八年級（下）期中數(shù)學試卷（拔尖卷）（考查范圍：第16~18章）-2024-2025學年滬科版八年級數(shù)學下冊（含答案）

2024-2025學年八年級（下）期中數(shù)學試卷（拔尖卷）

【滬科版】

考試時間：120分鐘；滿分：120分；考試范圍：第16?18章

考卷信息：

本卷試題共25題，單選10題，填空6題，解答9題，滿分120分，限時120分

鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容

的具體情況！

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

（24-25八年級?重慶?開學考試）

1?估計UI+3］義萬的值應在（）

A.18到19之間B.19到20之間

C.20到21之間D.21到22之間

（24-25八年級?浙江杭州咱主招生）

2.已知關于x的方程（1-2后-2vm》-1=0有實數(shù)根，則左的取值范圍是（）

A.k>2B.k<2

C.-l<k<2D.-l<k<2S.k^-

2

（2024?山東泰安?模擬預測）

3.如圖，在△NBC中，/D是8C邊的中線，ZADC=30°,將△4DC沿折疊，使C點

落在C'的位置，若8C=4,則3C'的長為（）

A.2追B.2C.4D.3

（24-25八年級?安徽安慶?階段練習）

4.已知J7="，K=b,則不3等于（）

試卷第1頁，共8頁

（24-25八年級?湖北武漢?階段練習）

5.有一個邊長為1的大正方形，經(jīng)過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，

其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所

示.如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2024次后，形成

的圖形中所有的正方形的面積和是（）

A.2025B.2024C.22023

（24-25八年級?浙江?期中）

6.如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點3,。的距離，己經(jīng)測得/23C=45。，NACD=90。,

AC=CD,8c=15亞米，/8=40米，則BD的長為（）

A.50B.40C.4072D.40A/3

（24-25八年級?甘肅天水?期中）

7.字母x、y表示兩個有理數(shù)，且xwy,現(xiàn)規(guī)定min{x,y}表示x、＞中較小的數(shù)，例如:

min{3,-l}=-1,min{-l,0}=-1,若min,-3,3--}=-2x,則x的值為（）

C.3或1D.-3或1

（24-25八年級?重慶萬州?期中）

8.計算：2024z-J2023x2024x2025x2026+1的值為（

試卷第2頁，共8頁

A.-2024B.-2023C.-2025D.-1

（24-25八年級?浙江紹興?期末）

9.在解一元二次方程時，小馬同學粗心地將/項的系數(shù)與常數(shù)項對換了，使得方程也變

了.他正確地解出了這個不同的方程，得到一個根是2,另一根等于原方程的一個根.則原

方程兩根的平方和是（）

32-45

A.-B.-C.-D.一

2354

（24-25八年級?廣東深圳?期末）

10.如圖，在三角形AB2+AC2=BC2,且=8是8C上中點，尸是射線

上一點.E是上一點，連接￡7"EC,BF=FE,點G在ZC上，連接3G,

NECG=2NGBC,/￡=5萬，NG=4/，則CF的長為（）

A.9&B.872C.70D.9

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

（24-25八年級?河南洛陽?期中）

11.如圖，要建一個面積為130m2的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長16m）,并在與墻平行的

一邊開一道1m寬的門，現(xiàn)有能圍成32m長的木板，倉庫的長和寬分別為m與

m.

〃“/〃/〃〃/〃〃/〃〈/〃/

墻

-------11---------

（24-25八年級?河南駐馬店?階段練習）

12.如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設其長4D=80cm,高/8=60cm,水深

AE=40cm.在水面￡尸上緊貼內壁的G處有一塊面包屑，且EG=60cm.一只螞蟻想從魚

缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內的G處吃面包屑，則螞蟻爬行的最短路線的長為cm.

試卷第3頁，共8頁

（2025八年級?安徽合肥?階段練習）

13.分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去.指的是如果

代數(shù)式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘以分母的有理化因式，達到化去分母中根

1Ix(^-l)

號的目的.如:=V2-1,觀察此算式規(guī)律回答問題,已知

1+V21)

2024

m=,則川一2m-2024的值是.

（24-25八年級?安徽六安?階段練習）

14.如圖，在Rta/BC中，ZC=90°,4=30。，AC=443,M是NC的中點，N是AB

上任意一點，以兒W為對稱軸折疊A/MN,得到ADWN,點/的對應點為點。（點8,N,

。在4c的同一側）.

（1）當時，4NM=；

（2）當DNL48時，的長為.

