2024年高中數(shù)學(xué)第7章計(jì)數(shù)原理7.2排列講義含解析湘教版選修2-3

PAGEPAGE177．2排列第一課時(shí)排列與排列數(shù)公式及簡(jiǎn)潔應(yīng)用[讀教材·填要點(diǎn)]1．排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)不同的元素，根據(jù)肯定的依次排成一列，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示排列的個(gè)數(shù)時(shí)，有Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．2．排列數(shù)的相關(guān)公式①n?。?×2×3×…×n,0?。?.②Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！).[小問(wèn)題·大思維]1．北京—上海，上?！本┑能嚻笔峭粋€(gè)排列嗎？提示：由于北京—上海、上?！本┑能嚻倍寂c依次有關(guān)，所以不是同一個(gè)排列．2．如何推斷一個(gè)詳細(xì)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題？提示：推斷一個(gè)詳細(xì)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題，就是看從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素時(shí)是有序還是無(wú)序，有序就是排列，無(wú)序就不是排列．3．你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個(gè)概念嗎？它們有什么區(qū)分？提示：“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，根據(jù)肯定的依次排成一列”，它不是一個(gè)數(shù)，而是詳細(xì)的一件事．“排列數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部不同排列的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．排列的概念[例1]推斷下列問(wèn)題是否是排列問(wèn)題：(1)某班共有50名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正、副班長(zhǎng)各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？(2)從2,3,5,7,9中任取兩數(shù)分別作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，有多少不同對(duì)數(shù)值？(3)從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？(4)從集合M＝{1,2，…，9}中，任取相異的兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1?[解](1)是．選出的2人，擔(dān)當(dāng)正、副班長(zhǎng)隨意，與依次有關(guān)，所以該問(wèn)題是排列問(wèn)題．(2)是．明顯對(duì)數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值的不同有關(guān)系，與依次有關(guān)．(3)是．任取兩個(gè)數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，橫、縱坐標(biāo)的依次不同，即為不同的坐標(biāo)，與依次有關(guān)．(4)不是．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，方程中的a、b必有a>b，a、b的大小肯定．排列的特點(diǎn)是“先取后排”，即先從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素，再按肯定依次把這m個(gè)元素排成一列．因此，推斷一個(gè)問(wèn)題是否為排列問(wèn)題，只需考察與依次是否有關(guān)，有關(guān)則是排列問(wèn)題，無(wú)關(guān)則不是排列問(wèn)題．1．推斷下列問(wèn)題是不是排列問(wèn)題，并說(shuō)明理由．(1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，有多少種不同的結(jié)果？(2)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，有多少種不同的結(jié)果？(3)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位支配3位客人入座，又有多少種方法？解：(1)不是排列問(wèn)題；(2)是排列問(wèn)題．理由：由于加法運(yùn)算滿意交換律，所以選出的兩個(gè)元素做加法時(shí)，與兩元素的位置無(wú)關(guān)，但做除法時(shí)，兩元素誰(shuí)做除數(shù)，誰(shuí)做被除數(shù)不一樣，此時(shí)與位置有關(guān)，故做加法不是排列問(wèn)題，做除法是排列問(wèn)題．(3)第一問(wèn)不是，其次問(wèn)是．理由：由于加法運(yùn)算滿意交換律，所以選出的兩個(gè)元素做加法求結(jié)果時(shí)，與兩個(gè)元素的位置無(wú)關(guān)，但列除法算式時(shí)，兩個(gè)元素誰(shuí)作除數(shù)，誰(shuí)作被除數(shù)不一樣，此時(shí)與位置有關(guān)．選出3個(gè)座位與依次無(wú)關(guān)，“入座”問(wèn)題同“排隊(duì)”，與依次有關(guān)，故選3個(gè)座位支配3位客人入座是排列問(wèn)題．用列舉法求簡(jiǎn)潔的排列問(wèn)題[例2](1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？(2)寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的全部排列．[解](1)由題意作“樹(shù)形圖”，如下．故組成的全部?jī)晌粩?shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12個(gè)．(2)由題意作“樹(shù)形圖”，如下．故全部的排列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.“樹(shù)形圖”是解決簡(jiǎn)潔排列問(wèn)題的有效方法，特殊是元素較少時(shí)．在詳細(xì)操作中，先將元素按肯定依次排出，然后以支配哪個(gè)元素在首位為分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，在每類中再在前面元素不變的狀況下定其次位元素，依次始終進(jìn)行到完成一個(gè)排列．2．寫出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的全部可能站法．解：如圖所示的樹(shù)形圖：故全部可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12種．