北京市朝陽區(qū)2024屆高三年級上冊期中數(shù)學(xué)試題

北京市朝陽區(qū)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)

（考試時間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

1.已知全集U=Z,集合A二卜eZ|—},人{(lán)T0J2},則（-4）0=（）

A.{-1,2}B.{1}C.{0,1}D.{2}

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

1

A.5?=lgxB.y=x3C.y=x十一D.y=T+2T

X

3若sin。=石cos0，則tan20=()

A.mB.避

C.D.

3322

4.已知。=logs0.5,〃=5°S,C=0.5°6,則()

Aa<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

5.函數(shù)）-2sin2x+B的圖象的一條對稱軸是（）

<6）

cIt

A.x=--B.x=0lz?X——D.x=—

662

6.設(shè)xwR,則“x(l+x)>0”是“Ovxvl”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

AC

7.已知平面內(nèi)四個不同的點A8C,。滿足=則——=（）

BC

A.-B.-C.2D.3

32

8.已知一個圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為華.在該圓錐內(nèi)有一個正方體，其下底面的四個

頂點在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長為（）

2

A.-B.IC.2—5/2D.4-2V2

3

Ix4-l|-l,xe(-o7,0)1

1

9.已知函數(shù)/（幻=1\\g(x)=x2-4x-4,設(shè)人ER,若存在acR,使得

]n(x+l),xe[0,+00)

/（a）+gS）=0,則實數(shù)b的取值范圍是（）

A.[-1,5]B.(TO,-1]"5,+00)

C.[-1,+<?）D.（TO,5]

10.已知點集八=｛（工,），）|工￡7,y￡2｝,5=｛（。,〃）￡八|1<。45,14〃工5｝.設(shè)非空點集T=A,若對S

中任意一點P,在T中存在一點Q（。與「不重合），使得線段PQ上除了點P,Q外沒有A中的點，則丁

中的元素個數(shù)最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)/（X）=Sin7U+COS7Lt,則“X）的最小正周期是.

12.已知單位向量。，人滿足4?（4+%）=2,則向量。與向量〃的夾角的大小為.

13.設(shè)公差為d的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.（〃EN*）,能說明“若d<0,則數(shù)列｛S〃｝是遞減數(shù)列”

為假命題的一組％,"的值依次為.

14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表（即不同圓

心角的弦長表），這張表本質(zhì)上相當(dāng)F正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長的」-

60

作為單位來度量弦長.將圓心角《所對的弦長記為crda.如圖，在圓。中，60的圓心角所對的弦長恰

好等于圓。的半徑，因此60的圓心角所對的弦長為60個單位，即crd60=60.若。為圓心角,

cos9=；（0<<9<180）,則crW=

15.如圖，在棱長為1的正方體A8C￡>—ABC。中，點M為A。的中點，點N是側(cè)面上（包

括邊界）的動點，且4OJLMN,給出下列四個結(jié)論：

①動點N的軌跡是一段圓?。?/p>

②動點N的軌跡與沒有公共點；

③三棱錐N-B,BC的體積的最小值為上；

9

④平面BMN截該正方體所得截面的面積的最大值為一.

O

其中所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知｛〃”｝是遞增的等比數(shù)列，其前〃項和為S”（〃￡N'），滿足%=6,S3=26.

（1）求｛4｝的通項公式及S”；

（2）若S〃+%>2024,求〃最小值.

17.在中，b2+c2-a2=bc.

（1）求NA；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使..48。存在且唯一確定，求

/8C的面積.

條件①：cos;

14

條件②：4+8=12;

條件③：c=12.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組

解答計分.

18.如圖，三棱錐尸一ABC中，Q4_L平面ABC,PA=AC=3C=2,PB=2G.

(1)求證：8cl平面P4C；

(2)求二面角的大??；

(3)求點C到平面的距離.

19已知函數(shù)/(x)=e'-sinx-ox'seR).

(1)若。=0,求在區(qū)間,，外上的最小值和最大值；

⑵若求證：/(x)在工=0處取得極小值.

20.已知函數(shù)/(x)=mxInx-x2+\(meR).

(1)當(dāng)m=1時，求曲線>'=/(力在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若/(x)W0在區(qū)間Ex。)上恒成立，求小的取值范圍；

(3)試比較ln4與血的大小，并說明理由.

