2025年初中數(shù)學(xué)專練06 填空題-壓軸（15題）八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點必殺200題（北師版）（解析版）

專練06填空題-壓軸（15題）1．（2025·湖北十堰·八年級期末）如圖，等邊中，，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．在點M運動過程中，線段長度的最小值是___________．【答案】3【解析】解:如圖，取BC的中點G，連接MG∴BG=CG==6由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BN=BM，∠MBN=60°∵等邊中，CH為AB邊上的高∴AB=BC=12，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=∴BH=BG，∠MBN=∠ABC∴∠MBN－∠MBA=∠ABC－∠MBA∴∠NBH=∠MBG在△NBH和△MBG中∴△NBH≌△MBG(SAS)∴HN=GM∴長度的最小值即為GM長度的最小值根據(jù)垂線段最短，當(dāng)GM⊥CH時，GM最小此時在Rt△CGM中，∠GCM=30°∴GM=即長度的最小值為3．故答案為：3．【點睛】此題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、求線段的最小值和直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、垂線段最短和30°所對的直角邊是斜邊的一半是解決此題的關(guān)鍵．2．（2025·貴州銅仁·八年級期末）如圖，已知∠MON=30點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A2025B2025A2025的邊長為______．【答案】【解析】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，∴∠A1B1A2=60°，A1B1=A1A2，∵∠MON=30°，∴∠A1B1O=30°，∴△OA1B1為等腰三角形，∴A1B1=OA1，∴A1B1=A1A2=OA1，∵OA1=1，同理可知△OA2B2為等腰三角形，∴OA2=A2B2=A2A3=2，同理可知△OA3B3為等腰三角形，∴OA3=A3B3=A3A4=，同理可知△OA4B4為等腰三角形，∴OA4=A4B4=A4A5=，依次類推：OAn=AnBn=AnAn+1=,∴△A2025B2025A2025的邊長為：=，故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，歸納，總結(jié)，驗證，應(yīng)用的能力，能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．3．（2025·黑龍江雞西·八年級期末）如圖，△ABC，△DCE都是等邊三角形，則①AE＝BD，②△ABD≌△BCD，③∠BAE＝∠ACE，④△BCD≌△ACE，⑤∠BDC＝∠AEC，以上正確的序號是_______【答案】①④⑤【解析】解：，都是等邊三角形，，，，，在和中，，，故④正確，，，故①，⑤正確，∵AB=CB，BD=BD，AD與CD不一定相等，故△ABD與△BCD不一定全等；故②錯誤，∵，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BAE=∠BAC+∠ACE，與不一定相等，故③錯誤．故答案為：①④⑤．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．4．（2025·山東德州·八年級期末）如圖，中，平分，、分別是的兩外角的平分線，射線的反向延長線交于點P，下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論是___________（直接填寫序號）．【答案】①②④⑤【解析】解：∵∠BCA+∠BCF=180°，CP平分∠ACB，CD平分∠FCB，∴∠PCB=，∠DCB=，∴∠PCD=∠PCB+∠DCB=+，∴CP⊥CD；故①正確；延長CB到G，如圖，∵BD平分∠CBE，∴∠EBD=∠DBC，∵∠EBD=∠PBA，∠CBD=∠PBG，∴∠PBA=∠PBG，∴∠ABG=2∠GBP，∵∠ABG=∠A+∠ACB，即2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，∴∠PBG=∠A+∠PCB，∴∠P=∠A，故②正確；∵CD平分∠BCF，BD平分∠CBE，∴∠BCD=，∠DBC=，∴∠BCD+∠CBD=+，=，=，=，∴∠D=180°-（∠BCD+∠CBD）=，故④正確；∵∠BAC=∠ACB，∴2∠DBC=∠EBC=∠A+∠ACB=2∠A，∴∠DBC=∠A，∴∠D=90°，∴2∠D+∠DBC=180°，只有當(dāng)∠A=60°時，∠D=∠DBC=60°，∴BC=CD，故③不正確，∵∠DBC=∠A=∠ACB，∴PD∥AC，故⑤正確；故答案為：①②④⑤．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角與外角平分線，等腰三角形性質(zhì)與判定，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平行線判定，掌握三角形內(nèi)角與外角平分線定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平行線判定是解題關(guān)鍵．5．（2025·四川宜賓·八年級期末）已知：RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一個動點（其中0°＜∠BAD＜45°），以AD為直角邊作RtADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于點F，過點A作AH⊥DE于點G，交BC于H，在D點的運動過程中，有下列結(jié)論：①ABD≌ACE：②BD2+DC2＝2AD2；③BD2+HC2＝DH2；④當(dāng)BD1時，AC平分∠HAE；⑤當(dāng)∠BAD＝22.5°時，，其中正確的有_____．（將所有正確結(jié)論的番號填在答題卡對應(yīng)題號的橫線上）【答案】①②③④【解析】解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE．∴∠BAD=∠CAE．∴△ABD≌△ACE．故①符合題意；在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，△ABD≌△ACE，故②符合題意，如圖，連接則等腰直角三角形ADE，故③符合題意；而解得：即平分故④符合題意，如圖，過作于而而而故⑤不符合題意；綜上：符合題意的有：①②③④.