上海市某中學2024-2025學年高一年級下冊開學摸底考試數學試題（含答案）

2024-2025學年上海市南洋模范中學高一下學期摸底考試卷

數學試卷

(考試時間120分鐘滿分150分)

考生注意：

1.帶2B鉛筆、黑色簽字筆、科學計算器、考試中途不得傳借文具.

2.本試卷共3頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘

3.請將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評分

一.填空題(12題共54分，1?6題每題4分，7?12題每題5分)

(〃一1)(2〃+1)

lim---------------乙=

］3n.

2

【答案】一

3

【解析】

【分析】根據極限的運算法則，利用limL=0,直接可求得結果.

28n

_1_±

【詳解】(?-1)(2?+1)2n2-n-l「2〃一二2,

吠川十lrim-----%------=lim--------——=lim——-~~—=-，

”-003n3n…0033

一、、,2

故答案為：一

3

2.函數/(x)=|x—1|的單調遞增區(qū)間為.

【答案】［1,+8)(或(1,+8)也正確)

【解析】

【分析】根據函數解析式直接得出單調區(qū)間.

【詳解】/X=X-1=<

所以函數/(x)=|x—1|的單調遞增區(qū)間為［1,+8).

故答案為：［l,+s)(或也正確)

x+l,x<1

3.函數/(x)==「則/(/(2))=—

-x+3,x>1

【答案】2

【解析】

1/15

【分析】先計算/(2)=—2+3=1,再計算/⑴即可.

【詳解】因為/(2)=—2+3=1,

所以/(/(2))=〃1)=1+1=2,

故答案為：2

【點睛】本題主要考查了分段函數求函數值，屬于基礎題.

、,兀、1217r37t

4.知cos(tz—)=一，且一<a<一，貝|cosa=.

41344-----------

【答案】謔##工應

2626

【解析】

【分析】根據題意，利用三角函數的基本關系式，求得sin(a-四)=』，再結合兩角和的余弦公式，即可

413

求解.

71JTL7171

【詳解】因為一<a<—，可得0<a——<-,

4442

又因為cos(a-；)=弓，所以sin(a-；)=\，

則cosa=cos[(a--)+—]=cos(a--)cos--sin(a-—)sin—=x^-=.

44444413213226

故答案為：謔.

26

5.方程cosx-gsinx=1(xe[0,2兀])的解集為

【答案】|o,y,27rj

【解析】

【分析】根據輔助角公式和余弦型函數的圖象及性質即可求解.

【詳解】因為cosx-VJsinx=1，

所以2cos卜+gbl(x￡[0,2兀]),

2/15

所以cos|x+g

2

又xe[0,2句,

…71兀771

所以X+§￡

LL…兀兀-71571T兀7兀

所以％+—=―或X+一=——或xX+—=—

333333

4兀

解得1=0或、=—或x=2兀.

3

故解集為（o,?,27rl.

0,y,27rL

故答案為:

2m—3

6.要使sina=--------有意義，加的取值范圍是

4-m

、，7

【答案】-1,—；

【解析】

【分析】利用正弦函數的性質求出范圍，列出不等式求解作答.

【詳解】因sinae[—1,1],因此

4-m

網31

所以《4-m

^>-1

、4-m

網10

所以《4-m

1±^>0

、4一加

7

加＞4或冽（一且-IV加＜4

3

7

解得一1<m<—,

3

7

所以實數優(yōu)的取值范圍為-IVm<—.

3

3/15

7

故答案為：一10

3

7.已知cos（a+cos（（z-/7）=——,則tanatan^=

【答案】-7

【解析】

43

【分析】根據cos(a+夕)=1,cos(a-j3)=--,利用兩角和與差的余弦公式展開，再兩式相加、相減

分別得到cosacos尸、sinasin/7,然后利用商數關系求解.

