643第3課時正弦余弦定理應用舉例教學設計-高一下學期數(shù)學人教A版

第3課時6.4.3余弦定理、正弦定理應用舉例【教學內容】余弦定理、正弦定理應用舉例.【教學目標】（1）通過對具體實例的分析，能夠靈活地選擇正弦定理和余弦定理，發(fā)展學生分析和解決問題的能力；（2）通過對實際問題特征的分析，能合理正確使用余弦定理、正弦定理解決實際測量問題，發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)學運算核心素養(yǎng).【教學重點與難點】教學重點：余弦定理、正弦定理在解決實際測量問題時的合理正確使用.教學難點：用余弦定理、正弦定理解決實際測量問題時，對測量問題的理解，公式的正確選擇.【教學過程設計】環(huán)節(jié)一復習回顧，鞏固所學引導語：在實踐中，我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實際問題.解決這類問題，經(jīng)常需要借助專業(yè)測量工具進行測量.具體測量時，我們常常遇到“不能到達”的困難，通過對具體實例的分析，設計合理恰當?shù)臏y量方案，再利用所學知識進行求解.問題1：在前面的學習中，我們知道余弦定理、正弦定理和它們的推論分別能解決哪些類型的解三角形問題？師生活動：學生獨立思考，作答，教師點評和總結.答：余弦定理及其推論：“已知兩邊和一角（SAS、SSA）”、“已知三邊（SSS）”正弦定理及其推論：“已知兩角和一邊（AAS、ASA）”、“已知兩邊和其中一邊的對角（SSA）”設計意圖：通過問題幫助學生回顧前面所學的內容，再次厘清兩個定理在解三角形時的使用情形，同時為進一步學習奠定基礎，培養(yǎng)學生歸納概括整理知識的能力.環(huán)節(jié)二典例探究，構建模型例1（1）如圖，A、B兩點都在河的同一岸（不可到達）且中間隔著一座山，現(xiàn)在河的對岸選擇另一點C，測得，，，則A、B兩點之間的距離為多少米？師生活動：學生獨立完成，規(guī)范書寫.最后教師做點評和總結.教師總結：本例題是求不可達又不可視的兩點間的距離問題.已知三角形兩邊及其夾角，解題思路是利用余弦定理求解距離.解：由余弦定理，得所以（m）.即A、B兩點之間的距離為米.設計意圖：本例題是測量距離的第一種基本類型：兩點間不可達又不可視的距離問題.讓學生學會應用余弦定理，在老師的引導下逐步完善并規(guī)范步驟，體會在具體實例中解三角形的過程，培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng).例1（2）如圖，A、B兩點都在河的同一岸（不可到達），現(xiàn)在河的對岸選擇另一點C，測得，，，則C點與A、B兩點之間的距離分別為多少米？師生活動：學生獨立完成，規(guī)范書寫.最后教師做點評和總結.教師總結：本例題是求可視不可達的兩點間的距離問題.由于三角形的兩邊均不可直接測量，已知三角形的兩角和一邊，解題思路是利用正弦定理求解距離.解：由正弦定理，得（m）.（m）.即C點與A、B兩點之間的距離分別為米、米.設計意圖：本例題是測量距離的第二種基本類型：兩點間可視但不可達的距離問題.讓學生學會應用正弦定理，在老師的引導下逐步完善并規(guī)范步驟，體會在具體實例中解三角形的過程，培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng).例1（3）（教科書第49頁例9）如圖，A、B兩點都在河的同一岸（不可到達），設計一種測量A，B兩點間的距離的方法，并求出A，B間的距離.師生活動：教師給出如下問題進行引導：①構建一個三角形能否求解？②至少知道哪些條件才能解三角形？回憶余弦定理、正弦定理解三角形問題的類型.學生獨立思考后作答：①構建一個三角形無法解決問題；②在構建一個三角形，且至少知道三角形的兩角和一邊.教師講解解決步驟，詳細解答參見教科書第49頁：本例題是求兩點都不可達的距離問題.若測量者在A，B兩點的對岸取定一點C（稱作測量基點），則在點C處只能測出的大小，因而無法解決問題.為此，可以再去一點D，再構建三角形，測出線段CD的長，以及，，，這樣就可以借助正弦定理和余弦定理算出距離.變式：如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河對岸選取相距40米的C，D兩點，測得，，，則A，B兩點間的距離為？師生活動：學生獨立思考，教師引導“在和中都已知兩角和一邊，可以利用哪一定理求出哪些量”“知道哪些量可以怎樣求出AB”.學生在教師引導下作答：先利用正弦定理求出AC、BC，然后利用余弦定理計算AB，或者求出AD、BD也可以計算AB.最后教師點評和總結.解：由正弦定理，得,由余弦定理，得所以（m）.即A、B兩點之間的距離為米.另解：由正弦定理，得,由余弦定理，得所以（m）.