（24-25八年級?遼寧沈陽?期中）

15.如圖，點C為直線/上的一個動點，4。，/于。點，于￡點，點￡在點。右側,

并且點A、8在直線/同側，AD=DE=8,BE=2,當CD長為時，△ABC為直角

三角形.

（24-25八年級?安徽合肥?期中）

試卷第4頁，共8頁

16.如圖，長方形48CD中，AB=5cm,AD=4cm,動點尸從點。出發(fā)，沿D4向終點N

以lcm/s的速度移動，動點0從點/出發(fā)沿/-8-C向終點C以3cm/s的速度移動，如果

尸、。分別從。、/同時出發(fā)，其中一個動點到達終點，另一個動點也隨之停止.

（1）若經(jīng)過x秒，用x的代數(shù)式表示/尸，則/尸=cm；

（2）經(jīng)過秒時，以/、尸、0為頂點的三角形面積為2cm二

,4個

d----------------------------------'C

第n卷

三.解答題（共9小題，滿分72分）

（24-25八年級?江蘇揚州?期末）

17.已知關于_￥的一元二次方程尤2-（2〃7+1b+/+"7=0.

（1）求證：無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）如果方程的兩個實數(shù)根為網(wǎng)展（國＞了2）,且心為整數(shù)，求整數(shù)加所有可能的值.

再

（24-25八年級?湖南邵陽?期末）

11X（VF-V4）75-V4廠r

18.閱讀下列解題過程：正7國二m+荷退，=兩口可請解答下列

問題：

3

（1）觀察上面解題過程，計算師—方,

（2）請直接寫出j+的結果.（?-1）

11111

⑶利用上面的解法,請化簡：不+右爐忑不+…+而屈+回+阿

（24-25八年級?海南信州?期末）

19.如圖，某公園有一塊四邊形草坪43。，計劃修一條A到C的小路，經(jīng)測量，

40=90°,AD=14m,DC=48m,AB=40m,C5=30m.

試卷第5頁，共8頁

⑴求小路/c的長；

（2）萌萌帶著小狗在草坪上玩耍，萌萌站在點3處，小狗從點B開始以2m/s的速度在小路上

沿BfCf4的方向奔跑，跑到點A時停止奔跑，當小狗在小路C4上奔跑時，小狗需要跑

多少秒與萌萌的距離最近？

（24-25八年級?吉林長春?開學考試）

20.圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，△/8C的

頂點均在格點上.只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求找格點

圉CD圖②，圖，:海

（1）在圖①中，連結NM、BM、CM,^,AM=BM=CM-

（2）在圖②中，連結BM、CM,使/8MC+/B/C=180。；

（3）在圖③中，連結使+/歷1C=9O。.

（24-25八年級?福建泉州?期中）

21.如果關于x的一元二次方程/+法+。=0（。NO）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個

根大1,那么稱這樣的方程為“鄰根方程”.例如一元二次方程/+x=0的兩個根是玉=0,

%2=T，則方程/+X=0是“鄰根方程”.

⑴己知關于X的方程/-（加-1）無-%=0是常數(shù)）是“鄰根方程”，求m的值；

（2）若關于x的方程分2+&+1=0是常數(shù),且。＞0）是“鄰根方程"，令"⑵-/,試

求1的最大值.

（24-25八年級?安徽滁州?期中）

22.任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)7:切＜?＜〃，（其中加為滿足

不等式的最大整數(shù)，〃為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)T的“行知區(qū)間”為（九”）,如

試卷第6頁，共8頁

1＜行＜2,所以逝的行知區(qū)間為(1,2).

⑴無理數(shù)而■的“行知區(qū)間”是；

(2)若0=后與+行工-V7,求。的“行知區(qū)間”；

(3)實數(shù)x,y,"滿足j2x+3y-〃+j3x+4y-2"=Jx+y-41+，41-x-y,求”的算術平

方根的“行知區(qū)間”.

(24-25八年級?上海嘉定?期中)

23.上海市公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷

商統(tǒng)計了某品牌頭盔9月份到H月份的銷量，該品牌頭盔9月份銷售500個，11月份銷售

720個，9月份到11月份銷售量的月增長率相同.

(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

(2)若此種頭盔的進價為40元/個，商家經(jīng)過調查統(tǒng)計，當售價為50元/個時，月銷售量為500

個，若在此基礎上售價每上漲2元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到9000

元，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應定為多少錢？

(24-25八年級?江蘇揚州?期中)

24.如圖，△4BC中，AC=BC,NACB=90。,過點C任作一條直線CO,將線段5c沿直

線CD翻折得線段CE,直線/￡交直線于點尸，直線BE交直線CD于G點.