43

【詳解】因為cos(a+m=y,cos((z-^)=-j,

43

所以coscos,一sincesin,=-,cosacos+sinersin/3=--,

兩式相加得：cosercos=—,

7

兩式相減得：sinasin/3=-----,

10

所以tanatan夕=-7,

故答案為：-7

【點睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數的應用以及同角三角函數的基本關系式的應用，還考查了運

算求解的能力，屬于中檔題.

8.若函數/(x)=-8-ax-2x)是偶函數，則該函數的定乂域是.

【答案】[-2,2]

【解析】

【詳解】因為函數/(x)=J8—以—是偶函數,則a=0,函數/(x)=,8-2/的定義域8-2d20

解得-2<x<2,故函數的定義域為[—2,2].

及答案為[-2,2].

9.已知x20/NO,且x+y=1,則—+儼的取值范圍是.

【答案】耳,11

【解析】

【詳解】試題分析：x2+v2=x2+(l-x)2=2x2-2x+l,xe[0,l],所以當x=0或1時，取最大值1；當

4/15

X=1時，取最小值］因此必+/的取值范圍為［；/］.

【名師點睛】本題考查了轉化與化歸的能力，除了像本題的方法，即轉化為二次函數求取值范圍，也可以

轉化為幾何關系求取值范圍，即x+.v=l表示線段，那么/+/的幾何意義就是線段上的

點到原點距離的平方，這樣會更加簡單.

10.已知VZ8C中，。=1,b=2,若VZ8C為鈍角三角形，則c的取值范圍是.

【答案】(1,6)U(右,3)

【解析】

【分析】根據已知條件，結合三角形的性質，推得l<c<3,再結合余弦定理，即可求解.

【詳解】在V/8C中，a=\,b=2,

則—+即1<C<3,

b=2,a<b,

則角B為鈍角或角C為鈍角，

若角B是鈍角,

122-22

則cos5<0,即^+^C——<0,

2xlxc

故1<C<VL

若角。是鈍角，

i2_2

則cosC<0,即］“1<0,解得后<c<3.

2x1x2

綜上所述，C的取值范圍是(1,G)U(右,3).

故答案為：(1,V3)U(V5,3)-

11.己知V/8C的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足b=3,cos28=cos(Z+C),則V48C

周長的取值范圍為.

【答案】(6,9］

【解析】

【分析】先求角3,再結合基本不等式和余弦定理可求三角形周長的取值范圍.

【詳解】由cos2S=cos(^+C)n2cos25-1=-cos5n(cos3+l)(2cosB—l)=0,

5/15

|_TT

因為B為三角形內角，所以cosB+lwO,所以cosB=—，所以3=—.

23

由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，BPa2+c2-tzc=9.

所以(a+c『—9=3K—，所以所以-6%+*.

又a+c〉b=3,所以6<a+b+c?9.

故答案為：(6,9］

12.設函數/0愴］+2工+31+：0+49.+50%,其中aeR,如果不等式/(x)〉(x-l)lg50在區(qū)間

［1,+⑹有解，則實數a的取值范圍為.

47

【答案】a>一~—

2

【解析】

【分析】根據題意，將原不等式等價變形為：(1-。)50"<1'+2'+3'+...+491再變量分離得到

1-a<(>+(#+(#+...+(含，原不等式在區(qū)間口，+◎上有解，即1-a小于右邊的最大值.根據

指數函數的單調性得到右邊的最大值即可得到實數。的取值范圍.

【詳解】不等式/(x)>(x-l)lg50,即］g1+2工+3。+4寸+50：a〉a_］)愴50=愴50㈠)，

原不等式可化為1+2、3、+L+49*+50、a>50”，

移項得(1-a)50*<F+2x+3x+...+49"

兩邊都除以503得

不等式f(x)>(x-l)lg50在區(qū)間［1,+s)有解，即(*)式的右邊的最大值大于1-a

在［1+功上是一個減函數

12349150x4949

當X=1時,g(x)的最大值為77+77——=——x

505022

因此得實數。的取值范圍是一萬,

故答案為：tz>-—

2

6/15

二.選擇題（4題共18分，13?14每題4分，15?16每題5分）

13.若e終邊不在坐標軸上，且?05。,05。|+$由。卜由。|=一1,貝ije在（）

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D.第四象限

【答案】c

【解析】

【分析】根據同角三角函數關系及任意角三角函數判斷象限即可.

