統(tǒng)計學(xué) 第六章統(tǒng)計量與抽樣分布(習(xí)題附參考答案)

第6章統(tǒng)計量與抽樣分布

【弓I例】1899年，戈塞特（18767937）進(jìn)入都柏林A.吉尼斯父子釀酒公

司擔(dān)仟釀酒化學(xué)技師，主要從事統(tǒng)計和實(shí)驗(yàn)工作。他在工作中發(fā)現(xiàn)，供釀酒的

每批麥子質(zhì)量相差很大，而同一批麥子中能抽樣供試驗(yàn)的麥子又很少，每批樣

本在不同的溫度下做實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果相差很大。這就決定了不同批次和溫度的麥

子樣本是不相同的，不能進(jìn)行樣本合并。這樣一來，實(shí)際上取得的麥子樣本，

不可能是大樣本，只能是小樣本。他在工作中還發(fā)現(xiàn)，利用小樣本得出的結(jié)果,

和正態(tài)分布有較大的差異，特別是兩端尾部的概率，比正態(tài)分布明顯高。因此

1907年戈塞特決心把小樣本和大樣本之間的差別搞清楚。為此，他試圖把一個

總體中的所有小樣本的平均數(shù)的分布刻畫出來。做法是；在一個大容器里放了

一批紙牌，把它們弄亂，隨機(jī)地抽若干張（小樣本），對這一樣本記錄觀察值,

然后再把紙牌弄亂，抽出幾張，對相應(yīng)的樣本再記錄觀察值。大量地記錄這種

隨機(jī)抽樣的小樣本觀察值，就可以獲得小樣本觀察值的分布。1908年，戈塞特

以“學(xué)生（Student）”為筆名在《生物計量學(xué)》雜志發(fā)表了論文《平均數(shù)的規(guī)

律誤差》。這篇論文開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計理論的先河，為研究樣本分布理論奠定了

重要基礎(chǔ)。被統(tǒng)計學(xué)家譽(yù)為統(tǒng)計推斷理論發(fā)展史上的里程碑。

那么總體和樣本是如何聯(lián)系的？大樣本和小樣本下究竟有什么差異？什么

是t分布？它和正態(tài)分布有什么不同？它有什么作用？統(tǒng)計推斷中常用的分布

還有哪些？這些問題都將在本章中找到答案。

統(tǒng)計研究的目的是為了探索現(xiàn)象內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律性。為了解總體的數(shù)量特

征，可以直接對總體進(jìn)行全面調(diào)查，得到總體數(shù)據(jù)，進(jìn)而歸納出數(shù)量特征；也

可以對總體進(jìn)行抽樣，利用樣本對總體進(jìn)行推斷，后一種方法稱為統(tǒng)計推斷。

抽樣分布是進(jìn)行統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)。本章將主要介紹統(tǒng)計推斷所涉及的總體、

樣本、統(tǒng)計量及抽樣分布等概念，以及在統(tǒng)計推斷中最常用的/分布，/分布

和產(chǎn)分布和抽樣分布定理。

§6.1總體與樣本的統(tǒng)計分布

總體與樣本是統(tǒng)計推斷中的兩個基本概念。統(tǒng)計推斷的目的是從樣本信息

出發(fā)，運(yùn)用概率論的方法，推斷總體的特征；因此如何將統(tǒng)計學(xué)的總體、樣本

和概率論的基礎(chǔ)一一隨機(jī)變量與分布聯(lián)系起來，就成為統(tǒng)計推斷首先要解決的

問題。

§6.1.1統(tǒng)計推斷中的總體及總體分布

第一章中已經(jīng)明確統(tǒng)計所研究的是由同類事物構(gòu)成的總體的數(shù)量特征，總

體是根據(jù)一定的目的確定的所要研究的事物的全體，它是由客觀存在的、具有

某種共同性質(zhì)的眾多個體構(gòu)成的?？傮w中的每個單位稱為個體。比如前面引例

中，每一批麥子的全體就是一個總體，而其中每單位的麥子就是個體。這是統(tǒng)

計學(xué)中關(guān)于總體的概念，我們可以稱其為實(shí)物總體。

在前面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：我們真正關(guān)心和收集研究的并不是

這些總體中的個體本身，而是這些個體的某些特征及其數(shù)值，在前面我們將這

些特征用變量來描述，對應(yīng)的數(shù)值稱為變量值。關(guān)心這批麥子，主要關(guān)心的是

其釀酒的效果出酒量。此時出酒量成為需要研究的變量，每單位麥子出酒量的

具體數(shù)值成為變量值。在研究這批麥子時，并不需要將全部這批麥子都收集過

來，只需要記錄這批麥子每單位出酒量的數(shù)值，再對這些數(shù)值進(jìn)行研究就可以

了。此時的總體實(shí)質(zhì)是這批麥子的出酒量對應(yīng)的若干個數(shù)值，總體已經(jīng)從實(shí)物

抽象到了數(shù)值，可以稱之為數(shù)值總體。這是對總體概念的第一次抽象。

如果實(shí)物總體中個體很多，則對應(yīng)的數(shù)值總體其規(guī)模將非常大，而且往往

其中重復(fù)的值會很多，即使沒有重復(fù)值（變量取值連續(xù)時），在不同值周圍的“密

集程度”也會不相同。逐一研究每個變量值將會非常繁瑣，當(dāng)總體規(guī)模趨于無

窮時，研究每個變量值更是變得不可能。若統(tǒng)計出變量的所有不同取值（或取

值區(qū)間）及其出現(xiàn)的頻率，編制變量的分布數(shù)列，則可以對變量的全部取值情

況一覽無遺。研究一個變量的全部數(shù)值，就轉(zhuǎn)化為研究該變量的分布了。用變

量及其分布來描述一個總體，可以稱之為分布總體。例如研究某批麥子的出酒

量X,這是個連續(xù)變量，可以統(tǒng)計出X在不同區(qū)間取值的頻率，得到X的分布。

對全部單位出酒量的數(shù)值的研究，就可轉(zhuǎn)化研究出酒量X的分布了。這是對總

體概念的第二次抽象。

對于隨機(jī)變量X,其取值是隨機(jī)的，關(guān)注該變量的全部取值，也就是要關(guān)

