2023屆湖北恩施沙地中學(xué)數(shù)學(xué)九年級上冊期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.已知§inacosa=—,K00<a<45°,則sina—cosa的值為（)

8

A石3

24

2.如圖，在。O中，AB是直徑，AC是弦，連接OC,若NACO=30。，則NBOC的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

3.圖中所示的幾個圖形是國際通用的交通標(biāo)志.其中不是軸對稱圖形的是（）

，一B0。Av△

4.-2的相反數(shù)是（）

11

A.-2B.2C.—D.一一

22

5.如圖，MN所在的直線垂直平分線段AB,利用這樣的工具，可以找到圓形工件的圓心，如果使用此工具找到圓心,

最少使用次數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

6.如圖一段拋物線y=X-3x（00爛3）,記為G,它與x軸于點。和4：將G繞旋轉(zhuǎn)180。得到Cz,交x軸于

將Cz繞旋轉(zhuǎn)180。得到交x軸于人,如此進行下去，若點P（2020,.）在某段拋物線上，則m的值為（）

2

7.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度.A,4在格點上，現(xiàn)將線段A8向下平移〃?個單

位長度，再向左平移"個單位長度，得到線段連接A4',38二若四邊形是正方形則相+"的值是（）

B.4C.5D.6

若式子涓

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是（）

A.x>3B.x<3C.x>3D.x<3

9.從1到9這9個自然數(shù)中任取一個，既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的概率是（）

io.計算（（近+6）（近一6）-（2q5+if+巫。巨的結(jié)果為（）

V3

A.8-473B.-8-473C.-8+473D.8+473

11.己知關(guān)于工的一元二次方程2）2+c=o的兩根為內(nèi)二-2,x2=6,則一元二次方程ar2—2ar+a+c=0的

根為（）

A.0,4B.-3,5C.-2,4D.一3，1

12.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,1.若添加一個數(shù)據(jù)3,則下列統(tǒng)計量中，發(fā)生變化的是（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，在中，DEHRC交AB千嬴D,交AC于點E.若EC=2、AC=6、A9=9,則AQ的長為

14.如圖，ZDAB=ZCAE,請補充一個條件：,<AABC^A/XDE.

15.高為8米的旗桿在水平地面卜的影子長為6米.同一時刻測得附近一個建筑物的影子長3。米.則此建筑物的高度

為米.

16.如圖，在RtZkABC中，NHC3=90。，CfLLAB于點O,如果CD=4,那么的值是

17.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿.小麗

站在離南岸邊15米的P點處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還

有三棵樹，則河寬為米.

18.如圖，在AA8C中，AB=ACf44=120。，8。=46，。從與5c相切于點￡>,且交AC于M,N兩點,則

圖中陰影部分的面積是_____（保留7：）.

三、解答題(共78分)

19.(8分)如圖1,AD.NO分別是的內(nèi)角NB4C、NA8C的平分線，過點A作AE_L4Z),交8力的延長

線于點E.

(1)求證：ZE=-ZC；

2

(2)如圖2,如果AE=A8,且BDQE=2：3,求cos/A5C；

(3)如果NA8C是銳角，且AA3C與A仍后相似，求NA8C的度數(shù)，并直接寫出21的值

20.(8分)如圖，AARC和ADEF均為正三角形，D,E分別在AR,BC上，請找出一個與ADRE相似的三角形并證

明.

21.(8分)定義：連結(jié)菱形的一邊中點與對邊的兩端點的線段把它分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，那

么稱這樣的菱形為自相似菱形.

(1)判斷下列命題是真命題，還是假命題？

①正方形是自相似菱形；

②有一個內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形.

③如圖1,若菱形A3CD是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E為8C中點，貝?。菰贏OE,△AM,△EDC中，相

似的三角形只有△A4后與△AEO.

（2）如圖2,菱形ABC。是自相似菱形，NABC是銳角，邊長為4,E為RC中點.

①求4E,OE的長；

②AC,BO交于點。，求tanNOBC的值.

22.（10分）如圖，AB是。O的直徑，BC交。O于點D,E是的中點，連接AE交BC于點F,ZACB=2ZEAB.

（1）求證：AC是。。的切線；

3

（2）若COSC=—,AC=Sf求BF的長.

4

23.（10分）如圖1,矩形ABCO中，AD=2fAB=3,點E,尸分別在邊A",BC±,且BF=FC,連接OE,EFf

并以。凡月產(chǎn)為邊作尸G.