4%…4.3

21.已知A,“=y?'21鬼,”(〃[22)是〃/個正整數(shù)組成的加行加列的數(shù)表，當(dāng)

\<i<s<my\<jd(?.y.,ast)=aj}-asi|+\asj-as(.設(shè)〃eN*，若4滿足如下兩個

性質(zhì)：

①〃七｛1,2,3;…，小i=l,2,=,〃z）；

②對任意左￡{1,2,3,,存在i?L2,…，研，/e{l,2,,m},使得。,/=3則稱A”為「”數(shù)表.

（23、

⑴判斷4二231是否為「3數(shù)表，并求〃（4.1，/.2）+1（。2.2，。3.3）的值；

<312）

（2）若心數(shù)表4滿足d（%j4w）=Ki=l，2,3;/=l,2,3）,求&中各數(shù)之和的最小值；

⑶證明：對任意口數(shù)表A。，存在WYIO”j<Y10,使得"（%/丹）二0.

北京市朝陽區(qū)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)

（考試時間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

1.已知全集U=Z,集合A-{xeZ|-2s<2},"—{T（U2},則3①八八（）

A{-1,2}B.{1}C.{0,1}D.{2}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知A={-1,0,1},再由補集以及交集定義可得結(jié)果.

【詳解】由題可知A="eZ|-2vxv2}={T,O,l},

易知Q.A={X￡ZU￡4},所以@A）C3={2}.

故選:D

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=1gxB.y=x3C.y=x^■—D.y=2x+2~x

x

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可.

【詳解】對于A：因為y=lgx的定義域為（0,+8）,所以不是奇函數(shù)，所以A錯誤；

對于B：令f（x）=d,則〃_力=（_力3=_/=_/（%）,所以是奇函數(shù)，

又在（0,+8）上單調(diào)遞增，B正確：

對于c：y=x+，在（0,1）上遞減，在（l,y）上遞增，所以C錯誤；

X

對于D：因為“司=2'+2-",“一力=2-、2"=/（同,所以是偶函數(shù)，所以D錯誤,

故選：B

3.若sin。=布cos。，則tan2。=（）

A.一苴B.1C.一正D.在

3322

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)sin9=J5cose得到tan〃=逐，再利用二倍角公式得到答案.

0

（詳解】sin0=后cos0tan0=亞，tan20-，⑦1-?非=

l-tan2/9-42

故選：C

【點睛】本題考查了二倍角公式，意在考查學(xué)生的計算能力.

4.已知。=log5°-5/=5°$,C=0.5°6,則（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】利用指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.

0605

【詳解】由。=log50.5<log51=0<c=O.5,<0.5°=1=5°<Z?=51,即a<c<力.

故選：A

TT

5.函數(shù)），=2sin2x+-的圖象的一條對稱軸是（）

n八一兀Jr

A.X=--B.JI=（）C.X=—D.x=—

662

【答案】C

【解析】

【分析】將各項對應(yīng)自變量代入解析式求函數(shù)值，判斷y=±2是否成立即可.

【詳解】人=」時y=2sin—7+y1^12,不是對稱軸;

6<36J

x=0M.V=2sin(0+^U±2,

不是對稱軸;

工4時廣2si嗚+制=2,是對稱軸,

x=5時y=2sin(7t+fK±2,不是對稱軸；

故選：C

6.設(shè)XER,則“K(1+X)>0”是“0<%<1"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意解出不等式比較兩范圍大小即可得出結(jié)果.

【詳解】解不等式x（l+x）>0可得x>0或XV—1：

顯然｛x|Ovx<l｝是卜門〉0或x<—1｝的真子集，

所以可得“x（l+x）>0”是“0vxv1”的必要不充分條件.

故選：B

AC

7.已知平面內(nèi)四個不同的點A,氏C,。滿足區(qū)4=2。8-2。。，則一-=（）

BC

23

A.-B.-C.2D.3

32

【答案】D

【解析】

一一一?.W4

【分析】將條件B4=2OB—2QC變形，得到BC,4c的關(guān)系，進(jìn)而可得^一的值.

四

【詳解】<BA=2DB-2DC，

8C+C4=2（OC+C3）-2OC,

即380=4。，，3|8。卜卜。

AC

---=3.

BC

故選：D.

8.已知一個圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為與.在該圓錐內(nèi)有一個正方體，其下底面的四個

頂點在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長為（）

2LL

A.-B.IC.2-V2D.4-2V2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的窟與底面圓的半徑為2,作出組合體的軸截面，結(jié)合SOQsSOA,列出

方程，即可求解.

【詳解】因為圓錐的高與其底面圓的半徑相等，設(shè)圓錐的高為/?,底面圓的半徑為「，則/?=/?,

o11QJJ.