【詳解】因為cose|cose|+sin，bina=-1=-^sin26>+cos26*）,

所以卜in。［=一sin一cos。=|cos0|,

所以cos。40,sin。<0,。終邊不在坐標軸上

所以6在第三象限.

故選：C.

14.若sina+cosa=l,則tantz+cota的值是（）

A.1B.-1C.0D.不存在

【答案】D

【解析】

【分析】將已知條件兩邊平方，求得sinacosa=0,由此求得a的取值范圍，從而判斷出tana+cota的

值不存在.

【詳解】由5m戊+?051=1兩邊平方得5也2&+25卜&（：05&+（：052（/=1，即sinacosa=0,所以

k兀

a=——，所以tana+cottz的值不存在.

2

故選：D

【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，屬于基礎題.

,A

15.在V45C中，若sin3sinC=cos2—,則V/5C一定是（）

2

A.等腰三角形B,直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角恒等變換，判斷三角形的形狀.

【詳解】由sin8sinC=cos2gnsin3sinC==>2sin8sinC=1—cos（8+C）,

所以：cos5cosC+sin5sinC=1=>cos（5-C）=1.

7/15

因為民。為三角形內角，所以B=C.

所以V48C為等腰三角形.

故選：A

16.已知函數/(g(x))為偶函數，則函數/(x),g(x)的奇偶性為()

A.均為偶函數B,至少有1個為偶函數C.均為奇函數D.至少有1個為奇函數

【答案】B

【解析】

【分析】分別根據函數/(x),g(x)的奇偶性，判斷函數/(g(x))的奇偶性，進行判斷.

【詳解】若函數/(x),g(x)均為偶函數，則/(g(—x))=/(g(x))，所以/(g(x))為偶函數；

若函數/(X)為偶函數，g(x)為奇函數，則/(g(—x))=/(—g(x))=/(g(x)),所以/(g(x))為偶函

數；

若函數/(X)為奇函數，g(x)為偶函數，則/(g(-x))=/(g(x)),所以/(g(x))為偶函數；

若函數/(X)為奇函數，g(x)為奇函數，則==所以/(g(x))為奇

函數.

所以函數為偶函數，則函數/(x),g(x)至少有1個為偶函數.

故選：B

三.解答題(共78分，17?19每題14分，20?21每題18分)

17.已知定義域為R的函數/(x)=sin(兀+工卜山《+:|

(1)判斷函數的奇偶性并求其最小正周期

(2)若/(a)=—得，0<?<求：的值.

【答案】(1)奇函數，最小正周期為兀；

0、3+46

20

【解析】

【分析】(1)先根據誘導公式和二倍角公式化簡函數/(x)的解析式，再分析函數的性質.

(2)根據和角公式求值.

8/15

【小問1詳解】

因為/(x)=sin(兀+x)sin[l+x]=-sinxcosx=—sin2x.

由/(x)=—gsin2x,所以/(一%)二一不皿一2%)=gsin2x=-/(x),所以函數/(x)為奇函數.

且函數/(x)的最小正周期為：7二3=兀.

【小問2詳解】

3133

由/(a)=-----，所以——sin2a=-----nsin2a=一,

102105

2兀1

且0<2a<—,所以—<cos2a<1,

32

若cos2a20,貝ijcos2a-Vl-sin22a--；

5

若cos2a<0,則cos2a=——sio?2a=—<—，故cos2a<0不合題意，舍去.

52

4

所以cos2a=—.

5

所以sin120+巴]=sin2acos—+cos2asin--2X—+—3+4^3

I3J33525210

所以/[&+￡]=-3smi2a+m]=—^^,

18.設函數y=/(x),其中f(x)=x2\x-a\.