（1）連接。尸，求。尸的長度；

（2）求oQEFG周長的最小值；

（3）當(dāng)口?！戤a(chǎn)G為正方形時（如圖2）,連接8G,分別交EF,。于點尸、。，求3P：QG的值.

24.（10分）如圖，海面上一艘船由西向東航行，在A處測得正東方向上一座燈塔的最高點。的仰角為3「，再向東

繼續(xù)航行30m到達"處，測得該燈塔的最高點。的仰角為45;根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算這座燈塔的高度CO（結(jié)果取

整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：sin31?0.52>cos31?0.86，tan31?0.60-

25.（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作。0,交BC于點D,交CA的延長線于點E,連接AD,

DE.

（1）求證：D是BC的中點

（2）若DE=3,AD=1,求。。的半徑.

26.在RSABC中，AC=BC,ZC=90°,求:

(1)cosA；

(2)當(dāng)AB=4時，求BC的長.

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、B

【分析】由題意把己知條件兩邊都乘以2,再根據(jù)siii2（x+cos2a=1,進行配方，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出cosa與sina

的取值范圍，從而得到sina-cosaVO,最后開方即可得解.

【詳解】解：入加以?斯1）,

8

1

.\2sina*cosa=—,

4

/.sin2a+cos2a-2sina*cosa=l--,

4

即(sina-cosa)2=—,

4

V0o<a<45°,

.72<cosa<l,0<sina<旦,

22

sina-cosaVO,

??6

..sma-cosa=-.

2

故選：B.

【點睛】

本題考查同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用好sin2a+cos2(i=l,并求出sina?co$aV0是解題的關(guān)鍵.

2、D

【解析】試題分析：VOA=OC,/.ZA=ZACO=30°,;AB是。O的直徑，AZBOC=2ZA=2x30°=60°.故選D.

考點：圓周角定理.

3、C

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的國形叫做軸對稱圖

形.

【詳解】A、B、D都是軸對稱圖形，而C不是軸對稱圖形.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

4、B

【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】因為-2+2=0,所以-2的相反數(shù)是2,

故選B.

【點睛】

本題考查求相反數(shù)，熟記相反數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5、B

【分析】根據(jù)垂徑定理可知，MN所在直線是直徑的位置，而兩條直徑的交點即為圓心，故最少使用2次就可以找到

圓形工件的圓心.

【詳解】根據(jù)垂徑定理可知，MN所在直線是直徑的位置，而兩條直徑的交點即為圓心，

如圖所示，使用2次即可找到圓心O,

B'V

故選B.

【點睛】

本題考直利用垂徑定理確定圓心，熟練掌握弦的垂直平分線經(jīng)過圓心是解題的關(guān)鍵.

6、C

【分析】先求出點4的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點4的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象上點的縱坐標(biāo)循環(huán)規(guī)律即可求出m

的值.

【詳解】當(dāng)y=0時，x1-3x=0,

解得：xi=O,xi=3,

???點出的坐標(biāo)為（3,0）.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知：點4的坐標(biāo)為（6,0）.

710104-6=336.......4,

???當(dāng)x=4時，y=m.

由圖象可知：當(dāng)x=l時的y值與當(dāng)x=4時的），值互為相反數(shù)，

：?m=~（1x1-3x1）=1.

故選：C.

【點睛】

此題考查的是探索規(guī)律題和求拋物線上點的坐標(biāo)，找出圖象上點的縱坐標(biāo)循環(huán)規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵.

7、A

【分析】根據(jù)線段的平移規(guī)律可以看出，線段AB向下平移了1個單位，向左平移了2個單位，相加即可得出.

【詳解】解：根據(jù)線段的平移規(guī)律可以看出，線段AB向下平移了1個單位，向左平移了2個單位，得到A'B',則

m+n=l.

故選：A

【點睛】

本題考查的是線段的平移問題，觀察圖形時要考慮其中一點就行.

8、C

【解析】直接利用二次根式的定義即可得出答案.

【詳解】,?,式子7三在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

二工的取值范圍是：x>L

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解答本題的關(guān)鍵.

9、A

【分析】從1到9這9個自然數(shù)中，既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)只有6—個，所以既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的

概率是九分之一.

【詳解】解：???既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)只有6—個，

???P（既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)）=1.

故選：A.

【點睛】

本題考查了用列舉法求概率，屬于簡單題，熟悉概率的計算公式是解題關(guān)鍵.