又因為圓錐的體積為?，可得一兀產(chǎn)力=—兀，:一，解得〃=2,則a=2,

3333

設(shè)圓錐的頂點為S,底面圓心為0,則高為SO=2,SO與正方體的上底面交點為。1,

在該圓錐內(nèi)有一個正方體，其下底面的四個頂點在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，取

其軸截面，如圖所示，

設(shè)正方體的校長為。，可得CO=血〃，

由ASQOSASOA,可得阻=92,即2—a與。,解得。=-T==4-2&,

SO0A=2+V2

所以該正方體的棱長為4-2&.

故選：D.

9已知函數(shù)小)二］二€［。“產(chǎn)』41，設(shè)程R，若存在使得

/(□)十g(〃)=0,則實數(shù)力的取值范圍是()

A.[-1,5]B.y,-i]35,+oo)

c.[-L-HX))D.(-00,5]

【］A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)/(X)的值域為[-1,+8),結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為-gS)N-1,列出不等式，即可

求解.

【詳解】由題意，作出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖所示，

所以，當(dāng)xe(-oo,0)時,/(%)>/(-1)=-1；

當(dāng)xe[0,+oo)時，/(x)>/(O)=O,可函數(shù)/(x)的值域為[-1,+<功，

設(shè)。ER,若存在aeR,在得/3)+gS)=。成立,即/(“)=一gS),

只需一gS)N-l，即對于滿足一〃2+4/?+4之一1成立，即〃之一4〃一5?()，

解得一1W〃工5,所以實數(shù)8的取值范圍為[-1,5].

10.已知點集八={(工,)，)|工￡2,》￡2},5={(4,/力￡八|14445,14。<5}.設(shè)非空點集丁qA,若對S

中任意一點尸，在7中存在一點。(。與P不重合)，使得線段A3上除了點P,Q外沒有A中的點，則T

中的元素個數(shù)最小值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解^5]

【分析】根據(jù)整點(。力),(c,d)的連線內(nèi)部沒有其它整點，當(dāng)且僅當(dāng)。一。與〃一2互為素數(shù)，討論了只有一

個點(X,y)得到矛盾，進(jìn)而有了中元素不止一個，取7={(2,6),(3,6)}分析是否滿足要求即可.

【詳解】對于整點(氏〃),(c,d)的連線內(nèi)部沒有其它整點，當(dāng)且僅當(dāng)a-c與d互為素數(shù)，

若7只有一個點“，)，)，取S的點(外〃)使。,x和〃,)，分別同奇偶，。一工力一丁有公因子2(或重合)，不

合題意，

故丁中元素不止一個,令T={(2,6),(3,6)},對于S的點才(。力),

當(dāng)〃=1或3時，取。(2,6)；當(dāng)。=2或4時，取。(3,6)：

由于2、。橫坐標(biāo)之差為±1,故八2內(nèi)部無整點;

當(dāng)。=5,〃￡{1,3,5}時，取。(3,6),此時橫坐標(biāo)之差為2,縱坐標(biāo)之差為奇數(shù)，二者互素；

當(dāng)。=5,〃e{2,4}時，取Q(2,6),此時橫坐標(biāo)之差為3,縱坐標(biāo)之差為-4,一2,二者互素；

綜上，丁中的元素個數(shù)最小值是2.

故選:B

【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)題設(shè)分析出整點的連線內(nèi)部沒有其它整點，當(dāng)且僅當(dāng)a-c與b-d

互為素數(shù)為關(guān)鍵.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)/(x)=sin兀Y+COS7LT,則〃女)的最小正周期是.

【答案】2

【解析】

【分析】化簡函數(shù)為f(x)=&sin(7LT+工)，結(jié)合最小正周期的計算公式，即可求解.

4

【詳解】由函數(shù)/(x)=sin兀T+COS兀T=&sing-+；),所以/(x)的最小正周期為丁二§^二2.

故答案為：2.

12.已知單位向量人滿足。?(a+%)=2,則向量力與向量b的夾角的大小為.

【答案】￡

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運算，結(jié)合單位向量模長為1,代值計算即可.

【詳解】因為。，匕均是單位向量，故可得問=1,愀=1,

故可得a?(4+2Z?)=|a|2+2同〃,

即224,解得co3?±―,

又因為向量夾角的范圍為[0,〃],

故〃泊的夾角為

故答案為：—?

3

【點睛】本題考杳向量數(shù)量積的運算，屬基礎(chǔ)題.

