2025年中考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

微專題29與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

圓外1

圓上一■（點(diǎn)與圓的位置關(guān)系hd切線的性質(zhì)與判定）

圓內(nèi)」

-與圓有關(guān)的位置關(guān)系-

相離］

■｛直線與圓的位置關(guān)系］

相切-

相交-

考點(diǎn)梳理

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)在圓外d=OA①_____r

點(diǎn)在圓上d=OB②r

\y\JA

點(diǎn)在圓內(nèi)d=OC③r

2.直線與圓的位置關(guān)系（2024年首次涉及考查）

位置關(guān)系相離相切相交

d與廠的

d④________rd@rd?________r

關(guān)系

交點(diǎn)的

沒(méi)有公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn)

個(gè)數(shù)

出

示意圖to

3.切線的性質(zhì)與判定（6年6考）

⑴性質(zhì)定理：圓的切線⑦于過(guò)切點(diǎn)的半徑（或直徑）

⑵性質(zhì)：①切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③切線垂直于過(guò)

切點(diǎn)的半徑；④經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；⑤經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過(guò)

圓心

⑶判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

（4）判定方法：①直線與圓公共點(diǎn)已知：連半徑，證垂直；②直線與圓公共點(diǎn)未知：作垂直，

證半徑

第1頁(yè)共17頁(yè)

4.切線長(zhǎng)與切線長(zhǎng)定理

圖示

在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)與⑧之間的線段的長(zhǎng)度，叫做這

切線長(zhǎng)

點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)

從圓外一點(diǎn)可以引圓的⑨條切線，它們的切線長(zhǎng)⑩—，這一點(diǎn)和圓心

切線長(zhǎng)定理

的連線平分兩條切線的夾角.（探索并證明切線長(zhǎng)定理*選學(xué)）

5.三角形的內(nèi)切圓

⑴定義：與三角形各邊都相切的圓

（2）圓心。：內(nèi)心（三角形的內(nèi)切圓圓心或三角形三條?的交點(diǎn)）

（3）性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形?的距離相等

（4）角度關(guān)系：如圖③，圖④，ZBOC=90°+^ZBAC

【知識(shí)拓展】

任意三角形的內(nèi)切圓直角三角形的內(nèi)切圓

利用等面積法可得：r=丹三

利用等面積法可得：廠=冬詈

a十匕十c.

利用切線長(zhǎng)定理可得：

練考點(diǎn)

1.已知。。的半徑為3,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，0P=4,則點(diǎn)P在。。.（填“內(nèi)”'‘上"

或“外”）

2.已知圓的半徑為3,圓心到某直線的距離為2,則此直線與圓的位置關(guān)系為.（填“相

交”“相切”或“相離”）

3.如圖，AC是O。的直徑.

⑴若3c是。。的切線，則NAC3=°；

第2頁(yè)共17頁(yè)

（2）若A3=5,BC=4,AC=3,則3c與。。.（填“相交”“相切”或“相離”）

第3題圖

4.如圖，PA,尸3是O。的切線，A,B為切點(diǎn),連接A3,OA,OB,PO,P。交O。于點(diǎn)C,

交A3于點(diǎn)。，ZOAB=30°.

第4題圖

⑴NAPB的度數(shù)為；

（2）若。4=4,則。P的長(zhǎng)為.

5.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=.

第5題圖

6.如圖，△ABC的外接圓半徑為5,其圓心。恰好在中線CD上，若A3=CD,則△ABC的

面積為.

4v

第6題圖

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)與切線有關(guān)的證明及計(jì)算（6年6考）

一、切線的判定（6年4考）

方法解讀

1.利用平行證垂直：

第3頁(yè)共17頁(yè)

當(dāng)需要證明的切線有一條垂線時(shí)，可證明過(guò)切點(diǎn)的半徑與這條垂線平行.

2.利用等角轉(zhuǎn)換證垂直：

題干中直接給出角度關(guān)系或給出切線與弦的夾角等于某個(gè)圓周角時(shí)，常通過(guò)等角代換來(lái)證明.

3.利用三角形全等證垂直：

常在“共點(diǎn)雙切線型”圖形中運(yùn)用，通過(guò)連接圓心與兩條切線的交點(diǎn)構(gòu)造全等三角形來(lái)證得垂

直.

4.作垂直，證半徑：

過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段長(zhǎng)等于半徑.

方法一連半徑、證垂直

例1（利用平行證垂直）核心設(shè)問(wèn)如圖，在等腰AABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交

3c于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF±AB于點(diǎn)F.求證：EF是00的切線.[2019廣東24（2）題考查]

例1題圖

例2（利用等角轉(zhuǎn)換證垂直）如圖，A3是。。的直徑，C是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線。交

R4延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，且NDC4=N3,求證：CD是。。的切線.