注其各個可能取值（或取值區(qū)間）及其相應(yīng)概率，即關(guān)注該隨機(jī)變量的概率分

布。在統(tǒng)計推斷中利用隨機(jī)變量X及其概率分布來描述一個總體，應(yīng)用起來非

常有優(yōu)勢，尤其是當(dāng)總體容量趨于無窮時，另外一個好處是可以利用概率論的

理論和方法來研究總體。例如麥子出酒量的總體分布如果是正態(tài)分布，就可以

利用正態(tài)分布的密度函數(shù)計算出酒量在各區(qū)間的概率。

經(jīng)過上述討論，完成了從“實(shí)物總體f數(shù)值總體f分布總體”的兩次抽象,

也完成了我們將統(tǒng)計學(xué)中“總體”與概率論中“分布”的銜接，這是統(tǒng)計推斷

對總體概念的延伸，也是概率論知識應(yīng)用于統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。以后在本章及以

后統(tǒng)計推斷的相關(guān)章節(jié)中，如無特別說明，總體均表示分布總體，給定一個總

體，只需耍給出總體的分布即可。

§6.1.2統(tǒng)計推斷中的樣本及樣本性質(zhì)

統(tǒng)計推斷的重要任務(wù)是通過對總體中隨機(jī)抽取的部分個體的觀測結(jié)果來推

斷總體的特征。按照隨機(jī)原則，通過觀測或試驗(yàn)的方法所獲得的總體中一部分

個體的取值稱為樣本，每個個體的取值稱為樣本點(diǎn)或樣品。抽出樣本之前，由

于總體中各個體有同等被抽中的可能，抽中那個個體不能確定，因此樣本是一

組隨機(jī)變量，每個樣本點(diǎn)都可以取總體中任意一個值；但是當(dāng)樣本被抽取并觀

測記錄后，若干個體被抽出，各樣本點(diǎn)的取值確定，樣本成為是一組確定的數(shù)

值。統(tǒng)計推斷中為了區(qū)分此二重性，將抽取前具有隨機(jī)性的樣本稱為樣本，用

大寫字母表示；將抽取的一組確定的數(shù)值稱為樣本觀測值，用小寫字母表示。

如要推斷某種燈泡使用壽命總體X的特征，擬隨機(jī)抽取〃只燈泡進(jìn)行測試，其

使用壽命（X,X2,…,Xn）稱為燈泡使用壽命總體X的樣本，一次具體抽樣測試得

到n個燈泡使用壽命的數(shù)值（即,及,…用0,稱為總體X的樣本觀察值。

統(tǒng)計推斷中，把具有以下兩個重要性質(zhì)的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本：

1.樣本點(diǎn)與總體同分布

這一點(diǎn)很容易從數(shù)值總體的角度加以理解：由于采取隨機(jī)原則抽取樣本點(diǎn),

每個個體被抽中的可能性相同。假設(shè)總體容量為M則每個個體被抽中的概率

為1/M假設(shè)對離散型總體取值等于x,或?qū)B續(xù)型總體取值在區(qū)間x+/x）中

的個體總數(shù)為M,那么抽出樣本點(diǎn)取值為X或在區(qū)間（.％工+〃幻中的概率就是

M小,恰好等于總體X取值為x或取值在區(qū)間（x,x+ZYx）中的頻率（或概率），從

而可以看出樣本點(diǎn)與總體分布相同。

2.樣本點(diǎn)之間相互獨(dú)立

從總體中抽取樣本的方法有重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣兩種。采用重復(fù)抽樣時,

每次隨機(jī)抽取一個樣本點(diǎn)并記錄其特征以后，又將它放回總體中參加下一次抽

取，每次抽取樣本點(diǎn)都是在總體的N個單位中進(jìn)行的，前一次抽取的結(jié)果不會

影響后一次抽取的結(jié)果，因此樣本點(diǎn)之間相互獨(dú)立。采用不重復(fù)抽樣時，每次

隨機(jī)抽出一個樣本點(diǎn)后不再將它放回總體中，下一次只能在其余個體中抽取，

前面抽取的結(jié)果就會影響后面的抽取，因此樣本點(diǎn)之間不是相互獨(dú)立的。但通

常實(shí)際工作中總體容量非常大，采用不重復(fù)抽樣時也可以近似認(rèn)為樣本點(diǎn)之間

相互獨(dú)立。對于總體容量無限的情形，無論采取重復(fù)抽樣還是不重復(fù)抽樣，都

可以認(rèn)為樣本點(diǎn)是相互獨(dú)立的。

在本書后面的敘述中，常常將以上兩個性質(zhì)一同簡寫為“樣本點(diǎn)獨(dú)立同分

布（讓4”。沒有特別說明的情況下，我們討論的樣本均指的是簡單隨機(jī)樣本。

§6.2統(tǒng)計量

§6.2.1統(tǒng)計量的概念

在統(tǒng)計推斷中，總體信息是未知的，但從總體中抽取的樣本中含有總體的

信息、，統(tǒng)計推斷就是利用樣本的信息來推測總體的信息。然而樣本的信息是隱

蔽的、分散的，必須經(jīng)過必要的加工對樣本信息進(jìn)行集中和提煉才能用來推斷

總體信息，構(gòu)造樣本統(tǒng)計量是集中和提煉樣本信息來推斷總體信息的有效手段

之一。

設(shè)（X1….,X〃）是來自總體X的一個樣本，如果T=T（X1,X2,…,X“）是

樣本（X1,…,X"）的函數(shù)，7中不含任何未知參數(shù)，則稱T（X1,X2,…,X“）為

一個統(tǒng)計量。如果（芭，…,x“）為樣本（X1,…,X〃）的觀測值，則

T=7（4工2,…,G為統(tǒng)計量7=nxPx2，…,X“）的觀測值。統(tǒng)計量的觀測

值是確定的，沒有隨機(jī)性。

統(tǒng)計量有以下兩個特征：統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，統(tǒng)計量通常為隨機(jī)變量;

