2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔尖子生篇《橢圓》

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔尖子生篇《橢圓》一．選擇題（共10小題）1．（2024?貴州開(kāi)學(xué)）已知直線x﹣4y+9＝0與橢圓x216+y2b2=1(0＜b＜4)相交于A，B兩點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，線段ABA．22 B．42 C．232．（2024?安源區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)橢圓C：x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)A是直線4xA．?164141 B．164141 3．（2023秋?中原區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M、N是橢圓x22+y24=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP→=2OM→+ON→，直線OM與直線A．45 B．42 C．4 4．（2024?江寧區(qū)校級(jí)二模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，直線F1P與以F2為圓心、OFA．32 B．33 C．125．（2024?郴州模擬）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F2作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝|A．312 B．36 C．336．（2023秋?萊蕪區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓x24+y2=1，點(diǎn)A．10 B．102 C．103 7．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）已知橢圓C：x22+y2b2=1(b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|AF2|，點(diǎn)M滿足F1A．13 B．33 C．238．（2024秋?江西月考）已知橢圓T：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線l與T交于A，B兩點(diǎn)，若線段A．24 B．53 C．359．（2024?衡陽(yáng)縣校級(jí)模擬）已知直線kx+y+2k＝0與橢圓x23+A．2 B．12 C．±2 D．10．（2024?廣州模擬）已知點(diǎn)A，B是橢圓x216+y212=1上不關(guān)于長(zhǎng)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且A，BA．(?12，12) 二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?黔東南州開(kāi)學(xué)）已知M＞0，橢圓C1：x23M+y2=1，C2：x2M+y2A．43 B．1+23 C．2（多選）12．（2024?廣州模擬）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y22=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，1）．△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I（xI，yI），與PF1，PF2A．S△PF1FC．yI=23（多選）13．（2024春?邵陽(yáng)期末）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是E上異于A．橢圓E的離心率為12B．若PF1⊥F1F2，則cos∠PFC．直線PA的斜率與直線PB的斜率之積等于?3D．符合條件PF1→（多選）14．（2024?濠江區(qū)校級(jí)一模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為12，F(xiàn)1A．橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2B．橢圓C上存在點(diǎn)M，使得MFC．P是橢圓C上一點(diǎn)，若|PF1|?|PD．若△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑分別為r1，r2，當(dāng)r1＝2r2時(shí)，直線l的斜率k=±（多選）15．（2024春?長(zhǎng)治期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．P為C上一點(diǎn)，且∠PF1FA．|PFB．|PFC．12sin40°D．sin20°+sin40°三．填空題（共5小題）16．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓上，分別延長(zhǎng)AF1，AF2，交橢圓于點(diǎn)B，C，且BF2⊥AC，|AF2|＝3，|17．（2024?淄博模擬）若橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，c=a2?b2，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，射線FP與x軸正半軸夾角為θ（0≤θ＜2π），其焦半徑|FP|=b2a?ccosθ．若設(shè)P1，P2，…，Pn為橢圓C：x24+y23=1上逆時(shí)針排列的n個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且線段FP1，F(xiàn)P2，…，F(xiàn)Pn18．（2024?杭州開(kāi)學(xué)）已知直線l與橢圓x24+y2=1相交于兩點(diǎn)A，B，坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)O，直線OA，OB斜率存在且分別記為k1，k2，若k1k2=?119．（2023秋?大武口區(qū)校級(jí)月考）過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1，(a＞b＞0)左焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，A20．（2024?廣州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．直線y＝kx與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PF1四．解答題（共5小題）21．（2024?路南區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，短軸長(zhǎng)為23，B1，B2分別為C的上、下頂點(diǎn)，直線l1：y＝kx+1與C相交于M（1）求C的方程；（2）證明點(diǎn)P在定直線l2上，并求直線MB1，NB2，l2圍成的三角形面積的最小值．