的值。提高練習(xí)：某文具店銷售一種筆記本，每本售價為\(5\)元，試分別用解析法、列表法（列出購買\(1\)本、\(2\)本、\(3\)本、\(4\)本、\(5\)本時的情況）、圖象法表示購買筆記本的總價\(y\)（元）與購買數(shù)量\(x\)（本）之間的函數(shù)關(guān)系。已知函數(shù)\(y=\frac{1}{x-2}\)，求該函數(shù)的定義域。拓展練習(xí)：觀察生活中的一個實際問題，如水電費的收取標(biāo)準(zhǔn)與使用量的關(guān)系，建立函數(shù)模型，并選擇合適的方法表示出來。（四）課堂小結(jié)（5分鐘）請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，說一說函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素以及函數(shù)的三種表示方法。教師進行補充和完善，強調(diào)函數(shù)概念的核心要點，以及不同函數(shù)表示方法的特點和適用場景，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系。（五）布置作業(yè)（課后完成）必做題：完成課本上相關(guān)練習(xí)題，鞏固函數(shù)的概念和表示方法。選做題：查閱資料，了解函數(shù)在其他學(xué)科（如物理、化學(xué)等）中的應(yīng)用，寫一篇簡短的報告。實踐題：記錄一周內(nèi)自己每天的零花錢支出情況，以天數(shù)為自變量，支出金額為因變量，嘗試用合適的方法表示它們之間的函數(shù)關(guān)系

。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，關(guān)注學(xué)生對函數(shù)概念的理解程度，分析學(xué)生在判斷函數(shù)關(guān)系、確定函數(shù)三要素以及選擇函數(shù)表示方法時出現(xiàn)的問題。思考教學(xué)方法是否有效引導(dǎo)學(xué)生進行探究和理解，教學(xué)活動的設(shè)計是否符合學(xué)生的認(rèn)知水平。針對學(xué)生的反饋，及時調(diào)整教學(xué)策略，加強對重難點內(nèi)容的講解和練習(xí)，提高教學(xué)效果。此教案注重理論與實踐結(jié)合，助力學(xué)生掌握函數(shù)知識。你若對教學(xué)環(huán)節(jié)、案例選取等方面有新想法，歡迎隨時和我說，我會進一步優(yōu)化。互逆命題、互逆定理教案一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)理解互逆命題、互逆定理的概念，能準(zhǔn)確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標(biāo)通過對命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達能力。經(jīng)歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。二、教學(xué)重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導(dǎo)學(xué)生分析這些命題的題設(shè)和結(jié)論。提問：能否交換這些命題的題設(shè)和結(jié)論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學(xué)生進一步理解互逆命題的概念。組織學(xué)生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學(xué)生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應(yīng)角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當(dāng)b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應(yīng)角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）與學(xué)生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習(xí)題，要求學(xué)生認(rèn)真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學(xué)生理解抽象的概念。對于學(xué)生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現(xiàn)的錯誤，要及時給予糾正和指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，可以進一步加強練習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.通過閱讀課本，學(xué)生能判斷兩個變量間的關(guān)系是否可以看成函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．2．通過自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，學(xué)生能根據(jù)兩個變量的關(guān)系求未知量，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和計算能力．3．通過教師講評，學(xué)生能掌握函數(shù)的三種表示方法，了解其特點，培養(yǎng)學(xué)生的概括總結(jié)能力．教學(xué)重難點教學(xué)重點,掌握函數(shù)的概念以及表示方法．重點難點舊識回顧1．什么叫常量？2．什么叫變量？在變化過程中數(shù)值始終不變的量叫做常量在變化過程中不斷變化的量叫做變量情境導(dǎo)入在學(xué)習(xí)與生活中，經(jīng)常要研究一些數(shù)量關(guān)系，先看下面的問題．如圖是某地一天內(nèi)的氣溫變化圖．

從圖中我們可以看到，隨著時間t(時)的變化，相應(yīng)地氣溫T(℃)也隨之變化．那么在生活中是否還有其他類似的數(shù)量關(guān)系呢？如果你坐在摩天輪上，隨著時間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？引入新知由低變高，再由高變低.探究新知知識點1函數(shù)及相關(guān)概念故事導(dǎo)入你一定知道烏鴉喝水的故事吧！一個緊口瓶中盛有一些水，烏鴉想喝水，但是嘴夠不著瓶中的水，于是烏鴉銜來一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度隨石子的增多而上升，烏鴉喝到了水.但是還沒解渴，瓶中水面就下降到烏鴉夠不著的高度了，烏鴉只好再去銜些石子放入瓶中，水面又上升，烏鴉終于喝足了水，哇哇地飛走了.如果設(shè)銜入瓶中石子的體積為x，瓶中水面的高度為y，下面能大致表示上面故事情節(jié)的圖象是(

