安徽省六安某中學2024-2025學年高三年級下冊3月月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）

六安二中2025屆高三第八次月考

數(shù)學

時間：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

A=x—5<%3<9,B={-3,-1,0,1,21.?

1已知集合II)11,則(

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-3,-1,1}

2.在復平面內，復數(shù)二的共軌復數(shù)對應點的坐標所在的象限是（

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知｛4｝是遞增的等比數(shù)列，且4+%=34,g%=64,貝I（

A.{??}公比為一2B.q=2

C.{4}的前"項和為2"+2一4D.{2""}是等比數(shù)列

4.若sin[—+?]=—,則cosf2cu--j=(

)

1195011950

B.--------C.D.

169169169169

5.已知雙曲線的中心在坐標原點，一個焦點的坐標為耳卜6,0）,點尸（、行,2）在該雙曲線上，則該雙曲

線的漸近線方程為（）

A.y—±^2xB.y=+xC.y=+s/3xD.y=+2x

6.已知平面向量.、/,滿足4=（1,6），4=豆，,一.=6，貝必在。上的投影向量為（）

7.如圖，AB,8分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且A5LCD,若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐

A—BCD的體積為46，則該圓柱的側面積為（）

B.10不C.12不D.14〃

8.已知/")=6￡-2才有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍為(

eee

——,+oo——，+00-oo,0)l——,+oo

(27

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得8分，部分選對的得部分分.

9.下列命題正確的是()

A.已知由一組樣本數(shù)據(jù)(x”y)(i=l,2,得到的回歸直線方程為$=4x+20,且一Z=10,則

這組樣本數(shù)據(jù)中一定有(10,60)

B.若隨機變量49,則。⑷=2

C.已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)可

能等于原樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)

D.若隨機變量X?NQ,/),且P(X>6)=0.4,則尸(―2<X<2)=0.1

10.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,/(^+y)=/(x)+/(y)+/(x)/(y),且/⑴=1,當x>0時,

/(%)>0,則下列說法正確的是()

A./(0)=-1

B./(%)在(0,+")上單調遞增

C.數(shù)列{/(〃)+l}(“eN*)是等比數(shù)列

D.當x<0時，—1</(x)<0

11.如圖，已知正方體ABC。-的棱長為2,尸為底面A3CD內(包括邊界)的動點，則下列

結論正確的是().

A.三棱錐B「CRP的體積為定值

B.存點、P,使得

C.若。P，用。，則P點在正方形底面ABC。內的運動軌跡長為J5

D.若點尸是A。的中點，點。是881的中點，過P,。作平面a,平面ACGA，則平面a截正方體

ABCD-4片￡2的截面面積為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)“X)=lnx在點(1,/⑴)的切線方程為.

13.隨機事件A,B滿足尸(5)=0.2,P(A|B)=0.8,則P(Afi)=.

14.若函數(shù)/(x)=2siru+cosx-(0,兀)的兩個零點分別為七和馬，貝iJcosN-4)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，角A,8,C的對邊分別是a,4c,已知上c=2asinC.

(1)求A；

(2)若a=6，且VABC的周長為3+百，求人

16.為了緩解高三學生學業(yè)壓力，學校開展健美操活動，高三某班文藝委員調查班級學生是否愿意參加健

美操，得到如下的2x2列聯(lián)表.

性別愿意不愿意

男生610

女生186

(1)根據(jù)該2x2列聯(lián)表，并依據(jù)顯著水平。=0.05的獨立性檢驗，判斷能否認為“學生性別與是否愿意

參加健美操有關”；

(2)在愿意參加的所有學生中，根據(jù)性別，分層抽樣選取8位學生組織班級健美操隊，并從中隨機選取2

人作為領隊，記這2人中女生人數(shù)為隨機變量X,求X的分布及期望E[X].

附：P(z2>3.841)?0.05.

17.如圖，三棱錐A—BCD中，BC=CD=BD=2,AB=AC=42.異面直線AC和所成角的

6

余弦值為點尸是線段AD上的一個動點.

4

(1)證明：平面ABC，平面BCD；

(2)若二面角3—CE—。正弦值為叵，求。尸.