22．（2023秋?豐澤區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓E：x2a2+y2b（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)（異于C，D），直線PC，PD與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)．證明：在x軸上存在兩點(diǎn)A，B，使得MB→?NA23．（2024春?武侯區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F1且斜率為k的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若∠AF2B為鈍角，求k的取值范圍．24．（2024?重慶模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，1）和（0，﹣1），設(shè)△ABM的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，當(dāng)Sr=3時(shí)，記頂點(diǎn)M的軌跡為曲線（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q在C上，且直線EF與PQ相交于點(diǎn)A，記EF，PQ的斜率分別為k1，k2．（i）設(shè)EF的中點(diǎn)為G，PQ的中點(diǎn)為H，證明：存在唯一常數(shù)λ，使得當(dāng)k1k2＝λ時(shí)，OG⊥OH；（ii）若k1k2=43，當(dāng)||25．（2024?西城區(qū)模擬）已知橢圓G：x2a2+y（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)．直線l與橢圓G交于C，D兩點(diǎn)（C，D不是橢圓的頂點(diǎn)），l與直線x＝2交于點(diǎn)E，直線AC，AD分別與直線OE交于點(diǎn)M，N，求證：|OM|＝|ON|．

2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個(gè)性化分層教輔尖子生篇《橢圓》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?貴州開(kāi)學(xué)）已知直線x﹣4y+9＝0與橢圓x216+y2b2=1(0＜b＜4)相交于A，B兩點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，線段ABA．22 B．42 C．23【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法求得b2的值，即可求出c的值，從而求出|F1F2|，即可求出△CF1F2的面積．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)锳，B在橢圓上，所以x1216兩式相減得x1216所以y1因?yàn)锳，B又在直線x﹣4y+9＝0上，線段AB的中點(diǎn)為C（﹣1，2），所以kAB=y1?y2x1?x2=所以?b216×?24=14，解得b2＝8，所以所以F1(?22，0)，所以S△C故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了轉(zhuǎn)化思想及方程思想，屬于中檔題．2．（2024?安源區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)橢圓C：x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)A是直線4xA．?164141 B．164141 【考點(diǎn)】橢圓的對(duì)稱性；橢圓的定義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′（﹣1，0），結(jié)合橢圓定義，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離求解．【解答】解：由題意得，橢圓C的左焦點(diǎn)F′（﹣1，0），右焦點(diǎn)F（1，0），由橢圓的定義得|PF|+|PF′|＝4，則|PF|＝4﹣|PF′|，所以|PA|﹣|PF|＝PA﹣（4﹣|PF′|）＝|PA|+|PF′|﹣4，|PA|+|PF′|最小時(shí)，|PA|﹣|PF|最小，而|PA|+|PF′|最小時(shí)，F(xiàn)'A垂直于直線4x﹣5y﹣12＝0，垂足為點(diǎn)A，且點(diǎn)P在線段AF′上，因?yàn)镕'到直線4x﹣5y﹣12＝0的距離d=|?4?12|所以|PA|﹣|PF|最小為1641故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2023秋?中原區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M、N是橢圓x22+y24=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP→=2OM→+ON→，直線OM與直線A．45 B．42 C．4 【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），根據(jù)已知列式化簡(jiǎn)得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為橢圓x210+y220=1，由橢圓的定義得出F【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），由OP→=2OM∵點(diǎn)M、N在橢圓x2∴x122則x2=x?2x1y2(x2x將x=2x1+得2由x122則2x2+y2﹣4（2x1x2+y1y2）﹣16＝4，直線OM與直線ON斜率之積為﹣2，即y1x1?y2x2=?2，得2x則2x2+y2﹣16＝4，即2x2+y2＝20，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為2x2+y2＝20，即x2即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為橢圓，平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)F1、F2，使得|PF1|+|PF2|為定值，則F1、F2為橢圓x2則|PF故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)與計(jì)算，屬于中檔題．4．（2024?江寧區(qū)校級(jí)二模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，直線F1P與以F2為圓心、OFA．32 B．33 C．