(1)若函數歹=/(x)是偶函數，求實數。的值；

(2)若ae(2,3),記g(x)=/(x)-10,求證：函數，=g(x)在[2,4]上有零點.

【答案】(1)0(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據/(D=/(T)求出。=0,在驗證。=0時，/(x)為偶函數即可；

(2)利用ae(2,3)結合零點存在性定理即可證明.

【小問1詳解】

若函數y=/(x)是偶函數，則/⑴=/(—1),即|1_可=|_1_回,

所以1一。=一1一?；騦-a=l+a,所以。=0,

此時f(x)=x2\x\,/(—x)=(-x)2|-x|=x21x|=/(x),滿足/(%)為偶函數，

9/15

所以a=0.

【小問2詳解】

因為g(x)=/(x)-10=x21x-o|-10,

所以g(2)=4|2—a|—10=4|a—2|—10,g(4)=1614-a|-10=161tz-41-10,

因為ae(2,3),所以a—2e(0,1),tz—4G(—2,—1),

所以g(2)=4|a-2|-10e(-10,-6),g(4)=161a-41-10G(6,22),

所以當ae(2,3)時,g(2)g(4)<0恒成立，

故函數V=g(x)在[2,4]上有零點.

19.某市為了刺激當地消費，決定發(fā)放一批消費券.已知每投放a(O<aV4,aeR)億元的消費券，這批消

費券對全市消費總額提高的百分比了隨著時間x(天)(xeR,x20)的變化的函數關系式近似為j=當,

其中/(》)=7-x,2<x<7,若多次投放消費券，則某一時刻全市消費總額提高的百分比為每次投放的

0,x>7

消費券在相應時刻對消費總額提高的百分比之和.

(1)若第一次投放2億元消費券，則接下來哪段時間內能使消費總額至少提高40%?

(2)政府第一次投放2億元消費券，4天后準備再次投放機億元的消費券，將第二次投放消費券后過了x天

(xeR,0<x<2)時全市消費總額提高的百分比記為g(x).若存在/e[0,2],使得g(x0)>80%，試求m

的最小值.

【答案】(1)接下來的1?5天內，能使消費總額至少提高40%

⑵-

5

【解析】

【分析】(1)將問題轉化為了(x)N2,分別在各段區(qū)間內解不等式即可求得結果；

(2)分別表示出第一次投入和第二次投入帶來的消費總額提高的百分比，由此可得g(x),由g(x)280%

可分離變量得到m2+6有解,令/=3+x,'0「(7)+463)+6,結合對勾函數單

3+xt

10/15

調性可確定力的最小值，即-2廠+4x+6的最小值,進而得到結果.

3+x

【小問1詳解】

當a=2時，了=4^；若了之40%,則〃x"2；

3+x

當0WxW2時，/(%)=——>2,解得：l?x〈2；

當2<x<7時，/(x)=7-x>2,解得：2<x<5；

當x>7時，/(x)=022不成立；

綜上所述：l<x?5,即接下來的1?5天內，能使消費總額至少提高40%.

【小問2詳解】

記第一次投放2億元優(yōu)惠券對全市消費總額提高的百分比力,第二次投放加億元對對全市消費總額提高的

百分比為必，

當0X2時，"=2［7—(x+4)］3-xm3+x

—，y?~

-1105103-x

3-xm3+x4

貝Ug(x)=%+%=----1-------280%——有解,

5103-x5

—2x?+4x+6

即加2有解;

3+x

令，=3+x,貝!UE［3,5］,x=t-3,

令畸)=-2(-3)；4(-3)+6=-2/+,-24=_+16(3<,<5),

;y=2/+，在［3,273］上單調遞減,在［273,5］上單調遞增，

h(t)在［3,273］上單調遞增，在［273,5］上單調遞減，

2

;7/_\.61/、6—2%+4x+6)6

又“(3)=2,//(5)=---.h(t)m,n=-,即r—=不，

:.m>-,則加的最小值為9.