7

18.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓「:工+/=1,過右焦點尸作兩條互相垂直的弦AB,CD,設

2

(1)寫出橢圓右焦點尸的坐標及該橢圓的長軸長；

(2)證明：直線必過定點，并求出此定點坐標；

(3)若弦A3,的斜率均存在，求.面積的最大值.

19.閱讀材料一：“裝錯信封問題”是由數(shù)學家約翰?伯努利(JohannBernoulli,1667?1748)兒子丹尼

爾?伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了〃封不同的信及相應的〃個不同的信封，他把這〃封信都裝錯

了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學家歐拉(LeonhardEuler,1707-1783)給出了

解答：記都裝錯〃封信的情況為?！胺N，可以用全排列〃!減去有裝正確的情況種數(shù)，結合容斥原理可得公

式：=n!|+---+其中“CN*.

V1!2!n\)

閱讀材料二：英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當/（%）在尤=0處〃階可導，則有：

〃司=/（0）+川0卜+岑工2+-+巖8/+一，注/（"）（力（心3）表示“X）的〃階導數(shù),

該公式也稱麥克勞林公式.閱讀以上材料后請完成以下問題：

（1）求出。，。2，04的值；

（2）估算血的大小（保留小數(shù)點后2位），并給出用e和〃表示2的估計公式；

（3）求證：2tan—+4tan—+b2Man—<2n+l,其中〃wN*.

242n一

六安二中2025屆高三第八次月考

數(shù)學

時間：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

A=(X|-5<X3<9),B={-3,-1,0,1,2).?

1.已知集合L11,則AC5=()

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-3,-1,1)

【答案】B

【解析】

分析】根據(jù)交集概念，逐個驗證即可.

【詳解】由于(一3)3=—27<—5,—5<(—1)3=—1<9,—5<CP=0<9,-5<13=1<9,-5<23=8<9,

則AB={-1,0,1,2).

故選：B.

2.在復平面內，復數(shù)二的共軌復數(shù)對應點的坐標所在的象限是(

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

33

【分析】運用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)，寫出共朝復數(shù)-------，，根據(jù)復數(shù)對應的點確定象限.

22

3i_3/(1+，)_3，一3_33.

【詳解】

口+2_521

,其共軌復數(shù)為-弓3-巳3，，對應點的坐標為-彳3,-3彳1，位于第三象限.

22\22)

故選：C

3.已知{4}是遞增的等比數(shù)列，且4+%=34,a2a4=64,貝!]()

A.{%}的公比為一2B.q=2

C.｛4｝的前“項和為2"+2_4D.｛2%｝是等比數(shù)列

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用等比數(shù)列性質求出4與生的值，再根據(jù)數(shù)列遞增確定4和生，進而求出公比，然后根據(jù)

等比數(shù)列相關公式求出前，項和，最后判斷｛2%｝是否為等比數(shù)列.逐個判斷即可.

【詳解】在等比數(shù)列伍“｝中，由等比數(shù)列性質可知。2。4=%。5=64.

又已知q+%=34,則4、%可看作方程%2-34%+64=0的兩個根.

tz.=2[a,=32

解這個方程(x—2)(九—32)=0,可得x=2或x=32,即“或＜0.

a5=32[%=2

因為｛4｝是遞增的等比數(shù)列，所以4=2,%=32.

設公比為4,根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得%=%/，即32=2/,化簡得了=16,

解得。=2或q=-2,又因為數(shù)列遞增，所以q=2,故A選項錯誤，B選項正確.

根據(jù)等比數(shù)列前〃項和公式可得：§2(1—2")=_2用_2,故C選項錯誤.

"1-2

h2a"+'

設入=2%,則也=——=2%+「樂.

"》2%

b

4+i—a“=a?'—%，T=2X2"—2X2"T=2"不是常數(shù)，所以言不是常數(shù)，｛2%｝不是等比數(shù)列，故

un

D選項錯誤.

故選：B.

4.若sin(2+a]=*，貝1]cos[2戊-巴]=()

(12)13I6j

119c50c119r50

AA.------B.-------C.D.

169169169169

【答案】A

【解析】

【分析】由倍角余弦公式及誘導公式求目標式的值.

