2021年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

2021年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試卷

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是

第I題圖

A.長方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

2黨的十八大以來，堅(jiān)持把教育扶貧作為脫貧攻堅(jiān)的優(yōu)先任務(wù).2014—2018年，中央財(cái)政累計(jì)投入“全

面改善貧困地區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)校基本辦學(xué)條件”專項(xiàng)補(bǔ)助資金1692億元.將169200000000用科學(xué)記數(shù)法

表示應(yīng)為

A.0.I692X1012B.1.692X1012

C.I.692X10"D.16.92X10,c

3.如圖，點(diǎn)O在直線A3上，OC_LOD.若NAOC=120。，則N3OO的大小為

第3題圖

A.30°B.40°C,50°D.60°

4下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是

△

A

5.實(shí)數(shù)。在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是

-3-2-1€1[2

第5題圖

A.a>~2B.|fl|>Z>C.a+〃>0D.Z>—?<0

6同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是

A.；C」D.1

7.已知43?=1849，44?=1936，452=2025，46?=2116.若n為整數(shù)，且n<yj202\<n+I，則n的值為

A.43B.44C.45D.46

8.如圖，用繩子圍成周長為IO〃7的矩形.記矩形的一邊長為.17〃，它的鄰邊長為以〃，矩形的面積為

當(dāng)工在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，），和S都隨x的變化而變化，則），與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9若4三在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

10.分解因式：5『一5），2=

11.方程2孱=1T的解為

12.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若反比例函數(shù)伏#0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)4（1，2）和點(diǎn)5（—I，〃?），則/"

的值為.

13.如圖，以，PB是。O的切線，A，B是切點(diǎn).若NP=50。，則NAO8=

第13題圖

14.如圖，在矩形A/3CO中，點(diǎn)￡，/分別在BC，A。上，A1，=EC.只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形

AECF是菱形，這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）.

第14題圖

15.有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，如二表所示:

甲II12131415

乙1212131414

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為*，或，則*?&（填，“<”或“="）.

16某企業(yè)有人，B兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線.在一天內(nèi)，人生產(chǎn)線共加工。噸原材料，加工時(shí)間

為（4.+1）小時(shí)；在一天內(nèi)，B生產(chǎn)線共加工b噸原材料，加工時(shí)間為（2力+3）小時(shí).第一天，該企業(yè)將5噸

原材料分配到A，8兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間相同，則分配到A生產(chǎn)線

的噸數(shù)與分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為.第二天開工前該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配

了5噸原材料后，又給4生產(chǎn)線分配了〃，噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了〃噸原材料?.若兩條生產(chǎn)線都能在

一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時(shí)間相同，則（的值為.

三、解答題（共68分，第17—20題，每題5分，第21—22題，每題6分，第23題5分，第24題6

分，第25題5分，第26題6分，第27—28題，每題7分）

解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計(jì)算：2sin600+血+|—5|一（〃+2）°.

4x-5>x+1

18.解不等式組：3x-4

19.已知"+2護(hù)一l=0，求代數(shù)式（a—力）2+僅2〃+〃）的值.

20《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)A處立一-根

桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)B，使B，A兩點(diǎn)間的距離為I0步（步是古代的一種長度單位），在

點(diǎn)6處立?根桿；口落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)6處的桿的影了的方向取點(diǎn)。，使C，S兩點(diǎn)間的距離為10

步，在點(diǎn)C處立一根桿.取CA的中點(diǎn)。，那么直線。8表示的方向?yàn)闁|西方向.

（I）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)A，B，。的位置如圖所示.使用直尺和圓規(guī)，在圖中

作CA的中點(diǎn)。（保留作圖痕跡）；

第20題圖

(2)在上圖中，確定了直線。8表示的方向?yàn)闁|西方向.根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直

線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较?完成如下證明.

證明：在AABC中，BA=，。是CA的中點(diǎn)，

:.CA±DB()(填推理的依據(jù)).

???直線。8表示的方向?yàn)闁|西方向，

???直線。表示的方向?yàn)槟媳狈较?

21.已知關(guān)于x的一元二次方程/一4〃“+3加2=0.

(I)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

⑵若m>0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求〃?的值.