13.設(shè)公差為d等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.(〃eN),能說明“若4<0,則數(shù)列｛S.｝是遞減數(shù)列”

為假命題的一組45的值依次為.

【答案】4=2,d=T(答案不唯一)

【解析】

【分析】由等差數(shù)列前〃項和公式有S〃=g/+(4一多〃且〃<0,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)找到一個滿足｛s.｝

不是遞減數(shù)列的q,4即可.

【詳解】由——(J=—n2+(tz--)n,其對稱軸為〃二:一3,且4v0,

2222d

1Q

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì),只需3吟之『乎—1,即qN-d,此時｛，｝不是遞減數(shù)列,

如〃I=2,d=—1,則Sn=—(n—)24---?顯然S]<S?.

228

故答案為：4=2,d=-\(答案不唯一)

14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表(即不同圓

心角的弦長表)，這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長的工

60

作為單位來度量弦長.將圓心角”所對的弦長記為crda.如圖，在圓。中，60的圓心角所對的弦長恰

好等于圓。的半徑，因此60的圓心角所對的弦長為60個單位，BPcrd60=60.若。為圓心角,

cos<9=；(()<6><18()),則crd6=

【答案】30公

【解析】

【分析】根據(jù)度量弦長的定義，利用余弦定理求出<：0$。=!時圓心角。所對應(yīng)的弦長/二直小結(jié)合60

42

的圓心角所對的弦長為60個單位即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的半徑為乙cos<9="!■時圓心角。所對應(yīng)的弦長為,,

4

利用余弦定理可知『二產(chǎn)+/-2,cos。=3/，即可得/=理廣

22

X60的圓心角所對的弦長恰好等于圓。的半徑，60的圓心角所對的弦長為6()個單位，

即與半徑等長的弦所對的圓弧長為60個單位，

所以/=X^x6()=30面.

2

故答案為：30x/6

15.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AgGA中，點加為人。的中點，點N是側(cè)面QCG"上(包

括邊界)的動點，且與。_LMN,給出下列四個結(jié)論：

①動點N的軌跡是一段圓?。?/p>

②動點N的軌跡與CD,沒有公共點；

③三棱錐N—B、BC的體積的最小值為1-；

9

④平面叢wv截該正方體所得截面的面積的最大值為§.

其中所有正確結(jié)論的序號是

【答案】②③④

【解析】

【分析】作出與巴。垂直的平面MP。，即可得動點N的軌跡是兩平面的交線在側(cè)面內(nèi)的線段PQ,可知

①錯誤；顯然即②正確；當(dāng)N點與尸點重合時到平面與的距離最小時，此時最小值為

19

—,所以③正確；易知當(dāng)N點與。點重合時，截面為等腰梯形8MQG，此時面積最大為京.

【詳解】取C。,的中點分別為尸,。，連接尸。,8。，如下圖所示：

由正方體性質(zhì)可知8片J.MP,又因為AC/BD,MP//AC,所以MP上BD,

又BB】cBD=B,平面BBQ,所以M尸_L平面BBQ；

又BQu平面BBQ,所以MP_L81Q；

同理可得MQ上BQ,QPJ.BQ,

因此4Q_L平面MPQ,

若及D工MN,所以Ne平面MPQ,乂點N是側(cè)面QCGR上（包括邊界）的動點；

所以動點N的軌跡是兩平面的交線在側(cè)面內(nèi)的線段，即PQ,可知①錯誤；

由干尸，。是C。,的中點，所以PQ//CQ,即動點N的軌跡與沒有公共點；所以②正確;

易知三棱錐N-B、BC的底面的面積為定值，即S8Bc=』xlxl='，

11?D]OL22

當(dāng)N點到平面與8C的距離最小時，即與p點重合時，距離最小為：，

此時體積值最小為V=LX'XL=_L,所以③正確；

32212

顯然當(dāng)N點與Q點重合時，截面面積最大，此時截面即為四邊形BMQG，如下圖所示:

易知MQ//BC1,且BM=QC、=與，MQ=與,BC[=6；

即四邊形BMQ3等腰梯形，易知其高為h=

%5g

所以其面積為7+>/2x=；即④正確.

2~8

故答案為：②③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文宇說明，演算步驟或證明過程.

16.已知｛4｝是遞增的等比數(shù)列，其前〃項和為滿足%=6,S3=26.

（1）求｛4｝的通項公式及S”；

（2）若S”+為>2024,求〃的最小值.

【答案】（1）%=2X3“T；S.=3"-1.