【詳解】cos[2a+—=1-2sin2[a+—=1-2x(—)2=,

I6)I12J13169

Ac兀、-5兀、-5兀、119

cos2a——=cos(2(zH-----兀)=—cos(2aH---)=----.

I6J66169

故選：A

5.已知雙曲線的中心在坐標原點，一個焦點的坐標為耳卜6,0),點/(6,2)在該雙曲線上，則該雙曲

線的漸近線方程為()

A.y=±y/2xB.y=ixC.y=+y/3xD.y—±2x

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)焦點坐標求出c,根據(jù)雙曲線定義及雙曲線上一點求出再根據(jù)/+方2=02求出6,最后

b

根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=土一x即可求解.

a

【詳解】雙曲線一個焦點的坐標為《卜百,0),可知雙曲線交點在x軸上，

所以c=6,另一個焦點坐標月卜療,0),

因為點網(wǎng)6,2)在該雙曲線上，根據(jù)雙曲線定義可知：歸耳—比H=2a,

|^F|=J—G-G『+(O-2『=4,\F2F\=+(O-2『=2,

所以2a=4—2=2,解得。=1,又因為/+方2=3，即1+^=3,解得沙=夜,

所以雙曲線漸近線方程為y=+-x=+41x.

a

故選：A

已知平面向量.、人滿足君)，卜卜有，卜―.=石，則在上的投影向量為

6.a=(l，ba)

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量數(shù)量積的運算可求出。的值，再利用投影向量的定義可求得b在°上的投影向量的坐

標.

【詳解】因為Q=(1,G),則同="75=2,且網(wǎng)=石，%—囚二百，

則,一W二〃之—2〃?6+62=7—2〃,6=3,可得a.B=2，

1,1.a|fIa-baa-b2.

所以，b在Q上的投影向量為口cos。,/?,而二1=?l+lE=T"^"."=7=

11Idj同峭問問4

故選：B.

7.如圖，AB,CO分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且A5LCD,若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐

A—BCD的體積為4仃，則該圓柱的側面積為()

C.121D.14〃

【答案】C

【解析】

【分析】分別取上下底面的圓心為E、F,連接EC、ED、EF,可得A3,平面EC。，設圓柱上底面

圓的半徑為。，三棱錐A—BCD的體積為V=；SECDA3=4百，求出a,由圓柱的側面積公式可得答案.

分別取上下底面的圓心為E、F,連接EC、ED、EF,則印，CD,

因為AC=CB、BD=AD,所以CELAB、ED=AB,且CEcED=E,

所以AB，平面ECD,設圓柱上底面圓的半徑為a,則A3=CD=2a,

一111/-

三棱錐A—5CD的體積為V=-SAB=-x—x2ax2ax2a=4y/3

3,ECD32f

解得〃=該圓柱的側面積為2?ax2a=12?,

故選：C.

8.已知/(x)=e*-有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍為()

3、33、3

e(e,fe<1

——,+oo——,+ooD.(-8,0)U厲e，+8

A.B.0,—127

277277

【答案】C

【分析】由/''(x)=()參變分離得出a=與，令g(x)=：,其中xwO,利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調

性與極值，分析可知，直線丁=。與函數(shù)g(x)的圖象有兩個交點，數(shù)形結合可得出實數(shù)。的取值范圍，再

結合極值點的定義檢驗即可.

【詳解】函數(shù)〃x)=e-的定義域為R,貝!]/，(％)=老—依3,

由題意可知，函數(shù)/■'(%)=()有兩個異號的根，顯然/'(O)=lwO,

當xwO時，參變分離可得。=目

X

e*(x—3)

令g(x)==,其中xwO,則g<x)=J由g'(x)=O可得X=3,列表如下:

XX

(-8,0)(0,3)3(3,+8)

g'(x)——0+

g(x)減減極大值增

所以，函數(shù)g(x)的減區(qū)間為(—8,0)、(0,3),增區(qū)間為(3,+8),

3x*

函數(shù)g(x)的極小值為g(3)=—,且當x<。時，g(x)=—<0；當尤>0時，gO)=r>0.

