2024年2月烏江新高考協(xié)作體高二數(shù)學(xué)入學(xué)聯(lián)考試卷附答案解析

2024年2月烏江新高考協(xié)作體高二數(shù)學(xué)入學(xué)聯(lián)考試卷

2024.02

（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知直線,過(guò)A。/）、網(wǎng)一1，3）兩點(diǎn)，則直線/的斜率為（）

A.-2B.2C.-1D.I

2.拋物線2/=），的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

_L11I

A.16B.8c.4D.2

3.已知點(diǎn)A。"）為拋物線C：/=加（">°）上一點(diǎn)，〃為拋物線的焦點(diǎn)，則朋=（）

3^336365

A.8B.8c.16D.16

4.已知拋物線9=2*（/>0）的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線5一’」的一個(gè)焦點(diǎn)，則〃=（）

A.1B.2C.4D.8

5.已知A,"是拋物線上兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB的中點(diǎn)到）'軸的距離為3時(shí)，的最大值為（）

A.5B.5夜C.10D.10&

6.兩圓的半徑分別是方程f-"+12=0的兩個(gè)根，圓心距為3,則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.相交B.外離C.內(nèi)含D.外切

7.在楂長(zhǎng)為I的正方體-中，已知E為線段綽7的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)p分別滿足。尸=,

RP="D、B其中"內(nèi)網(wǎng),則下列說(shuō)法不正確的是（）

2=1

A.當(dāng)2時(shí)，三棱錐尸-EFQ的體積為定侑

19"

//=-..

B.當(dāng)2時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是4

5石

C.莊+班的最小值為了

D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（無(wú)〃），使得砂上平面PDF

C:-r+>b>0)若離心率歸用，則

8.已知橢圓a~b~的左、右焦點(diǎn)分別為吊尸2,點(diǎn)尸在橢圓C上,

橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（曲）B.1吟）」制D.4

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求

的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.

9.下列方程能夠表示圓的是（）

A.丁+/=1B./-丁=2

Qx2+y2+2x=1口x2+y2+^-1=0

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,好的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

B,橢圓的離心率。越大，橢圓就越圓.

C,方程，—+〃）'2=1（〃?>0,心0,〃沖〃）表示的曲線是桶圓.

4+4=i4+-=i

D.b-（a>b>0）與右b-（a>6>。）的焦距相同.

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CQ-A4CQ中，點(diǎn)Q為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（）

41

A.當(dāng)尸為棱C；2的中點(diǎn)時(shí)，則四棱錐產(chǎn)一的外接球的表面積為W

B.使直線a與平面A8C0所成的角為45。的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為兀+4夜

C.若尸是A片的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面A8CQ上運(yùn)動(dòng)，且滿足尸尸〃平面片CR時(shí)，尸產(chǎn)長(zhǎng)度的最小值是石

D.點(diǎn)G是線段A。的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在平面48。內(nèi)，且R4+PG=2時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡為一個(gè)圓

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C的方程為f十產(chǎn)_2辦_2瘋0,+3/=0,則圓C的半徑為

13.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)尸，若橢圓上存在一點(diǎn)滿足以橢圓短半釉為半徑的圓與線段尸尸相切于該

線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率

22

K.如圖，已知橢圓/十立—"">","）,其焦距為4,過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上一動(dòng)點(diǎn)尸（與，°）作直線交橢圓于〃、

N,直線4"、3N交于點(diǎn)°（馬，）'。），己知工內(nèi)。=5,則橢|員的離心率為

2

匹、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.某游樂(lè)園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一

C2

cos9=一

條北偏東為°的筆直公路，其中7.摩天輪近似為一個(gè)圓，其半徑為35m,圓心。到地面的距離為

4?！睹髌渥罡唿c(diǎn)為％，八點(diǎn)正下方的地面。點(diǎn)與公路的距禽為70m.甲在摩天輪上，乙在公路上.（為了計(jì)

算方便，甲乙兩人的身高、摩天輪的座艙高度和公路寬度忽略不計(jì)）

⑴如圖所示，甲位于摩天輪的A點(diǎn)處時(shí)，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？

⑵當(dāng)甲隨著摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？

16.直線/經(jīng)過(guò)拋物線）'2=4x的焦點(diǎn)尸，且與拋物線交于A8兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方）.