)Bt/min012345…h(huán)/m…如圖反映了摩天輪上一點的高度h（m）與旋轉(zhuǎn)時間t（min）之間的關(guān)系.31336473613探究新知（1）根據(jù)右圖填表：（2）對于給定的時間t，相應(yīng)的高度h確定嗎？確定探究新知層數(shù)n12345…物體總數(shù)y…1.罐頭盒等圓柱形的物體常常如下圖那樣堆放.隨著層數(shù)的增加，物體的總數(shù)是如何變化的？填寫下表：這個問題中的變量有幾個？分別是什么？探究新知做一做1361015層數(shù)與物體總數(shù)只要給定層數(shù)，就能求出物體總數(shù).探究新知探究新知2.一定質(zhì)量的氣體在體積不變時，假若溫度降低到-273℃，則氣體的壓強為零.因此，物理學(xué)中把-273℃作為熱力學(xué)溫度的零度.熱力學(xué)溫度T（K）與攝氏溫度t（℃）之間有如下數(shù)量關(guān)系：T=t+273，T≥0.（1）當(dāng)t分別為-43℃，-27℃，0℃，18℃時，相應(yīng)的熱力學(xué)溫度T是多少？（2）給定一個大于-273℃的t值，你都能求出相應(yīng)的T值嗎？探究新知探究新知（1）當(dāng)t分別為-43℃，-27℃，0℃，18℃時，相應(yīng)的熱力學(xué)溫度T是多少？解：當(dāng)t為-43℃時，T=-43+273=230（℃）;當(dāng)t為-27℃時，T=-27+273=246（℃）;當(dāng)t為0℃時，

T=0+273=273（℃）;當(dāng)t為18℃時，T=18+273=291（℃）.探究新知解：是，因為t≥-273時，

T≥0.唯一一個T值（2）給定一個大于-273℃的t值，你都能求出相應(yīng)的T值嗎？上面的三個問題中，有什么共同特點？①時間

t

、相應(yīng)的高度h

；②層數(shù)n、物體總數(shù)y；③攝氏溫度t

、熱力學(xué)溫度T.共同特點：都有兩個變量，給定其中某一個變量的值，相應(yīng)地就確定了另一個變量的值.探究新知

一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量.函數(shù)注意：函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系.探究新知小結(jié)探究新知圖象法列表法關(guān)系式法表示函數(shù)的一般方法有哪些呢？表示函數(shù)的一般方法有：列表法、關(guān)系式法和圖象法.探究新知例

下列關(guān)于變量x，y的關(guān)系式：①y=2x+3；②y=x2+3；③y=2|x|；④；⑤y2-3x=10，其中表示y

是x

的函數(shù)關(guān)系的是

．①提示：判斷一個變量是否是另一個變量的函數(shù)，關(guān)鍵是看當(dāng)一個變量確定時，另一個變量是否有唯一確定的值與它對應(yīng).探究新知素養(yǎng)考點1利用函數(shù)的定義判斷函數(shù)②③（1）（2）（3）下列式子中的y是x的函數(shù)嗎？為什么？若y不是x的函數(shù)，怎樣改變，才能使y是x的函數(shù)？解：（1）、（2）中y是x的函數(shù)，因為對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)；（3）中，y不是x的函數(shù)，因為對于x的每一個確定的值，y都有兩個確定的值與其對應(yīng).將關(guān)系式改為

或

，都能使y是x的函數(shù).鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練變量x與y的對應(yīng)關(guān)系如下表所示：x1491625…y±1±2±3±4±5…問：變量y是x的函數(shù)嗎？為什么？若要使y是x的函數(shù)，可以怎樣改動表格？解：y不是x的函數(shù)，因為對于x的每一個確定的值，y都有兩個確定的值與其對應(yīng).要使y是x的函數(shù)，可以將表格中y的每一個值中的“±”改為“＋”或“－”.鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練探究新知上述問題中，自變量能取哪些值？注意：要根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍.探究新知知識點2函數(shù)值及自變量的取值范圍

函數(shù)值

對于自變量在可取值范圍內(nèi)的一個確定的值a，函數(shù)有唯一確定的對應(yīng)值，這個對應(yīng)值稱為當(dāng)自變量等于a時的函數(shù)值．

即：如果y是x的函數(shù)，當(dāng)x=a時，y=b，那么b叫做當(dāng)x=a時的函數(shù)值．注意：函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系．而函數(shù)值是一個數(shù)，它是自變量確定時對應(yīng)的因變量的值．探究新知例1

汽車的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km.（1）寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子.解:(1)函數(shù)關(guān)系式為:y=50－0.1x0.1x表示的意義是什么？叫做函數(shù)的解析式探究新知素養(yǎng)考點1確定自變量的取值范圍（2）指出自變量x的取值范圍；(2)由x≥0及50－0.1x≥0

得0≤x≤500，所以自變量的取值范圍是

0≤x≤500.提示：確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮使函數(shù)解析式有意義，而且還要注意各變量所代表的實際意義.探究新知汽車行駛里程，油箱中的油量均不能為負(fù)數(shù)！解:（3）汽車行駛200

km時，油箱中還有多少油？(3)當(dāng)x=200時,函數(shù)y的值為y=50－0.1×200=30.因此,當(dāng)汽車行駛200km時,油箱中還有油30L.探究新知解:下列函數(shù)中自變量x的取值范圍是什么？（1）;（2）;（3）;解:x取全體實數(shù);（1）（2）由x+2≠0得;x≠-2（3）由x-5≥0得;變式訓(xùn)練鞏固練習(xí)(4).使函數(shù)解析式有意義的自變量的全體.（4）x取全體實數(shù).例2

已知函數(shù)(1)求當(dāng)x=2，3，-3時，函數(shù)的值；(2)求當(dāng)x取什么值時，函數(shù)的值為0.把自變量x的值代入關(guān)系式中，即可求出函數(shù)的值.解：（1）當(dāng)x=2時，;探究新知素養(yǎng)考點2求函數(shù)的值當(dāng)x=3時，