27x

如下圖所示:

設這兩個交點的橫坐標分別為X］、/，設再＜%2，由圖可知，/＞%＞。，

(e''

且/'(尤)—QX—cuc^—V---a,

I第)

當0＜%＜西時，4＞?＞則/'(%)＞°，此時，函數(shù)/(%)單調遞增，

X

當七℃2時，三＜4，貝l/'(x)v。，此時，函數(shù)/(%)單調遞減，

X

當%＞9時，鼻＞〃，則r(x)＞。，此時，函數(shù)/(力單調遞增，

X

3

故當4〉時，函數(shù)/(%)有兩個極值點，

e3、

因此，實數(shù)〃的取值范圍是—.

(27J

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得8分，部分選對的得部分分.

9.下列命題正確的是()

A.已知由一組樣本數(shù)據(jù)(％,y)(i=l,2,得到的回歸直線方程為9=4尤+20,且工￡%=10,則

ni=l

這組樣本數(shù)據(jù)中一定有(10,60)

B.若隨機變量J~49,1,則。⑷=2

C.已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下28個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)可

能等于原樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)

D.若隨機變量X~N(2,CT2),且尸(X>6)=0.4,則尸(―2<X<2)=0.1

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結合回歸方程的性質，樣本均值和方程的計算方法，以及百分位數(shù)的計算方法，正態(tài)分

布的概率計算，逐項判定，即可求解.

【詳解】A選項，回歸直線方程$=4%+20是通過樣本數(shù)據(jù)擬合得到的，

它表示的是變量x和夕之間的一種線性關系，一定過樣本中心點(10,60),但并不意味著樣本數(shù)據(jù)中一定

存在點(元,歹),

回歸直線是對樣本數(shù)據(jù)整體趨勢的一種近似描述，樣本點不一定都在回歸直線上，

所以這組樣本數(shù)據(jù)中不一定有(10,60),A選項錯誤.

對于B選項，隨機變量J?8(9,g),那么℃)=9xgx(l—g)=9xgxg=2,B選項正確.

對于C選項,設30個互不相同的樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為七,斗，…，馬0.

計算30x75%=22.5,則原樣本數(shù)據(jù)第75百分位數(shù)是馬3?

去掉最大和最小的數(shù)據(jù)后，剩下28個數(shù)據(jù)從小到大排列為々丹,?，々9,計算28X75%=21,則剩下28

個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是“22+々3.

2

由于30個數(shù)據(jù)互不相同，則物廣C選項錯誤.

對于D選項，因為隨機變量X~N(2,(T2),所以正態(tài)曲線關于直線x=2對稱.

已知P(X>6)=0.4,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知P(X<-2)=P(X>6)=0.4.

1_2x041-0R

那么P(—2<X<2)=—L二=U^=0.1,D選項正確.

故選：BD.

10.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,/(x+y)=/(x)+/(y)+/(x)/(y),且/(1)=1,當x>0時,

/(%)>0,則下列說法正確的是()

A./(0)=-1

B./(%)在(0,+")上單調遞增

C.數(shù)列{/(九)+l}(〃eN*)是等比數(shù)列

D.當x<0時，-l</(x)<。

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用賦值法判斷A,結合單調性的定義判斷B,ax=〃(〃eN*),y=l及等比數(shù)列的定義判斷

]

C,得到/(—x)=-1+(x〉0),即可判斷D.

l+/(x)

【詳解】令x=l,y=0,則有/(l)=/(l)+/(O)+/(l)/(O),由/。)=1,

故1=1+/(0)+/(0),即/(0)=0,故A錯誤；

令》>o,y>o,則有/(x+y)-/(x)=/(y)+/(x)/(y)=/(y)[i+/(x)],

由x>0,y>0,故x+y—x>0、/(九)>0、/(y)>0,則+>0,

即當龍+y>y>0時，有/(x+y)—/(x)>0恒成立，

故/(%)在(0,+。)上單調遞增，故B正確；

☆x=〃(〃eN*),y=l,則有=++

即“〃+1)=2/(〃)+1,即〃/+1)+1=2"5)+1],

又/(1)+1=2,故數(shù)列｛/(〃)+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故C正確；

由數(shù)列｛/(〃)+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

故/⑺+1=2",即/⑺=2"-1,所以當彳f+8時〃x)->+oo,

令丁=-x可得/(O)=/(x)+/(—x)+y(%)/(—%)=。,

當x>°時〃/力\>°，所以〃一/九\)=一1/(7%^)=一1+1717^'

因為x>0,則—x<0,又"％)>0,所以°<-------r^<l所以—l</(—九)<0,

l+/(x)

所以當x<0時，-l</（x）<0,故D正確;

故選：BCD.

