天津市第七中學2024-2025學年高二下學期3月月考 數(shù)學試題（含解析）

天津七中2024-2025學年度高二下第一次月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)在區(qū)間[，+x]上的平均變化率為A B.1+ C. D.2【答案】D【解析】【分析】由平均變化率的運算公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可得平均變化率，故選D．【點睛】本題主要考查了平均變化率的求得，其中解答熟記平均變化率的計算公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．2.若曲線在點處的切線斜率為2，則（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】由導數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.【詳解】由導數(shù)幾何意義得，由導數(shù)定義可知：.故選：C.3.下列求導正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)導數(shù)公式判斷B,C選項，根據(jù)導數(shù)公式及運算律判斷A,D選項即可.

【詳解】,A錯誤;,B正確;,C錯誤;,D錯誤.故選:B.4.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導，代入即可求解.【詳解】∵，∴，∴，解得：.故選：C.5.曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【詳解】，所以在點處的切線方程為，它與的交點為，與的交點為，所以三角形面積為故選：A6.用這個數(shù)字，可以組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)（）A.720 B.648 C.320 D.328【答案】D【解析】【分析】按個位數(shù)字為和不為分類討論，利用分步計數(shù)原理即可求得沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù).【詳解】若個位數(shù)字為，十位和百位的排法種數(shù)為；若個位數(shù)字不為，則確定個位數(shù)字有種方法，確定百位數(shù)字有種方法，確定十位數(shù)字有種方法，所以排法種數(shù)為.所以可以組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).故選：D7.某校三位同學報名參加數(shù)理化生四科學科競賽，每人限報且必須報兩門，由于數(shù)學是該校優(yōu)勢科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門學科都有人報名，則不同的參賽方案有（）A51種 B.45種 C.48種 D.42種【答案】A【解析】【分析】由題意，至少兩人報名數(shù)學競賽，所以可分為：兩人報名數(shù)學競賽和三人報名數(shù)學競賽兩種情況進行討論．【詳解】解：若三人有兩人報名數(shù)學競賽，并且兩人選報的學科都相同，則共有種情況，若這兩個人選報的另外的學科不同，則共有種情況，若三個人全部都報名數(shù)學競賽，則共有種情況，所以不同的參賽方案有：種情況，故選：A．8.的展開式中，項的系數(shù)為（）A.－23 B.17 C.20 D.63【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，結合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出，則出，該項為：；②出，則出，該項為：；③出，則出，該項為：；綜上所述：合并后的項的系數(shù)為17.故選：B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎知識，考查理解能力，計算能力，分類討論和應用意識.9.已知函數(shù)，，對，，使得成立.下列結論正確的是（）A.，使得B.函數(shù)的最大值為0C.a的取值范圍為D.過作的切線，有且只有一條【答案】D【解析】【分析】利用單調性說明的解判斷A，由導數(shù)求最值判斷B，由，使得求解判斷C，設切點坐標為，代入所過點坐標求，引入新函數(shù)，由導數(shù)確定方程只有一個解，從而判斷D．【詳解】對于A，，因為在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，，故A錯誤;對于B，由A的分析可知，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得最小值：，無最大值，故B錯誤;對于C，由前面分析知，由題可知：，使得對于函數(shù)，，當時，，故無論a取什么值，均，使得，則a的取值范圍為R，故C錯誤;對于D，不妨設切點為，，切線方程為，把代入可得：，即：令，，，因為對恒成立，所以當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以只有一個零點0，即只有時，成立，故過作的切線，有且只有一條，故D正確.故選：D【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，則的值域是值域的子集．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.10.若的展開式中的系數(shù)為7，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】利用二項式展開式的通項公式，根據(jù)系數(shù)，即可求得參數(shù)值.【詳解】通項公式，令，解得.故可得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用二項式展開式的通項公式由項的系數(shù)求參數(shù)值，屬簡單題.11.將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排兩名學生，不同的分配方案有______種．（用數(shù)字作答）【答案】50【解析】【分析】將問題分為甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人兩類，進而結合排列組合知識進行分配即可求得答案.【詳解】由題意知將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排2名學生，包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人，當甲和乙兩個屋子住4人、2人，共有種，當甲和乙兩個屋子住3人、3人，共有種，根據(jù)分類計數(shù)原理得到共有（種）.故答案為：5012.在的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項等于________．【答案】252【解析】【分析】根據(jù)展開式中所有二項式系數(shù)的和等于，求得．在展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項．【詳解】∵在的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為256，∴，解得，∴中，，∴當，即時，常數(shù)項為．故答案為：252．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質，屬于中檔題．13.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由導數(shù)求解函數(shù)的單調遞增區(qū)間，即可列不等式求解.【詳解】由得，由于函數(shù)的定義域為，故令,解得，故的單調遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調遞增，則，解得，故答案為：14.已知一個公園的形狀如圖所示，現(xiàn)有3種不同的植物要種在此公園的A，B，C，D，E這五個區(qū)域內，要求有公共邊界的兩塊相鄰區(qū)域種不同的植物，則不同的種法共有________種．【答案】18【解析】【詳解】可分兩類：第一類，若A，E相同，D有2種種法，則有；第二類，若A，E不相同，D只有1種種法，則有；由分類計數(shù)原理可得所有種法種數(shù)為．應填答案．點睛：解答本題的關鍵是搞清楚題設中的要求與約束條件，解答時，先運用分類計數(shù)原理，分別計算出其種植方法，再進行相加求出其結果，使得問題獲解．本題的求解具有一定的難度，容易出現(xiàn)重或漏的情況．15.已知函數(shù)，若對，，都有，則k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導可知在上單調遞增，在上單調遞減，設，則當時，恒成立，即恒成立，設，求其最大值后可求k的取值范圍.【詳解】，則當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，不妨設，則，，由已知，即，令，則在上不存在減區(qū)間，從而當時，恒成立，即恒成立，令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，所以.三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字．（1）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？（2）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位奇數(shù)？（3）可以組成多少個無重復數(shù)字的小于1000的自然數(shù)？（4）可以組成多少個無重復數(shù)字的大于3000且小于5421的四位數(shù)？【答案】（1）個；（2）個；（3）個；（4）個.【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，即可分別求解百位，十位以及個數(shù)的選擇相乘求解，（3）（4）根據(jù)分類加法計數(shù)原理，結合分步乘法即可求解.【小問1詳解】分3步:①先選百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；③個位數(shù)字有4種選法；由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個小問2詳解】分3步：①先選個位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種選法；②再選百位數(shù)字有4種選法；③十位數(shù)字也有4種選法；由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個.【小問3詳解】分3類：①一位數(shù)，共有6個；②兩位數(shù)，先選十位數(shù)字，有種選法；再選個位數(shù)字也有種選法，共有個；③三位數(shù)，先選百位數(shù)字，有種選法；再選十位數(shù)字也有種選法；再選個位數(shù)字，有種選法，共有個；因此，比1000小的自然數(shù)共有個．【小問4詳解】分4類：①千位數(shù)字為或時，后面三個數(shù)位上可隨便選擇，此時共有個；②千位數(shù)字為，百位數(shù)字為之一時，共有個；③千位數(shù)字為，百位數(shù)字是，十位數(shù)字為之一時，共有個；④也滿足條件；故所求四位數(shù)共有個.17.已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項．求n的值；求展開式的所有項的系數(shù)之和；求展開式中所有的有理項．【答案】（I）；（II）；（III）有理項分別為，；.【解析】【分析】在二項展開式的第六項的通項公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值；在二項展開式中，令，可得展開式的所有項的系數(shù)之和；二項式的展開式的通項公式為，令為整數(shù)，可求出的值，即可求得展開式中所有的有理項．【詳解】在的展開式中，第6項為