10、B

【分析】先按照平方差公式與完全平方公式計算（、6+6）（近-G）-QG+I）2,同時按照二次根式的除法計算

弧一嚴(yán)，再合并即可得到答案.

73

【詳解】解：（V7+G）（V7_G）_（26+ip+而-產(chǎn)

V3

=7-3-（12+4x/3+1）+V16-5/9

=4-13-46+4-3

--8-473.

故選B.

【點睛】

本題考杳的是二次根式的混合運算，掌握二次根式的乘法與二次根式的除法運算是解本題的關(guān)鍵.

11、B

【分析】先將％=-2,9=6代入一元二次方程4*-2）2+。=0得出。與。的關(guān)系，再將。用含。的式子表示并代

入一元二次方程ax2-2eix+a+c=O求解即得.

?

【詳解】??關(guān)于X的一元二次方程。（x-2）2+c=0的兩根為百二-2,x2=6

.*.f/（6-2）2+c=0^6Z（-2-2）2+（?=0

工整理方程即得：16〃+c=0

:.。=-16。

將。=一16。代入族?一2or+4+c=0化簡即得：x2-2x-15=0

解得：不二-3,x2=5

故選：B.

【點睛】

本題考查了含參數(shù)的一元二次方程求解，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件找出參數(shù)關(guān)系，并代入要求的方程化簡為不含參數(shù)

的一元二次方程.

12、D

【解析】A????原平均數(shù)是：（1+2+3+3+4+1）彳6=3;

添加一個數(shù)據(jù)3后的平均數(shù)是：（1+2+3+3+4+1+3）4-7=3;

???平均數(shù)不發(fā)生變化.

BJ??原眾數(shù)是：3；

添加一個數(shù)據(jù)3后的眾數(shù)是：3；

??眾?數(shù)不發(fā)生變化；

C.???原中位數(shù)是：3；

添加一個數(shù)據(jù)3后的中位數(shù)是：3；

，中位數(shù)不發(fā)生變化；

D..?.原方差是：（3-廣（3-2）:（3-3八2+（3-4『+（3-5）、3；

63

添加一個數(shù)據(jù)3后的方差是：GT?”3-2）2+（3—3）2x3+（3—4）2+（3-5）2=旦

77

???方差發(fā)生了變化.

故選D.

點睛：本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)的，熟練掌握相關(guān)概念和公式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、6

【分析】接運用平行線分線段成比例定理列出比例式，借助已知條件即可解決問題.

【詳解】AE=AC-EC=6-2=4,

VDE/7BC,

.ADAE

■?,

ABAC

解得：AD=6f

故答案為：6.

【點睛】

本題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用問題；運用平行線分線段成比例定理正確寫出比例式是解題的關(guān)鍵.

14、解：ND=NI，或NAED=NC.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理再補充一個相等的角即可.

【詳解】解：VZDAB=ZCAE

???NDAE=NBAC

二當(dāng)ND=NB或NAED=NC或AD：AB=AE：AC或AD?AC=AB?AE時兩三角形相似.

故答案為ND=NB（答案不唯一）.

15、40

【分析】根據(jù)投影的實際應(yīng)用，在同一時刻太陽光線平行，不同物體的實際高度與影長之比相等建立方程，可求出答

案.

【詳解】解：設(shè)建筑物的的高為x米，可得方程：

Qy

廠方解得一

答：此建筑物的高度為40米.

故答案是：40.

【點睛】

本題主要考察投影中的實際應(yīng)用，正確理解相似三角形在平行投影中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

16、1

【分析】先由角的互余關(guān)系，導(dǎo)出NOC4=N〃，結(jié)合N"OC=NCQA=9。。，證明利用相似三角

形的性質(zhì)，列出比例式，變形即可得答案.

【詳解】解：???NACB=90°,。_1_4〃于點。，

；?NBCD+NDCA=90°,ZB+ZfiCD=90°

：,/DCA=/B,

又???NBOC=NCO4=90°,

:.ABCDSACAD,

：.BD：CD=CDtAD,

22

：.AD*BD=CD=4=it

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì).

17>22.5

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出APCDsaPAB,利用相似三角形的性質(zhì)解題.

解：過P作PF_LAB,交CD于E,交AB于F,如圖所示

月:北岸二B

丁二尸/

C〈必甯岸

、*,■

P

設(shè)河寬為X米.

VAB/7CD,

/.ZPDC=ZPBF,ZPCD=ZPAB,

AAPDC^APBA,

,_AB~~___PF

??CD-BE*

.AB_15+x

**CD-15

依題意CD=20米，AB=50米，

15

?20/=

??力。15+x'

解得：x=22.5（米）.

