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文檔簡介
天津七中2024-2025學年度高二下第一次月考數(shù)學試卷一、單選題:本題共9小題,每小題5分,共45分.在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)在區(qū)間[,+x]上的平均變化率為A B.1+ C. D.2【答案】D【解析】【分析】由平均變化率的運算公式,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,可得平均變化率,故選D.【點睛】本題主要考查了平均變化率的求得,其中解答熟記平均變化率的計算公式是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.2.若曲線在點處的切線斜率為2,則()A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】由導數(shù)的幾何意義得,再根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.【詳解】由導數(shù)幾何意義得,由導數(shù)定義可知:.故選:C.3.下列求導正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)導數(shù)公式判斷B,C選項,根據(jù)導數(shù)公式及運算律判斷A,D選項即可.
【詳解】,A錯誤;,B正確;,C錯誤;,D錯誤.故選:B.4.已知函數(shù)的導函數(shù)為,且滿足,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導,代入即可求解.【詳解】∵,∴,∴,解得:.故選:C.5.曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積為()A. B. C. D.1【答案】A【解析】【詳解】,所以在點處的切線方程為,它與的交點為,與的交點為,所以三角形面積為故選:A6.用這個數(shù)字,可以組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)()A.720 B.648 C.320 D.328【答案】D【解析】【分析】按個位數(shù)字為和不為分類討論,利用分步計數(shù)原理即可求得沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù).【詳解】若個位數(shù)字為,十位和百位的排法種數(shù)為;若個位數(shù)字不為,則確定個位數(shù)字有種方法,確定百位數(shù)字有種方法,確定十位數(shù)字有種方法,所以排法種數(shù)為.所以可以組成個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).故選:D7.某校三位同學報名參加數(shù)理化生四科學科競賽,每人限報且必須報兩門,由于數(shù)學是該校優(yōu)勢科目,必須至少有兩人參賽,若要求每門學科都有人報名,則不同的參賽方案有()A51種 B.45種 C.48種 D.42種【答案】A【解析】【分析】由題意,至少兩人報名數(shù)學競賽,所以可分為:兩人報名數(shù)學競賽和三人報名數(shù)學競賽兩種情況進行討論.【詳解】解:若三人有兩人報名數(shù)學競賽,并且兩人選報的學科都相同,則共有種情況,若這兩個人選報的另外的學科不同,則共有種情況,若三個人全部都報名數(shù)學競賽,則共有種情況,所以不同的參賽方案有:種情況,故選:A.8.的展開式中,項的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.63【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式,結合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出,則出,該項為:;②出,則出,該項為:;③出,則出,該項為:;綜上所述:合并后的項的系數(shù)為17.故選:B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎知識,考查理解能力,計算能力,分類討論和應用意識.9.已知函數(shù),,對,,使得成立.下列結論正確的是()A.,使得B.函數(shù)的最大值為0C.a的取值范圍為D.過作的切線,有且只有一條【答案】D【解析】【分析】利用單調性說明的解判斷A,由導數(shù)求最值判斷B,由,使得求解判斷C,設切點坐標為,代入所過點坐標求,引入新函數(shù),由導數(shù)確定方程只有一個解,從而判斷D.【詳解】對于A,,因為在上單調遞增,在上單調遞增,所以在上單調遞增,又,所以當時,,故A錯誤;對于B,由A的分析可知,當時,,當時,,所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以在處取得最小值:,無最大值,故B錯誤;對于C,由前面分析知,由題可知:,使得對于函數(shù),,當時,,故無論a取什么值,均,使得,則a的取值范圍為R,故C錯誤;對于D,不妨設切點為,,切線方程為,把代入可得:,即:令,,,因為對恒成立,所以當時,,當時,,故在上單調遞減,在上單調遞增,又,所以只有一個零點0,即只有時,成立,故過作的切線,有且只有一條,故D正確.