云南省保山市隆陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期 數(shù)學(xué)期中模擬卷（含解析）

2024-2025年高二下學(xué)期期中模擬卷（范圍：必修一二冊(cè)+選擇性必修一—六章）姓名：___________班級(jí)：___________一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（其中i是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A．z的實(shí)部是 B．的虛部是C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D．3．小張接到4項(xiàng)工作，要在下周一、周二、周三這3天中完成，每天至少完成1項(xiàng)，則不同的安排方式共有（

）A．36種 B．24種 C．18種 D．12種4．在三棱柱中，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．5．在直三棱柱中，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面 B．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，AP與BC成角最大C．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，AP與成角最小 D．存在點(diǎn)，使得6．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（

）A．1 B． C． D．7．已知向量，滿(mǎn)足，，，則（）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．)9．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線(xiàn)為 B．直線(xiàn)AB與C相切C． D．11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分．)12．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）13．若直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)_________．14．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，則C的焦距為_(kāi)________．四、解答題(本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．)15．(13分)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．16．(15分)如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面ABCD，Q為線(xiàn)段PD上的點(diǎn)，，，．(1)證明：平面ACQ；(2)求直線(xiàn)PC與平面ACQ所成角的正弦值．17．(15分)已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，，且.(1)求角；(2)若，，求邊及的面積；(3)在（2）的條件下，求的值.18．(17分)已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若函數(shù)在其定義域上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.19．(17分)在直角坐標(biāo)系上，橢圓的右焦點(diǎn)為，的上、下頂點(diǎn)與連成的三角形的面積為．(1)求的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，問(wèn)上是否存在點(diǎn)，使得？若存出，求出的方程．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案：1．C【分析】根據(jù)交集的定義求解即可【詳解】由題，故選：C2．A【分析】把轉(zhuǎn)化為化簡(jiǎn)求解.【詳解】z的實(shí)部是故A正確；，故D錯(cuò)誤，的虛部是故B錯(cuò)誤，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為所以為第一象限點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.故選：A3．A【分析】應(yīng)用分步計(jì)數(shù)乘法原理，再結(jié)合排列組合數(shù)即可求出不同的分配方案的種數(shù).【詳解】由題意可得，一天完成兩項(xiàng)工作，其余兩天每天完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進(jìn)行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有種．故選：A．4．A【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解.【詳解】，為的中點(diǎn)，，故選：A.5．C【分析】舉特例否定選項(xiàng)A；求得AP與BC成角最大時(shí)點(diǎn)位置判斷選項(xiàng)B；求得AP與成角最小時(shí)點(diǎn)位置判斷選項(xiàng)C；求得時(shí)點(diǎn)位置判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題意得，兩兩垂直，不妨令以C為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，由為梯形的兩個(gè)腰，可得相交，則直線(xiàn)平面位置關(guān)系為相交.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)AP與BC成角為，,由，可得當(dāng)時(shí)，即兩點(diǎn)重合時(shí)，，AP與BC成角為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)AP與成角為，由，可得又，在單調(diào)遞減，則當(dāng)即為中點(diǎn)時(shí)，AP與成角最小.判斷正確；選項(xiàng)D：,由，解得（舍），則不存在點(diǎn)，使得.判斷錯(cuò)誤.故選：C6．B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而由基本不等式即可求解最值.【詳解】由等比數(shù)列中，設(shè)公比為，且，由得，故，由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故最小值為，故選：B7．D【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，進(jìn)而可以比較a，b，c的大小.【詳解】令，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所?故選：D.9．CD【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線(xiàn)性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線(xiàn)性關(guān)系可判斷B、D的正誤.【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10．AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱(chēng)中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．