統(tǒng)計量不能含有未知的參數(shù)。例如，當(dāng)從正態(tài)總體中抽出樣本“時，

考查隨機(jī)變量￡（Xj-4）2,當(dāng)總體均值〃為已知時，該變量是統(tǒng)計量；當(dāng)

/=|

總體均值未知時，該變量就不是統(tǒng)計量。

統(tǒng)計量既然是隨磯變量，那么它應(yīng)該有概承分布，統(tǒng)計量的分布稱為抽樣

分布。抽樣分布和統(tǒng)計推斷有著密切的聯(lián)系。統(tǒng)計量明確以后，必須要知道其

抽樣分布才能在統(tǒng)計推斷中使用，因?yàn)橹挥兄懒私y(tǒng)計量的分布，才能利用概

率論對總體的特征進(jìn)行推斷，并得到相應(yīng)的推斷置信度。所以在統(tǒng)計推斷中，

一項(xiàng)重要的工作就是尋找統(tǒng)計量和導(dǎo)出統(tǒng)計量的抽樣分布或漸近抽樣分布。

【例6-1】總體X股從兩點(diǎn)分布，概率分布律如下：

p（x=1）=p,P（X=O）=1—〃

從總體中抽取容量為〃的樣本，構(gòu)造統(tǒng)計量T=ZX,.，求此統(tǒng)計量的分布。

z=i

解：由于樣本是犯立的，X,服從兩點(diǎn)分布：統(tǒng)計量7為隨機(jī)變量，其取

值是。到〃之間的所有整數(shù)，其分布恰好是二項(xiàng)分布：

P(T=k)=C：pA(1—p)"-k,A=0,1,2,〃

從上面的例子中，可以看出抽樣分布未必與總體的分布一致。

【例6-2】總體分布為X?N(l,l),抽取容量為〃的樣本，構(gòu)造如下三個統(tǒng)

計量：T=7；=X1+X2和7；=又求此三個統(tǒng)計量的抽樣分

n,=i

布。

解：由于樣本是獨(dú)立的，X,服從均值和方差都為1的正態(tài)分布，三個統(tǒng)計

量都是樣本的線性函數(shù)，由正態(tài)分布的性質(zhì)，三個統(tǒng)計量仍服從正態(tài)分布，下

面分別求解其均值和方差：

￡(7；)=￡(%,)=1,D(7；)=D(X)=1

E(T2)=E(X])+E(X2)=2,D(T2)=￡>(.)+O(X2)=2

1n1n1

磯()=—ZE(X,)=I，o(t)==￡Q(X,)=—

nz=iri=i〃

由上面計算可以得出，統(tǒng)計量7；服從均值和方差都為1的正態(tài)分布，這和

總體的分布相同；統(tǒng)計量7；服從均值和方差都為2的正態(tài)分布，而統(tǒng)計量7；服

從均值為1,方差為//力的正態(tài)分布。

§6.2.2常用統(tǒng)計

1.樣本均值和樣本方差

設(shè)X，X2,…,x”是總體x中抽出的簡單隨機(jī)樣本，則樣本均值為

x=-Yxif樣本方差為

2.樣本矩

稱&為樣本的原點(diǎn)矩，稱紇=-y(xz-xV為樣本的中心

〃,=1〃/=1

矩。特別當(dāng)％=2時，&Xj—又『稱為樣本的未修正方差，常記S；,

〃,=1

,常用統(tǒng)計量還包括樣本相關(guān)系數(shù)，我們將在第9章介紹。

顯然有S；二（TDS2。

n

3.順序統(tǒng)計量

設(shè)X1,丫?.?,*“是總體乂中抽出的簡單隨機(jī)樣本，把樣本點(diǎn)排序?yàn)?/p>

X⑴<X（2）<???<X（“）,則稱X⑴,X（2）,?一X。為順序統(tǒng)計量，其中X⑵稱為

第i個順序統(tǒng)計量。基于順序統(tǒng)計量計算的常用統(tǒng)計量有：

最大順序統(tǒng)計量X（n）=max{X19X2,...,X3}和最小順序統(tǒng)計量

乂⑴=min{X］,X2，...,X3}；

樣本極差R=X（〃）—X⑴；

也）〃為奇數(shù)

樣本中位數(shù)也=X,、+x,、

上~劌〃為偶數(shù)

2

樣本的P分位數(shù)Mp=*必+（〃+l）（p_嚕）％則「*必）

其中［〃〃］為不超過秋的最大整數(shù)：

1n-k

樣本的切尾均值Tnk=-------VX（>0<k<n9樣本的切尾均值是分別

〃-23士⑴

去掉k個最小的和k個最大的觀測值后得到的均值。

§6.3抽樣分布及抽樣分布定理

為了在正態(tài)分布假定下，得到樣本統(tǒng)計量的精確分布，本節(jié)需要討論幾個

十分重要的隨機(jī)變量函數(shù)的分布，它們是力2分布、，分布和尸分布。在此基礎(chǔ)