12【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；求橢圓的離心率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓相切，利用勾股定理可以求出|F1Q|的長(zhǎng)度，進(jìn)而通過(guò)F1Q→=3QP→，可以得到|QP【解答】解：由題意，|F2Q|＝c，|F1F2|＝2c，因?yàn)橹本€F1P與以F2為圓心、OF2為半徑的圓切，所以∠F2QF1＝90°，因此由勾股定理可知|F又F1Q→=3QP由勾股定理可得|PF根據(jù)橢圓定義，|PF1|+|P故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．5．（2024?郴州模擬）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F2作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝|A．312 B．36 C．33【考點(diǎn)】橢圓的弦及弦長(zhǎng)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)∠F1AF2＝θ，再利用余弦定理結(jié)合橢圓的性質(zhì)可解．【解答】解：∵橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且|AF∴S△AF1F2=2×在△AF1F2中，設(shè)∠F1AF2＝θ，θ∈（0，π），由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1||AF2|cosθ，即4c2＝（|AF1|+|AF2）|2﹣2|AF1||AF2|﹣2|AF1||AF2|cosθ＝4a2+（﹣2﹣2cosθ）|AF1||AF2|，可得（2+2cosθ）|AF1||AF2|＝4c2﹣4a2＝4b2，∴△F1AF2的面積S=12|AF1||AF2|sinθ=sinθ1+cosθb2∴3sinθ﹣cosθ＝1，即sin（θ?π6）=12，∵θ?π6∴θ=π又∵|AF1|＝|AB|，∴△AF1B是等邊三角形，即|AF1|＝|BF1|＝|AB|，由橢圓的定義可得|AF1|+|BF1|+|AB|＝4a，故|AF1|=4a3，|AF2|=2a3，|BF∴AB⊥F1F2，則|AF1|2＝|AF2|2+|F1F2|2，即（4a3）2＝（2a3）2+（2c）2，整理得a2＝3c故離心率e=c故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．6．（2023秋?萊蕪區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓x24+y2=1，點(diǎn)A．10 B．102 C．103 【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】直線x?y+5=0與橢圓x24+y2=1相切，平移后得直線方程為x﹣【解答】解：根據(jù)題意，聯(lián)立x24+則Δ=(8所以直線x?y+5=0與橢圓設(shè)直線方程為x﹣y+m＝0，聯(lián)立x2則5x2+8mx+4m2﹣4＝0，故Δ＝0，即64m2﹣4×5（4m2﹣4）＝0，解得m=5（舍去）或m=?則x?y?5故兩切線之間的距離為d=|即P到直線x?y+5=0的距離最大值是故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和直線與橢圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）已知橢圓C：x22+y2b2=1(b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|AF2|，點(diǎn)M滿足F1A．13 B．33 C．23【考點(diǎn)】橢圓與平面向量．【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)|AF1|＝3|AF2|，點(diǎn)M滿足F1M→=3MF2→，和角平線的性質(zhì)，可知AM是∠F1AF2的平分線，根據(jù)AM⊥F1B，可知|AF1|＝|【解答】解：如圖：因?yàn)檫^(guò)F2的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|AF2|，所以|AF1|+|AF2|＝2a，所以|AF1|=3a2，|AF2|又因?yàn)镕1M→=3MF2所以AM是∠F1AF2的平分線，又因?yàn)锳M⊥F1B，所以|AF1|＝|AB|=3a2=|AF2|+|所以|BF2|＝a，|BF2|：|AF2|＝2．所以A（3c2，b點(diǎn)A在橢圓：x22+解得c2=23，e2所以e=3故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，屬中檔題．8．（2024秋?江西月考）已知橢圓T：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線l與T交于A，B兩點(diǎn)，若線段A．24 B．53 C．35【考點(diǎn)】橢圓的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；設(shè)而不求法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】分別聯(lián)立直線和橢圓，利用M的坐標(biāo)相等建立齊次方程，求解離心率即可．【解答】解：如圖：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可知直線AB的方程為y＝x﹣c，線段AB的中點(diǎn)M是直線l與直線x+2y＝0的交點(diǎn)，聯(lián)立y=x?cx+2y=0，解得x=23另一方面，聯(lián)立x2a2+y2b2=1y=x?c，得（a2+b2）x2﹣2a2cx+易知Δ＞0，由韋達(dá)定理得x1+x2=2a所以a2＝2（a2﹣c2），故離心率e=c故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓離心率的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)而不求及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，方程思想化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．9．（2024?衡陽(yáng)縣校級(jí)模擬）已知直線kx+y+2k＝0與橢圓x23+A．2 B．12 C．±2 D．【考點(diǎn)】由直線與橢圓位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)求解方程或參數(shù)．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，由相切得到Δ＝0，從而得解．【解答】解：依題意，聯(lián)立x23+y24=1kx+y+2k=0，消去y得：（4+3k2）x2因?yàn)橹本€kx+y+2k＝0與橢圓x2所以Δ＝（12k2）2﹣4×（4+3k2）×（12k2﹣12）＝0，化簡(jiǎn)整理得k2﹣4＝0，所以k＝±2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．