22如圖，在四邊形A8CO中，N4CB=/CAO=90。，點(diǎn)E在BC上>AE//DC>EFLAB，垂足為E

(1)求證：四邊形AECQ是平吁四邊形；

4

⑵若AE平分NBAC，BE=5，COS^=T，求3尸和八。的長.

第22題圖

23在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，一次函數(shù))，=履+萬優(yōu)工0)的圖象由函數(shù).y=Wx的圖象向下平移1個(gè)單

位長度得到.

(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)x>-2時(shí)，對于x的每一個(gè)值，函數(shù)〃層0)的值大于一次函數(shù))，=h+》的值1直接寫出m

的取值范圍.

24如圖，。。是8c的外接圓，A。是。。的直徑，AD上BC于點(diǎn)E.

(1)求證：/BAD=/CAD；

(2)連接BO并延長，交4c于點(diǎn)尸，交。0于點(diǎn)G、連接GC.若。0的半徑為5，0E=3，求GC和。尸

的長.

第24題圖

25為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各隨機(jī)抽取

了25家郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入(單位：百萬元)的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面

給出了部分信息.

a.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組：6Wx<8，8<x<10，10W

x<12，12Wxvl4，14WXW16）：

第25題圖

b.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10W.EI2這一組的是:

10.010.010.110.911.411.511.6

11.8

。甲、乙兩座城巾郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)

甲城市10.8???

乙城市11.011.5

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

(1)寫出表中m的值；

⑵在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)數(shù)為人在乙城市抽

取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)數(shù)為〃2.比較小，〃2的大小，并說明理

由；

⑶若乙城市共有200家郵政企業(yè)，估計(jì)乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入(直接寫出結(jié)果).

26.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，點(diǎn)(1，⑼和點(diǎn)(3，在拋物線y=a?+bx(a>0)上.

(1)若m=3?〃=15，求該拋物線的對稱軸;

(2)已知點(diǎn)(一I，yi)，(2?yi)'(4、”)在該拋物線上.若5比較9，y2,”的大小5并說明理由.

27.如圖，在△AAC中，A8=AC*NH4C'=a，M為8C'的中點(diǎn)，點(diǎn)。在MC,上，以點(diǎn)4為中心，將

線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE，連接BE，DE.

(1)比較N8AE與NCA。的大?。河玫仁奖硎揪€段8E，3M，M。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(2)過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

HI)

第27題圖

28在平面直角坐標(biāo)系中，。。的半徑為1.對于點(diǎn)A和線段BC，給出如下定義：

若將線段BC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦BC球(B，，C'分別是B，C的對應(yīng)點(diǎn))，則稱線段BC是。。

的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點(diǎn)A，8，G，&，。2，&，C3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段囪G，82c2，83c3中，00

的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；

第28題圖

(2)448C是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)4(0,)，其中/W0.若5C是。。的以點(diǎn)4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，

求：的值；

(3)在8c中，A8=1，AC=2.若灰?是。。的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出04的最小值

和最大值，以及相應(yīng)的BC長.

2021北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷解析

1.B【解析】長方體的展開圖中沒有圓，???A選項(xiàng)不符合題意；圓柱的展開圖中有兩個(gè)圓與一個(gè)長方

形，???8選項(xiàng)符合題意；圓錐的展開圖中沒有長方形，???c選項(xiàng)不符合題意；三楂柱的展開圖中沒有圓，工

。選項(xiàng)不符合題意.

2.C【解析】169200000000=1.692X10”.

3.A【解析】二"點(diǎn)O在直線上?/.Z：AOC+ZBOC=180°.VZ：AOC=\20°/6OC=180°—120。

=6Q°.TOCJL。。，，/800=90°—60。=30°.

4.D【解析】〃邊形的內(nèi)角和為(〃-2)乂180。，設(shè)〃邊形的內(nèi)角和為y，則y=(〃-2)X180。，可知y

隨?的增大而增大，可見邊數(shù)大的多邊形內(nèi)角和也大.四個(gè)選項(xiàng)中，邊數(shù)分別為3，4，5，6，故。選項(xiàng)的

多邊形內(nèi)角和最大.

5.B【解析】由實(shí)數(shù)〃，人在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置，可知一3?—2,0。<1，.??A錯(cuò)誤；???一3<〃<

-2，0</?<1，，同，，間>b，：.B止確；V-3<a<-2，0<2<1，，悶>步|，?二a+XO、錯(cuò)誤；

V-3<?<-2，0</^1?：.b-a>Q，，。錯(cuò)誤.

