指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

一、基礎(chǔ)公式1）2）3）4）5）6）．7）8）說明：1），且2）3）的對(duì)數(shù)是零；4）底數(shù)的對(duì)數(shù)等于；5）特別：；6）恒等式：，7）換底公式：8）換底公式推論：，，，9）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)二、圖像1）指數(shù)函數(shù)的圖像①注意：指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律，在圖中：①,②,③,④.則：.又即：時(shí)，（底大冪大）.時(shí)，.②特殊函數(shù)請(qǐng)畫出下列函數(shù)的圖像：的圖像：2）對(duì)數(shù)函數(shù)：①注意：對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律.①.②.③.④.則有：.又即：時(shí)，.時(shí)，（底大對(duì)數(shù)小）.②備注：a.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)按：和進(jìn)行分類討論．b.換元時(shí)注意換元后“新元”的范圍．c.畫指數(shù)函數(shù)且的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：，，.d.畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：，，.三、復(fù)合函數(shù)（指數(shù)型對(duì)數(shù)型）1）基本問題①簡(jiǎn)單、基本、初等函數(shù)中的變量“”的范圍，叫做函數(shù)的原始定義域．②用代數(shù)式“”替換簡(jiǎn)單、基本、初等函數(shù)中的變量“”，生成的函數(shù)叫做“復(fù)合函數(shù)”．其中“”一般稱為“內(nèi)層函數(shù)”，有時(shí)叫做“中間函數(shù)”．如：，，．高中階段所學(xué)習(xí)的函數(shù)僅僅只有五種簡(jiǎn)單、基本、初等函數(shù)，而所有的函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)．2）復(fù)合函數(shù)問題的求解理念①原始函數(shù)（一般稱為外層函數(shù)）的定義域，只與內(nèi)層函數(shù)的值域發(fā)生直接聯(lián)系，與內(nèi)層函數(shù)的自變量僅僅是間接關(guān)系；②求解復(fù)合函數(shù)的問題（定義域、過定點(diǎn)、單調(diào)性），都是指的內(nèi)層函數(shù)中的“”．③復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則：同“號(hào)”為增，異“號(hào)”為減．④備注：符合函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性嚴(yán)格遵守函數(shù)的性質(zhì).一、指數(shù)化簡(jiǎn)與運(yùn)算化簡(jiǎn)結(jié)果要求1）若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；2）若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示；3）結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)冪．【題干】.【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】已知，求的值【答案】.【解析】.【點(diǎn)評(píng)】熟悉分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則.【題干】化簡(jiǎn)：（1）；（2）【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】二、對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)與運(yùn)算對(duì)數(shù)與指數(shù)互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)的運(yùn)算可根據(jù)對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行．要注意化簡(jiǎn)過程中的等價(jià)性和對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化．【題干】若方程的兩根是，求的值．【答案】.【解析】，分別為，，即【點(diǎn)評(píng)】【題干】計(jì)算（1）.（2）.（3）.（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（5）.【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.（5）原式.【點(diǎn)評(píng)】【題干】用表示下列各式（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）原式；（2）原式；（3）原式.【解析】【點(diǎn)評(píng)】三、指數(shù)函數(shù)的圖像，性質(zhì)題型高考中對(duì)指數(shù)函數(shù)的考查，往往突出新概念、新定義、新情景中的問題，題目除最基本問題外，注重考查一些小、巧、活的問題，突出考查思維能力和化歸等數(shù)學(xué)思想．【題干】已知函數(shù)，（且）．（1）求函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)的奇偶性；（3）求的取值范圍，使在定義域上恒成立．【答案】（1）；（2）偶函數(shù)；（3）.【解析】（1）保證不等于，所以的定義域?yàn)椋翰坏扔?（2），，所以為偶函數(shù).（3），所以和同號(hào).因?yàn)椋?，所以必須，所以時(shí)，時(shí).所以當(dāng)時(shí)，在定義上恒成立.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)解析式較復(fù)雜的函數(shù)判斷其奇偶性要適當(dāng)變形；恒成立問題可通過求最值解決．將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，是解決恒成立問題的常用方法．【題干】設(shè)是定義在上的函數(shù)．（1）可能是奇函數(shù)嗎？（2）若是偶函數(shù)，試研究其在的單調(diào)性．【答案】（1）不可能.