（2）7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式以及求和的定義，建立方程，求得公比，可得答案;

（2）根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【小問1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為4,由數(shù)列｛凡｝是遞增數(shù)列，則4>1,

由〃，=6,貝114="二一,/=a、q=6q,由S3=q+o?+%=—+6+6q=26,

qq~-q

整理可得對一10q+3=0,則（3夕—1）①-3）=0,解得。=3,

易知。“=。應(yīng)”"=6x3'L2=2x3i,5=4（i"）=2x（1―3"）=3〃_]

〃\-q1-3

【小問2詳解】

由（1）可得：S”+4“=3"-1+2x3"“=5x31-1>2024,

整理可得5x3'i>2025，3〃T>405，36-1=243（405,37-'=729）405,

故〃的最小值為7.

17.在以BC中，b2+c2-a2=bc.

（1）求NA；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為己知，使/8C存在且唯一確定，求

/8C的面積.

條件①：cos;

14

條件②：a+b=\2；

條件③：c=12.

注：如果選擇的條件不符合耍求，笫（2）問得0分：如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按笫組

解答計分.

【答案】⑴4

（2）答案見解析

【解析】

【分析1（1）根據(jù)題意，利用余弦定理求得cosA=!，即可求解；

2

（2）根據(jù)題意，若選擇①②，求得sin4,由正弦定理求得。=72=5,再由余弦定理求得c=8,結(jié)合

面積公式，即可求解：

若①③：先求得sinB=士叵，由sinC=sin（A+8）=地，利用正弦定理求得。=?,結(jié)合面積公式，

14142

即可求解；

若選擇②③，利用余弦定理，列出方程求得〃=0,不符合題意.

【小問1詳解】

解：因為〃2+。2-4=A，由余弦定理得COSA=，十二一”,

2bc2

又因為A￡（0,7l）,所以4=1.

【小問2詳解】

7T

解：由（I）知A=§,

若選①②：cosB=—,a+b=\2?

14

由cosB=一，可得sinB=\J\-cos2B=——?

1414

a12-a

由正弦定理'一=——，可得耳=56，解得。=7,則人=12—。=5,

sinAsinB——-----

214

又由余弦定理"=//+/一2/?c、cosA，可得49=25+/-5。，

即才一5。-24=0，解得c=8或c=—3（舍去）,

所以^ABC的面積為S=—Z?csinA=—x5x8x^-=105/3.

222

若選①③：=U且c=12,

14

由cosB=—,可得sinB=Jl-cos?8=，

1414

因為A+4+C=TT,可得sinC=sin（A+=—x—+—x,

'f2142147

67_12

由正弦定理一一=1J,可得耳一工序，解得。=圖，

sinAsine-----2

27

所以以3c的面積為S=—acsinb=—x—x\2x.

222142

若選：②③：。+〃=12且c=12,

因為可得/+122-（12-4=12〃，整理得248=1%,

解得人=0,不符合題意，（舍去）.

18.如圖，在三楂錐P—A8C中，Q4_L平面ABC,PA=AC=BC=2,PB=2百.

（1）求證：8c4平面PAC；

（2）求二面角A-P8-C的大??；

（3）求點C到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析；

（2）60°：

（3）萬

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)判斷異面直線垂直，再由勾股定理證明線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定證

明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求法向量，求出二面角；

（3）應(yīng)用等體積法求點到面的距離即可.

【小問1詳解】

因為尸AJ?平面A6C,6Cu平面A6C,8Au平面A6C,

所以PA_L4CQ4_Lm,又PA=2,PB=2C,所以43=歷二麗=2&，

又因為AC=8C=2,AC2+BC2=AB2?所以3CJ.AC,

因為ACu平面B4C,Q4u平面B4C，且ACuE4=A,

所以5c工平面PAC：

【小問2詳解】

過C作CM〃/為，則CM_L平面A3C,又由（1）知8c±AC,

所以以C4,CRCM為x,），,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，

則A(2,0,0),P(2,0,2),?(0,2,0),C(0,0,0),

設(shè)平面APB的法向量為機(jī)二(%,%,zj,又”=(0,0,2),4B=(-2,2,0),

m-AP=02z.=0u

所以〈=<'9八令玉=1，則y=1，則〃々(1,1,0,

/〃?AB-0一2%+2乂=0'/

設(shè)平面PBC的法向量為M=(x2,y2,z2),又CP=(2,0,2),C8=(0,2,0),

+2Z

n-CP=02X22=0

所以=,令/=1，則馬=T則”=(1,0,7),

n-CB=02y2=0

令二面角A-PB-c的平面角為e,則"H*卜品號r；，

由圖知此二面角銳二面角,

所以。=60。，故二面角A—P8—C為60。；

【小問3詳解】

設(shè)點C到平面AA3的距離為/?,

114

=/x4Cx8C=2,所以％ABC=3XPAXSAA8c="

又S^PBC=—xPAxAB=2x/2,所以VC_PAB=-xhxS^PBC=jh=VP_ABC,

解得力=加，所以點。到平面尸AB的距離為正.