6.C【解析】畫樹狀圖如解圖：

第一枚硬承

第二枚硬品

第6題解圖

由樹狀圖可得，共有4種等可能的結(jié)果，其中一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的結(jié)果有2種，

91

???P(一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上)

7.B【解析】V1936<2021<2025，.，.^/1936<^2021<^2025，A44<^2021<45.???〃<45而<〃+1，，/z

=44.

8-A【解析】???用繩子圍成周長為10，〃的矩形，記矩形的一邊長為，它的鄰邊長為，???x+y

=5，工y=-x+5，工y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系矩形的面積為S稼S=x(—x+5)=一

『+5x，???S與x滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系.

9?工27【解析】要使石與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，只需x—720，解得G7.

10.5(x+y)(x—y)【解析】原式=5(f—)2)=5(x+y)(x—y).

11.x=3【解析】去分母,得2A-=X+3：移項(xiàng)，得2A—x=3；合并同類項(xiàng)，得x=3，經(jīng)檢驗(yàn)x=3

是原分式方程的解.

12.-2【解析】???反比例函數(shù))，=*20)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(l，2)，???2=專，解得女=2,將點(diǎn)8(—I，

人I

22

代入y=人~，得I加，解得陽=一2.

13.130【解析】,：PA，PB是。。的切線，A，3是切點(diǎn)，??.Q4_LAP，OBIBP，JZOAP=ZOBP

=90。，在四邊形OAPB中，：NP=50°，/AO8+N(MP+NOBP+NP=36()°，NAOB+900+900+50。

=360°，解得N4QB=l30。.

14?人尸=尸。(答案不唯一)【解析】：四邊形ABC。是矩形，."O〃BC「??"=EC，，四邊形

是平行四邊形，要使平行四邊形AECF是菱形，只需鄰邊相等，BPAF=FCAE=ECAF=AEEC=

FC

15.>【解析】??“甲=：義(11+12+13+14+15)=13，X^=￡X(12+12+13+14+14)=13，，媼=：

JJJ

[(III3p+(1213)2+(1313)2+(1413產(chǎn)+(1513產(chǎn)]=2，￡=?(1213產(chǎn)+(1213產(chǎn)+(1313尸+(14

4

—13)2+(14—13)2]=7?

16.14【解析】設(shè)分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為-V噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為(5-X)噸，由題意

可得，4x+l=2(5—x)+3，解得i=2，5一尸3，，分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為2噸，分配到B生產(chǎn)線的噸

數(shù)為3噸，，分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為余第二天開工前，該企業(yè)給A生產(chǎn)線

分配了(2+M噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了(3+〃)噸原材料，由題意可得，4(2+〃。+1=2(3+〃)+3，化簡

得,4〃?=2n，

17.解:原式=2X乎+2小+5-1

=3小+4.

'4L5>X+1①

18.解：設(shè)(3%-4三'

解不等式①，得心>2，

解不等式②，得x<4，

???不等式組的解集為2VF4.

19.解：原式=(〃-bp+bQa+b)

=(r-2ab^lr+2ab+b1

=cr+2b2，

???。2+2〃-]=()，

，屋+2〃=1，

，原式=1.

20.解：⑴如解圖，點(diǎn)。即為所求;

第20題解圖

(2明。，等腰三角形三線合一.

21?(1)證明：*.*b2—4ac=(—Am)2—4X1X3m2=4in2^()，

???該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)解：F—4〃a+3〃戶=0可化為。一小)。一3〃?)=0，

?*?xi=fii9x?—3/H.

V/n>0?

m<3m.

???該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，

/.X2~X\—3m—m=2m=2，

解得m=l.

22?(1)證明：VZACR=ZCAD=900'

：,AD//EC.

,：AE//DC，

???四邊形AECD是平行四邊形；

4

(2)解：TEF上AB，BE=5，cosB=g，

4

,在RtABEF中，BF=BEcosB=5Xq=4，

，律=、3￡2-8產(chǎn)=)52-42=3

?7AE平分NR4C，NAC8=90。，EFLAB，

：,CE=EF=3.

四邊形AECD是平行四邊形，

：.AD=CE=3.