例2題圖

例3（利用三角形全等證垂直）核心設(shè)問(wèn)如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,以為直徑

作。。，交AB于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接DE.若DE=CE,求證:DE是。。的切線.[2020

廣東22⑴題考查]

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A

例3題圖

方法二作垂直、證半徑

例4核心設(shè)問(wèn)如圖，在RSA3C中，ZACB=90°,以AC上一點(diǎn)。為圓心，0c長(zhǎng)為半

徑作O。，連接3。，若3。平分NA3C,求證：A3是。。的切線.[2024廣東17（2）題考查]

二、切線性質(zhì)的相關(guān)證明及計(jì)算（6年2考）

方法解讀

1.證明角相等的方法：

⑴根據(jù)直角三角形中兩銳角互余，進(jìn)行等量代換找到對(duì)應(yīng)的角；

⑵根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換找到相對(duì)應(yīng)的角；

⑶通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)的角相等.

2.求線段長(zhǎng)的方法：

⑴若題干中含有30°,45°,60°等特殊角度或出現(xiàn)三角函數(shù)sin、cos、tan時(shí)，考慮利用三

角函數(shù)求線段長(zhǎng)；

⑵若題干無(wú)特殊角或三角函數(shù)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)已知邊與所求邊分別所在的三角形存在相似關(guān)

系，考慮作輔助線將所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用相似三角形求線段長(zhǎng).

3.證明線段平行的方法：

⑴通過(guò)角之間的等量代換，利用同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的方法證明兩直線

平行.

⑵設(shè)法將兩條線段放在同一個(gè)三角形中，利用中位線（或等分點(diǎn)）的性質(zhì)證明兩直線平行.

例5如圖①，在AABC中，ZA=90°,E是3C上一點(diǎn)，以3E為直徑的。。與AC相切

于點(diǎn)。，連接3D,DE.

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A

D

oJEC

例5題圖①

⑴求證：NABD=/CDE；

(2)求證：BD平分/ABC；

(3)若NA3D=30°,AD=V3,求。C的長(zhǎng);

(4)如圖②，若R為CD的中點(diǎn)，連接EEZC=30°,求證：EF//AB.

例5題圖②

真題及變式

命題點(diǎn)切線的判定及性質(zhì)(6年6考)

1.(2020廣東22題8分)如圖①，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZDAB=90°,A3是。。的

直徑，CO平分/BCD.

⑴求證：直線CD與。。相切;

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(2)如圖②，記(1)中的切點(diǎn)為E,尸為優(yōu)弧端上一點(diǎn)，AD=1,BC=2.求tanNAPE的值.

第1題圖

2.(2019廣東24題9分?北師九下習(xí)題改編)如圖①，在AABC中，AB=AC,。。是△ABC的

外接圓，過(guò)點(diǎn)C作NBCD=NAC3交O。于點(diǎn)。，連接AD交3c于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DC至點(diǎn)E

CF=AC,連接AE

⑴求證：ED=EC；

(2)求證：AR是O。的切線；

(3)如圖②，若點(diǎn)G是△ACD的內(nèi)心，BCBE=25,求3G的長(zhǎng).

第2題圖

第7頁(yè)共17頁(yè)

新考法

3.［真實(shí)問(wèn)題情境］陀螺(如圖①)是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，歷經(jīng)千年發(fā)展成為備受世

界喜愛(ài)的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng).玩木制陀螺時(shí)需要掌握一定的技巧，其中發(fā)動(dòng)陀螺尤為重要.某數(shù)學(xué)興趣小

組畫(huà)出如圖②所示的示意圖，陀螺的截面圖記作。。，將鞭繩纏繞陀螺后余下的鞭繩為AC,

點(diǎn)C為接頭，繩桿為PC,發(fā)動(dòng)陀螺時(shí)需將手放在優(yōu)弧&處固定陀螺，連接AB,AP,AP交

于點(diǎn)。，連接3。且NABC=NADB

(1)求證：PC與。。相切；

⑵實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AC與。。相切于點(diǎn)A,且ACLPC時(shí)，發(fā)動(dòng)陀螺更加穩(wěn)定，若陀螺半徑r

=4cm,NA4P=30°,求繩桿CP的長(zhǎng)度.

第3題圖

第8頁(yè)共17頁(yè)

考點(diǎn)精講

①〉②=③<@>⑤:@<⑦垂直⑧切點(diǎn)

⑨兩⑩相等斜平分線亞條邊

練考點(diǎn)

1.外

2.相交

3.(1)90；(2)相切

4.(1)60°；(2)8

5.1

6.32

高頻考點(diǎn)

例1證明：如解圖，連接OE,

'：OC=OE,

：.ZOEC=ZC.

"：AB=AC,

：./B=/C,

：.ZOEC=ZB,

：.OE//AB.

'：EFLAB,

：.EFLOE,

,.?OE是O。的半徑，

.?.ER是O。的切線.

例1題解圖

例2證明：如解圖，連接OC,

?.?A3是O。的直徑,

/.ZACB=90°,

：.ZCAB+ZB=90°.

第9頁(yè)共17頁(yè)

又：。4=0C,

：.ZCAB=ZACO,

'：ZDCA=ZB,

：.ZDCO=ZACO+ZDCA=ZCAB+ZB=90°,

即C"OC.

是O。的半徑，

...CD是O。的切線.

例2題解圖

例3證明：如解圖，連接。。，0E,

在^ODE與AOCE中，

r0D=0C

,OE=0E,

、DE=CE

...△ODE法△OCE(SSS),

：.Z0DE=Z0CE=9Q°,

即

是。。的半徑，

.?.DE是O。的切線.