⑴若|陽(yáng)=4,求直線/的傾斜角;

V2

⑵若原點(diǎn)。到直線/的距離為工"，求以線段A8為直徑的圓的方程.

17.在圖1所示的平面多邊形中，四邊形A8co為菱形，=2,/區(qū)40=6°右28。與.鳥(niǎo)。>均為等

達(dá)三角形.分別將△《人"△6%必48,例人。沿著48BGCD,DA翻折，使得不多小巴四點(diǎn)

恰好重合于點(diǎn)P,得到四棱錐P-ABCD,PM=%必（0<%<1）.

修P

3

故選:c

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率與傾斜角.

2.C

【分析】先將拋物線方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程：再寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程即可求解.

2_1

【詳解】由拋物線2/二），可得”~2y,

貝!拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為I8人準(zhǔn)線方程為.8.

1-L1L1

所以拋物線2/2=丁的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8I8J4.

故選：C.

3.D

【分析】利用點(diǎn)在拋物線上及拋物線的定義即可求解.

【詳解】將A。*）代入），=?,得々=4,

x1=—■yrfo,-1y=―--

所以拋物線C：4-,焦點(diǎn)I16人準(zhǔn)線方程為16,

故選：D.

4.C

oc---V"=1

【分析】求出拋物線,'一二2px的準(zhǔn)線方程和雙曲線3的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由條件列方程求L

,=-P-

【詳解】拋物線V=2庶（〃>0）的準(zhǔn)線方程為A--2,

Y2_]

雙曲線7一’一的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（一2，°）,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，°）,

x2、

、---=1

因?yàn)閽佄锞€）'=2內(nèi)的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線3的一個(gè)焦點(diǎn)，

J

所以2,

所以〃=4,

故選：C.

5.C

【分析】如圖，畫(huà)出點(diǎn)AA，M到準(zhǔn)線的距離，利用拋物線的定義可知

5

陷4陰+|陽(yáng)=罔+即=2|例,求I明的最大值.

【詳解】設(shè)拋物線V=8.1的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,線段AB的口點(diǎn)為M.如圖，分別過(guò)點(diǎn)A,B,"作

準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為0,D,N,連接4"BF.因?yàn)榫€段48的中點(diǎn)到》軸的距離為3,拋物線

),2=8x的準(zhǔn)線/：x=-2,所以|MN|=5,因?yàn)閨AB|<|A目+忸F|=|AC|+|8q=2|MM=10,當(dāng)且僅當(dāng)A,

B,尸三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以恒w2=1°.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解拋物線的定義，并能應(yīng)用三點(diǎn)共線解決最值問(wèn)題.

6.C

【分析】由題意，解方程，求半徑之和與半徑之差，根據(jù)圓的位置關(guān)系，可得答案.

【詳解】???方程x2-8x+12=0,?'.可轉(zhuǎn)化為(x-2)(x-6)=0,解得xl=2,x2=6.

???兩圓半徑之和為8,兩圓半徑之差為4：

???圓心距d=3,6-2>3；???兩圓內(nèi)含.

故選：C.

7.C

【分析】由線面平行的判定可知〃平面即。，知三棱錐P-瓦曾底面積和高均為定值，A正確；根據(jù)

正棱錐外接球的球法，可構(gòu)造關(guān)于外接球半徑R的方程，求得R后知B正確；將C中問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面

ABCIR內(nèi)求解莊+尸產(chǎn)的最小值，作E關(guān)于線段BR的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)耳，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為片”長(zhǎng)度的求解，根據(jù)

角度和長(zhǎng)度關(guān)系可確定C正確；以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)線面垂直可構(gòu)造方程組求得

兒〃，可知D正確.

2=1

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)一2時(shí)，F(xiàn)為GA中點(diǎn)，又E為片C中點(diǎn)，,,EF"BD\,

6

￡“u平面E/7).BRa平面EFD.BD"/平面EFD.