上討論抽樣分布的重要定理。

§6.3.1%?分布

分布是海爾墨特（Hermert）和卡.皮爾遜（K.Pearson）分別于1875年

和1890年提出的，是統(tǒng)計推斷中的重要分布。它主要應(yīng)用于對總體方差的估計

或檢驗(yàn)以及對總體概率密度函數(shù)的檢驗(yàn)等。

1./分布的定義及其密度函數(shù)

定義6-1若隨機(jī)變量X?..，X〃獨(dú)立且同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,1),則它們

的平方和

(6.1)

?=1

服從自由度為〃的/分布，記為?/(〃)。

/=i

根據(jù)服從卡方分布隨機(jī)變量的定義，我們可以根據(jù)求隨機(jī)變量函數(shù)的概率

分布的方法求出Z2分布的概率密度函數(shù)I。如果隨機(jī)變量X服從自由度為〃的

72分布，其概率密度為：

1J上

22

--n-----xex>0

22r(-)(6.2)

0x<0

其中「(〃)為gamma函數(shù)。

2.%?分布的性質(zhì)特征

(1)/分布的數(shù)學(xué)期望與方差

若X服從自由度為〃的了?分布，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為

E(X)=n,Z)(X)=2/z(6.3)

可見隨著自由度的增大，/分布的期望和方差隨之增大，自由度決定了

力2分布的形狀。從密度函數(shù)定義可以看出，/分布是一種不對稱偏峰分布，

其取值區(qū)域?yàn)?0,+8)；隨著自由度的逐漸增大，％?分布曲線的最高點(diǎn)逐漸下

降并向右移動，分布曲線趨于對稱，如圖6-1所示。

1推導(dǎo)過程略，有興趣的讀者可以參考陳希孺，《數(shù)理統(tǒng)計引論》，高教出版社

P{^2（n）>^（n）}=a

關(guān)于22分布上側(cè)。分位數(shù)/5）可以通過書后附表求得，附表給出了自

由度〃V45的分布上側(cè)a分位數(shù)。也可通過EXCEL的CH1NV函數(shù)求得。

例如/必（11）=2.603，若。（13）=27.688。

（2）分布的自由度

力2分布中〃稱為自由度。對于變量X-…,X〃，如果存在一組不全為零的

常數(shù)c“2…?,%，使得C1X+C2X2+…+c〃X”=0成立，則稱變量

之間存在一個線性約束條件。如果變量X,..,X〃中存在攵個獨(dú)立的線性約束

條件，則Xj（i=l,2,…,〃）中獨(dú)立變量的個數(shù)為（〃一2）,稱它為自由度。自由

度也可粗略解釋為可以自由選擇數(shù)值的變量個數(shù)。

例如，fx；由〃個獨(dú)立的隨機(jī)變量X構(gòu)成，由于它們之間沒有線性約

；=1

束條件（即Z=0）,所以它的自由度為〃?！辏╔j—廿2的自由度為（〃_］）,

/=1

這是因?yàn)橛嬎恪辏▁廠區(qū)）2時要用又，又滿足限制條件￡?！竻^(qū)）=0,即

<=1/=1

相對于反的〃個離差變量（X1-又）,（X2-又），…,（X〃一刀），只有（〃一1）個可

以任意確定，第〃個失去了“自由”，所以能其自由度為（〃—1）。

（3）/分布的可加性

若x、y相互獨(dú)立，且分別服從自由度為陽、%的?2分布，則x+y服

從自由度為々+”的？2分布,即

x+y?/(4+〃2)

【例6-3]設(shè)X]….,乂6是獨(dú)立同服從N(0,2)分布的隨機(jī)變量，求a,b

22

和c使+b(X2+X3)+c(X4+X5+X6)服從/分布。

因?yàn)椤?,X6獨(dú)立同N(0,2)分布,所以

則至從而;

X~N(0,2),~N(O,1),

VV1

X2+X3-/V(o,4),則\3?Q(O,1),從而z(X?+X3)2?72(1)

X+X+X

X+X+X^7V(0,6),則^~~~N(O,1),從而

4S6瓜

22

1(X4+X5+X6)-Z(1)O

o

由于42分布的可加性，則

2222

-X,+-(X2+X3)+-(X4+X5+X6)^^(3),自由度為3。且

ci=-,b=一和。=—o

246

§6.3.2亡分布

,分布又稱為“學(xué)生分布”，是統(tǒng)計推斷中的重要分布。它在總體均值的估

計與檢驗(yàn)、相關(guān)與回歸分析等方面有著廣泛的應(yīng)用。

Lf分布的定義及其密度函數(shù)

定義6-2若隨機(jī)變量X~N(O,1),隨機(jī)變量Y?z2(n),且隨機(jī)變量X與

丫相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量

X

(6.4)

F77

服從自由度為〃的，分布，記為，??〃）。

f分布的概率密度函數(shù)比較夏雜。如果隨機(jī)變量X服從自由度為〃的/分布,

則其概率密度函數(shù)為

I_?+1

/(X)=-------------(1+—)2-00<%<00(6.5)

觀察/分布的概率密度函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)它是偶函數(shù)，所以/分布是關(guān)于原點(diǎn)

對稱的，這一點(diǎn)和分布是不同的，卻和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相似。圖6-2的三條曲

線分別是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線以及自由度為19和5的/分布曲線。

通過比較可以發(fā)現(xiàn)/分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，都是對稱分布，均在

-8＜工＜8上取值。但是/分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布也有區(qū)別，，分布尾部厚，即服

從t分布的隨機(jī)變量取到尾部值的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布略大。而對于接近原點(diǎn)

的坐標(biāo)點(diǎn)，f分布密度函數(shù)的值比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的值小。因而/分布曲

線尾部厚于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而峰低于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

