2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式優(yōu)化總結(jié)學(xué)案新人教A版選修4-5

PAGEPAGE1第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式本講優(yōu)化總結(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式[學(xué)生用書(shū)P62]證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是：其次步將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)結(jié)構(gòu)相同的形式——湊假設(shè)，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過(guò)恒等變形，得到結(jié)論所須要的形式——湊結(jié)論．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．由(1)(2)可知，對(duì)任何n∈N＋等式都成立．若n∈N＋，用數(shù)學(xué)歸納法證明：coseq\f(α,2)·coseq\f(α,22)·coseq\f(α,23)…coseq\f(α,2n)＝eq\f(sinα,2nsin\f(α,2n)).證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝coseq\f(α,2)，右邊＝eq\f(sinα,2sin\f(α,2))＝coseq\f(α,2)，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，即coseq\f(α,2)·coseq\f(α,22)·coseq\f(α,23)…coseq\f(α,2k)＝eq\f(sinα,2ksin\f(α,2k))，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)·cos\f(α,22)·cos\f(α,23)…cos\f(α,2k)))·coseq\f(α,2k＋1)＝eq\f(sinα,2ksin\f(α,2k))·coseq\f(α,2k＋1)＝eq\f(sinα,2k＋1·sin\f(α,2k＋1)cos\f(α,2k＋1))·coseq\f(α,2k＋1)＝eq\f(sinα,2k＋1·sin\f(α,2k＋1))即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由(1)(2)知，等式對(duì)n∈N＋均成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式[學(xué)生用書(shū)P62]證明不等式的題型多種多樣，所以不等式的證明是一個(gè)難點(diǎn)，在由n＝k成立，推導(dǎo)n＝k＋1也成立時(shí)，過(guò)去講過(guò)的證明不等式的方法在此都可以運(yùn)用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時(shí)還要考慮與原不等式等價(jià)的命題．設(shè)an＝eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n（n＋1）)(n∈N＋)，求證：eq\f(1,2)n(n＋1)<an<eq\f(1,2)(n＋1)2.【證明】①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\r(2)，eq\f(1,2)n(n＋1)＝1，eq\f(1,2)(n＋1)2＝2，所以1<eq\r(2)<2，所以n＝1時(shí)，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即eq\f(1,2)k(k＋1)<ak<eq\f(1,2)(k＋1)2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1,2)k(k＋1)＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)<ak＋1<eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)，eq\f(1,2)k(k＋1)＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)>eq\f(1,2)k(k＋1)＋(k＋1)＝eq\f(1,2)(k＋1)(k＋2)＝eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)＋1]，eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(k2＋3k＋2)<eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(3,2)))＝eq\f(1,2)(k＋2)2＝eq\f(1,2)[(k＋1)＋1]2，所以eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)＋1]<ak＋1<eq\f(1,2)[(k＋1)＋1]2，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．依據(jù)①②可知對(duì)隨意的n∈N＋，不等式eq\f(1,2)n(n＋1)<an<eq\f(1,2)(n＋1)2恒成立．設(shè)0<a<1，定義a1＝1＋a，an＋1＝eq\f(1,an)＋a，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有1<an<eq\f(1,1－a).證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1>1，a1＝1＋a<eq\f(1,1－a)，命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，命題成立．即1<ak<eq\f(1,1－a)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由遞推公式，知ak＋1＝eq\f(1,ak)＋a>(1－a)＋a＝1.同時(shí)，ak＋1＝eq\f(1,ak)＋a<1＋a＝eq\f(1－a2,1－a)<eq\f(1,1－a)，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，即1<ak＋1<eq\f(1,1－a)，綜合(1)(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，有1<an<eq\f(1,1－a).歸納、猜想、證明思想的應(yīng)用[學(xué)生用書(shū)P63]歸納、猜想、證明屬于探究性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)算、視察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，因此務(wù)必要保持猜想的正確性，同時(shí)要留意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書(shū)寫(xiě)．已知數(shù)列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1(n∈N＋)，當(dāng)n∈N＋時(shí)，試比較an與bn的大小，并證明你的結(jié)論．【解】由已知得an＝eq\f(1＋（2n＋1）,2)·(n＋1)＝(n＋1)2，bn＝eq\f(2n－1,2－1)＝2n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4，b1＝1，則a1>b1，當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝9，b2＝3，則a2>b2，當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝16，b3＝7，則a3>b3，當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝25，b4＝15，則a4>b4，當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝36，b5＝31，則a5>b5，當(dāng)n＝6時(shí)，a6＝49，b6＝63，則a6<b6，當(dāng)n＝7時(shí)，a7＝64，b7＝127，則a7<b7，…由此得到，當(dāng)n∈N＋，n≤5時(shí)，an>bn.猜想：當(dāng)n∈N＋，n≥6時(shí)，an<bn.前一結(jié)論上面已用窮舉法證明，后一猜想用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝6時(shí)，上面已證a6<b6.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥6)時(shí)，上述結(jié)論成立，即當(dāng)k≥6時(shí)，(k＋1)2<2k－1.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，要證ak＋1<bk＋1，即證(k＋2)2<2k＋1－1，這只要證(k＋2)2<2×2k－1.由歸納假設(shè)知2k>(k＋1)2＋1，只要證(k＋2)2<[(k＋1)2＋1]×2－1，即k2＋4k＋4<2k2＋4k＋3，即只要證k2>1，由k≥6得上式明顯成立，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，上述猜想成立．綜上所述，當(dāng)n∈N＋，1≤n≤5時(shí)，an>bn；當(dāng)n∈N＋，n≥6時(shí)，an<bn.數(shù)列{an}滿(mǎn)意a1＝1，an＝eq\r(2aeq\o\al(2,n－1)＋1)(n∈N＋，n≥2)．(1)寫(xiě)出數(shù)列{an}的前五項(xiàng)；(2)揣測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．解：(1)a1＝1，a2＝eq\r(3)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(15)，a5＝eq\r(31).(2)猜想an＝eq\r(2n－1)(n∈N＋)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\r(21－1)＝1，明顯成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)結(jié)論成立，即ak＝eq\r(2k－1).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝eq\r(2aeq\o\al(2,k)＋1)＝eq\r(2（2k－1）＋1)＝eq\r(2k＋1－1).這表明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．由①②知，結(jié)論對(duì)全部的正整數(shù)都成立．1．求證對(duì)隨意正整數(shù)n，有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2成立．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，所以原等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立，即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2.在上式等號(hào)兩邊同時(shí)加上(k＋1)3，得13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝(1＋2＋…＋k)2＋(k＋1)3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(k（k＋1）,2)))eq\s\up12(2)＋(k＋1)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,2)))eq\s\up12(2)[k2＋4(k＋1)]＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（k＋1）（k＋2）,2)))eq\s\up12(2)＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2.即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2也成立．綜合(1)(2)可知，對(duì)任何正整數(shù)n，原等式成立．2．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)意Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，所以a1＝1.當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，所以a2＝eq\f(3,2).當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，所以a3＝eq\f(7,4).當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，所以a4＝eq\f(15,8).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(