/\/,

AR

⑴設N8CD=加。，貝=°(用含加的代數(shù)式表示)，并證明：NAEB=45。；

(2)猜想線段/尸、EF、/C之間的數(shù)量關系，并給出證明.

⑶若NC=13,BE=10,求/的面積.

(24-25八年級?重慶九龍坡?階段練習)

25.如圖，點。為△4BC所在平面內的一點，連接CD,ZABC=30°.

試卷第7頁，共8頁

A

(1)如圖1,點。為△48C外一點，點E在邊/C的延長線上，連接8E.若BE=AD,

AB=AC,ZDAC=4ZCBE=40°,求N。的度數(shù)：

⑵如圖2,點。為△4BC內一點，若ZABD=ZACD,ZDCB=NABC,求證：

BD=AC+AD-

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長/。交8c于點尸，當尸為等腰三角形時，請直接

AT)

寫出二二的值.

試卷第8頁，共8頁

1.c

【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題

的關鍵.

根據(jù)二次根式的混合運算化簡，估算無理數(shù)的大小即可得出答案.

【詳解】解：+

=^1xV21+3xV21

=7+3向

???4.52<21<46,

???4.5<V21<5

???13.5<3后<15

???20.5<7+3亞<22

???（3V21）2=189,142=196,

,3庖<14，

???7+3亞<21,

???20.5<7+3721<21

即?。?31亞的值應在20到21之間，

故選：C.

2.C

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，兩種情況：當1-2左=0時，當1-2左*0時,

分別求解即可得解.

【詳解】解：當1-2左=0時，（1-2左）--2行0-1=0變?yōu)橐蝗缫?=0,此方程有實數(shù)根;

當1-2左K0時，由題意可得公=[27m）2一4x（-l）x（l—2左）20且左+120,

解得：—\<k<2,

當一14左42時，關于x的方程（1-2后）/一2VrHx-l=0有實數(shù)根，

故選：C.

3.A

答案第1頁，共26頁

【分析】本題考查了折疊的性質、等腰三角形的性質、勾股定理解三角形等知識，準確添加

輔助線，掌握折疊前后圖形的對應關系是解題的關鍵.

根據(jù)已知條件和圖形折疊的性質可得：NBDC'=12V,BD=C'D=2,過點。作OEL8U于

E,再由含30度角的直角三角形的性質求解即可.

【詳解】解：解：是8C邊的中線，

BD=DC=-BC=2,NADC=30°,

2

ZADC=ZADC=30°,

...ZBDC=120°,BD=C'D=2,

ZDBC=/BCD=30°,

過點。作DEL5。于E,

?1?BE=^BD2-DE2=V3，

.-.BC'=2BE=2百，

故選：A.

4.D

【分析】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的化簡是解答本題的關鍵.先將被

開方數(shù)化成分數(shù)，然后分子分母同乘以10,使得分母部分可以開平方,而分子部分化成含近

和狗的形式，即得答案.

【詳解】?:近=a,屈=b,

..同陛產(chǎn)=員業(yè)=也

V10V1001010

故選：D.

5.A

【分析】本題考查了勾股定理，能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與

答案第2頁，共26頁

原正方形的面積之間的關系是解答本題的關鍵.根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖

形中所有的正方形的面積和，結合圖形總結規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【詳解】解：如圖，由題意得，正方形/的面積為1,

由勾股定理得，正方形5的面積+正方形C的面積=正方形/的面積=1,

???“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

??.“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

??產(chǎn)生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2025,

故選：A.

6.A

【分析】本題考查的是勾股定理的應用，二次根式的化簡，等腰三角形的判定，作出合適的

輔助線是解本題的關鍵，如圖，過C作也，加于過。作。NLN3于N,求解

CM=BM=15,/初=40-15=25,AC=^152+252=5A/34-。=/。=10炳，延長。C

交于￡,則//CE=90。，由勾股定理可得：CE?=AE°-AC?=CM。+ME?,可得:ME=9,

CE=4CM2+ME2=3734-同理可得：AD1-AN1=DE1-NE2,可得：/N=10,

52V=40-10=30,DN=sjAD2-AN2=40-再進一步求解即可.