滿足尸｛，（〃）＞ta（九）｝=。的％⑺稱為自由度為n的f分布上側(cè)a分位數(shù)。

關(guān)于，分布上側(cè)a分位數(shù)％（〃）可以通過書后附表求得，附表給出了自由度

〃工45的1分布上側(cè)a分位數(shù)。例如a5（1°）=1?8125,由于,分布是定稱分

布，所以九95（1°）=一1?8125。

2.t分布的性質(zhì)特征

（1）/分布的數(shù)學(xué)期望與方差

［分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別是

E(r)=O,。(/)=〃/(〃-2)n>2(6.6)

由于/分布是對稱分布，其數(shù)學(xué)期望當(dāng)然為0。雋要注意的是：只有當(dāng)自由

度大于1,其數(shù)學(xué)期望才為0,自由度為1時，數(shù)學(xué)期望不存在；同時注意到/分

布的方差與其自由度有關(guān)，自由度小于等于2時，方差不存在，當(dāng)自由度

〃―8,方差極限為lo

(2)/分布的自由度

f分布的自由度是由生成/分布的分母即卡方分布隨機(jī)變量的自由度而來。

1分布的形狀和自由度〃有較大關(guān)系，自由度越小，f分布曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

曲線的區(qū)別越明顯，,分布“比較平”，而自由度增大，1分布曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

布曲線的差異逐漸縮小。這一點(diǎn)也可以由f分布的方差來說明，當(dāng)自由度〃較小

時，/分布的方差較大，此時其分布就“比較平”；而當(dāng)自由度較大時，方差較

小,而月越來越接近1.此時/分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布逐漸接近C

【例6-4】設(shè)X”..,X6是獨(dú)立同服從N(0,2)分布的隨機(jī)變量，如果隨機(jī)

Y

變量c/力服從自由度為5的I分布,求c等于多少。

因?yàn)閄,.?,X6獨(dú)立同服從服(0,2)分布,所以

v

X「N(0,2),則2=方~陽0,1)。

Y2丫2Y2Y2丫2

又因?yàn)椋?=&_&+工+工+工?2(5)

22222

而Z與％?相互獨(dú)立，則由/分布的構(gòu)造，有

醫(yī)+9+星+應(yīng)+巡/5

V22222

J(X；+X；+X：+X；+X；)/5

所以

§6.3.3廠分布

產(chǎn)分布是統(tǒng)計學(xué)家費(fèi)雪(R.A.Fisher)于1924年提出的，尸分布在假設(shè)檢

驗(yàn)、總體方差的統(tǒng)計推斷、方差分析、回歸分析和多元統(tǒng)計分析等方面有著廣

泛的應(yīng)用。

1.尸分布的定義及其密度函數(shù)

定義6?3若隨機(jī)變量X、y分別服從自由度為〃1、%的卡方分布，且X、

y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量

F=*(6.7)

Y/n2

服從第一自由度為勺，第二自由度為%的尸分布，記為尸?尸(勺,4)。

從戶分布的定義可以看出，尸分布是兩個獨(dú)立的卡方分布隨機(jī)變量與其各

自自由度商的比值，因而產(chǎn)分布具有兩個自由度，作為分子的卡方分布隨機(jī)變

量的自由度稱為第一自由度，作為分母的卡方分布隨機(jī)變量的自由度稱為第二

自由度。

產(chǎn)分布的密度函數(shù)比較復(fù)雜，若隨機(jī)變量/服從笫一自由度為々，第二自

由度為々的“分布，那么其密度函數(shù)為：

「(工

〃產(chǎn)〃2

22x>0

/(0=,吟(6.8)

0x<0

如圖6-3所示，尸分布曲線有些類似于卡方分布，也是一種非對稱的正偏

分布。其值域?yàn)?0,+8),但它有兩個自由度修和〃2。尸分布的分布曲線隨著

兩個自由度的不同組合而不同。兩個自由度的不同組合形成廠分布曲線的不同

形態(tài)，這在尸分布的圖形中可清楚看到。隨著第一自由度小的增大，分布曲線

逐漸趨向?qū)ΨQ，隨著兩個自由度的增大，分布曲線逐漸趨于正態(tài)分布。

0.8

滿足pS（〃],%）2乙（〃|,〃2））=二的心（〃|,〃2）稱為自由度為〃的F分布

上側(cè)。分位數(shù)。由于F分布有兩個自由度，所以附表僅僅給出了某些較小。值

對應(yīng)的外（勺〃2）值。例如a05（20,30）=1.93。對于任意的。和自由度，其分

位數(shù)都可通過EXCEL的FINV函數(shù)求得。

2.尸分布的性質(zhì)特征

（1）產(chǎn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差

F分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

E(F)(%>2)

(6.9)

2片(勺+&-2)

D(F)=(%>4)

452—2)2(〃2—4)

從方分布的均值和方差表達(dá)式可以看出，隨著第二自由度公增大，尸分布

的均值趨于1,而方差則取決于兩個自由度。

（2）尸分布的自由度

廠分布的自由度是由構(gòu)造F分布的分子和分母的兩個z2分布的自由度而

來，由于其分子和分母的分布可以交換，所以尸分布的兩個自由度有一個

重要性質(zhì)，就是它們是可以互相轉(zhuǎn)化的。

若F?尸（公氏），則1/F?。這個重要性質(zhì)對于查尸分布求大。

的分位數(shù)提供了方便：

U，%)=工;----7(6.10)

工(乙，4)

