貴州省黔南州長順縣民族高級中學(xué)(智華中學(xué))2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考（4月）數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁，共頁長順縣民族高級中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式化簡集合，利用交集的定義計(jì)算得出答案．【詳解】∵，∴，又，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，則的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程，即可得解.【詳解】因?yàn)?，即，又，是?shí)數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得，即，故.故選：D.3.已知向量，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解；詳解】由于，則，則；故選：B4.下列直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)幾何體直觀圖的畫法及直觀圖中虛線的使用，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，應(yīng)看到正方體的上面、前面和右面，由幾何體直觀圖的畫法及直觀圖中虛線的使用，可知選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的直觀圖的識別，熟記幾何體直觀圖的畫法及一般要求即可，屬于?？碱}型.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小關(guān)系，即可得答案.【詳解】由，即.故選：C6.函數(shù)，的圖象形狀大致是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除AC，再結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除B.【詳解】定義域，且，所以奇函數(shù)，排除AC；又，排除B選項(xiàng).故選：D7.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式可得，進(jìn)而結(jié)合角的范圍可確定，即可利用同角關(guān)系求解.【詳解】由可得，由于，則，結(jié)合，所以，故，由于，所以，因此，故選：A8.已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量模與夾角的公式得，進(jìn)而結(jié)合向量的夾角范圍求解即可.【詳解】因?yàn)槭菃挝幌蛄?，且的夾角為，所以，又，所以，又，所以，所以.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知，下列不等關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由不等式性質(zhì)可判斷A；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷BD；由冪函數(shù)性質(zhì)可判斷C.【詳解】對于A，因?yàn)?，結(jié)合不等式性質(zhì)可知，A正確；對于B，由于，故，B正確；對于C，，則冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，C錯誤；對于D，由于，故，D錯誤；故選：AB10.下列說法中錯誤的有（）A兩個非零向量，若，則與共線且反向B.已知不能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底C.已知向量，向量在向量上的投影向量是D.若非零向量滿足，則與的夾角是【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解A，根據(jù)共線以及基底的定義即可求解B，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解C，根據(jù)模長以及夾角公式即可求解的D.【詳解】對于A,兩個非零向量，若，則與共線且反向,正確，對于B，由于，故，則與共線，故不能作為基底，B正確，對于C,在向量上的投影向量是，故C錯誤，對于D,非零向量滿足：，故，故與的夾角是，D錯誤，故選：CD11.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m使得方程有四個互不相等的實(shí)數(shù)根，，，，則下列敘述中正確的有（）A. B.C. D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得函數(shù)與有4個不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可求得，，進(jìn)而計(jì)算可判斷每個選項(xiàng)的正誤.【詳解】若存在實(shí)數(shù)m使得方程有四個互不相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與有4個不同的交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：當(dāng)或，，又時，則由圖象可知函數(shù)與有4個不同的交點(diǎn)時，可得，故A正確；且，當(dāng)時，是方程兩個實(shí)數(shù)根，所以是方程的兩個實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，故B正確；當(dāng)時，是方程的兩根，所以，所以，所以，，所以，故C錯誤；因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所認(rèn)有最小值，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，關(guān)鍵在于利用，得到，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求得最小值.三、填空題（本大題共3小題）12.在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，則角A的大小為______．【答案】##【解析】【分析】余弦定理結(jié)合已知條件直接求解即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以，因此，又因?yàn)椋?故答案為:13.已知，那么函數(shù)的最小值是_________.【答案】6【解析】【分析】由基本不等式即可求.【詳解】由于，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故答案為：614.若函數(shù)在上有四個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，將問題轉(zhuǎn)化為在上有且僅有四個不同實(shí)數(shù)解，根據(jù)的范圍，結(jié)合方程解的個數(shù)可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】；若在上有四個零點(diǎn)，則在上有且僅有四個不同實(shí)數(shù)解，當(dāng)時，，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題本題共5小題，第15小題13分，第16，17小題15分，第18，19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.計(jì)算：（1）（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算法則和換底公式即可.【詳解】(1)原式，(2)原式．16.已知，，且與的夾角為120°，求：（1）；（2）若向量與平行，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方的方法來求得正確答案.（2）根據(jù)向量平行列方程來求得.【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】由于向量與平行，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，解得.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像向左平移后得到函數(shù)，若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將化簡為，即可利用整體法求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)左右平移原則可得解析式，利用的范圍求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得的值域；由不等式恒成立可得與最小值和最大值之間的關(guān)系，解不等式組求得結(jié)果.【小問1詳解】，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為：【小問2詳解】當(dāng)時，，，即又恒成立，∴c<?12c+2>1實(shí)數(shù)的取值范圍為：.18.在中，角，，所對的邊分別是，，，已知．（1）求證：；（2）求角的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用余弦定理將已知條件進(jìn)行化簡，再通過正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角來證明等式；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合余弦定理和基本不等式求出角的最大值.【小問1詳解】因，又，所以整理得，由正弦定理可得：，得證.【小問2詳解】由，，可得：，又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)時，角取得最大值．19.已知函數(shù)滿足.（1）當(dāng)時，解不等式；（2）設(shè)，若對，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)，，由的單調(diào)性，即可求解；（2），，由單調(diào)性求出在區(qū)間上的最大值與最小值，利用其差不超過1，求出關(guān)于的關(guān)系式在恒成立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)最值與參數(shù)關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）由