【詳解】解：如圖，過C作可，用于過。作。于N,

答案第3頁，共26頁

ZABC=45°,BC=15收，

CM=BM=i5,

■■■AB=40,

.-.AM=40-15=25,

???AC=A/152+252=5A/34，

■：AC=CD,

???CD=AD=yjAC2+CD2=10V17，

延長。C交48于E,則乙4CE=90。，

由勾股定理可得：CE2=AE2-AC2=CM1+ME2,

.?.(25+Affiy-3取『=152+ME2,

解得：ME=9,

■■CE=yICM2+ME2=35/34，

■■DE=CD+CE=S434,

：.BE=15-9=6,

???AE=40—6=34,

同理可得：AD2-AN2=DE2-NE2,

.?.(10A/17)2-^2V2=(8V34)2-(34-^7V)2,

解得：AN=10,

.—40-10=30,DN=^AD2-AN2=40-

???BD=個BN2+DN2=50-

故選：A

7.C

【分析】本題考查解一元二次方程.根據(jù)題意分情況討論，再分別求解即可.

【詳解】Mmin{x2-3,3-x2}=-2x,

???當--3V3--時，X2<3,

即：min(x2-3,3-x2)=x2-3,

答案第4頁，共26頁

x~-3=—2x，

即：X2+2X-3=0,

移項配方得：x2+2x+l=4,

解得：尤+1=±2,即：x=l或x=-3(舍)，

當x2-3>3-/時，/>3,

即：min{x2-3,3-x2)=3-x2,

3-=-2x，

即：f-2X-3=0,

解得：x=-l(舍)或x=3,

綜上所述：x=3或x=l,

故選：C.

8.B

【分析】本題考查了二次根式的化簡，完全平方公式，整式的乘法，熟練掌握知識點是解題

的關鍵.令x=2024,把原式化簡為一一卮二3/，再利用二次根式的性質化簡，最后

再代入求值即可.

【詳解】解：令x=2024,

則原式化為：X2-^(x-l)x(x+l)(x+2)+l

=x2—l)(x+2)x(x+1)+1

=x2-+x-2)(X、+x)+1

=X2-+x)2-2[2+x)+l

=X2_J(%2+%―1)2

2

=X_(12+%—l)

=-x+l=-2024+1=-2023,

故選：B.

9.D

【分析】設原方程為"2+bx+c=o,兩個根為a和尸.新方程為c/+fcv+Q=0,兩個根為

2和尸.則可得邛2+陰+°=0①，附+印+。=0②，4c+2b+a=0⑧.將①②聯(lián)立可解

答案第5頁，共26頁

得分=±1.貝Ij可得a+b+c=O或a—6+c=0,再與4c+26+。=0③聯(lián)立可得Q、b、。之間

的關系.由根與系數(shù)的關系可求出。+尸與〃的值，進而可求出〃+62的值.

本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，推導出Ac之間的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：設原方程為辦之+bx+c=0,兩個根為二和月.

新方程為CJ?=0,兩個根為2和4.

則鄧?+印+C=o①,乎2+印+Q=o②，4c+26+a=0③，

①-②得(。-c)p2=a—c,

由題意得"c,

???Q—CW0,

p2=1,

.../7=±1.

當/?=/時，Q+6+C=0,

聯(lián)乂[f4cQ+2b6++ca==00'得]{6a==-23cc'

則&+0=_2=_手=1,ap，=.=；,

a2c2a2c2

則。2+儼=(a+p)-2aB=彳-1=j

當月=一1時，a-b+c=0,

a-b+c=0,a=-2c

聯(lián)立

4c+2b+a=0'向b=-c

r?八

貝!Ja+p=——b=一一-—c二耶，=上,

a-2c2a-2c2

15

貝|](?+儼=(a+p)7-2ap=-+l=-.

綜上,原方程兩根的平方和是:

故選：D.

10.D

【分析】延長E4到K,是的NK=/G,連接CK,先由勾股定理的逆定理可以得到A43C是

等腰直角三角形，NA4c=90。，AACB=UBC=45°,由3/=尸￡,得到乙FBE=4FEB,設

答案第6頁，共26頁

乙BFE=x,則/踹尸=；(180。一NAFE)=90O-；x,然后證明C3=PC=ES,得至！J

乙FBCMFCA,zJFB=zJkC貝l|/FG4=90°-1x,E3尸=；(180°-/3匹)=90°-；x即可證

明NEFC=NAFE+/AFC=90。，推出。尸=變?！辏辉O/ECG=2/G2C=2了，證明

2

AABG三想CK,得至U/K=/AGB=/ACB+ZGBC=450+y,

ZACK=ZABG=ZABC-ZGBC=45°-y,即可推出MCK=次，得至i]EK=EC,貝U

EK=AE+AK=AE+AG=9y[2，由此即可得到答案.