【例6?5】給定顯著水平。=0.95,查尸(15,20)的a上側(cè)分位點(diǎn)。

因?yàn)橐话鉌分布表并未給出a=0.95的上側(cè)分位點(diǎn)。則要根據(jù)F分布的性

質(zhì),首先查乙05(20,15)=2.328,根據(jù)公式(6.9)可求得：

與95(15,20)=熹=0.4296

也可以通過EXCEL的統(tǒng)計函數(shù)功能中的函數(shù)FINV直接計算該分位數(shù)L

調(diào)出EXCEL的函數(shù)￡,選中函數(shù)FINV,根據(jù)對話框輸入相關(guān)信息即可。FINV

的對話框如圖6-4所示。

圖6-4EXCEL的函數(shù)FINV的對話框

§6.3.4抽樣分布定理

下面討論總體為正態(tài)分布時樣本統(tǒng)計量的抽樣分布。這是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用

中許多總體分布或是正態(tài)分布，或是近似可以認(rèn)為是正態(tài)的。即使總體分布非

正態(tài)，由中心極限定理可知，大樣本下，樣本均值的分布也可以近似認(rèn)為是正

態(tài)分布。

定理6-1若〃是從總體N(〃,b2)抽取的一個簡單隨機(jī)樣本，則

有：

-(y2

1.X?N(〃,一)(6.11)

n

1%?分布和，分布的百分位點(diǎn)，也可分別通過EXCEL的統(tǒng)計函數(shù)CHINV和TINV得到。

(6.12)

期X，-方(〃.」或

?/(〃T)(6.13)

3.樣本均值X與樣本方差52相互獨(dú)立?o

其中又號,心上出廠對。

【例6-6］在正態(tài)總體NO/,。?)中抽出一個容量為25的樣本,

125_

S2=—￡(Xj-刀產(chǎn)為樣本方差，這里〃和，均為未知。求

24/=|

(1)當(dāng)b=2.3時，求P(|又一〃區(qū)1)；

c2

(2)P(0.577<—<1,5173)；

CT~

(3)D(S2)；

2

解：(1)因?yàn)榉?N(〃J),所以當(dāng)。=2.3,"二25時有:

n

P(|X-//|<1)

X—〃1

=P(\2.3/后區(qū)2.3/后)

=P(|Z|<2.174)=2P(Z<2.174)-1=2X0.985-1=0.97

(2)因?yàn)闃颖緛碜杂诳傮w樣本容量〃=25,所以

(n-l)52(25-1)52

z2?八24)

(72(J2

92

則^(0.577<^-<1.5173)

24s2

=P(0.577x24<<1.5173x24)

=P(0.577x244/(24)41.5173x24)

=尸(13.848</(24)<36.415)

=P(Z2(24)>13.848)-P(Z2(24)>36.415)

=0.95-0.05=0.90(查斤2分布表得出)

i定理證明略，讀者可以參看的詩松等著《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》。

24s2

因?yàn)?，所以由式（）可知：。（/（））。

(3)/24)=96.324=48

而。&）=唱等）

444

__p(z2(24))=__x48=,

定理6?2若總體服從從中抽取容量為〃的樣本XI….，X?,則

t=（6.14）

S/y/n

證明：樣本XI,...,X“相互獨(dú)立，且都服從NT。?），由公式（6.12）和

(6.13)有:

Z=j一〃?N(0,1)

/no7n

(-1)S2

和~~2

而且隨機(jī)變量z與y相互獨(dú)立。結(jié)合?分布的定義有:

z又一〃V^Tcr_X-JLI

=川川(〃-西=^^()

即/(〃-1)

【例6-7]設(shè)總體X服從正態(tài)分布NT。?），X1,…，X〃，X?1是來自

2

總體的一個樣本，記》=一￡Xi和s?=——y（xz.-x）,試求

〃9〃-1言

Y_y

向“的分布。

S

由于X1,…,X”,X向來自總體N（〃Q2）的簡單隨機(jī)樣本，則分別有

2

?N（4，〃）和兄?N（〃,——）,且X,和Xfl相互獨(dú)立，則

nJ+1

（

X,I+I-又"?N（0,四/），且z=X「%~N0』）。

n"十12

Vn

2

因?yàn)?2二%二比?,2（〃一]）,而且根據(jù)定理6/的結(jié)論有Z和7?相互獨(dú)

立，所以

nX.-Xn

?r(n-l)o

〃+1S

定理6?3若總體X服從N（4，b：）,總體y服從N（4,b；）,且兩個總體

相互獨(dú)立。從兩總體中分別抽取容量為4和%的樣本X,.X/和幾...,小。

(2)當(dāng)b；=b；,貝IJ

f_又-丫-(內(nèi)-%)

I-1?/(4+H-,—2)(6.16)

11

S”,—+——

用%

(々-l)S；+(〃2-l)S；

其中S“工

nA+%—2

i.i.di.i.d

證明：（1）因?yàn)閄1,…，X,,~N（wd）,幾…?N（"?,6）,并且

兩組樣本是相互獨(dú)立的。所以

1~N（內(nèi),6g,一~N（-2/%）

并且又和「相互獨(dú)立，從而

反一歹_（4_從）?N（0,互+貢）

勺%

則z=又一；一（從二?。?/p>

?N(0,l)。

?7

0-+%

V勺％

（2）因?yàn)橛桑?.12）式可以得到:

(H.-D5,2（叫一1局

~/(4-1),~/（%一1）

22

旦S：和S；相互獨(dú)立，從而

Z=，十一，一?=5]+%—2）

bb

并且（1）中的Z和上述/相互獨(dú)立。根據(jù)t分布定義并化簡可得

ZX—Y—（//1—//）

，=/,=---1：二0-?5+%一2）

Jr/（%+%-2）s,十_L

所以，上述變量服從自由度為“+%-2的，分布。

定理6-4若總體X?N（月,端），另一總體y?N（"2，b；）,從第一總體

中抽取容量為々的樣本，從第二個總體中抽取容量為小的樣本，兩個總體是獨(dú)

立的，則變量

(6.17)