11.如圖，已知正方體A3CD-A4GD1的棱長為2，尸為底面ABCD內（包括邊界）的動點，則下列

結論正確的是（）.

A.三棱錐B「CRP的體積為定值

B.存在點P,使得RPLAC]

C.若則p點在正方形底面ABC。內的運動軌跡長為血

D.若點尸是A。的中點，點。是8片的中點，過P,。作平面平面ACGA，則平面。截正方體

ABCD-AgG2的截面面積為

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)等體積法可計算出三棱錐用-G2P的體積，可判斷選項A,建立空間直角坐標系，寫出對

應點的坐標與向量的坐標，設P（x,y,0）,根據(jù)垂直得向量數(shù)量積為0列式，從而判斷選項B,c,利用線

面垂直的判定定理得尸《，平面ACGA,再證明四點共面，從而得平面a,再由面面平行的性質可得平

面a截正方體ABC。-4耳￡2的截面為正六邊形，根據(jù)正六邊形的性質計算面積即可判斷選項D.

【詳解】對于A,由等體積法LLG”=%_B,CQ，三棱錐P-四G。的高為3耳=2,

114

底面積551Gz)i=5*2乂2=2，所以5.GAP=%-用GA=§X2X2=§,

所以三棱錐用-G2P的體積為定值，A正確;

對于B,建立如圖所示的空間直角坐標系，

設尸(蒼y,0),4(2,0,0),4(2,2,2),^(0,2,2),D,(0,0,2),￡>(0,0,0),

：.DxP=(x,y,-i),ACt=(-2,2,2),

若QPLAG，則2尸=—2x+2y—4=0,

即x—y=—2,取x=0,y=2,此時點尸與點C重合，滿足題意，

所以存在點尸，使得"P，AG，B正確;

對于C,^￡)=(-2,-2,-2),若DP工BQ,

:.DlPBiD=-2x-2y+4=0,即x+y=2,

所以點尸的軌跡就是線段AC,

軌跡長為|AC|=打+2?=2忘,C錯誤；

對于D,如圖取AB中點6，連接尸4，

由題可得。BLAC,平面ABCD,

連接30，因為PPJIDB,P《u平面ABCD,

則PP^AA^又4。0相=4,

AC,A4ju平面ACCjA；,則_L平面ACC^,

又取DD1中點為a,則QQJIDBI/PPX,

有P,RQ,Qi四點共面，則平面即為平面a，

又由兩平面平行性質可知，PPJ/RR,,PQJ/QR,,P.Q//Q.R,

又P,4Q,Qi都是中點，故氏是2G中點，均是耳￡中點,

則平面a截正方體ABC。-AgGA的截面為正六邊形，

又正方體棱長為2,則此=也，

故截面面積為6x^x(四)xsin60=36，D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)〃x)=lnx在點切線方程為.

【答案】x-y—1=0

【解析】

【分析】利用導數(shù)的幾何意義直接求解即可.

【詳解】由〃x)=lnx可得廣(x)=L

X-

可得切線斜率為r(1)=1,且/(i)=o；

所以切線方程為y_0=x_l,即x_y_l=0.

故答案為：x-y-l=0

13.隨機事件A,I滿足尸(5)=0.2,P(A|B)=0.8,則P(砌=.

【答案】0.04

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率公式求出P(A3),再利用概率的基本性質求出P(ZB).

【詳解】已知條件概率公式P(A18)=今篙，已知P(3)=0.2,P(A|￡)=0.8,將其代入公式可得:

P(AB)=P(A|B)xP(B)=0.8x0.2=0.16

因為B事件可以拆分為A與8同時發(fā)生以及X與8同時發(fā)生這兩個互斥事件的和，即

尸（3）=尸（AB）+P（4B）.

將尸（3）=0.2,P（A3）=016代入上式可得:

P(AB)=P(B)-P(AB)=0.2-0.16=0.04

故答案為：0.04.