10．（2024?廣州模擬）已知點(diǎn)A，B是橢圓x216+y212=1上不關(guān)于長(zhǎng)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且A，BA．(?12，12) 【考點(diǎn)】橢圓的中點(diǎn)弦．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），線段AB的中點(diǎn)為G（x0，y0），利用點(diǎn)差法可得y2?y1x2?x1=?3x04y【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），線段AB的中點(diǎn)為G（x0，y0），則x1216所以(x所以2x所以y2因?yàn)镸（m，0），|MA|＝|MB|，所以MG⊥AB，所以y0所以4x0﹣4m＝3x0，所以x0＝4m，因?yàn)椹?＜x0＜4，所以﹣4＜4m＜4，所以﹣1＜m＜1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣1，1）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)差法，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?黔東南州開(kāi)學(xué)）已知M＞0，橢圓C1：x23M+y2=1，C2：x2M+y2A．43 B．1+23 C．2【考點(diǎn)】由橢圓的離心率求解方程或參數(shù)．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AB【分析】分別根據(jù)C1，C2橢圓的方程，結(jié)合分類討論思想得出e12，e22，再由【解答】解：若M＞1，則e12=3M?13M解得M=4若13＜M＜1，則e12=解得M=1+23若0＜M＜13，則e12=1?3M，e故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）12．（2024?廣州模擬）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y22=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，1）．△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I（xI，yI），與PF1，PF2A．S△PF1FC．yI=23【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)求解S△P【解答】解：對(duì)于A，橢圓C：x28所以F1(?6，0)，F(xiàn)連接ID，IE，IH，IP，IF1，IF2，則S△PF1對(duì)于C，由橢圓的定義可得|PF又△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I（xl，yl），所以內(nèi)切圓半徑r＝y(tǒng)l，由于S△P所以6=故r=y1=對(duì)于D，又|PD|＝|PE|，|DF1|＝|F1H|，|EF2|＝|HF2|，所以|PF則2|PD|=42?26，所以|PD|=|PE|=2對(duì)于B，又|PF2|=又xH＝xl，所以6?xI=6故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）13．（2024春?邵陽(yáng)期末）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是E上異于A．橢圓E的離心率為12B．若PF1⊥F1F2，則cos∠PFC．直線PA的斜率與直線PB的斜率之積等于?3D．符合條件PF1→【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問(wèn)題；求橢圓的離心率．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】由橢圓的定義、方程和性質(zhì)，結(jié)合直線的斜率公式和向量數(shù)量積的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)分析即可得到結(jié)論．【解答】解：由3|AF1|＝|BF1|，可得3（a﹣c）＝a+c，即a＝2c，可得e=ca=設(shè)a＝2t，則c＝t，b=3t，t若PF1⊥F1F2，可得|PF1|=b2a，|PF2|＝2a?b2a，cos∠PF2設(shè)P（m，n），可得m2a2+n2b2=1，即n2＝﹣b2?m2?由c＜b，可得以O(shè)為圓心，c為半徑的圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，則符合條件PF1→?P故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）14．（2024?濠江區(qū)校級(jí)一模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為12，F(xiàn)1A．橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2B．橢圓C上存在點(diǎn)M，使得MFC．P是橢圓C上一點(diǎn)，若|PF1|?|PD．若△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑分別為r1，r2，當(dāng)r1＝2r2時(shí)，直線l的斜率k=±【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)題意直接得到a＝2和c＝1，進(jìn)而得到b2＝a2﹣c2＝3，即可得到橢圓方程；對(duì)于B，判斷x2+y2＝1與橢圓是否有公共點(diǎn)，即可判斷是否存在滿足題意的點(diǎn)M；對(duì)于C，設(shè)∠F1PF2＝β，根據(jù)余弦定理得到cosβ，進(jìn)而得到sinβ，結(jié)合三角形面積公式即可求解面積；對(duì)于D，設(shè)直線l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），將直線與橢圓方程聯(lián)立，得到y(tǒng)1+y2=?6t3t2+4，y1y2【解答】解：∵橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝4，∴a＝2，又∵橢圓C的離心率e=ca=∴b2＝a2﹣c2＝3，則橢圓C：x24若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得MF1→?MF2→=0又∵方程組x2+y設(shè)∠F1PF2＝β，|PF1|＝p，|PF2|＝q，則pq=7在△PF1F2中，由余弦定理可得：cosβ=|P=(p+q)∵0＜β＜π，∴sinβ=1?