故選:D【點睛】結論點睛:本題考查不等式的恒成立與有解問題,可按如下規(guī)則轉化:一般地,已知函數(shù),(1)若,,總有成立,故;(2)若,,有成立,故;(3)若,,有成立,故;(4)若若,,有,則的值域是值域的子集.二、填空題:本題共6小題,每小題5分,共30分.10.若的展開式中的系數(shù)為7,則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】利用二項式展開式的通項公式,根據(jù)系數(shù),即可求得參數(shù)值.【詳解】通項公式,令,解得.故可得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用二項式展開式的通項公式由項的系數(shù)求參數(shù)值,屬簡單題.11.將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中,每個宿舍至少安排兩名學生,不同的分配方案有______種.(用數(shù)字作答)【答案】50【解析】【分析】將問題分為甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人兩類,進而結合排列組合知識進行分配即可求得答案.【詳解】由題意知將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中,每個宿舍至少安排2名學生,包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人,當甲和乙兩個屋子住4人、2人,共有種,當甲和乙兩個屋子住3人、3人,共有種,根據(jù)分類計數(shù)原理得到共有(種).故答案為:5012.在的二項式中,所有的二項式系數(shù)之和為256,則常數(shù)項等于________.【答案】252【解析】【分析】根據(jù)展開式中所有二項式系數(shù)的和等于,求得.在展開式的通項公式中,令的冪指數(shù)等于0,求得的值,即可求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】∵在的二項式中,所有的二項式系數(shù)之和為256,∴,解得,∴中,,∴當,即時,常數(shù)項為.故答案為:252.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項式展開式的通項公式,求展開式中某項的系數(shù),二項式系數(shù)的性質,屬于中檔題.13.已知函數(shù),若在區(qū)間上單調遞增,則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由導數(shù)求解函數(shù)的單調遞增區(qū)間,即可列不等式求解.【詳解】由得,由于函數(shù)的定義域為,故令,解得,故的單調遞增區(qū)間為,若在區(qū)間上單調遞增,則,解得,故答案為:14.已知一個公園的形狀如圖所示,現(xiàn)有3種不同的植物要種在此公園的A,B,C,D,E這五個區(qū)域內,要求有公共邊界的兩塊相鄰區(qū)域種不同的植物,則不同的種法共有________種.【答案】18【解析】【詳解】可分兩類:第一類,若A,E相同,D有2種種法,則有;第二類,若A,E不相同,D只有1種種法,則有;由分類計數(shù)原理可得所有種法種數(shù)為.應填答案.點睛:解答本題的關鍵是搞清楚題設中的要求與約束條件,解答時,先運用分類計數(shù)原理,分別計算出其種植方法,再進行相加求出其結果,使得問題獲解.本題的求解具有一定的難度,容易出現(xiàn)重或漏的情況.15.已知函數(shù),若對,,都有,則k的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導可知在上單調遞增,在上單調遞減,設,則當時,恒成立,即恒成立,設,求其最大值后可求k的取值范圍.【詳解】,則當時,,當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減,不妨設,則,,由已知,即,令,則在上不存在減區(qū)間,從而當時,恒成立,即恒成立,令,則,當時,,單調遞增;當時,,單調遞減,所以,所以.三、解答題:本題共5小題,共75分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.16.已知0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字.(1)可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)?(2)可以組成多少個無重復數(shù)字的三位奇數(shù)?(3)可以組成多少個無重復數(shù)字的小于1000的自然數(shù)?(4)可以組成多少個無重復數(shù)字的大于3000且小于5421的四位數(shù)?【答案】(1)個;(2)個;(3)個;(4)個.【解析】【分析】(1)(2)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,即可分別求解百位,十位以及個數(shù)的選擇相乘求解,(3)(4)根據(jù)分類加法計數(shù)原理,結合分步乘法即可求解.【小問1詳解】分3步:①先選百位數(shù)字有5種選法;②十位數(shù)字有5種選法;③個位數(shù)字有4種選法;由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個小問2詳解】分3步:①先選個位數(shù)字,由于組成的三位數(shù)是奇數(shù),因此有3種選法;②再選百位數(shù)字有4種選法;③十位數(shù)字也有4種選法;由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個.