【詳解】解：延長E4到K,是的NK=/G,連接CK,

???在三角形48C,AB2+AC2=BC2,且/8=/C,

45c是等腰直角三角形，NA4c=90。，

:.乙4cB=^4BC=45°,

?:BF=FE,

?FBE=^FEB,

設乙BFE=x,則/即尸=g(180°-/8FE)=90°-gx,

是2C上中點，尸是射線4Hr上一點，

.-.AHLBC,

???4H■是線段2C的垂直平分線，ZK4C=45°,

；.CB=FC=FE,

：./-FBC=Z.FCA,AAFB=^AFC

AFCA=90°-1x,EBF=1(180°-/BFE)=90°-1x

...ZAFB=ZAFC=180°-ZFAC-ZFCA=45°+-x,

2

ZAFE=ZAFB-ZBFE=45°--x,

2

ZEFC=ZAFE+ZAFC=90°,

■■■EF2+CF2=CE2,

■■■CF=—CE,

2

設/ECG=2NGBC=2y,

?■AG=AK,AB=AC,4KAC=^GAB=9Q°,

；.A4BGmAACK(SAS),

答案第7頁，共26頁

/K=/AGB=/ACB+ZGBC=45°+y,ZJCK=ZABG=AABC-ZGBC=45°-y,

ZECK=ZACE+ZACK=450+a,

??z￡CK=NK,

：.EK=EC,

■■EK=AE+AK=AE+AG=972，

:.EF=EK=9及，

；.CF=9,

故選D.

【點睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質與判定，線段垂

直平分線的性質與判定，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理等等，熟知相關知識

是解題的關鍵.

11.1310

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設倉庫的垂直于墻的一邊長為x,而與墻平

行的一邊開一道1m寬的門，現(xiàn)有能圍成32m長的木板，那么平行于墻的一邊長為

(32-2X+1),而倉庫的面積為130m,，由此即可列出方程，解方程就可以解決問題.

【詳解】解：設倉庫的垂直于墻的一邊長為X,

依題意得(32-2X+1)X=130,

2X2-33X+130=0,

(x-10)(213)=0,

二玉=10或x2=6.5,

當再=10時，32-2x+l=13<16；

答案第8頁，共26頁

當超=6.5時，32-2x+l=20>16,不合題意舍去.

所以，倉庫的長和寬分別為13m,10m.

故答案為：13,10.

12.100

【分析】本題考查平面展開-最短路徑問題，關鍵知道兩點之間線段最短，從而可找到路徑

求出解.作出4關于8c的對稱點連接HG,與5c交于點°,此時/Q+0G最短；A'G

為直角A/'EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示作出N關于8C的對稱點H,連接HG,與8c交于點。，螞蟻沿著

/-Q-G的路線爬行時路程最短.

則A'B=AB=60cm,

根據(jù)題意：BE=AB-AE=20cm,EG=60cm,

?t.A'E=A'B+BE=80cm,

■■AQ+QG=A'Q+QG=A'G=1AB+EG?=100cm，

二最短路線長為100cm,

故答案為：100.

13.0

【分析】本題主要考查了分母有理數(shù)化，完全平方公式，先將〃，進行化簡，再將要求的式

子變形為(加-I)二2025,然后代入計算即可.

20242024—2025+1)2024(72025+1),____

【詳解】解：m=；=I-\————^=72025+1

V2025-1(72025-1)(72025+1)2024

m2—2m-2024

=m~-2m+1-1-2024

=(機-廳-2025

答案第9頁，共26頁

=(J2O25+1-1)2-2025

=2025-2025

=0,

故答案為：0.

14.12005+石##石+5

【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理，直角三角形的性質：

(1)當"。_L48時，由直角三角三角形的性質，求出N/MN=60。，再根據(jù)折疊的性質可

得ZAMN=ZNMD=30°,最后利用三角形內角和定理即可求解；

(2)過點M作腔，4B于點￡,根據(jù)折疊的性質可知

ZANM=ZMND=^x(180°+90°)=135o,證明ME=NE,利用直角三角形的性質求出

AM=26,NE=ME<,利用勾股定理求出/E=3,進而求出4V=3-6，同理求出

48=8,由=即可求解.