∴S△PF1F2（1，0），顯然直線l斜率不為0，設(shè)直線l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=ty+13x2+4y2=12，整理得：（3tΔ＝36t2+36（3t2+4）＞0恒成立，∴y1依題意有12(|AF∴12×(4+2)r同理可得r2∵n＝2r2，∴|y1|＝2|y2|，又∵y1y2＜0，∴y1＝﹣2y2，∵y1+y2=?代入到y(tǒng)1y2=?9∴直線l的斜率為k=1t=±故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解析幾何的綜合問(wèn)題，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．（多選）15．（2024春?長(zhǎng)治期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．P為C上一點(diǎn)，且∠PF1FA．|PFB．|PFC．12sin40°D．sin20°+sin40°【考點(diǎn)】求橢圓的離心率；橢圓的焦點(diǎn)和焦距；橢圓的對(duì)稱性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ABD【分析】根據(jù)橢圓定義及性質(zhì)，結(jié)合正弦定理及三角恒等變換，即可判定各選項(xiàng)．【解答】解：如圖，設(shè)C的半焦距為c，離心率為e，延長(zhǎng)F2P到Q，使得|PQ|＝|PF1|，則|QF2|＝|PF1|+|PF2|＝2a，因?yàn)椤螾F1F2＝40°，∠PF2F1＝60°，則∠F1PF2＝80°，故∠PF1Q＝∠PQF1＝∠PF1F2＝40°，故△PF1F2∽△F1QF2，所以e=2c2a=又因?yàn)閑=|F1F2|2a，且由△PF1F可得|F1F2|=由正弦定理可得：e=|PF2在線段F1F2上取點(diǎn)R，使得|RF2|＝|PF2|，則△PRF2是等邊三角形，且∠PRF1＝120°，∠F1PR＝20°，故由正弦定理可知：e=|RF1故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義及性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，考查正弦定理及三角恒等變換的應(yīng)用，屬中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓上，分別延長(zhǎng)AF1，AF2，交橢圓于點(diǎn)B，C，且BF2⊥AC，|AF2|＝3，|CF2|＝2，則線段BC【考點(diǎn)】橢圓的離心率；橢圓的定義．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】25；5【分析】根據(jù)橢圓的定義、余弦定理、勾股定理、離心率等知識(shí)求得正確答案．【解答】解：根據(jù)|AF2|＝3，|CF2|＝2，以及橢圓定義，得|AF1|＝2a﹣3，|CF1|＝2a﹣2，設(shè)|BF2|＝m，則|BF1|＝2a﹣m，|AB|＝4a﹣m﹣3，根據(jù)BF2⊥AC，由勾股定理，得(4a?m?3)在Rt△ABF2中，cosA=|A在△ACF1中，由余弦定理，得cosA=(2a?3所以3(4a?3)8a2?12a+9=在△BF2C中，由勾股定理，得|BC|=16+4|AF1|=2a?3=3，cosA=35，在△得(2c)2=9+9?2×3×3×35故答案為：25；5【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓方程的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．17．（2024?淄博模擬）若橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，c=a2?b2，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，射線FP與x軸正半軸夾角為θ（0≤θ＜2π），其焦半徑|FP|=b2a?ccosθ．若設(shè)P1，P2，…，Pn為橢圓C：x24+y23=1上逆時(shí)針排列的n個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且線段FP1，F(xiàn)P2，…，F(xiàn)Pn把周角分為n等份．當(dāng)n【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；極限思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】[288【分析】第一空，依題意可得P1P3⊥P2P4，分P1P3的斜率為0和不為0兩種情況分別求四邊形P1P2P3P4的面積，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求解；第二空，設(shè)射線FP1與x軸正半軸夾角為θ，寫出射線FPn與x軸正半軸夾角，表示出焦半徑|FPn|，再表示出i=1n【解答】解：依題意有a＝2，b=3，c=a2當(dāng)n＝4時(shí)，因?yàn)榫€段FP1，F(xiàn)P2，…，F(xiàn)Pn把周角分為n等份，所以弦P1P3⊥P2P4，當(dāng)kP1P3=0時(shí)，直線此時(shí)|P1P3|＝2a＝4，|P2P當(dāng)kP1P3≠0時(shí)，設(shè)直線P1P3的斜率為k，則直線P2P4的斜率為?1k，設(shè)Pi（xi，yi）（i則直線P1P3的方程為y＝k（x﹣1），直線P2P4的方程為y=?1聯(lián)立y=k(x?1)x24+y23=1，消去y并整理得（3+4k2）x2所以x1所以|=1+同理|P所以四邊形P1P2P3P4的面積S=1令k2+1＝t，則t＞1，k2＝t﹣1，所以S=72所以當(dāng)1t=12，即t＝2時(shí)，又由1t∈(0，1)，所以S綜上所述，四邊形P1P2P3P4的面積范圍為[288設(shè)射線FP1與x軸正半軸夾角為θ，因?yàn)榫€段FP1，F(xiàn)P2，…，F(xiàn)Pn把周角分為n等份，所以射線FPn與x軸正半軸夾角為θ+2(n?1)π所以|FPn|=所以i=1n若在單位圓上取等分圓周的逆時(shí)針排列的n個(gè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)Qi(cos(θ+2(i?1)πn)，sin(θ+這n個(gè)點(diǎn)定構(gòu)成正n邊形，其中心為原點(diǎn)，可得ni=1即ni=1所以i=1n故答案為：[288【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查了方程思想及極限思想，屬于中檔題．18．（2024?杭州開(kāi)學(xué)）已知直線l與橢圓x24+y2=1相交于兩點(diǎn)A，B，坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)O，直線OA，OB斜率存在且分別記為k1，k2，若k1k2=?1【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】函數(shù)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理．