為常數(shù)項，，．在的展開式中，令，可得展開式的所有項的系數(shù)之和為．二項式的展開式的通項公式為，令為整數(shù)，可得，5，8，故有理項分別為，；．【點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.18.設f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f′(x).（1）求g(x)的單調區(qū)間和最小值；（2）討論g(x)與g()的大小關系.【答案】（1）g(x)單調遞減區(qū)間為(0,1)；函數(shù)g(x)單調遞增區(qū)間為[1,+∞)，最小值為1；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由題設可得，討論它的符號即可確定g(x)的單調區(qū)間，進而求g(x)的最小值；（2）利用作差法，并構造h(x)=2lnx+-x(x>0)，應用導數(shù)研究單調性，討論x的取值范圍比較g(x)與g()的大小.【詳解】（1）(x>0)，則g(x)=lnx+(x>0).∴，令g′(x)=0，得x=1.當0<x<1時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調遞減；當x>1時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調遞增.∴當x=1時，g(x)有極小值，也是最小值g(1)=1.綜上：g(x)單調遞減區(qū)間為(0,1)；函數(shù)g(x)單調遞增區(qū)間為[1,+∞)，最小值為1.（2）g(x)=lnx+(x>0)，=-lnx+x，令h(x)=g(x)-=2lnx+-x(x>0).∴h′(x)=≤0，即h(x)在(0,+∞)上單調遞減.當x=1時，h(1)=0，此時g(x)=.當0<x<1時，h(1)>0，此時g(x)>.當x>1時，h(1)<0，此時g(x)<.【點睛】關鍵點點睛：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，并求函數(shù)的最值；（2）通過作差，構造函數(shù)并應用導數(shù)研究單調性，進而根據(jù)不同的單調區(qū)間比較函數(shù)值的大小.19.已知（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若關于x的方程有兩個不等實根，求a的取值范圍；【答案】（1）極小值為，無極大值（2）【解析】【分析】（1）求導，判斷函數(shù)單調性，求出極值；（2）題意轉化為，有兩個不同的零點，求導判斷單調性，結合零點存在性定理判斷.【小問1詳解】當時，，，則，令，得，當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，極小值為，無極大值.【小問2詳解】方程有兩個不等實根，令，，則函數(shù)有兩個不同的零點，則，當時，，即在R上單調遞增，不合題意；當時，令，得，當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，，即，得，又，時，，所以在和上各存在一個零點，所以的取值范圍為.20.已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，求實數(shù)k的取值范圍；（3）若在上恒成立，求出正整數(shù)k的最大值；【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間（2）（3）3【解析】【分析】（1）求導，判斷導數(shù)的正負可得解；（2）求導，分和兩種情況分類討論，得到函數(shù)的單調性與極值，結合函數(shù)的圖象，即可求解實數(shù)的取值范圍；（3）分類參數(shù)得出對恒成立，設函數(shù)，求導得函數(shù)單調性與極值，即可求解正整數(shù)的最大值.【小問1