虹當(dāng)產(chǎn)在線段3上移動(dòng)時(shí)，其到平面EFD的距離不變，

???三棱錐七㈤的體積為定值，A正確；

對(duì)于B,當(dāng)“一2時(shí)，取AC"。交點(diǎn)°,連接尸°,則四棱錐尸-48co為正四棱錐,

.?.PO_L平面ABCD,

設(shè)四棱錐P-A8CO的外接球的球心為。'，半徑為R,則O'在直線夕。上,

-oc=—OO'=--R-+=R2

2,2r2

2,2:.OC+OO=OC1即212),

R=—S=4nR:=—

解得：4,.?.四棱錐P-ABCD的外接球的表面積4,B正確;

對(duì)于c,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面ABGA內(nèi)求解小+刊7的最小值，

作E關(guān)于線段町的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,過(guò)目作HG//4.,交CR,AB于H,G,如下圖所示,

PE=PE、，；,PE+PF=PE、+PFNE、H(當(dāng)且僅當(dāng)「與“重合時(shí)取等號(hào))，

7

?.ZE,BA=/ABD「ZD,BE=4ABD「ZD,8G

sinNgBA=sin(/ABD「NDg)=［用-付）

夜

Efi=B[E-sin3BA=BE?sinZE,BA，3=員答平

~6

5&

即PE+P尸的最小值為了，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,以/）為坐標(biāo)原點(diǎn)，"為x?，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則力（0.0,0）%，叼,尸（。41）,P（〃川一〃）

玖=[〃一于《一"J,OP=(〃.〃J_〃)，Ob=((M,1)

EP1DP

若研工平面尸￡尸，則但尸，。尸,

EPO尸=〃(〃一；,+〃(〃一1)+=0

￡P(guān)DF=2(//-l)+f1-x/>=0

解得:（舍）

‘--13-6、

26

.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)I,使得石尸工平面包尸，故D正確.

故選：C.

8

8.D

e=-------Ipc'I_'

【分析】由題意可知?dú)w周，結(jié)合橢圓的定義解得2"^+1,再由5C引PKK"+C求解.

【詳解】因?yàn)楦絀,所以附占出周，

由橢圓的定義得：儼用+1叫=2〃，解得仍用一7TT,

因?yàn)椤じ絽^(qū)a+c,所以a*如…,

兩邊同除以a得e+l,解得

因?yàn)?<6><1,所以拉-14e<l,

所以該離心率。的取值范圍是［&-"）

故選：D.

9.AC

【分析】依次判斷各個(gè)選項(xiàng)中的方程所表示的曲線即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,/+）艙=1表示圓心為（。，0）,半徑為1的圓，A正確;

對(duì)于B,一一）'2=2不符合圓的方程，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由/+爐+2%=1得：a+l）'+V=2,則其表示圓心為（TO）,半徑為祀的圓，c正確;

對(duì)于D,/+）"+孫T=°含個(gè)項(xiàng)，不符合圓的方程，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.CD

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義、性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】對(duì)A,要使“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓”,

還需要這個(gè)常數(shù)大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離，所以A錯(cuò)誤.

對(duì)B,離心率-越小，這時(shí)人就越接近于“，橢圓就越圓，故B錯(cuò)誤:

+=，

2,Tf

對(duì)C,方程‘九一+江=1（〃2〉0,〃>0,加￥〃）可化為機(jī)n

—+^-=1

1I11I1

—>—>0M—>—>A0

且由根〃>（）,〃-〃有機(jī)〃或，？m,即加〃是焦點(diǎn)在x軸或焦點(diǎn)在）'軸的橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程，

故方程〃二十町'=1（機(jī)〉0,”>。，機(jī)工〃）表示的曲線是橢圓，選項(xiàng)C正確;

9

對(duì)D,由題意得兩個(gè)橢圓的焦距均為24^牙，故D正確；

故選：CD.

11.ABD

【分析】分別確定四邊形與三角形片的外接圓圓心，進(jìn)而確定外接球球心與半徑,

A84A可判斷A

選項(xiàng)，由線面夾角為45。，可知/尸e=45。，進(jìn)而確定點(diǎn)p軌跡長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)

ARC\PM?=—

法確定點(diǎn)夕的軌跡，進(jìn)而判斷C選項(xiàng)，由4G_L平面設(shè)垂足為可確定點(diǎn)I48,即可確定

軌跡.