即A、B兩點之間的距離為米.設計意圖：本例題是測量距離的第三種基本類型：兩點都不可達的距離問題.讓學生學會分析題目所給條件構建三角形，選擇在特定情境下和條件限制下的測量方法，并合理正確應用正弦定理、余弦定理求解，在老師的引導下逐步完善并規(guī)范步驟，體會在具體實例中解三角形的過程，培養(yǎng)數(shù)學建模、數(shù)學運算核心素養(yǎng).例2（1）如圖，D，C，B在地平面同一直線上，，從D，C兩地測得A點的仰角分別為和，則A點離底面的高AB等于多少？師生活動：教師引導分析，學生獨立思考、作答，規(guī)范書寫.最后教師點評和總結.解：由正弦定理，得（m）.（m）.設計意圖：本例是測量高度的第一種基本類型：底部可到達的高度問題，此類問題可直接構造直角三角形.讓學生掌握在三角形中利用正弦定理，再解直角三角形求解距離，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).例2（2）如圖，A,B是水平面上的兩個點，相距800m，再點A測得山頂C的仰角為,,又在B點測得,其中點D是點C到水平面的垂足，求山高CD.師生活動：學生獨立完成，規(guī)范書寫，教師根據(jù)學生完成情況，做點評和總結.解：由于平面,,所以.在中，,由于，得，（m）.即山的高度為（m）.設計意圖：本例是測量高度的第二種基本類型：底部不可到達的高度問題，且涉及與地面垂直的平面，觀測者兩次觀測點所在直線不經(jīng)過“目標物”，解決辦法是把目標高度轉化為地平面內的某量，從而把空間問題轉化為平面內三角形問題，再利用正弦定理求解，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).例3（教科書第51頁例11）位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距7海里的C處的乙船.那么乙船前往營救遇險漁船時的目標方向線（由觀測點看目標的視線）的方向是北偏東多少度（精確到）？需要航行的距離是多少海里（精確到1海里）？師生活動：教師引導分析，學生獨立思考、作答，規(guī)范書寫.最后教師點評和總結.分析：由于題目中沒有給出圖形，因此首先應根據(jù)“正東方向”“南偏西”“目標方向線”等信息，畫出示意圖.再根據(jù)題目條件，選擇利用余弦、正弦定理解決問題.解：根據(jù)題意，畫出示意圖（圖6.416）.由余弦定理，得于是（海里）.由正弦定理，得，，于是.由于，所以.因此，乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東，大約需要航行24海里.設計意圖：本例是測量角度的問題，首先畫出示意圖是解決問題的重要環(huán)節(jié)，讓學生掌握在具體情境下構造已知兩邊及其夾角的三角形，利用余弦定理求解距離，再利用正弦定理求解角度，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)三小結提升，回顧所學問題2：測量距離、高度分別有哪幾種情形，每種情形應該用什么方法？測量角度又用什么方法？師生活動：學生獨立回答，教師補充點評，師生共同歸納總結如下：（1）測量距離：①兩點間不可達或不可視：用余弦定理；②兩點間可視不可達：用正弦定理；③兩點都不可達：正弦定理與余弦定理結合運用.（2）測量高度：①底部可到達：先用正弦定理，再解直角三角形②底部不可到達，但仍在與地面垂直的同一平面內：先把空間問題轉化我平面內解三角形問題，再用正弦定理.（3）測量角度：根據(jù)已知信息，余弦定理與正弦定理結合投影運用.設計意圖：通過問題讓學生概括前面例題中測量距離和高度的問題類型，明確每一個問題的解決方法，培養(yǎng)學生歸納總結的能力，同時能夠提升思維，發(fā)展素養(yǎng).問題3：在具體事例中，求解問題時應當注意什么？師生活動：學生獨立回答，教師補充點評，師生共同歸納總結如下：（1）首先應正確理解題意，注意描述的方位、角度等信息；（2）根據(jù)信息，如果題目中沒有給出圖形，畫出示意圖是解決問題的重要環(huán)節(jié)；（3）根據(jù)特定情境和條件限制，分析已知條件.若已知條件足以解三角形，正確選擇定理；若已知條件不足以解三角形，構建三角形，增加已知條件，正確選擇定理.設計意圖：進一步反思鞏固所學知識，厘清解決問題時的步驟、求解過程中的注意事項和解題關鍵，形成穩(wěn)固的知識結構體系.環(huán)節(jié)四目標檢測，鞏固知識目標檢測：教科書第51頁練習1、2、3.設計意圖：通過3個練習題，檢測本堂課教學效果，對學生學習結果進行課堂測評，其中第1題是測量距離的兩點可視但不可達類型，用正弦定理；第2題是證明題，實際上是測量高度的底部不可到達類型，在中先用正弦定理求出AP，再解直角三角形求出PQ.第3題