故答案為：①②③④【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，利用證明三角形全等，勾股定理的應(yīng)用，線段的垂直平分線的定義與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，二次根式的乘法運算，掌握以上知識是解本題的關(guān)鍵.6．（2025·廣東廣州·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．箏形ABCD的對角線AC、BD相交于點O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小嬋同學(xué)得到如下結(jié)論：①△ABC是等邊三角形；②BD＝2AD；③S四邊形ABCD＝AC?BD；④點M、N分別在線段AB、BC上，且∠MDN＝60°，則MN＝AM+CN，其中正確的結(jié)論有_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【解析】解：∵四邊形ABCD是“箏形”四邊形，∴AB=BC，AD=CD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，故①正確；∴∠BAC=∠BCA=60°，∵AD=CD，∠ADC=120°，∴∠DAC=∠DCA=30°，∴∠DAB=90°，∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，∴BD=2AD，故②正確；∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，∴AC⊥BD，∵S四邊形ABCD=S△ACD+S△ACB，∴S四邊形ABCD=×AC×OD+×AC×OB=×AC×BD，故③錯誤；延長BC到E，使CE=AM，連接DE，如圖所示：∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAB=∠DCE=90°，又∵AM=CE，AD=CD，∴△ADM≌△CDE（SAS），∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，∵∠ADC=120°，∵∠MDN=60°，∴∠ADM+∠CDN=∠ADC-∠MDN=60°，∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，∴∠EDN=∠MDN，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=EN，∵EN=CE+CN=AM+CN，∴AM+CN=MN，故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解“箏形”的性質(zhì)和添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2025·福建泉州·八年級期末）如圖，點C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊和等邊，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ、OC．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③CO平分；④．其中正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【解析】解：∵等邊ABC和等邊CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在ACD與BCE中，，∴ACD≌BCE（SAS），∴AD＝BE，故①正確；∴∠CAD=∠CBE，∵∠APC=∠BPO，∴∠AOB=180°-∠CBE-∠BPO=180°-∠CAD-∠APC=∠ACP=60°，∴，故②正確；∵ACD≌BCE（已證），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已證），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在ACP與BCQ中，，∴ACP≌BCQ（ASA），∴AP＝BQ，CP=CQ，∴△CPQ為等邊三角形∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，假設(shè)OC平分∴∠PCO=∠QCO=30°，∵CP=CQ，∴OC⊥PQ，OC平分PQ，∴OP=OQ，∴CO平分∠POQ，∵∠AOB=60°，∴∠POQ=180°-∠AOB=120°∴∠POC=∠QOC=60°，∵∠BCA=∠DCE=60°，∠OCA=∠BCA+∠OCP=∠DCE+∠OCQ=90°，在△AOC和△EOC中，，∴△AOC≌△EOC（ASA），∴AC=EC，∵題中沒有AC=EC條件，為此只有AC=EC時CO平分，故③不正確；在OA上截取OH=OC，連結(jié)CH，過C作CF⊥OA于F，CG⊥BE于G，∴∠AFC=∠BGC=90°，∵ACP≌BCQ，

∴∠CAP=∠CBQ，在△AFC和△BGC中，，

∴△AFC≌△BGC（AAS），∴CF=CG，∵CF⊥OA，CG⊥BE，∴CO平分∠AOE，∵∠AOB=60°，∴∠AOE=180°-∠AOB=180°-60°=120°，∴∠HOC=∠EOC=60°，∴△OHC為等邊三角形，∴CH=CO，∠HCO=60°，∴∠ACH+∠HCB=60°，∠HCB+∠BCO=60°，∴∠ACH=∠BCO，在△AHC和△BOC中，，

∴△AHC≌△BOC（SAS），∴AH=BO，∴AO=AH+HO=BO+OC，故④正確．綜上所述，正確的是①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的判定，需要多次證明三角形全等，反證法，綜合性較強，但難度不是很大，是熱點題目，仔細分析圖形是解題的關(guān)鍵．8．（2025·江蘇·泰州市海陵學(xué)校八年級期末）根據(jù)教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個結(jié)論：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則AB＝2BC．請在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC＝2，點D是AB邊上的動點，則CD+AD的最小值為_____．【答案】【解析】解：作射線AG，使得∠BAG＝30°，過D作DE⊥AG于E，過C作CF⊥AG于F，∴DE＝AD，∴CD+AD＝CD+DE≥CF，∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2，∴∠ACF＝30°，∴AF＝1，∴CF＝，∴CD+AD的最小值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查勾股定理，含30°直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊一半，作出射線AG，使得∠BAG=30°是解答本題的關(guān)鍵．