【詳解】A選項(xiàng)：由正方體可知平面平面A8&A,

又正方形A網(wǎng)A的中心為。I,所以球心。滿足°Q,平面4網(wǎng)4,

..〃DR_A尸+線尸一A4?_34

在AA8/中，AP=B\P=ECOSZA,-2APBF_5s,nZA?!=~^

o、p=.4黑——=-

所以外接圓半徑2S1I1/AP用4,且°。2_1平面人而。oo2=\

R=《OO；+O、p2=i總

所以四楂錐外接球半徑4

?._41兀

S=4兀R2=-----

所以外接球表面積4,A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)：由直線”與平面4BQ）所成的角為45。，且朋,平面48CQ,則‘2必=45。

可知點(diǎn)尸在以A頂點(diǎn)，AA為軸.2夜為母線長(zhǎng)的圓錐表面，

所以當(dāng)點(diǎn)「在平面A85同時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為線段人身，長(zhǎng)度為2夜，

同理當(dāng)點(diǎn)2在平面.ORA時(shí)，點(diǎn)2的軌跡為線段'R,長(zhǎng)度為2夜,

蘭點(diǎn)P在平面A4GA時(shí)，由他1AP,所以AP=AA=2,

I1

4——x4n=it

點(diǎn)。的軌跡為以4為圓心，2為半徑的4圓上，長(zhǎng)度為4

1()

點(diǎn)P在其他平面時(shí)不成立，綜上所述，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2拒+2應(yīng)+兀=4應(yīng)+兀，B選項(xiàng)正確;

C選項(xiàng)：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（XK°）,0<x<2,0<^<2,

又用(2,0,2),C(2,2,0),0(022),尸(1,0,2),則勺。=(。2-2)BR=(-2,2,0)PP=(1,-)，,2)

2y「24=0

設(shè)平面SCR的法向量為"=（不）"）,則［-2%+2y=0,令耳=1,則”=?！弧梗?

又P尸〃平面BCR,貝［jPF-〃=］_%_.v+2=0,gyy=3-xf則］VxV2,

efiHPF=(l-x,x-3,2)|P+J(l-x)2+(x-3)，22=缶、8工+14W+6

//ItA，

所以當(dāng)*=2時(shí)，PH取最小值為布，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：由正方體可知平面A"。"平面BCR,所以平面A?。的法向量為〃=(i，i，i),

且AGJL平面AB。,又償=(0,0,2)G4,=(T-1,1),

...AA,-n2x/3GA,n6

AM=-p：—=-----GM=-pr—=——

所以點(diǎn)A與G到平面A6°的距離分別為制3,制3,

AP2=AM2+PM2=-+PM2PG?=GM?+PM?=-+PM2

所以3,3

yliAP1-PG2=(AP+PG)(AP-PG)=2(AP-PG)=\

AP-PG=-AP=-PG=-PM2=—PM=-

則2,所以4,4,所以48,12

II

乂由正方體可知==即ABO為正三角形，且M為“產(chǎn)°中心,

人加叵/旦＞叵二PM

所以點(diǎn)M到三角形三邊的距離為6312

氐

所以點(diǎn)尸在以M為圓心，12為半徑的圓上，D選項(xiàng)正確;

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所戊的角的一般步驟：

①找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成：

②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.

(2)作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足

作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

12.H

【分析】將一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式即可求解半徑.

［詳解］由/+),2_2"_2后0，+3/=0可得(尸。)2+()，-島『=/,

所以半徑為同，

故答案為：H

更

13.3

【解析】由中位線定理以及勾股定理求出P”,PF,再結(jié)合橢圓的定義以及離心率公式得出答案.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為M,右焦點(diǎn)為6

由題意可知°/=c,0M=%則尸尸=2后-/

因?yàn)閼?。分別是咪的中點(diǎn)、，所以班=2。*2b

由橢圓的定義可知-y+勿=2々,即42一尸=a—b

12

兩邊平方得“-5

屏

V5

故答案為：3.

a=-b

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是由橢圓的定義得出2,進(jìn)而得出離心率.

2后

R.5

2）

【分析】根據(jù)橢圓方程可證：對(duì)于橢圓不+鏟—上任一點(diǎn)仇右

均有

設(shè)以丫：.3沖+再,.加（小,）不仇》）,聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理

可證

2

_b（xP-a）

八AMaAV_2/\2__4

“（與+與，進(jìn)而根據(jù)直線的交點(diǎn)整理可得.二//=\即可求離心率.

,0

［詳解】對(duì)于橢圓/+F一?>">°）上任一點(diǎn)“（刈%），）'。*0,

A今1可得"等?-/）,

貝!