A

例3題解圖

例4證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)。作ODLAB于點(diǎn)。，

：.ZODB=ZOCB=90°,

：.OC±BC,

,.?5。平分NABC,

：.OD=OC,

第10頁(yè)共17頁(yè)

:。。是O。的半徑,

???。。是0。的半徑,

.,.AB是O0的切線.

4n

例4題解圖

例5(1)證明：：臺(tái)石為。。的直徑,

AZBDE=90°,

/.ZADB+ZCDE=9Q°,

VZA=90°,

AZABD+ZADB=9Q°,

NABD=/CDE；

(2)證明：如解圖①，連接OD,

?.'AC是O。切線，

：.ZODC=90°,

VZA=90°,

：.AB//OD,

：.ZABD=ZODB,

'：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZABD=ZOBD,

.?.3。平分NA3C；

例5題解圖①

(3)解:如解圖①，連接OD,

由(1)知ZABD=ZCDE,由(2)知ZABD=ZOBD,

VZA=90°,ZABD=30°,AD=43,

：.ZOBD=ZODB=ZCDE=30°,BD=2y/3,

第11頁(yè)共17頁(yè)

/.ZDOC=60°,

,.?AC與。。相切于點(diǎn)。，

：.ZODC=90°,

AZC=90°-60°=30°,

:./CDE=/C,

：.DE=CE,

VZBDE=9Q°,

1

：.BE=3V3=4,DE=-BE=2,

cos30°2

：.CE=DE=2,

：.OC=4；

(4)證明：如解圖②，連接OD,

由⑵得NODC=90°,

VZC=30°,

AZDOC=60°,

'：OD=OE,

ODE為等邊三角形，

：.ZODE=6Q°,

：.ZCDE=90°-60°=30°,

：.ZCDE=ZC,

：.CE=DE=OE,

點(diǎn)E是。C的中點(diǎn).

:點(diǎn)歹是CD的中點(diǎn)，

:.EF是XODC的中位線，

：.EF//OD,

由(2)知，OD//AB,

：.EF//AB.

例5題解圖②

第12頁(yè)共17頁(yè)

真題及變式

1.(1)證明：如解圖①，過(guò)點(diǎn)。作。ELCD于點(diǎn)E,

'JAD//BC,NDAB=90°,

：.ZOBC=90°,

：.ZOBC=ZOEC,

平分/BCD,

：.Z1=Z2,

又.：CO=CO,

30C/△EOC(AAS),

：.OE=OB,

：為O。的半徑，

.,.OE為O。的半徑，

又CD,

??.直線CD與。。相切；(3分)

(2)1?：如解圖②，連接00,0E,

由⑴得。￡=。3,

：.OE=OA,

'：ZOAD=ZOED=90°,0D=0D,

.*.RtAAOD^RtAEOD(HL),

：.DE=AD=1,Z3=Z4=-ZAOE,

2

1

/.ZAPE=-ZAOE=Z3,

2

由⑴得△B08AE0C,

：.CE=BC=2,

：.CD=DE+CE=3.(5分)

過(guò)點(diǎn)。作DfUBC,垂足為點(diǎn)R則四邊形ABED為矩形,

/.CF=BC-BF=BC-AD=1,

在RtADRC中，DF=JcD12-CF2=2V2,

：.0A=^AB=^DF=42,

第13頁(yè)共17頁(yè)

）

AT-/亭（8分）

/.tanNAPE=tanZ3=—OA=

一題多解法

如解圖③，連接BE,AE,并延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

由題意得NAPE=ZABE,,：ZDAB=90°,A3為O。直徑,

...AD與。。相切，：.DE=AD=1,同理可得CE=C3=2,

,JAD//BC,

即FE=2AE,（5分）

FECE2''

「AB是O。的直徑，

：.BE±AF,

,：ZABE+ZBAE=9Q°,ZABE+ZFBE=90°,

ZBAE=ZFBE,

:.xABEs^BFE,

.AE_BE器,即3E2=2AE2,

''BEFE

???煞=條負(fù)值已舍去），

tanZAPE=tanZABE.（8分）

BE2

第1題解圖③

2.（1）證明：如解圖①,

"：AB=AC,

/.Z1=Z3,

VZ1=Z2,

/.Z2=Z3,

第14頁(yè)共17頁(yè)

VZ3=Z4,

.*.Z2=Z4,

:.ED=EC；(2分)

(2)證明：如解圖②，連接。4,OB,0C,

"：OB=OC,AB=AC,

...A。是3c的垂直平分線，

：.AOLBC.

?.?由(1)得N2=N3,

：.AB//DF.

'：AB=AC=CF,

???四邊形A3CT是平行四邊形，

：.AF//BC,

：.AOLAF.

是O。的半徑，

?,.AR是O。的切線；(5分)

E4

第3題解圖②

(3)解：如解圖③，連接AG,

VZ1=Z2,N2=N5,

/.Z1=Z5.

是△ADC的內(nèi)心，

.\Z7=Z8,

NB4G