（2）若時(shí)，是增函數(shù)；若時(shí)，是減函數(shù).【解析】（1）因?yàn)槭嵌x在上的函數(shù)，若其是奇函數(shù)，則，即，所以不可能是奇函數(shù)；（2）因?yàn)槭桥己瘮?shù)所以，，解得或，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以為增函?shù)；當(dāng)時(shí)，，所以為減函數(shù)；【點(diǎn)評(píng)】【題干】證明函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.【答案】見解析【解析】設(shè)是函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，則，而關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，∴，即在函數(shù)的圖象上，由于是任意取的，所以上任一點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)都在的圖象上，同理可證：圖象上任意一點(diǎn)也一定在函數(shù)的圖象上，∴函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.【點(diǎn)評(píng)】【題干】函數(shù)（）A．是奇函數(shù)，在上是減函數(shù)B．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，在上是增函數(shù)D．是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)【答案】B．【解析】∵在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，且是增函數(shù)∴在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又易知它是偶函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】【題干】若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A.【解析】因?yàn)榈讛?shù)在之間，故遞減，又因?yàn)椋实膱D像是向下平移個(gè)單位后經(jīng)過了第二、三、四象限，沒有經(jīng)過第一象限.【點(diǎn)評(píng)】【題干】若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】∴函數(shù)是上的增函數(shù)，又∵對(duì)，不等式恒成立，∴對(duì)，不等式恒成立（∵），∴在上的最小值大于恒成立，而在上是增函數(shù)，它的最小值為，∴，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】四、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)題型對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．【題干】已知方程的實(shí)數(shù)解分別為和，則的值是________．【答案】.【解析】，，和的圖像關(guān)于對(duì)稱，的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，即.【點(diǎn)評(píng)】【題干】設(shè)函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）證明函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析.（2）見解析.（3）.【解析】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，由得或，又因?yàn)椋嗪瘮?shù)是奇函數(shù).（2）不妨設(shè)，則，∵，∴.，∴，∴.又因?yàn)?，∴函?shù)在上是增函數(shù)；（3）由題意，時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于，解得.【點(diǎn)評(píng)】【題干】已知函數(shù)其中且．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）求使成立的的集合．【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】若為不等于的正數(shù)，且，試比較、、.【答案】當(dāng)時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，則.當(dāng)時(shí)，若，所以；若，所以；若，所以.【解析】因?yàn)椋灾恍璞容^、、的大小.當(dāng)時(shí)，，，所以.當(dāng)時(shí)，，，則.當(dāng)時(shí)，，.若，則，所以；若，則，所以；若，則，所以.【點(diǎn)評(píng)】【題干】已知，求的取值范圍.【答案】【解析】法一：∵，∴當(dāng)時(shí)，根據(jù)是增函數(shù)得，所以；當(dāng)時(shí)，根據(jù)是減函數(shù)得.綜上所述，；法二：結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合圖象知，當(dāng)此曲線向軸靠近時(shí)，滿足題意，此時(shí)逐漸減小，故.綜上所述，.【點(diǎn)評(píng)】在上面的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象中，共有四條對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)的大小比較可以通過作一條直線：，于四條曲線分別交于點(diǎn)，易知，這四點(diǎn)的橫坐標(biāo)即對(duì)應(yīng)相應(yīng)的底數(shù)的值，故比較這四點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.【題干】設(shè)，滿足：，如果有最大值，求此時(shí)和的值．【答案】，【解析】由已知條件得，當(dāng)時(shí)，有最小值，∵，∴有最大值，依題意得，∴，此時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】五、指對(duì)數(shù)值比較大小題型對(duì)數(shù)值的大小比較方法1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性．2）作差或作商法．3）利用中間量（或）．4）化同真數(shù)后利用圖象比較．