【答案】5．【分析】先設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知k1【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由已知可得y1可得x1所以y1所以x12+x224所以|OA=x=4+2?x故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2023秋?大武口區(qū)校級(jí)月考）過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1，(a＞b＞0)左焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，A是橢圓與x【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】12【分析】根據(jù)橢圓的幾何特征得到|PQ|=2b2a，|FA|＝a+c，再由|【解答】解：根據(jù)題意：當(dāng)x＝﹣c時(shí)，可得到P(0，b2a)，Q(0，?b2a所以|PQ|=2因?yàn)閨PQ|＝|FA|，所以2b2a=a+c，即2b2＝a整理得2c2+ac﹣a2＝0，即2e2+e﹣1＝0，解得：e=1故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬中檔題．20．（2024?廣州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．直線y＝kx與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PF1|＝2|QF【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【答案】33【分析】由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形PF1QF2為平行四邊形，再根據(jù)橢圓的定義求出|PF1|，|PF2|，再在△PF1F2中，利用余弦定理求出a，c的關(guān)系，即可得解．【解答】解：由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形PF1QF2為平行四邊形，則|PF2|＝|QF1|，由∠PF1Q=因?yàn)閨PF1|＝2|QF1|，所以|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|+|PF2|＝2a，所以|PF在△PF1F2中，由余弦定理得|F即4c所以ca即橢圓的離心率e=c故答案為：33【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?路南區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，短軸長(zhǎng)為23，B1，B2分別為C的上、下頂點(diǎn)，直線l1：y＝kx+1與C相交于M（1）求C的方程；（2）證明點(diǎn)P在定直線l2上，并求直線MB1，NB2，l2圍成的三角形面積的最小值．【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x2（2）證明見(jiàn)解析，62【分析】（1）根據(jù)題意建立a，b，c的方程，解出a，b，c的值，即可得出橢圓C的方程；（2）聯(lián)立方程組y=kx+13x2+4y2?12=0，得出一元二次方程，再采用設(shè)而不求整體代換的方式找到點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）的坐標(biāo)關(guān)系，從而推出直線l2的方程，再聯(lián)立直線l2、MB1、NB1【解答】解：（1）由題可知a2解得a=2b=3，則C的方程為（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程組y=kx+13x2+4y2?12=0，整理得（3+4k則x1+x得kx1x2＝x1+x2．由B1(0，3)，B2(0，?直線NB2的方程為y=y則y?3解得y＝3，故點(diǎn)P在定直線l2：y＝3上．設(shè)直線l2與直線MB1，NB2的交點(diǎn)分別為P1，F(xiàn)，易得P1((3?S△B1P1F=12（3?3）|(3?＝（93?15）?96+192k212?63當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時(shí)，等號(hào)成立，故直線MB1，NB1，l2圍成的三角形面積的最小值為62【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．22．（2023秋?豐澤區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓E：x2a2+y2b（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)（異于C，D），直線PC，PD與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)．證明：在x軸上存在兩點(diǎn)A，B，使得MB→?NA【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x2（2）證明見(jiàn)解析，定值為﹣12．【分析】（1）將橢圓過(guò)的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用待定系數(shù)法計(jì)算即可；（2）設(shè)P，A，B三點(diǎn)坐標(biāo)，用P點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示M、N坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示MB→?NA【解答】解：（1）將點(diǎn)C，D代入橢圓方程有1b所以橢圓E的方程為x2（2）證明：設(shè)P（x0，y0），A（m，0），B（n，0），則x0且直線PD：y+3令y＝0，得xN所以MB→令5my0+8y0+3m＝﹣3（ny0+n），則5m+8=?3n3m=?3n則MB=?12(5故存在A（﹣4，0）和B（4，0），使得MB→【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．23．（2024春?武侯區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F1且斜率為k的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若∠AF2B為鈍角，求k的取值范圍．