答：河的寬度為22.5米.

18、4\/3----71.

3

【分析】連接AD,分別求出△ABC和扇形AMN的面積，相減即可得出答案.

【詳解】解：連接AO,

???。4與3C相切于點O,

：.AD±BCt

<AB=AC,Z4=120",

.\ZABD=ZACD=30°,BD=CD=-BC=243f

c二

222

：.AB=2ADf由勾股定理知BD+AD=AB,

即（2AD）2

解得AD=2t

/.△AUC的面積=—BCxAD=—x4A/3x2=4百,

22

扇形MAN得面積='O."*=±九,

3603

，陰影部分的面積=46—1乃.

故答案為：46—

3

【點睛】

本題考查的是圓中求陰影部分的面積，解題關(guān)鍵在于知道陰影部分面積等于三角形ABC的面積減去扇形AMN的面積,

要求牢記三角形面積和扇形面積的計算公式.

三、解答題（共78分）

19、（1）證明見解析；（2）cos/A8C=±；（3）當(dāng)NABC=30。，苫皿=2-J3；當(dāng)/ABC=45。，苫/=2一,2.

【分析】（1）先利用角平分線的性質(zhì)，得=,ZABD=}-ZABCt再利用外角、三角形內(nèi)角和進

22

行換算即可；

（2）延長AD,構(gòu)造平行相似，得到空=繪，再按條件進行計算；

AFDE

（3）利用aABC與4ADE相似，得到ZABC^90°,所以得到480=30?；?ABC=45。，再利用三角函數(shù)求

值.

【詳解】（D如圖1中

*-*AE-LAD

：.ZDAE=90°,ZE=900-ZADE

：AD平分N川C

：.ZBAD=-ZBAC,同理得NAB。=L/A3c

22

VZADE=ZBAD+ZDBA,

ABAC+ZABC=180°-ZC

/.ZADE=-(ZABC+ZBAC)=90o--ZC

.?.Z￡=9O°-^9O°-1ZC^=1ZC

(2)延長AD交BC于點F

VAE=AB

AZARE=NE

BE平分NABC

：.ZABE=ZEBC

：.ZE=ZCBE

:.AE//BC

：.ZAFB=ZEAD=90°，—=—

AFDE

??奧二

?DE3

MABC工"

ABAE3

(3),??△ABC與AADE相似，/DAE=90。

???ZABC中必有一個內(nèi)角和為90°

VZABC是銳角

???ZABC^90°

當(dāng)NB4C=NZME=9O。時

VZE=-ZC

2

AZA^C=ZE=-ZC

2

VZABC+ZC=90°

/.ZABC=30°,

VAD.9。分別是AA〃。的內(nèi)角NB4C、/A9C的平分線

???ZABD=15°,ZBAD=45°

>4Dxsin45o

AB=AOxcos45"

tan15°

sinx

Vtanx=.

-sin2x

???AB=4。xcos45°MDxsin45°x'加"

sin15°

代入解得

=1=2->/3

SfscIA3J

②當(dāng)NC=ND4E=90。時

Z￡=-ZC=45°

2

,/△ABC^AADE相彳以

:.ZABC=45°

VAD.BD分別是AA3C的內(nèi)角NR4C、N48C的平分線

，ZABD=22.5。,NBA。=22.5°

：,=2xADxcos22.5°=2xAZ)x>/l-sin222.5°

此時沙二坐［J「1二2-a

SABC("J(2xJl_sin222.5o>l

sS.\ADE

綜上所述，當(dāng)48C=30。，苦理=2-6.當(dāng)NABC=45。,

3AA8c\ABC

B

圖I

B

圖2

【點睛】

本題考查了相似三角形的綜合題，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

20、AGAD或AECH或AGFH，idEAGAD^ADBE.見解析.

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形.

【詳解】解：AECH,AGFH,ZkGAD均與ZkDBE相彳以，任選一對即可.

如選AGAD證明如下：

證明：??'△ARC與AEFD均為等邊三角形.

AZA=ZB=60°.

又丁ZBDG=ZA+ZAGD,

即ZBDE+60°=ZAGD+6O0,

.\ZBDE=ZAGD.

/.△DBE^AGAD.

點睛：等量關(guān)系證明兩對應(yīng)角相等是關(guān)鍵，考查了三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定.

21、⑴見解析；⑵①AE=2&，DE=4曰@tanZDBC=—.