可知A（—〃,0）,6（。，0）,

2

^AD'^BD九為a

所以%+Q~CCXQ-Q"

由題意可知：直線MN的斜率不為o,但可以不存在,

13

設(shè)M?V:%=/^y+A>,M(%,y),N(孫％),

x=tny+xf>

'x2y2_,,

聯(lián)立方程〔/+〃「，消去x得9L)y-+如*y+從芍-獷2=0,

.八2b2mxpb2xl-a2b2

△>o,+y=；—京，y戊=T―五丁

則2cr+m-b-cr+in'b',

k.=^!-.^2__>J_________h_

KAMRkAN,=,

可得k+ax2+afnyi+xp+amy2+xp+a

b2j(p-a2b-

=______________ZI22_______________=_________________"+〃丁

"-%+〃?(/+，)()%+%)+(?%+〃『-嗖[N叱+(4+/

cr+ni~h2'7a"+m~b~''

_lr[xp-a)

1

a(xp+a)

及

AN:y=*(x-a)=一一-(x-a)

可知直線AM：y=心”（x+a）直線a%

)'Q=如“(q+〃)

Qa*AN°',消去NQ可得(%+a)=-6(4-a),

聯(lián)立方程

7^^+a）=-，

貝!（小+。）,整理得"~=々%=5,即。=有,

又因?yàn)榻咕酁?,可得。=2,

x~?yz＞八0）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：i.根據(jù)橢圓方程可證：對(duì)于橢圓/‘"一"''?上任一點(diǎn)0（天，）'。）』產(chǎn)°,均

14

2

2,設(shè)取+與,加（/））2（”2）,聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理可證4"八"a（xP+a）

15

15.⑴14

14+71?[

⑵24

tanZADB=

【分析】（1）設(shè)公路所在直線為/，過(guò)3點(diǎn)作/的垂線，垂直為D,由得答案；

（2）設(shè)甲位于圓°上的農(nóng)點(diǎn)處，直線"垂直于°斗且交圓。于小點(diǎn)，射線OR可以看成是射線。尸繞著

°點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角度得到.過(guò)火點(diǎn)正下方的地面7點(diǎn)向/作垂線，垂足為S.tanNRST取得最大值

88

r------sintz------sina

=777______

時(shí)，NRS7即為從乙看甲的最大仰角，tan/RST27-coscr淇中，7-cosa表示點(diǎn)（。。皿，9。）和

點(diǎn)I7J構(gòu)成的直線。的斜率，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】（1）如圖所示，設(shè)公路所在直線為，，過(guò)8點(diǎn)作/的垂線，垂直為。，3O=70m.

區(qū)為圓的半徑為35m,圓心°到地面的距離為40m,所以八3=75^

/…AB7515

tanZ.ADB=----=—=—

從甲看乙的最大俯角與一4。8相等，由題意得A8_L8。，則AD7014.

（2）如圖所示，設(shè)甲位于圓。上的R點(diǎn)處，直線。尸垂直于04且交圓。于尸點(diǎn)，射線可以看成是射

線O/繞著。點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a角度得到.

過(guò)R點(diǎn)正下方的地面丁點(diǎn)向,作星線，垂足為S.

當(dāng)tanNRST取得最大值時(shí)，4S7即為從乙看甲的最大仰角.

15

35sina+4088

tanZ.RST=--------------sina+-(----sina

70-35cosax-=----------=——7

題意得:727-cosa27-cosa

8

其中，7—cosa表示點(diǎn)（80。，心。）和點(diǎn)（’構(gòu)成的直線口的斜率,

當(dāng)直線a的斜率取得最小值時(shí)，tanNRS7取最大值.

因?yàn)辄c(diǎn)（c^dsina）在單位圓/+）,2=］上，

所以當(dāng)直線。與單位圓相切時(shí).，斜率取得最大值或最小值.

v+1=^(x-7)

設(shè)過(guò)點(diǎn)I’7）的直線方程為:

第一岡T、T4土洞

由相切可得7.+犬，解得—84

_i4_>/r?T14+Vi?T

見(jiàn)直線。的斜率最小值為―84一,代入可得tanZRST取最大值是一24一.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

〃、一sinx+4

求—8SX+匕的最值時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（c°s及sinx）與（一仇-。）連線斜率的最值，

設(shè)出過(guò)點(diǎn)（一"'一〃）的直線方程，由點(diǎn)（c°sx，sinx）在單位圓上，根據(jù)直線與圓相切即可求解.

7T

16.⑴弓

⑵飆3）。（），+2）2=16或（-3『+（），-2）2=16

【分析】（1）由拋物線定義求出人尸的坐標(biāo)，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.