【詳解】解：(1)

AADM=90°,

//=30°,

.-.ZAMN=90°-ZA=6Q°,

由折疊的性質可得NAMN=ZNMD=|ZAMN=30°,

ZANM=180°--ZAMN=120°,

故答案為：120。；

(2)過點M作于點￡,

■.■DN1AB,

:"AND=乙END=90°,

根據(jù)折疊的性質可知ANM=NMND=|x(180o+90°)=135°,

答案第10頁，共26頁

：.ZMNE=45°,

：,/MNE=/NME=45。,

.：.ME=NE,

???〃是zc的中點，AC=AB

AM=-AC=143,

2

???44=30。，

,-.NE=ME=-AM=y/3f

2

???AE=4AM1-ME1=3，

???AN=AE-NE=3-y/3,

???ZC=90°,44=30°,AC=40

??.AB=IBC,

???AB2-BC2=3BC?=AC2=48,

??.BC=4,

AB=8,

：.BN=AB-AN=8-p-0=5+6

故答案為：5+V3.

13

15.6或4或一

2

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理.作3尸，4。于尸，根據(jù)矩形的性質得到

BF=DE=8,。尸=BE=2,根據(jù)勾股定理用CD表示出/C、BC,分類討論，根據(jù)勾股

定理的逆定理列式計算，得到答案.

【詳解】解：作于尸，

：.BF=DE=8,DF=BE=2,

答案第11頁，共26頁

；.AF=AD-DF=6,

由勾股定理得，AB2=AF2+BF2=1QQ,

AC2=AD2+CD2=64+CD2,

BC2=CE2+BE2=(CD+8)2+4=CD2+16CD+64+4,

當△NBC為直角三角形時，AB2+AC2=BC2,

BP100+64+CD2=CD2+16CD+64+4,

解得，CD=6；

同理可得：當/48C=90。時，

由勾股定理得，AB2=AH2+BH2=100,

AC2=AD2+CD2=64+CD2,

BC2=CE2+BE2=（8-CD）2+4=CD2-16CD+64+4,

■■AC2=AB1+BC2,

■-64+CD2=100+CD2-16CD+64+4,

13

解得：CD=-.

當N/C3=90。時，

由/爐=心+3C2得：100=64+CD~+CD2-16CD+64+4,

解得：CD=4,

13

綜上：的長為：6或4或

13

故答案為：6或4或

2

16.（4一無）6-2在

3

【分析】本題考查了一元二次方程的應用、一元一次方程的應用以及列代數(shù)式，解題的關鍵

是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，用含X的代數(shù)式表示出NP的長；（2）分0<x<；及:4x43

兩種情況，列出關于x的方程.

答案第12頁，共26頁

(1)利用月產(chǎn)的長=ZD的長一點P的運動速度x運動時間，可用含x的代數(shù)式表示出4尸的

長；

(2)當0<x<；時，/P=(4-x)cm,AQ=3xcm,根據(jù)以A、P、0為頂點的三角形面積

為2cm2,可列出關于x的一元二次方程，解之可得出x的值；當時，/P=(4-x)cm,

根據(jù)以A、P、。為頂點的三角形面積為2cm2,可列出關于x的一元一次方程，解之可得出

x的值.再取符合題意的值，即可得出結論.

【詳解】解：(1)???動點P從點。出發(fā)，沿D4向終點A以lcm/s的速度移動，

二.經(jīng)過x秒，DP=xcm,

/.AP=AD-DP=(4一x)cm.

故答案為:(4-x)；

(2)4+l=4(s),5^3=|(s),(5+4)+3=3(s).

當0(尤<g時，/P=(4-x)cm,AQ=3xcm,

^APAQ=2,gp1(4-x)-3x=2,

整理得：3/-12x+4=0,

解得：再=82R，6+276(不符合題意，舍去)；

133

當時，/尸=(4—x)cm,

3

/.—(4—%).5=2,

解得：戶三(不符合題意，舍去).

???經(jīng)過2秒時，以A、尸、。為頂點的三角形面積為2cm,

3

故答案為：生2e.

3

17.(1)證明見解析

(2)-4,-2,0,2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程等知識.

(1)計算一元二次方程根的判別式A=l>0,即可得到無論〃?取何值，方程都有兩個不相

等的實數(shù)根；

答案第13頁，共26頁

x+3

（2）利用公式法求出方程的解為?￥=〃?+1或》=加，根據(jù)再得到西=加+1,把」---變

x\

形為1+二7,根據(jù)9為整數(shù)，加為整數(shù)即可得到"7+1=土1或加+1=土3,即可求出加

m+\項

的值.