14.若函數(shù)/（x）=2sinx+cosx-xe（0,兀）的兩個零點分別為七和馬，則cos?-々）=.

【答案】|

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡/（%）,再利用函數(shù)零點的意義及正弦函數(shù)的性質求得

工_生上玉，進而求出?os士也，最后利用二倍角的余弦公式求值即可.

222

【詳解】由輔助角公式得函數(shù)，（x）=2sin%+cosx-A/3=J?sin（x+。）-G,

其中銳角。由tan°=g確定，由/（%）=/（々）=0,

好

得sin(x,+e)=sin(x+(p)=而和毛e(0,7t),

23

”口n兀M+%

因此菁+0+%2+0=兀，即夕=----!則2+吳丫）4

口口./兀x-x2.V3工x,-x2V3

即sin(—+———-)=〒，于cos———-

22J52

所以cosQi-x2）=2cos2/2"一］=：-

故答案為：-

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，角A8,C的對邊分別是"c,己知百c=2asinC.

（1）求A；

（2）若a=5且VA3C的周長為3+有，求b.

rr7jr

【答案】（1）A=U或A=」；

33

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，進而求出A.

(2)由(1)的結論，利用余弦定理列式求解.

【小問1詳解】

在VA3C中，由6c=2asinC及正弦定理得QsinC=2sinAsinC，而sinC>0,

則sinA=，又0<A<兀，

2

n2兀

所以A=—或A=—.

33

【小問2詳解】

由VABC的周長為3+百，a=A得Z?+c=3,

在VABC中，由余弦定理得"=^+02—2bccosA，即3=S+c/—2bc(l+cosA),

2兀

貝!J2Z?c(l+cosA)=6,當4=一時，bc=6,于是/-Bb+GuO,A=-15<0,此方程無解；

3

jr

當A=§時，be=2,于是戶—3匕+2=0，解得Z?=l或6=2,

9jrjr

所以當A=—時，6無解；當4=—時，》=1或6=2.

33

16.為了緩解高三學生學業(yè)壓力，學校開展健美操活動，高三某班文藝委員調查班級學生是否愿意參加健

美操，得到如下的2x2列聯(lián)表.

性別愿意不愿意

男生610

女生186

(1)根據(jù)該2x2列聯(lián)表，并依據(jù)顯著水平。=0.05的獨立性檢驗，判斷能否認為“學生性別與是否愿意

參加健美操有關”；

(2)在愿意參加的所有學生中，根據(jù)性別，分層抽樣選取8位學生組織班級健美操隊，并從中隨機選取2

人作為領隊，記這2人中女生人數(shù)為隨機變量X,求X的分布及期望E[X].

附：P（^f2>3.841）?0.05.

3

【答案】（1）能（2）分布列見解析，E[X]=-

【解析】

【分析】（1）完善2x2列聯(lián)表，作出零假設根據(jù)獨立性檢驗公式計算的值，推斷出零假設成立

與否，從而得出判斷；

（2）根據(jù)2x2列聯(lián)表得出選取8人中男生與女生人數(shù)，由超幾何分布計算出對應概率值，得出隨機變量的

分布列，求出數(shù)學期望.

【小問1詳解】

2x2列聯(lián)表如下：

性別愿意不愿意合計

男生61016

女生18624

合計241640

零假設為Ho：是否愿意參加健美操與學生性別無關.

根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得力2=40x（6x6-10x18）=竺=5625>3841=

16x24x16x248,

根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷Ho不成立，

既認為是否愿意參加健美操與學生性別有關聯(lián)，此判斷犯錯誤的概率不大于0.005.

【小問2詳解】

1Q3

根據(jù)2x2列聯(lián)表可得愿意參加健美操的學生中女生占全部的,

244

3

選取的8人中，女生有8x—=6人，男生有8—6=2人，

4

，隨機變量X的可取值：0,12

c°c21p（x=i）="；耙15

???P（x=o）=*=P（X=2）=c

-

JW28,

???隨機變量X的分布歹J:

X012

1215

P

28728

13153

數(shù)學期望石[X]=0XK+1X亍+2x荔=；?

Zo/ZoZ

17.如圖，三棱錐A—BCD中，BC=CD=BD=2,AB=AC=?.異面直線AC和所成角的

6

余弦值為點尸是線段A￡＞上的一個動點.