5）利用圖像規(guī)律變化規(guī)律比較（畫圖）【題干】已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）．A.B.C.D.【答案】B.【解析】由題意，∵，又∵.，∴.又∵在上是增函數(shù)且為偶函數(shù)，∴在上是減函數(shù)，∴.【點(diǎn)評(píng)】利用函數(shù)單調(diào)性或插入中間值比較大小．【題干】利用函數(shù)性質(zhì)比較值的大?。篲___________.【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】利用函數(shù)的性質(zhì)比較的大小_________.【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】已知，則的大小關(guān)系是（）．A.B.C. D.【答案】C.【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知，由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知.【點(diǎn)評(píng)】【題干】若，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D.【解析】∵，根據(jù)換底公式知，∴，∴.又函數(shù)在定義域區(qū)間上單調(diào)遞增，∴.【點(diǎn)評(píng)】【題干】下列大小關(guān)系正確的是（）．A. B.C. D.【答案】C.【解析】∵，∴.【點(diǎn)評(píng)】六、復(fù)合函數(shù)綜合題型復(fù)合函數(shù)問題，遵守兩條法則：1）基本初等函數(shù)的定義域，只與內(nèi)層函數(shù)的值域發(fā)生直接聯(lián)系，與內(nèi)層函數(shù)的自變量僅僅是間接關(guān)系；2）求解復(fù)合函數(shù)的問題（定義域、過定點(diǎn)、單調(diào)性），都是指的內(nèi)層函數(shù)中的“”．注意：一定要注意中間變量的取值范圍，還要注意定義域（這里是隱形陷阱）要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則.【題干】已知函數(shù)（1）若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.（2）若的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或.（2）.【解析】（1）的定義域?yàn)?∴恒成立，當(dāng)時(shí)，得，不成立，當(dāng)時(shí)，，解得或，綜上得或.（2）當(dāng)時(shí)，得，不成立.當(dāng)時(shí)，，解得，綜上得.【點(diǎn)評(píng)】【題干】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】.【解析】該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由對(duì)數(shù)性質(zhì)知，若，，在恒小于，無解.若，不成立.若，，在恒大于，解得.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)評(píng)】注意內(nèi)層函數(shù)的值域要滿足外層函數(shù)的定義域所在區(qū)間【題干】已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_______，值域?yàn)開__________．相關(guān)問題：第一個(gè)問題：“已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮谋磉_(dá)式”．第二個(gè)問題：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域和值域．第三個(gè)問題：用平移、伸縮變換理解復(fù)合函數(shù)：把函數(shù)，圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，向軸的正方向平移個(gè)單位：，，即，.【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】復(fù)合函數(shù)的定義域：在簡(jiǎn)單、基本、初等函數(shù)的原始定義域的約束條件下（拓寬一點(diǎn)：叫做外層函數(shù)），求出“內(nèi)層函數(shù)”中的“”的范圍．復(fù)合函數(shù)的定義域是指：內(nèi)層函數(shù)中的“”的范圍．【題干】已知，當(dāng)其值域?yàn)闀r(shí)，的取值范圍是________.【答案】【解析】由解得或，∴或，即.【點(diǎn)評(píng)】【題干】已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)開_______；值域?yàn)開_________.【答案】【解析】【點(diǎn)評(píng)】【題干】已知函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的范圍．【答案】.【解析】對(duì)數(shù)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，真數(shù)必須能取到所有大于零的值，也就是能取到所有大于零的值，這就要求此拋物線的值域包括這一范圍.由于其開口向上，只需判別式大于等于零，所以，所以，雖然此時(shí)拋物線可能包含一些負(fù)值（即軸一下部分）.但此題是要求值域，不是要求所有值都有意義，但仍然可以使值域?yàn)槿w實(shí)數(shù).【點(diǎn)評(píng)】本題的內(nèi)層函數(shù)的值域外層函數(shù)的定義域．七、高考匯編【題干】（2013北京理5）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象與曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則（）．A．B．C．D．【答案】D.【解析】依題意，向右平移個(gè)單位之后得到的函數(shù)應(yīng)為，于是相當(dāng)于向左平移個(gè)單位的結(jié)果，∴.【點(diǎn)評(píng)】【題干】（2013北京文13）函數(shù)的值域?yàn)開_______．【答案】.【解析】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即；故的值域?yàn)椋军c(diǎn)評(píng)】【題干】（2013課標(biāo)全國2理8）設(shè)，，，則（）．A.B.C.D.【答案】D.【解析】根據(jù)公式變形，，，，因?yàn)?，所?【點(diǎn)評(píng)】【題干】（2013北京理5）函數(shù)的圖象