【詳解】（1）證明：???。=1,6=—（2加+1）,。=/+加，

A=Z?2—4ac=[—（2加+1）]—4（加之+機）=1>0,

???無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：x2-（2m+1）x+m2+m=0,

vA=-4ac=[—（2加+1）T—4（加之+加）=1>0,

???方程都有兩個不相等的實數(shù)根，

-b±y/b2-4ac2m+1±1

x=-------------------=--------，

2a2

???、=加+1或%=加,

???xx>x2,

：.xx=加+1,

M+31313

-=l+—=1+--

玉xxm+l

?.?土衛(wèi)為整數(shù)，

???3一\也為整數(shù)，

?：m為整數(shù),

???冽+1=±1或加+1=±3,

??.整數(shù)加所有可能的值為-4,-2,0,2.

18.(l)V10+V7

]

VH-11)

(2)yjn+y/n—l=y[n-(n>

(3)9

【分析】本題考查分母有理化，熟練掌握分母有理化，是解題的關鍵:

（1）利用分母有理化進行求解即可;

（2）利用分母有理化進行求解即可;

答案第14頁，共26頁

(3)先進行分母有理化，再進行求解即可.

3V10+V7=「

【詳解】(1)解：原式=/L\rJ=W+V7；

Vio-V7)V10+V7)

1>Jn—y/n—l

=y[ri--1(n>1).

(2)冊+-1[y/n+y/n—l^y/n-y/n-1^

(3)Mj(i=V2-l+V3-V2+V4-V3+...+V99-V98+Vi00-V99=10-l=9.

19.(l)50m

(2)24秒

【分析】本題考查了勾股定理與勾股逆定理，等面積法，正確掌握相關性質內容是解題的關

鍵.

(1)先運用勾股定理列式計算，即可作答.

(2)先證明//BC=90。，再運用面積法，得出8〃=24,根據(jù)勾股定理列式計算得出

HC=4BC1-HB1=18m-最后結合運動速度，即可作答.

【詳解】(1)解：???/。=90。，AD=14m,DC=48m,

.?.在Rt/DC中，AC=siAD2+DC2=50(m),

???小路NC的長為50m；

(2)解：如圖所示：過8作

依題意，當小狗在小路C4上奔跑，且跑到點反的位置時，小狗與萌萌的距離最近.

AB=40m,CB-30m.AC-50m,

???AC2=2500,AB2+BC2=2500,

AC2=AB2+BC1,

ZABC=90°,

^\S^ABC^ABXBC=^ACXBH,

AB義BC40x30..z、

-/xDU

???HC=SIBC2-HB2=18m

答案第15頁，共26頁

???小狗從點B開始以2m/s的速度在小路上沿8-C->/的方向奔跑，跑到點A時停止奔跑,

.-.^C+SC=18+30=48(m),

貝I]48+2=24⑸

???當小狗在小路C4上奔跑時，小狗需要跑24秒與萌萌的距離最近.

20.⑴見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格在圖①中，作ZC,的垂直平分線交于點即可使

AM=BM=CM；

(2)根據(jù)網(wǎng)格在圖②中，找到格點“，連結BM、CM,根據(jù)平行線的性質和四邊形內角

和定理可得/BMC+NBAC=180°；

(3)根據(jù)網(wǎng)格在圖③中，連結8N,根據(jù)平行線的性質和等腰直角三角形的性質即可得

ZCBM+ABAC=90°.

【詳解】(1)解：如圖①，點”即為所求；

點M在/C,8c的垂直平分線上,

AM=BM=CM；

(2)如圖②，點M或點AT即為所求;

由網(wǎng)格可知：BM//AC,

ZBMC+AACM=

答案第16頁，共26頁

由網(wǎng)格可知：ZBAM+ZAMC^90°,NBMA=/MAC+NBC4=45。,

ZBMC+ABAC=ZBMA+ZAMC+ZMAC+ZBAM=45°+45°+90°=180°；

.?/MC+4/C=180°；

(3)如圖③，點M即為所求；

圖⑸

由網(wǎng)格可知：BC//MN,

ZCBM=ZNMB,

由網(wǎng)格可知：AB=AM,ZBAM=90°,NEMC=45。，

ZBMA=45°,

ZCBM=ZNMB=ZBMA-ZAMN=45°-NAMN=45°-ABAD,

ZCBM+ABAC=45°-ABAD+ABAD+45°=90°.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，平行線的

性質，四邊形內角和定理，等腰直角三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握等腰直角

三角形的判定與性質.