證明：因?yàn)闃颖鞠嗷オ?dú)立且和總體具有相同的分布，所以

i.i.d

X],…,X%~N（〃0：）

i.i.d

加…，工?Ngj

由前面定理6-13,

7(〃1—1)S：2/八

石=I2H/T)

0

9（%—i）s；[、

2?萬（D

兩個總體相互獨(dú)立，所以隨機(jī)變量力：和%；相互獨(dú)立，從而

產(chǎn)二//―2/b：

?F(%

//（均一1）s；/8

所以該隨機(jī)變量服從第一自由度為第二自由度為&-1的〃分布。

本章小結(jié)

I.總體可抽象為所感興趣的變量及其取值的分布。通過觀測或試驗(yàn)的方法

獲得的總體中一部分個體稱為樣本，樣本中每個個體稱為樣本點(diǎn)。

2.統(tǒng)計量是樣本(X1,…,X〃)的函數(shù)且不含任何未知參數(shù)。在統(tǒng)計推斷問

題中，經(jīng)常需要利用取自總體的樣本構(gòu)造出合適的統(tǒng)計量，并使其服從或

漸進(jìn)地服從已知的分布。常用統(tǒng)計量有樣本均值和方差等。統(tǒng)計量的分布

為抽樣分布。

3.在正態(tài)分布假定下三種常用分布——7?分布、t分布和F分布。本章介

紹了三種分布的定義、構(gòu)造原理和重要性質(zhì)，以及相應(yīng)分位數(shù)的含義和計算方

法。

4.本章介紹了抽樣分布理論中的幾個重要定理。它們是對正態(tài)總體的均

值、方差等參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計推斷的重要理論基礎(chǔ)。

基本知識梳理

基本知識點(diǎn)含義或公式

總體指所研究事物的全體(實(shí)物總體)，或指所研究事物在某個特征上

的取值的全體(數(shù)值總體)。

樣本按照隨機(jī)原則從總體中抽出的n個個體。簡單隨機(jī)樣本的性質(zhì)：

(1)樣本點(diǎn)和總體具有相同的分布

(2)樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的

統(tǒng)計量丁二/以不,….)是樣本的函數(shù)，如果丁中不含任何未知

參數(shù)，則稱7(%,兀,.../〃)為一個統(tǒng)計量。常用統(tǒng)計量有：樣本均值

和樣本方差、樣本矩統(tǒng)計量、樣本相關(guān)函數(shù)、樣本的順序統(tǒng)計量。

抽樣分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布，常用的抽樣分布有/分布、，分布、F

分布。

分布目互獨(dú)立的且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則它們的平方和服從自

由度為n的/分布，即為X；?#2(〃)。

z=l

/2分布的性自由度為n的/分布變量，均值和方差分別為n和2n；隨自由度的增加，

質(zhì)/分布趨近正態(tài)分布；獨(dú)”42分布變量具有可加性。

自由度自由度也可粗略解釋為可以自由選擇數(shù)值的變量個數(shù)，即變量的總

個數(shù)減去線性約束的個數(shù)。

1分布x,y相互獨(dú)立；X~N(O,1),y~/(〃)；X即服從自由度為〃

x/r/n

的,分布，即?/(〃)。

y/yTn

，分布的性質(zhì)均值E(f)=0,方差。⑺=〃/(〃—2)；/分布的自由度和分母中y

的自由度相同；(分布曲線比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線低峰厚尾，隨自由度的

增加，/分布趨近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

F分布X)相互獨(dú)立；X~/(4)，y~/2(%)；F=X'即服從第一自由

~Y/n2

度為勺，第二自由度為%的尸分布，即尸=泮?A%%)。

產(chǎn)分布的性質(zhì)產(chǎn)分布的均值隨著第一自由度&增大而趨于1，方差則取決于兩個

自由度；若尸?尸(勺,2)，則//~F(%,〃i)。

在正態(tài)總體的假定條件下，有

抽樣分布重X—N入T/八(?-1)522/1、

要定理r-~N(0/)，、~/51)，

o/<nb

；x_y”i2)_(_2)

依正一

練習(xí)題

一、單項(xiàng)選擇題(在4個備選答案中選擇1個正確答案)

1.某產(chǎn)品出廠檢驗(yàn)規(guī)定：次品率〃不超過4%才能出廠，現(xiàn)從一1批產(chǎn)品中抽取

12件進(jìn)行檢查，假設(shè)取值為1代表次品，取值為0代表合格品，則數(shù)值總體是

()

A.OB.lC.0和1D.許多取值為0或1的數(shù)的全體

2.某廠生產(chǎn)的螺絲釘，其標(biāo)準(zhǔn)長度為6.8,而其真實(shí)的長度X?N(〃,0.36),

從上述敘述中，假設(shè)總體均值就是標(biāo)準(zhǔn)長度，從生產(chǎn)的螺絲釘中抽取了1個螺

絲釘作為樣本，其長度為6.7mm,則該樣本X1的分布是()

A.P(X\=6.7)=1B.N(6.8,0.36)C.N(6.7,0.36)D.U(6.7,6.8)

3.樣本和樣本觀測值的關(guān)系是()

A.兩者都是隨機(jī)變量，分布相同B.兩者都是隨機(jī)變量，但分布不同

C.樣本觀測值是樣本的一次實(shí)現(xiàn)D.樣本只能取樣本觀測值

4.設(shè)總體服從參數(shù)4的Poisson分布,從總體中抽取〃個樣本，樣本的聯(lián)合分

布為()

n

%心

A--"叱七=0』,...B./E(1-A)1=1

在中

;=1

C.—e,xi=0,1,...D.以上都不對

xi!