4

(1)證明：平面ABC，平面；

(2)若二面角5—CE—。的正弦值為叵，求OR.

7

【答案】(1)證明見解析

(2)DF=-

2

【解析】

【分析】(1)結合題目條件，利用線面垂直可證面面垂直.

(2)以。為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量可求結果.

【小問1詳解】

法一：(幾何法)如圖，取5C中點0,由AB=AC,得AOL5C,

忤CEIIBD,DE//BC,則四邊形BCED為菱形，且？BCE—

3

連接AE,0E,BE,則5E=gBC=2百,

0E=Jg+CE?-2。。鬃石cosg=J1+4-2創(chuàng)2?;|!二幣.

..?異面直線AC與5。所成角的余弦值為昱，,cosZACE=+—,

44

當cos/ACE=受時，AE=JAC2+CE2-2AC^E—=J2+4-2^V22?—2.

4V4V4

此時43+4后=夜+2<26=3后，不能構成ABE，舍去,

故cosNACE1=

4

AE=AC2+CE2-2ACCE-=2A/2,

,:BC=2,AB=AC=夜，，丫M。為直角三角形，故。4=』BC=1,

2

/.CM2+OE2=AE1，即04,OE,

VOALBC,BCcOE=O,3C,OEu平面，；.QA_L平面BCD,

：u平面ABC,...平面ABC，平面BCD.

法二：（基底法）如圖，取5c中點0,由A5=AC,8。=。。得40_13。，DO±BC,故二面角

A—5C—。的平面角為NA0D,

由題意，得。A=l,0D=M，

設NAO￡>=6,OC=a，OD=b，OA=c-

則。-3=0，a-c=0,b-c->[3cosAAOD，AC=a-c>BD=b+a>

AC-BD=（a-。乂>+a）=a-b+a~-c-b-c-a=1-A/3COSZAOD,

ACBD\AC-BD\=^

cos（AC,BDACBD=±1^

AC^BD2A/2—4

cosNAOD=0或COS/AOD=2叵>1（舍去）,

3

71

：.cosZAOD=0,此時NAOD=—,平面ABC,平面BCD.

2

如圖，以。B，OD，0A分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標系，則8(1,0,0),。(0,0,0),

C(-1,O,O),A(O,O,1),

AD=(O,"—1),BC=(—2,0,0),AC=(-1,O,-1),

設廠(尤,y,z),AF=MZ),/e(0,l),則A/=(x,y,z—1)=?0,月1),

尤=0

y=M,得F(O,4,1T),故。尸=(o,后,1一。.

z=l-t

BC-m=-2X=0,

設平面5cb的法向量冽=(%,%,Z°),則＜Q

OF-m=#唄+(l-^)z0=0,

令%=1—%,得Z0=一\/3t，/=0,即m=(0,1—9

ACn二一%-Zj=0,

設平面OCF的法向量為〃=(x”X，Z]),則＜

AD?n--Z]=0,

令X=l，貝(1Z]=6,玉=-G,即〃=(一6』,G),

設二面角5—CE—D的平面角為a,

?\m-n\\l-t-3t\幣/16/2-8r+l_4

則|cosa|—\---------L—_____________

阿〃|J(1T)2+3J.幣74t2-2t+l7

33或;二1(舍)，故/0,孚

得t

447

n6一廿、2

DF=o,--,故。尸=

44I4

7

18.在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓「]+丁=1,過右焦點尸作兩條互相垂直的弦AB,CD,設

AB,CD中點分別為M，N.

(1)寫出橢圓右焦點尸的坐標及該橢圓的長軸長；

(2)證明：直線必過定點，并求出此定點坐標；

(3)若弦AB,的斜率均存在，求一面積的最大值.

【答案】(1)右焦點尸(1,0),長軸長為2后；

2

(2)證明見解析，(§,0)；

(3)一.

9

【解析】

【分析】(1)直接根據(jù)橢圓方程寫出右焦點尸的坐標及長軸長.

(2)AB,CD斜率均存在，設直線AB方程為y=1)與橢圓方程聯(lián)立求出點"坐標，同理得點N

坐標，再