（2）設(shè)直線/的方程為“"〃"+乂'〃'。），聯(lián)立拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理、拋物線定義得以線段AB為直

旦

徑的圓的圓心、半徑，結(jié)合原點(diǎn)。到直線,的距離為2得參數(shù)”即可得解.

【詳解】（1）由題意得拋物線F=4x的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線分別為"=

所以由拋物線定義可知何同=4=/+1,又），；二4勺，

所以解得％力=26（負(fù)值舍去），

勤=」一=述=石

直線/的斜率為"XA-XF2,

16

n

所以直線/的傾斜角為3.

（2）由題意直線/的斜率存在且不為0（若直線斜率不存在則原點(diǎn)。到直線/的距離為1,矛盾），

所以設(shè)直線/的方程為'町

聯(lián)立拋物線方程）'?=4x,化簡(jiǎn)得）尸一4〃?），-4=0,顯然4>0,

22

y+%=4〃z,X[+七="，（y+y2）4-2=4m+2,\AB\=（xt+1）+（x,4-1）=4（z??4-1）=2r

所以以線段AB為直徑的圓的圓心、半徑分別為A2=+L2m）/=2（病+1）,

正

區(qū)為原點(diǎn)。到直線,的距離為2,

,1V2

d--===——

所以x/l+nr2,解得〃?=±1,

所以圓心、半徑分別為。（二拉卜"支

（>3）2+（），+2）2=]6或（1-3）2+（）-2）2=16

17.（1）證明見(jiàn)解析

A=-

⑵4

A=-

【分析】（1）當(dāng)2時(shí)，可得/為期的中點(diǎn)，然后利用線面垂直證明幺,平面也加，從而證明

PA工MN,乂&MNMPC,從而可求證以

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面MCO和平面4coi向法向量，然后由二面角CO-A的余

在

弦值為3,從而可求解工

2=-

【詳解】（1）證明：因?yàn)?,所以“為E4的中點(diǎn).

由題可知，人8=人。=尸9=叨，所以尸

又BMcDM=M,平面所以Q4_L平面8DM.

取BO1AC=N,如圖，則MM7PC.由平面4/加，可得則PA1PC.

17

（2）連接AC,易證得8。/平面PAC,過(guò)點(diǎn)P作P01AC,垂足為°,則平面48co.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0Aop所在直線分別為工軸、Z軸,建立如上圖所示的空間直角A

由A8=2,得00=2,40=25/5,”=2\/?,

“旭QP巫爪。呼行生）,o）,。-^-,i,o）,c^—Y~,O?O

從而33,則1、J1J

PM=APA=[^-A,O,-^-z\

則J，3』

“nonow（64+）、2瓜）261

MD-PDPM-334，323CD：

=（ALO）

設(shè)平面MCD的一個(gè)法向量為機(jī)=（乂乃z）,

彼.氈4V+尹（亞人區(qū)*。，

MD/?=0,33）（33

V

貝!由[S〃]=O,得|岳+y=0,

,〃/『瓜與季]

人丫一12A—2

令不一1,得/H1）.

由圖可知，平面ACO的一個(gè)法向量為〃=（°，°，1）,

在

因?yàn)槎娼抢?CO-A的余弦值為3,

丁+2必

\m-n\22-25/3

同網(wǎng)[卜5+2%3

所以如伽砌=V+[21-2）,角A=-

帛得4.

_1_

故九的值為I.

18

18.（1）［。"+同

⑵對(duì)于橢圓C上的任意點(diǎn)尸，都有理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意可得c=3、"6求出ib即可求出橢圓C的方程，進(jìn)而求出“伴隨圓”方程，

得出點(diǎn)A坐標(biāo)，設(shè)8（〃?，〃），以〃7，-〃），（-右<，〃<8）,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得

312）,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（2）設(shè)易知尸土。時(shí)口4成立;當(dāng)時(shí)設(shè)直線/方程為yT=?-s）,聯(lián)立橢圓方程,

消去y,由△=（）得GT'）公+2$伙+則//的斜率是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算化

簡(jiǎn)可得4&二-1,即可求解.

【詳解】（1）由題意知。=&,由短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為⑺,

知。=+，=G,則〃=J/2_c2=1,

X"

+'一）其“伴隨圓”方程為f+丁=4

故橢圓C的方程為3

由題意,可設(shè)W肛/.（-6<m<我

m~■>,

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