21.(1)機=0或加=-2

⑵16

【分析】(1)先利用公式法解出一元二次方程的兩個根，再根據(jù)兩個根的差是1,即可得到

結果；

(2)根據(jù)“鄰根方程”的定義和韋達定理即可列出。與6的關系式，再由t=12a-尸可列出》

與。的關系式，最后利用完全平方公式求出最大值.

本題考查一元二次方程的解，讀懂題意、理解“鄰根方程”，掌握利用完全平方式確定最大值、

最小值等知識點是解決本題的關鍵.

【詳解】(1)解：..?關于x的方程f-(機-1卜-機=。是鄰根方程，

，解方程可得：xx=m,x2=-1,

答案第17頁，共26頁

|%1—x2|=|m—(-1)1=\m+1|=1,

TWj=0,m,=—2,

"7=0或"7=—2;

(2)?.,關于x的方程辦2+區(qū)+1=0(。/是常數(shù)。>0)是鄰根方程,

設兩個根分別為無1戶2,

由韋達定理：xt+x2=—,xI-x2=—

+x2V-4X1X2=

b2=a2+4a,

此時A=〃-4a=02?0,方程必定有解.

t=12。-=12。-+4a)=-ci~+8。=-(a-4y+16,

.?.當a=4時，/有最大值，最大值為16.

答：/的最大值為16.

22.(1)(4,5)

⑵(T-2)

⑶(6,7)

【分析】本題考查無理數(shù)的估算，二次根式有意義的條件，非負性.熟練掌握相關知識點,

并靈活運用，是解題的關鍵.

(1)夾逼法求出M的取值范圍，即可得出結果；

(2)根據(jù)二次根式有意義的條件，得到6=-行，進一步求出6的取值范圍即可；

(3)根據(jù)二次根式有意義的條件，結合算術平方根的非負性，得到

2x+3y=n,3x+4y=2n,x+y=41,求出羽八〃的值，進而求出戰(zhàn)的“行知區(qū)間”即可.

【詳解】(1)解：?:屈(生,

???4<V19<5,

答案第18頁，共26頁

即：無理數(shù)M的“行知區(qū)間”是(4,5)；

故答案為：(4,5)；

(2)解：???a=V^3+V3^-V7

6-320,3-620,

.,.b=3,

a=—5/7，

VI<V7<V9,

???2<g<3,

—3<—y/l<—2，

：,a的“行知區(qū)間”為(-3,-2)；

(3)yj2x+3y-n+J3x+4歹-2〃=Jx+--41+yj41-x-y,

.?.x+y-4120,41-％一歹20,

??.x+歹=41,

J2x+3y-n++4y-2n=0,

：,2x+3y-n=0,3x+4y-2n=0,

x+y=41x=82

聯(lián)立：<2x+3y-n=0,解得：<>=—41,

3x+4y-2〃=0n=41

.?.?的算術平方根為歷，

V36<V41<V49，

???6<V41<7;

:的算術平方根的“行知區(qū)間”為(6,7).

23.(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%

(2)該品牌頭盔每個售價應定為60元

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是根據(jù)等量關系列出方程.

(1)設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x,根據(jù)該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷

答案第19頁，共26頁

售72個列出方程求解即可；

（2）設該品牌頭盔每個售價為y元，根據(jù)利潤=（售價-進價）x銷售量列出方程求解即可.

【詳解】（1）解；設該品牌頭盔銷售量的月增長率為X,

依題意，得：500（l+x）2=720

解得再=0.2=20%,%=-2.2（不合題意，舍去）

答：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%.

（2）解:設該品牌頭盔每個售價為y元，依題意，得：

（y-40）（^500-10x^^^|=9000,

整理，得/-120^+3500=0

解得兇=60,%=130

因為盡可能讓顧客得到實惠，所以了=130不合題意，舍去.

所以＞=60.

答：該品牌頭盔每個售價應定為60元.

24.（l）（45-m）,證明見解析

（2）2AC2=AF2+EF2,證明見解析

⑶42

【分析】（1）利用翻折的性質得3C=EC,則=從而求得N8EC=90。-加。,

再根據(jù)AC=BC,得到AC=EC,則ZCAE=ZAEC,從而求得ZAEC=45°-m。,最后由

NAEB=NBEC-NNEC可得出結論.

（2）連接3尸，先由等腰直角三角形的性質與勾股定理求得43=0/C，再由折疊性質，

得BF=EF,由（1）知，NAEB=45。,求得/4FB=90。,然后由勾股定理可得出結論.

（3）過點C作產(chǎn)于X,由翻折性質得=GE=5,利用勾股定理可求得

EF=yl2GE=572,CG=\ICE2-GE2=Vl32