【分析】（D①證明AABEgaOCE（SAS）,得出即可；

②連接AC,由自相似菱形的定義即可得出結(jié)論；

③由自相似菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

BEAE

（2）①由（1）③得△4BESZ\OE4,得出一=一=一,求出AE=2JJ,OE=4即可；

DEAEAD

②過￡作百忸"1人。于"，過。作ON_L3c于N,則四邊形OMEN是矩形，得出。N=￡M,DM=EN,NM=NN=

90",設(shè)AM=x,則￡N=0M=x+4,由勾股定理得出方程，解方程求出AM=1,EN=DM=5t由勾股定理得出ON

=EM='AE?-AM?=不，求出RN=7,再由三角函數(shù)定義即可得出答案.

【詳解】解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命題；理由如下：

如圖3所示：

???四邊形是正方形，點E是EC的中點，

Q

???A〃=CD,RE=CE,ZAHE=ZDCE=90t

在△ABE和AOCE中

AB=CD

<ZABE=ZDCEf

BE=CE

：.A4BE出△DCE(SAS),

:?△ARESADCE,

二正方形是自相似菱形，

故答案為：真命題；

圖3

②有一個內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形，是假命題；理由如下:

如圖4所示：

連接AG

???四邊形A5CD是菱形，

：.AB=BC=CDfAD//BCtAB//CD,

,:ZB=60°,

，△ABC是等邊三角形，ZDCE=120°,

丁點E是的中點，

：.AE±BCt

：.NAEB=NOAE=90。，

???只能AAEB與△ZME相似，

*：AB//CDf

，只能N5=NAEO,

若N4EO=N8=60。,貝!)NC宓0=180。-90°-60°=30°,

/.ZCDE=180°-120°-30°=30°,

；?NCED=NCDE,

：.CD=CEf不成立,

???有一個內(nèi)角為60。的菱形不是自相似菱形,

故答案為：假命題；

③若菱形力是自相似菱形，ZABC=a(00<a<90°),E為BC中點,

則在△A8E,△AEO,中，相似的三角形只有△45E與△AED,是真命題；理由如下:

VZ4BC=a(0°<a<90Q),

AZ090%且NA3C+NC=180。，ZkAbE與△EOC不能相似，

同理△AEO與△￡DC也不能相似，

丁四邊形是菱形，

：.AD//BCt

：.ZAEB=ZDAEf

當(dāng)N4ED=N5時，AABEsADEA,

???若菱形A4C&是自相似菱形，Z4fiC=a(0o<a<90o),E為BC中點,

則在△ABE,AAED,ZkEOC中，相似的三角形只有△A3￡與44￡。，

故答案為：真命題；

⑵①???菱形ABC。是自相似菱形，NABC是銳角，邊長為4,E為BC中點,

：.BE=2tAB=AD=4f

由(1)③得：△ABESAOEA,

?ABBEAE

??詬一酢一而

2

：.AE=BE^AD=2x4=8f

ABAE

：.AE=242>DE=

BE2

故答案為：AE=2yp2;OE=4夜；

②過￡作￡M_LAO于M,過。作ON_L3C于N,如圖2所示：則四邊形是矩形,

:?DN=EM,DM=EN,NM=NN=90。，

設(shè)AM=xt則EN=OM=x+4,

由勾股定理得：EM2=DE2-DM2=AE2-AM2,

即(4y/2--(x+4)2=(2V2)2-x2,

解得：x=l,

EN=DM=5t

??DN=EM=JAE2-4M2=J(20)2_1=>/7?

在RtZkEDN中，

???BN=BE+EN=2+5=7,

AtanZDBC=—=—,

BN7

故答案為：也.

7

圖2

【點睛】

本題考查了自相似菱形的定義和判定，菱形的性質(zhì)應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

Q

22、（1）證明見解析；（2）刖=；.

【分析】（1）連接AD,如圖，根據(jù)圓周角定理，再根據(jù)切線的判定定理得到AC是。。的切線；

⑵作F做FHJLAB于點H,利用余弦定義，再根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可

【詳解】⑴證明:如圖，連接AD.

VE是3。中點,

?**BE=DE-

:.ZDAE=ZEAB.

AZC=ZBAD.

VAB是G)O的直徑.

:.ZADB=ZADC=90°.

:.ZC+ZCAD=90°.

:.ZBAD+ZCAD=90°.

即BA±AC

???AC是。O的切線.