BCD【分析】求出拋物線(xiàn)方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線(xiàn)的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線(xiàn)方程得，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，故準(zhǔn)線(xiàn)方程為，A錯(cuò)誤；，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過(guò)的直線(xiàn)為，若直線(xiàn)與軸重合，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因?yàn)椋?，所以，而，故D正確.故選：BCD12．BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對(duì)稱(chēng)性和周期性的關(guān)系研究對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，故C正確；對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱(chēng)，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．13．【分析】利用多項(xiàng)式乘法進(jìn)行運(yùn)算，再由二項(xiàng)式定理找到通項(xiàng)，再賦值即可求解【詳解】因?yàn)椋渲姓归_(kāi)式的通項(xiàng)為，，令，；令，.所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.14．或【分析】利用幾何法列方程即可求解.【詳解】圓可化為.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得：或7.故答案為：或15．4【分析】將漸近線(xiàn)方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線(xiàn)中對(duì)應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.【詳解】由漸近線(xiàn)方程化簡(jiǎn)得，即，同時(shí)平方得，又雙曲線(xiàn)中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線(xiàn)求解雙曲線(xiàn)中參數(shù)，焦距，正確計(jì)算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.16．【分析】事件B為前3次中有一次中1發(fā)未中，第4次射擊中有2發(fā)未中，事件AB是第3次有1發(fā)未中，第4次有2發(fā)未中，然后利用利用條件概率求解.【詳解】解：由題意得，，故答案為：17．(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用三角形相似得，結(jié)合，則有，利用線(xiàn)面平行的判定即可證明；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACQ的法向量，利用線(xiàn)面角的空間向量法即可得到答案.【詳解】（1）如圖，連接BD與AC相交于點(diǎn)M，連接MQ，∵，，則，∴，，∵，∴，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；（2）平面，平面,，因?yàn)榈酌?則AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，．設(shè)平面ACQ的法向量為，由，，有，令，，，可得，由，有，，則．故直線(xiàn)PC與平面ACQ所成角的正弦值為．19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用平行向量的坐標(biāo)關(guān)系得，結(jié)合正弦定理與角度關(guān)系，即可得角；（2）根據(jù)余弦定理求得邊長(zhǎng)，再利用面積公式求解即可.（3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用兩角和與差的正弦公式即可.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，，且所以，由正弦定理得，又，則，顯然，則，又，所以.（2）由余弦定理的，整理得，解得或（舍），所以的面積.（3）由正弦定理得，即，解得，因?yàn)?，故角為銳角，故，，，.20．(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；(3).【分析】（1）根據(jù)頻率和為列方程計(jì)算求解；（2）由分層抽樣判斷得抽取的成績(jī)?cè)诘娜M人數(shù)為，根據(jù)超幾何分布計(jì)算取對(duì)應(yīng)的概率，從而寫(xiě)出分布列并計(jì)算期望；（3）根據(jù)頻率分布直方圖判斷出成績(jī)?yōu)锳,B,C等級(jí)的頻率分別為，可判斷出從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，獲得B等級(jí)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布計(jì)算獲得B等級(jí)的人數(shù)不少于2人的概率.【詳解】（1）由頻率和為可得，解得.（2）由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)诘娜M人數(shù)比為，根據(jù)分層抽樣抽取的成績(jī)?cè)诘娜M人數(shù)為，所以的可能取值為.，，，所以的分布列為（3）由題意，成績(jī)?yōu)锳,B,C等級(jí)的頻率分別為，設(shè)從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，獲得B等級(jí)的人數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，所以獲得B等級(jí)的人數(shù)不少于2人的概率為21．(1)(2).【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）分類(lèi)討論：①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)和②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，，利用“設(shè)而不求法”求解.【詳解】（1）依題意得，所以，

另由，，解得：，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為程為.（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則，，因?yàn)?，所以點(diǎn)，而點(diǎn)不在橢圓上，故不存在點(diǎn)符合題意.②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，，聯(lián)立得，則，而，因?yàn)?，則，所以，而在曲線(xiàn)上，所以，即，所以，符合題意.綜上所述，存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，此時(shí)直線(xiàn)的方程為22．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解斜率，由點(diǎn)斜式即可求解直線(xiàn)方程，（2）將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成在有唯一實(shí)數(shù)解.構(gòu)造函數(shù)，和利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，進(jìn)而確定方程的根，即可求解.【詳解