9．（2025·遼寧沈陽·八年級期末）如圖，在中，，，，點為的中點，若直角繞點旋轉(zhuǎn)，分別交于點，交于點，則下列說法：①；②；③；④若的面積為一個定值，則的長也是一個定值．其中正確的有______．【答案】①②③④【解析】解：①連接．在中，，，點為的中點，，，在與中，，，，，．說法正確；②在中，，，，．由①知，．說法正確；③由①知，．說法正確；④的面積，如果這是一個定值，則是一個定值，又，，的面積為一個定值，則的長也是一個定值，故說法正確．故答案為①②③④．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明．10．（2019·四川成都·八年級期末）如圖，等邊△ABC內(nèi)有一點O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，以點B為旋轉(zhuǎn)中心將BO逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，下列結(jié)論：①可以看成是△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的；②點O與的距離為5；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+4；⑤＝6+．其中正確的結(jié)論有_____．（填正確序號）【答案】①③⑤【解析】解：如下圖，連接OO′，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝CB；由題意得：∠OBO′＝60°，OB＝O′B，∴△OBO′為等邊三角形，∠ABO′＝∠CBO，∴OO′＝OB＝4；∠BOO′＝60°，∴選項②錯誤；在△ABO′與△CBO中，，∴△ABO′≌△CBO（SAS），∴AO′＝OC＝5，可以看成是△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的，∴選項①正確；在△AOO′中，∵32+42＝52，∴△AOO′為直角三角形，∴∠AOO′＝90°，∠AOB＝90°+60°＝150°，∴選項③正確；∵S四邊形AOBO′＝×42×sin60°+×3×4＝4+6，∴選項④錯誤；如下圖，將△AOB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△AO″C，連接OO″，同理可得，△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3，4，5的直角三角形，∴S△AOC+S△AOB＝S四邊形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32×sin60°＝6+．故⑤正確；故答案為：①③⑤．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．11．（2025·福建·泉州五中八年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，DEBC，DE＝AC，若AC＝2，AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四個結(jié)論：①四邊形ACED是平行四邊形；②∠ABE＝；③AB＝；④點F是AD中點，點G、H分別是線段BC、AB上的動點，則FG＋GH的最小值為．正確的是_____．（填序號）【答案】①③④【解析】解：∵∠ACB＝90°，DEBC，∴∠CDE＝∠ACB＝90°，∴又∵DE＝AC，∴四邊形ACED是平行四邊形；故結(jié)論①正確．∵AD＝DB＝4，∠ADC＝30°，∴∠ABC＝∠DAB＝，假設(shè)∠ABE＝，則，∴在中，，∴，∴假設(shè)不成立；故結(jié)論②錯誤．在中，，，∴，∴∴在中，，，∴，即AB＝；故結(jié)論③正確．如圖所示，作點F關(guān)于BC對稱的點F’，作于點H，與BC相交于點G，則，，根據(jù)“直線外一點到直線的距離，垂線段最短”可知，此時FG＋GH有最小值．連接AG，與BC相交于點M，∵，∠ABC＝，∴，∴，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴，∴，∴又∵點F是AD中點，點F與點F’關(guān)于BC對稱，AD＝4，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，又∵∠DAB＝，∴，∴在中，，∵點F是AD中點，點F與點F’關(guān)于BC對稱，,∴，,∴，∵，∴，∴在中，，∴，即FG＋GH的最小值為；故結(jié)論④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．其中涉及平行線的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，“一定兩動”求線段最小值等問題．綜合性較強．12．（2025·內(nèi)蒙古烏?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，中，，于點，于點，，相交于點，與的延長線相交于點．下面給出四個結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是______．【答案】①②③【解析】解：∵∠DBC=45゜，DB⊥BC∴∠DBE=∠BDE=45°∴BE=DE∴BD=BE故①正確∵DE⊥BC，BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∴∠BHE+∠HBE=90°=∠HBE+∠C∴∠C=∠BHE∵四邊形ABCD是平行四邊形，.∴∠A=∠C=∠BHE故②正確∵∠C+∠CDE=90∠CDB=∠HBE在△BHE和△DCB中∴△BHE≌△DCE(ASA)∴BH=CD∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD∴AB=BH故③正確在△BCF和△GDF中，只有三個角相等，沒有邊相等，則這兩個三角形不全等故④錯誤故正確的有①②③故答案為：①②③【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．13．（2025·四川成都·八年級期末）如圖，四邊形是平行四邊形，，，點在上，且，點為邊上的一動點，連接，，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點為點，連接，若點，點，點在同條直線上，則的值為______．【答案】【解析】解：在平行四邊形中，，設(shè)，，，，，由翻折可得，，，，過點任于，，，，，，設(shè)，過作于，則，，在直角三角形中，，，，，，延長、交于點，，，，，，，．故答案為：．【點睛】此題考查的是翻折變換、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．