5.以下不是統(tǒng)計量是()

A.樣本均值B.樣本方差C.樣本極差D.樣本量

6.設(shè)總體X?N(0J),從總體中抽取〃個樣本，下列統(tǒng)計量中不服從療分布的

是()

A豈X；B.X；十X；C.(X]+X2)>+(乂3+乂力D.(X1+%2)

i=\2

7.設(shè)總體X服從自由度為3的/分布，從總體中抽取〃個樣本，下列統(tǒng)計量

服從自由度為9的卡方分布的是()

22

A.(X[+X2)+(X3+X4)B.X；+X；+X；

C.X]+X、+X3D.(X]+X、+X?)2

8.比較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和自由度為5的/分布的0.05分位數(shù)Z0o5和foos(5),可

以得到()

A.Zo,05<，0.05(5)B.Zoo5>ho5⑸C.Z)05=，o.O5⑸D.不能比較

9.假設(shè)獨(dú)立總體X和y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從兩個總體中分別抽取10個和

15個樣本，則下列說法中，正確的是（）

10

A.Z（X4工.）2服從自由度為10的/分布

/=1

B.fx；服從自由度為14的/分布

1510

C-ZX/2/Z^2服從自由度為15和10的〃分布

/=1；=1

1510

D.2Z甲/?ZX；）服從自由度為15和10的r分布

/=i；=1

10.根據(jù)抽樣分布重要定理，以下結(jié)論錯誤的是（）

A.X服從正態(tài)分布B.f（X,—X）2服從自由度為（n-1）的二分布

/=1

C.r=?，（〃一1）D.F=?0，巧-1）

二、多項(xiàng)選擇題（在5個備選答案中選擇2-5個正確答案）

1.設(shè)X,..,X〃表示從總體X中抽出的樣本，與表示樣本觀測值，總體

的均值〃和標(biāo)準(zhǔn)差。都是未知的，以下是統(tǒng)計量的有（）

A.X,B.XC.￡（Xj—“）2D.fx：+5E.x_

*=1i=l

2.設(shè)總體x是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X'…，X”表示從總體中抽出的樣本，以下統(tǒng)

計量中，服從自由度為1的/分布的有（）

2

9（＞X.））

2B（k+Xjc臺DrJX+X/f2

A?X1Jo?YJ?IJu*?/y\.?

'2n2白’

3.假設(shè)總體X是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，用X1….，X〃+：表示從總體中抽出的樣本，以

下統(tǒng)計量中，服從自由度為1的，分布的有（）

X,X1+X“X+X,+X?yiX)

得|夜xV3|X4|版氏/Jx：+x；

4.假設(shè)獨(dú)立總體X.Y是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，用X”…，X“，X….，工表示從總體

中抽出的兩個樣本，以下統(tǒng)計量中，服從尸分布的有（）

X：+片x；+y2(n-DXr

A.X；/『B.C.~D.E.

X：2X：*2fx；

i=2

5.正態(tài)總體的抽樣分布定理和統(tǒng)計量，以下說法正確的是（）

A.樣本均值的分布是正態(tài)分布

B.當(dāng)總體方差未知時，不能用正態(tài)分布對總體均值進(jìn)行推斷

C.當(dāng)兩個獨(dú)立總體方差己知時，應(yīng)該用/分布對均值的差異進(jìn)行推斷

D.當(dāng)兩個獨(dú)立總體方差未知且相等時，可以用，分布對均值差異進(jìn)行推斷

E.可以用/分布統(tǒng)計量對兩個獨(dú)立總體的方差是否相等進(jìn)行推斷

三、判斷分析題

1.樣本點(diǎn)是相互獨(dú)立的，并且和總體具有同一分布。

2.因?yàn)?具有可加性，所以/分布也具有可加性。

3.，分布隨機(jī)變量的平方服從產(chǎn)分布。

四、簡答題

1.什么叫抽樣分布？為什么要研究抽樣分布？

2./（勺,乙）和廠（他，勺）的百分位點(diǎn)有什么關(guān)系？

3.統(tǒng)計量的定義是什么？樣本點(diǎn)是不是統(tǒng)計量？

4.為什么說標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是抽樣分布理論的重?；A(chǔ)？

五、計算題

1.假設(shè)（X「…,X?）是來自總體的一個樣本，當(dāng)總體服從以下分布時，求

出樣本均值》的抽樣分布：（1）X?P（㈤（2）X-r（m）

2

2.查表計算下列分位數(shù)：(1)I。)。,為，/(5)0,05；(2)Z(10)(X975，/(⑼。.^,

(3)%75(12,10)

O

3,分別從方差為20和35的兩正態(tài)總體中抽取容量為8和9的兩個獨(dú)立樣

本，(％…(匕試計算P(S：＞2S；)。

4.設(shè)(X,..,X〃,X用…是來自正態(tài)總體N(0,/)的樣本，試求

下列統(tǒng)計量的分布

而力X,

忐X；

(1)i=l

Y=——產(chǎn)n+m°

心x；

V/=/?+1/=/?+!

第6章抽樣分布參考答案

一、單選題

1~5：DBCAD；6~10：CCADBo

二、多選題

1.ABCDE；2.ABD；3.ABC；4.ACD；5.ADE；6.ADE。

三、判斷分析題

1.正確，在統(tǒng)計推斷口，假設(shè)總體是無限總體，因而無論采用何種抽樣方式，

樣本都是相互獨(dú)立的，樣本與總體的同分布性是由樣本抽樣時的隨機(jī)原則決定

的。

2.錯誤，，分布不具有可加性，假設(shè)有兩個獨(dú)立的，統(tǒng)計量，自由度分別為，〃

vV

和小則根據(jù)/分布的構(gòu)造，。=———小=——ro即使假定x,y,*S2

S、7mS2/\Jn

cy_i_cv

相互獨(dú)立，t.+t2=-=——7^=,通分計算后分子不再服從卡方分布