19.已知函數(shù)f(x)=e'-sinA--or2(67GR).

(1)若a=0,求/(x)在區(qū)間。皮上的最小值和最大值；

⑵若求證：“X)在工=0處取得極小值.

【答案】⑴最小值為/(0)=1,最大值為嗎)二一一1；

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)=e'-sin.K在0,^上的單調(diào)性，即可求最值：

⑵由題設(shè)/'(X)=e￥-cosx-2ax,易得/”(0)=0,構(gòu)造g(x)=er-cosx-2^利用導(dǎo)數(shù)可得g'(0)>0,

得到f(x)在x=0處有遞增趨勢，即可證結(jié)論.

【小問1詳解】

由題設(shè)f(x)=e'-sinx,則/'(》)=e'-cosx，

在0卷±/\x)=cv-cosx>0,即/(%)遞增，

nx

所以最小值為/(O)=e°-sinO=l,最大值為/(工)=e?-sin—=e?-1.

22

【小問2詳解】

由題意f\x)=er-cosx-2cix,則/'(O)=e°-cos0-0=0,

令g(x)=e*-cosx-2ov,貝ijg'(x)=ex+sinx—2。，且。<g.

所以((0)=e°+sin0-2。=1-2。>0,即/(x)在x=0處有遞增趨勢，

綜上，若At>0且Ax無限趨向于0,

xG(-Ax-,0)±f\x)<0,/(x)遞減，

在工￡(0,Ax)上/'(x)>0,/⑴遞增，

所以/(x)在工=0處取得極小值.

20.已知函數(shù)/(x)=-/+1(機(jī)eR).

(1)當(dāng)〃2=1時，求曲線丁=/。)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)若/。)《0在區(qū)間工48)上恒成立，求，〃的取值范圍；

(3)試比較E4與夜的大小，并說明理由.

【答案】(1)x+y-l=0

(2)(-oo,2]

(3)ln4<V2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)將/(工)40在區(qū)間[1,+8)上恒成立，轉(zhuǎn)化為〃W0,令g(x)=mlnx-x+L問題轉(zhuǎn)

XX

化為g("a《°，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)皿即可得解；

(3)由(2)知，m=2時，/(<)40在區(qū)間口,位)上恒成立，取戶上，可得解.

【小問1詳解】

當(dāng)m=1時，〃x)=xlnx-x2+1,

「?f'(x)=Inx+l-2x,

所以曲線在點(ij(i))處切線的斜率〃=r(i)=-i,又/⑴=o,

所以曲線/(x)在點處切線的方程為y=-(x-l)即x+)」l=0.

【小問2詳解】

/(尤)公。在區(qū)間[1,十g)上恒成立，即以Inx-f+i&O，對Vxe[l,+8),

即〃Hnx-x十X*jVXG[1,+CO),

JC

令g(x)=〃?lnx-x+L只需g(x)aK0,

X

xm,1-x2+nix「i,\

g[x)=--1--=------s——,x?l，+8),

XXX

當(dāng),〃W0時，有祖x40,則g'(K)<0，

g(X)在[h+oo)上單調(diào)遞減，

二.g(x)<g(l)=0符合題意，

當(dāng)機(jī)>0時，令6(力=-2+如-1,

其對應(yīng)方程—x?+inx—\=0的判別式△=m2—4，

若AW0即0<相<2時，有力(￡)40,即g'(x)W0,

￡(x)在口,+°。)上單調(diào)遞減，

.?.g(x)Wg(l)=0符合題意,

若A>0即〃?>2時，〃(x)=-f+如一],對稱軸x=￡>i,又〃⑴=〃.2>0,

方程—9+ix—1=0的大于1的根為4=—......———,

fJ°2

.".XG(1,^),/?(x)>0,即g[x)>0,

X€(AJj,+oO),/?(X)<O,即g'(K)<0,

所以函數(shù)g(x)在(1,*上單調(diào)遞增，.??g(%)