14．（2025·山東濟南·八年級期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結(jié)論中：①CE＝DB；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD＝EF；⑤S四邊形BCDE＝BD·CE；⑥BC2＋DE2＝BE2＋CD2；其中一定正確的是________（把所有正確結(jié)論的序號填在模線上）【答案】①②③⑤⑥【解析】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∴故①正確；②∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴∠EAD＝∠ADC＝90°，AE＝CD，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴故②正確；③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝90°＋45°＝135°，∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠BAE＝360°?90°?90°?45°＝135°，又AB＝AB，AD＝AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB＝∠AEB；故③正確；④∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴EF＝CF，AF＝DF，又由②得：△ADC是等腰直角三角形，∴△CFD為直角三角形且∠CDF＝90°，∴CD≠CF，即CD≠EF，故④CD＝EF錯誤；⑤∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA＝∠CEA＝∠BDA，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＋∠BEA＝90°，∵∠GFD＝∠AFE，∠ADB＝∠AEB，∴∠ADB＋∠GFD＝90°，∴∠CGD＝90°，∴BD⊥CE，∴S四邊形BCDE＝BD·CE，故⑤正確；⑥∵∠CGD＝90°，∴BC2＝CG2＋BG2，DE2＝GD2＋GE2，CD2＝CG2＋DG2，BE2＝BG2＋GE2，∴BC2＋DE2＝BE2＋CD2．故⑥正確；故答案為：①②③⑤⑥．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意細心分析，熟練應(yīng)用全等三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．15．（2025·浙江·八年級期末）如圖，在?ABCD中，分別為CD，AB上的動點，DE＝BF，分別以AE，CF為對稱軸翻折△ADE，△BCF，點D，B的對稱點分別為G，H．若E、G、H、F恰好在同一直線上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，則AB的長是_____．【答案】【解析】解：過G點作GM⊥AF于點M，由折疊知AG＝AD＝4，∵∠GAF＝45°，∴∠AGM＝45°，∴AM＝GM＝＝4，∵DE＝BF，∴設(shè)DE＝BF＝x，則由折疊性質(zhì)知，EG＝DE＝BF＝FH＝x，∵GH＝5.5∴EF＝2x+5.5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠AED＝∠AEG，∴∠FAE＝∠FEA，∴AF＝EF＝2x+5.5，∴AB＝AF+BF＝3x+5.5，MF＝AF﹣AM＝2x+1.5，由勾股定理得，F(xiàn)G2﹣FM2＝MG2，即（x+5.5）2﹣（2x+1.5）2＝42，解得，x＝3，或x＝﹣（舍），∴AB＝3x+5.5＝14.5，故答案為：14.5．【點睛】本題考查勾股定理，平行四邊形性質(zhì)，方程思想的運用，屬于綜合提高題．16．（2020·山東濟南·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)【答案】①②④【解析】①∵點F是AD的中點，∴．∵在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，，，，∴∠BCD＝2∠DCF，故①正確；②延長EF，交CD延長線于點M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，，∵點F是AD的中點，∴．在和中，．，，，，故②正確；③∵，∴．，故③錯誤；④設(shè)，則，，，．，，故④正確；綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握這些性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．17．（2019·河南三門峽·八年級期末）如圖，直線，分別經(jīng)過點和且平行于軸．的頂點，分別在直線和上，是坐標(biāo)原點，則對角線長的最小值為_________．【答案】5【解析】解：過點B作BD⊥l2，交直線x=4于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E，直線l1與OC交于點M，與x軸交于點F，直線l2與AB交于點N．∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵直線l1與直線l2均垂直于x軸，∴AM∥CN，∴四邊形ANCM是平行四邊形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD（ASA），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=．由于OE的長不變，所以當(dāng)BE最小時（即B點在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB=OE=5．故答案為：5．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．18．（2019·四川達州·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，則下列結(jié)論：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝CD；其中正確的是_____（填序號）【答案】①②③⑤【解析】∵E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，∴EF＝AB，EF∥AB，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴EF∥CD，故①正確；∵∠ADC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，∴DF＝CF=AC，∵AB=AC，