【小問3詳解】分3類:①一位數(shù),共有6個;②兩位數(shù),先選十位數(shù)字,有種選法;再選個位數(shù)字也有種選法,共有個;③三位數(shù),先選百位數(shù)字,有種選法;再選十位數(shù)字也有種選法;再選個位數(shù)字,有種選法,共有個;因此,比1000小的自然數(shù)共有個.【小問4詳解】分4類:①千位數(shù)字為或時,后面三個數(shù)位上可隨便選擇,此時共有個;②千位數(shù)字為,百位數(shù)字為之一時,共有個;③千位數(shù)字為,百位數(shù)字是,十位數(shù)字為之一時,共有個;④也滿足條件;故所求四位數(shù)共有個.17.已知在的展開式中,第6項為常數(shù)項.求n的值;求展開式的所有項的系數(shù)之和;求展開式中所有的有理項.【答案】(I);(II);(III)有理項分別為,;.【解析】【分析】在二項展開式的第六項的通項公式中,令的冪指數(shù)等于0,求出的值;在二項展開式中,令,可得展開式的所有項的系數(shù)之和;二項式的展開式的通項公式為,令為整數(shù),可求出的值,即可求得展開式中所有的有理項.【詳解】在的展開式中,第6項為
為常數(shù)項,,.在的展開式中,令,可得展開式的所有項的系數(shù)之和為.二項式的展開式的通項公式為,令為整數(shù),可得,5,8,故有理項分別為,;.【點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù),屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一,關于二項式定理的命題方向比較明確,主要從以下幾個方面命題:(1)考查二項展開式的通項公式;(可以考查某一項,也可考查某一項的系數(shù))(2)考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和;(3)二項展開式定理的應用.18.設f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的單調區(qū)間和最小值;(2)討論g(x)與g()的大小關系.【答案】(1)g(x)單調遞減區(qū)間為(0,1);函數(shù)g(x)單調遞增區(qū)間為[1,+∞),最小值為1;(2)答案見解析.【解析】【分析】(1)由題設可得,討論它的符號即可確定g(x)的單調區(qū)間,進而求g(x)的最小值;(2)利用作差法,并構造h(x)=2lnx+-x(x>0),應用導數(shù)研究單調性,討論x的取值范圍比較g(x)與g()的大小.【詳解】(1)(x>0),則g(x)=lnx+(x>0).∴,令g′(x)=0,得x=1.當0<x<1時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調遞減;當x>1時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調遞增.∴當x=1時,g(x)有極小值,也是最小值g(1)=1.綜上:g(x)單調遞減區(qū)間為(0,1);函數(shù)g(x)單調遞增區(qū)間為[1,+∞),最小值為1.(2)g(x)=lnx+(x>0),=-lnx+x,令h(x)=g(x)-=2lnx+-x(x>0).∴h′(x)=≤0,即h(x)在(0,+∞)上單調遞減.當x=1時,h(1)=0,此時g(x)=.當0<x<1時,h(1)>0,此時g(x)>.當x>1時,h(1)<0,此時g(x)<.【點睛】關鍵點點睛:(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,并求函數(shù)的最值;(2)通過作差,構造函數(shù)并應用導數(shù)研究單調性,進而根據(jù)不同的單調區(qū)間比較函數(shù)值的大小.19.已知(1)當時,求函數(shù)的極值;(2)若關于x的方程有兩個不等實根,求a的取值范圍;【答案】(1)極小值為,無極大值(2)【解析】【分析】(1)求導,判斷函數(shù)單調性,求出極值;(2)題意轉化為,有兩個不同的零點,求導判斷單調性,結合零點存在性定理判斷.【小問1詳解】當時,,,則,令,得,當時,,即單調遞減,當時,,即單調遞增,所以函數(shù)在處取得極小值,極小值為,無極大值.【小問2詳解】方程有兩個不等實根,令,,則函數(shù)有兩個不同的零點,則,當時,,即在R上單調遞增,不合題意;當時,令,得,當時,,即單調遞減,當時,,即單調遞增,,即,得,又,時,,所以在和上各存在一個零點,所以的取值范圍為.20.已知函數(shù)(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)在區(qū)間上有1個零點,求實數(shù)k的取值范圍;(3)若在上恒成立,求出正整數(shù)k的最大值;【答案】(1)增區(qū)間,減區(qū)間(2)(3)3【解析】【分析】(1)求導,判斷導數(shù)的正負可得解;(2)求導,分和兩種情況分類討論,得到函數(shù)的單調性與極值,結合函數(shù)的圖象,即可求解實數(shù)的取值范圍;(3)分類參數(shù)得出對恒成立,設函數(shù),求導得函數(shù)單調性與極值,即可求解正整數(shù)的最大值.【小問1
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