55

20.設aeR,已知函數>=/(x)=log?(x+a).

(1)當a=2時，用定義證明y=/(x)是(—2,+8)上的嚴格增函數；

11/15

(2)若定義在-2,2］上的奇函數歹=8(切滿足當04%42時，g(x)=/(%),求g(x)在區(qū)間［-2,0］上的

反函數>=〃(x)；

(t—Y\

(3)對于(2)中的g(x),若關于x的不等式g>1-1暇4在［0,2］上恒成立，求實數/的取值

(9+3)

范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)y=/z(x)=l—,xe［—1,0］

(3)(-5,37］

【解析】

【分析】(1)根據函數單調性的定義證明即可；

(2)根據奇函數的定義可以求出參數，從而根據反函數的定義即可求出反函數解析式；

(3)將不等式的右側轉化為特殊的函數值，再利用已經證明的函數的單調性即可求解.

【小問1詳解】

當a=2時，y=/(x)=log3(x+2).

x+2

任取X］〉馬〉—2,則/(xj—/(X2)=log3(Xi+2)—log3(X2+2)=log3^^,

工2十乙

因為玉>、2〉一2，所以再+2>12+2〉0,

rX+21［X+2

即r>0A.

工2+2%2+2

所以/(%)—/(9)>0，即/(芯)〉/(》2),

故了=/(x)是(―2,+s)上的嚴格增函數.

【小問2詳解】

由題意得當0<x<2時，g(x)=/(x)=log3(x+tz),

又g(x)是定義在12,2］上的奇函數，即g(0)=0,得a=i.

所以當0VxV2時，g(x)=log3(x+1),

由g(x)=-g(—x)得當一2<xK0時，g(x)=-log3(-x+1),

12/15

而IV-X+1V3,貝|g(x)e［-1,0］,g(x)在［-2,0］上單調遞增,

y

令y=-log3(—x+l),則f+l=3-，，得x=l—I

故g(x)在區(qū)間［-2,0］上的反函數y="x)=l—Ixe［-1,0］.

【小問3詳解】

由于0Vx<2時，g(x)=log3(x+l),g(x)在［0,2］上單調遞增，0<g(x)<l；

—2<x<0時，g(x)=-log3(-x+l),g(x)在［-2,0］上單調遞增，一l<g(x)<0；

log(x+l),0<x<2］

則g(x)=<［一1。3：_2］)-<0在12,2］上單調遞增,

"t-r"

關于x的不等式g>l-log4在［0,2］上恒成立,

、9+3,3

't-3'、

又gl-log4,所以g

I3、9+3,>gI

即」<t-yW2在［0,2］上恒成立，令3、=加

39+3x+2

19加+18>tr<(19m+18).=37

得《cc恒成立，即〈\/min

t〉(—3—2加)——5

-3-2m<t\/max

故實數/的取值范圍是(-5,37］.

21.若函數g(x)=,則稱/(x)為g(x)的“對一函數”.

(1)求證：“對一函數”的總數為偶數;

⑵設cos2x的“對一函數”為廠(x),定義域為R且嚴格增的事函數G(x)=；ax

i'+2m+l,其中a,m

為正整數.求：//(x)=E(x)-jG(x)的整數零點；

(3)若奇函數/(x)為在(-叱0］上的嚴格增，且/(x)為g(x)的“對一函數”，求解不等

式：g(x)<g(g(-2025).g(2025)).

【答案】(1)證明見解析

(2)0(3)(1,+(?)

13/15

【解析】

【分析】(1)分函數/(X)是不是自身的“對一函數”討論.

(2)先根據條件確定函數》(x)的解析式，再求函數的整數零點.

(3)先分析函數g(x)的性質得到g(-x)g(x)=l,從而不等式化簡為g(x)<g⑴，進一步轉化為關于

/(力