23.解：(1)???一次函數(shù))，=依+》的圖象是由函數(shù)y=%的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到的，

，/?=0—1=—1?

，一次函數(shù)的解析式為；

(2)注意取等問題還有平行問題，找到答案不在話下.

的取值范圍為I.

【解法提示】如解圖，當(dāng)函數(shù)y=nix的圖象與一次函數(shù)y=^x—1的圖象平行時(shí)，此時(shí)當(dāng)x>-2

時(shí)，對于x的每一個(gè)值?函數(shù)y=nvc的值大于一次函數(shù)1的值；當(dāng)x=~2時(shí)，y=^X(—2)—I=—

2,當(dāng)函數(shù)y=mx的圖象恰好過點(diǎn)(一2，一2)時(shí)?m=1?此時(shí)當(dāng)x>—2時(shí)，對于x的每一個(gè)值?函數(shù)y=mx

的值大于一次函數(shù)y=%—I的值；結(jié)合函數(shù)圖象可得，加的取值范圍為1.

第23題解圖

24.⑴證明：?.?4。是。。的直徑，AO_L8C，

：.Sb=CD，

：.ZBAD=ZCAD；

(2)解：如解圖，???A。是。0的直徑，4O_L4C，

第24題解圖

:?BE=CE.

?：OB=OG，

???0E是ABCG的中位線，

：.OE//GC，GC=2OE=6，

：,ZOAF=ZGCF，

???ZAFO=/CFG，

:.XAOFsXCGF，

.QF=0A=5

,,GF-GC-6'

.OF5

*'OG~\\"

5525

???OF=~^OG=^X5=汴

25.解：（l）m=10.1；

【解法提示】甲城市的中位數(shù)為將25個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第13個(gè)數(shù)據(jù)，為10.1*.-./?=10.1.

（2）pi</>2，理由如下：

???甲城市抽取的郵政企業(yè)的4月份收入的平均數(shù)為10.8，

???pi=5+3+4=12.

???乙城市抽取的郵政企業(yè)的4月份收入的平均數(shù)為11.0，中位數(shù)為11.5，且ll.Ovll.5，

，P2213，

/./?1</72；

（3）2200百萬元.

【解法提示】乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入約為200X11=2200（百萬元）.

26.解：*：m=3，n=\5，

，將點(diǎn)（1，3）和點(diǎn)（3，15）分別代入y=o?+⑤中，得

3=。+》

15=9。+3>

a=1

解得LC，

b=2

???拋物線的解析式為y=f+2x，

2

，該拋物線的對稱軸為直線工=一后=-1；

Z入1

（2）V?>0，川〃<0，

：.m<0>/?>0，

I3

???拋物線的對稱軸，

351357

，點(diǎn)（一1a）到對稱軸的距離齊力<5'點(diǎn)Q少2）到對稱軸的距離5<小<5，點(diǎn)（4g）到對稱軸的距離5<由9'

；.d2<d\<d3.

Vd>()，

???拋物線上的點(diǎn)距離對稱軸越近，y值越小，

27.解：(1)N8AE=NG4D，

證明：由旋轉(zhuǎn)得，^DAE=a，AE=AD，

???ZBAC=a，

：.ZDAE=ZBAC，

，N3AE+ZBAD=NCAQ+ZBAD，

：.ZBAE=ZCAD.

\'AB=AC，

???△ABEgZ\ACQ(SAS)，

：.BE=CD.

???M是BC的中點(diǎn)，

，BM=CM=CD-\-MD=BE+MD；

⑵NE=ND.

證明：如解圖，連接AM、AN，

???48=AC，M是BC的中點(diǎn)，

：,AMYBC，即NAM3=N4WC=90。，

NAMN+NBMN=90。.

'CMNVAB，

ZABC+/BMN=90°，

???/AMN=4ABC.

*：AB=AC，AD=AE，ZBAC=ZDAE=a，

???RABC=/ADE，

???4AMN=4ADN，

角相等了，小鹿尋思著，是不是能證四點(diǎn)共圓了呢？

???A、。、M、N四點(diǎn)共同，

，ZAND=ZAMD=90°.

*：AD=AE,

:?NE=ND.

Bingo，四點(diǎn)共圓十三線合1一卷案，立馬就出來了!

第27題解圖

28.解：⑴&C2