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近世代數(shù)第二章群論

§6置換群

5/9/2025一、置換定義1：稱有限集合的一一變換為置換.置換可表示為其中是的全排列.

5/9/2025例1設(shè),求A的全體置換.三次對稱群為：

5/9/2025注意：置換乘法沒有交換律是有限非交換群.

5/9/2025二、置換群的概念定義2

次對稱群的任意一個子群，次置換群，簡稱置換群.

（由部分置換關(guān)于變換乘法做成的群）都叫做一個定理1

任何n階有限群都同n次置換群同構(gòu).因為任何n階有限群都與一個具體的n次置換群同構(gòu)，所以常用n次置換群來舉有限群的例子.

5/9/2025三、循環(huán)置換及循環(huán)置換分解定義3中的一個將變到，變到變回到而其余元素（如果還有其他元素）不發(fā)生變化的置換，叫做

k—循環(huán)(置換)，記為

例1中的3元置換都是循環(huán)置換，且

5/9/2025注：并不是每個置換都是循環(huán)置換.設(shè)和都是循環(huán)置換,如果與不含相同元素，是不相連的.則稱與不是循環(huán)置換，但定義4

5/9/2025定理2.每個置換都可表成不相連循環(huán)置換之積.證：

注：將置換寫成不相連的循環(huán)置換之積是表示置換的第二種方法.

5/9/2025例：四次對稱群

5/9/2025四、循環(huán)置換的性質(zhì)定理3

兩個不相連的循環(huán)置換是可以交換的.定理4k—循環(huán)置換的階為k.定理5

不相連的循環(huán)置換乘積的階為階的最小公倍數(shù).定理6

5/9/2025作業(yè)：給出下列6元置換：求（1

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