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）x24+【分析】（1）根據(jù)離心率和過(guò)點(diǎn)(0，3)，得到方程組，求出b=3，c（2）設(shè)出直線l的方程為y＝k（x+1），聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)∠AF2B為鈍角，得到F2A→?F【解答】解：（1）由題意得b=3，又e=ca=12，且a2﹣解得c＝1，a＝2，故橢圓E的方程為x2（2）由題意得F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l的方程為y＝k（x+1），聯(lián)立x2得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，Δ＝64k4﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144k2+144＞0，恒成立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+xy1因?yàn)椤螦F2B為鈍角，所以F2則4k即7k解得?3又k＝0時(shí)，A，F(xiàn)2，B三點(diǎn)共線，此時(shí)∠AF2B不是鈍角，舍去，故k的取值范圍是(?3【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓方程的應(yīng)用，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2024?重慶模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，1）和（0，﹣1），設(shè)△ABM的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，當(dāng)Sr=3時(shí)，記頂點(diǎn)M的軌跡為曲線（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q在C上，且直線EF與PQ相交于點(diǎn)A，記EF，PQ的斜率分別為k1，k2．（i）設(shè)EF的中點(diǎn)為G，PQ的中點(diǎn)為H，證明：存在唯一常數(shù)λ，使得當(dāng)k1k2＝λ時(shí)，OG⊥OH；（ii）若k1k2=43，當(dāng)||【考點(diǎn)】橢圓相關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡．【答案】（1）y2（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）302【分析】（1）根據(jù)題意可得12(|AB|+|MA|+|MB|)?r=3r，|AB|＝2，化簡(jiǎn)得|MA|+|MB|＝4＞|AB|，由橢圓定義可知，曲線C以A，B焦點(diǎn)，且2（2）（i）由直線EF的方程為y＝k1x+1，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得G（?3k14+3k12，44+3k12），同理可得H（?（ii）由弦長(zhǎng)公式可得|EF|，|PQ|的表達(dá)式，則||EF|﹣|PQ||的表達(dá)式，利用換元法和基本不等式知k2＝±1時(shí)取最大值，不妨設(shè)此時(shí)k2＝1，k1=43，直線EF和PQ的夾角為θ，則tanθ=17，從而【解答】解：（1）由題意得12(|AB|+|MA|+|MB|)?r=3r，|易知|MA|+|MB|＝4＞|AB|，由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)M在以A，B為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，又M不能在直線AB上，即c＝1，a＝2，所以b=a所以C的方程為：y24+（2）（i）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），G（x0，y0），易知直線EF的方程為y＝k1x+1，聯(lián)立y24+x23=1y=k1所以x1+x2=?6k14+3k12所以EF的中點(diǎn)G（x0，y0），則x0=?3k14+3k12，y0＝即G（?3k1同理可得H（?3k2欲使OG⊥OH，則OG→即9k1k2+16＝9λ+16＝0，所以λ=?16所以存在唯一常數(shù)λ=?169，使得當(dāng)k1k2（ii）由（i）易知x1+x2=?6k14+3k12可得|EF|=1+k12?(x同理可得|PQ|=12(1+k2因?yàn)閗1k2=43，則設(shè)k22=t則||EF|﹣|PQ||＝|43k12+4當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即k2＝±1時(shí)取等號(hào)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)此時(shí)k2＝1，k1且直線EF和PQ的夾角為θ，則tanθ=43?1此時(shí)，易知|PQ|＝4?43k22+4=所以四邊形EPFQ的面積為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024?西城區(qū)模擬）已知橢圓G：x2a2+y（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)．直線l與橢圓G交于C，D兩點(diǎn)（C，D不是橢圓的頂點(diǎn)），l與直線x＝2交于點(diǎn)E，直線AC，AD分別與直線OE交于點(diǎn)M，N，求證：|OM|＝|ON|．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）詳見(jiàn)解答過(guò)程．【分析】（Ⅰ）由已知結(jié)合橢圓性質(zhì)即可求解a，b，進(jìn)而可求橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，結(jié)合E（2，2k+m），可知直線OE的方程為y=(k+m2)x，聯(lián)立y=kx+m3x2+4y2=12，結(jié)合方程根的存在條件可得Δ＝48（4k2﹣m2+3）＞0，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），結(jié)合方程根與系數(shù)關(guān)系可求x1+x2，x1x2，聯(lián)立直線AC和OE可求M，N的橫坐標(biāo)，結(jié)合坐標(biāo)關(guān)系可證點(diǎn)【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)可知a=2ca=12a2所以橢圓G的方程為x2證明：（Ⅱ）由題設(shè)，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx+m，則E（2，2k+m），直線OE的方程為y=(k+m由y=kx+m3x2+4y2=12，得（4k2+3）x由Δ＝48（4k2﹣m2+3）＞0，得m2＜4k2+3，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x則直線AC的方程為y=y聯(lián)立直線AC和OE得y1解得xM同理可得xN所以xM因?yàn)椋╧x1+m）（mx2+4k）+（kx2+m）（mx1+4k）=2kmx=2km(4所以xM+xN＝0，即點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以|OM|＝|ON|．