⑵解：如圖②，過點F做FH_LAB于點H.

VAD±BD,ZDAE=ZEAB,

AFH=FD,且FH〃AC.

在RtAADC中,

CD3

,:cosC=-----=—,AC=8,

AC4

32

同理，在RtABAC中，可求得BC=.

3

14

ABD=——.

3

14

設(shè)DF=x,貝！）FH=x,BF=——-x

3

VFH/7AC,

:.ZBFH=ZC.

FH3

：.cosZBFH=—=-

BF4

x_4

即一M=3.

x------

解得x=2.

【點睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用和切線的判定，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.連接半徑在證明

垂直即可

23、(1)屈;(2)672;(3)?6或士3.

75

【分析】(1)平行四邊形尸G對角線。尸的長就是RSOC尸的斜邊的長，由勾股定理求解；

(2)平行四邊形OEFG周長的最小值就是求鄰邊2(DE+EF)最小值，OE+E尸的最小值就是以A8為對稱軸，作點

廠的對稱點連接OM交A8于點N,點E與N點重合時即OE+E5=OM時有最小值，在RSOMC中由勾股定理

求OM的長；

(3)平行四邊形OEPG為矩形時有兩種情況，一是一般矩形，二是正方形，分類用全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直

角三角形判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)和勾股定理求解.

【詳解】解：(1)如圖1所示：

???四邊形A5C。是矩形，

NC=90。，AD=BCtAB=DCf

?:BF=FC,AD=2i

AFC=1,

VAB=3；

:?DC=3,

在RtZkDC尸中，由勾股定理得，

:?DF=7FC2+DC2=Vl2+32=Vio；

作點下關(guān)直線AB的對稱點連接QA7交AB于點N,

連接NF,ME,點E在A3上是一個動點，

①當(dāng)點E不與點N重合時點M、E、O可構(gòu)成一個三角形，

工ME+DE>MD,

②當(dāng)點E與點N重合時點M、E(N)、。在同一條直線上,

：.ME+I)E=MD

由①和②。B+E尸的值最小時就是點月與點N重合時，

?；MB=RF,

：.MC=3f

又,：DC=3,

是等腰直角三角形，

；?MD=VMC2+DC2=V32+32=3V2，

:?NF+DN=MD=3叵,

1?/平行四邊形。EFG=2(NF+DF)=65/2;

(3)設(shè)4E=x,貝ljBE=3-x,

???平行四邊形DEFG為矩形，?,?NOEF=90。，

?；NAED+NBEF=9Q。,NBEF+NBFE=%。,

工NAED=NBFE,

又=尸=90。，

工△DAES/^EBF,

.AE_AD

**BF-BE*

?x_2

?13-1

解得：x=l,或x=2

①當(dāng)4E=LBE=2時，過點8作尸，

如圖3(甲)所示：

A

E

B

國3（甲）

丁平行四邊形OEFG為矩形,

，NA=NA"=90°,

又???3尸=1,AD=2r

AD=BE

二在△AOE和△8E尸中,ZA=ZABF,

AE=BF

???△AOEg/XBE/中（SAS）,

：.DE=EFf

，矩形/G是正方形；

在RtZiEBF中，由勾股定理得:

EF=VBE2+BF2="+產(chǎn)=石，

.吁BEBF_2后

??nn----------------------

EF5

又*：ABEF?△HBF,

.BH_HF

'BE-BF

BHBF

HF=5——

BE

在△HP”和AGP戶中有：NBPH=NGPF,NBHPNGFP,

:?△BPHSAGPF,

,BH_HP_-4S_2

:.-----=-----=5=—

G尸F(xiàn)P否5

.??尸尸=』?〃尸=逝,

77

又?:EP+PF=EF,

：,EP=y/5-—=-^,

77

又?：AB〃BC,EF//DGf

:?NERP=NDQG,NEPR=NDGQ,

一.△EBPsADQG(AA),

-V56

?,BP—EP—r-

??--—=—--—-—=77—=——

QGDG7

②當(dāng)AE=2,8E=1時，過點G作GHJ_OC,

如圖3（乙）所示:

%

?BDEFG為矩形,

.\ZA=ZEBF=90°,

*：AD=AE=2fBE=BF=1,

六在Rt^AOE和RtZXE尸3中，由勾股定理得：

:.ED=>]AD2+AE2=2叵，

EF=VBE2+BF2=Vl2+12=叵，

AZ4DE=45°,

又???四邊形/G是矩形，

:?EF=DG,NE