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓性質(zhì)在橢圓方程求解中的應(yīng)用，還考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．橢圓的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做焦距．2．橢圓的第二定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e=ca（0＜e＜1，其中a是半長(zhǎng)軸，c是半焦距）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)3．注意要點(diǎn)橢圓第一定義中，橢圓動(dòng)點(diǎn)P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P沒(méi)有運(yùn)動(dòng)軌跡．【命題方向】利用定義判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時(shí)，其軌跡才為橢圓．1．根據(jù)定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡例：如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓分析：根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線．可推斷出|MP|＝|PF|，進(jìn)而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|結(jié)果為定值，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義推斷出點(diǎn)P的軌跡．解答：由題意知，CD是線段MF的垂直平分線．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又顯然|MO|＞|FO|，∴根據(jù)橢圓的定義可推斷出點(diǎn)P軌跡是以F、O兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用．2．與定義有關(guān)的計(jì)算例：已知橢圓x24+y23=1A．25B．23C．5D．3分析：先由橢圓的第一定義求出點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離，再用第二定義求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d．解答：由橢圓的第一定義得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于4?32=5再由橢圓的第二定義得52d=∴點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d＝5，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的第一定義和第二定義，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2+x中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對(duì)稱軸x軸、y軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸長(zhǎng)上x軸、y軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸長(zhǎng)上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e=ca（0＜e=ca（0＜準(zhǔn)線x＝±ay＝±a3．根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓的幾何特征包括長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦點(diǎn)(±c，0)．【解題方法點(diǎn)撥】1．提取幾何特征：從題目中得到長(zhǎng)軸、短軸或焦距．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：使用幾何特征計(jì)算a和b，代入標(biāo)準(zhǔn)方程：x2【命題方向】﹣由橢圓的幾何特征（如長(zhǎng)軸、短軸）求標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣根據(jù)焦點(diǎn)位置和長(zhǎng)短軸所在位置推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程．4．橢圓的焦點(diǎn)和焦距【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2+x中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b25．橢圓的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的范圍2．橢圓的對(duì)稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．6．橢圓的對(duì)稱性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】1．分析對(duì)稱性：標(biāo)準(zhǔn)方程顯示橢圓在x軸和y軸上的對(duì)稱性．【命題方向】﹣描述橢圓的對(duì)稱性．﹣利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定對(duì)稱性特征．7．橢圓的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±（2）y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2a2+x中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形離心率e=ca（0＜e=ca（0＜8．求橢圓的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓的離心率e由公式e=ca計(jì)算，其中【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算離心率：使用公式e=a【命題方向】﹣給定a和b，求橢圓的離心率．﹣計(jì)算橢圓的離心率，并分析其含義．9．由橢圓的離心率求解方程或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】已知橢圓的離心率e和長(zhǎng)軸a，可以計(jì)算b和焦距c：c＝aeb=a【解題方法點(diǎn)撥】1．