與排列數(shù)公式有關(guān)的計(jì)算或證明問(wèn)題[例3](1)計(jì)算eq\f(2A\o\al(5,8)＋7A\o\al(4,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))；(2)求證：Aeq\o\al(m,n－1)＋mAeq\o\al(m－1,n－1)＝Aeq\o\al(m,n).[解](1)eq\f(2A\o\al(5,8)＋7A\o\al(4,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×8＋7,8×7×6×5×24－9)＝1.(2)證明：Aeq\o\al(m,n－1)＋mAeq\o\al(m－1,n－1)＝eq\f(n－1！,n－1－m！)＋meq\f(n－1！,n－m！)＝eq\f(n－1！[n－m＋m],n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)＝Aeq\o\al(m,n).若Aeq\o\al(q,p)＝(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55)，求q的值．解：∵55－n,56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15個(gè)，∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n)，∴p＝69－n，q＝15.對(duì)排列數(shù)公式的理解應(yīng)留意以下兩點(diǎn)：(1)排列數(shù)公式中連乘積的特點(diǎn)是：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最終一個(gè)因數(shù)是n－m＋1，共有m個(gè)因數(shù)相乘．(2)一般來(lái)說(shuō)，在干脆進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算時(shí)，選用連乘積形式較好；當(dāng)對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形、解方程或論證時(shí)，采納階乘形式較好．3．(1)用Aeq\o\al(m,n)的形式表示eq\f(x＋1！,x－2！)(x≥2，x∈N＋)；(2)解關(guān)于x的方程Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x).(3)解不等式：Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).解：(1)eq\f(x＋1！,x－2！)＝eq\f(x－2！x－1xx＋1,x－2！)＝(x－1)x(x＋1)＝Aeq\o\al(3,x＋1).(2)由Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，由題意知x≥3，所以可變形為(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，整理得4x2－35x＋69＝0，解之得x1＝3，x2＝eq\f(23,4)(舍去)，所以x＝3.(3)由排列數(shù)公式，得eq\f(8！,8－x！)<6·eq\f(8！,10－x！)，化簡(jiǎn)得1<eq\f(6,10－x9－x)，即x2－19x＋84<0，所以7<x<12.又因?yàn)閤∈N＋，0<x≤8,0<x－2≤8，所以2<x≤8且x∈N＋，所以x＝8.解題高手妙解題若M＝Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋…＋Aeq\o\al(2018,2018)，則M的個(gè)位數(shù)字是()A．3 B．8C．0 D．5[嘗試][巧思]因?yàn)锳eq\o\al(n,n)＝1×2×3×…×n，所以Aeq\o\al(5,5)＝1×2×3×4×5＝120，故當(dāng)n≥5時(shí)，Aeq\o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×…×n＝120×…×n，其個(gè)位數(shù)字都是0.[妙解]∵當(dāng)n≥5時(shí)，Aeq\o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴當(dāng)n≥5時(shí)Aeq\o\al(n,n)的個(gè)位數(shù)字為0.又∵Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的個(gè)位數(shù)字為3.[答案]A1．下列問(wèn)題屬于排列問(wèn)題的是()①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹(shù)和掃地；②從10個(gè)人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算．A．①④ B．①②C．④ D．①③④解析：選A由排列的定義可知，①④為排列問(wèn)題．2.eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝()A．12 B．24C．30 D．36解析：選DAeq\o\al(6,7)＝7×6×Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6×Aeq\o\al(4,5)，所以原式＝eq\f(36A\o\al(4,5),A\o\al(4,5))＝36.3．19×18×17×…×10×9等于()A．Aeq\o\al(11,19) B．Aeq\o\al(10,19)C．Aeq\o\al(9,19) D．Aeq\o\al(19,19)解析：選A最大數(shù)為19，共有19－9＋1＝11個(gè)數(shù)∴n＝19，m＝11，∴19×18×17×…×9＝Aeq\o\al(11,19).4．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，則n＝________.解析：Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，因?yàn)閚∈N*，所以n＝12.答案：125．從a，b，c，d，e五個(gè)元素中每次取出三個(gè)元素，可組成________個(gè)以b為首的不同的排列．解析：畫出樹(shù)形圖如下：可知共12個(gè)．答案：126．學(xué)校實(shí)行運(yùn)動(dòng)會(huì)，從10名隊(duì)員中選2人參與4×100米接力競(jìng)賽的第一棒和第四棒，有多少種不同選法？解：從10名隊(duì)員中選2人參與接力賽對(duì)應(yīng)于從10個(gè)元素任取2個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同選法有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90種．一、選擇題1．下列等式中不正確的是()A．n！＝eq\f(n＋1！,n＋1) B．Aeq\o\al(m,n)＝Aeq\o\al(m－1,n－1)C．Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！) D．Aeq\o\al(m－1,n－1)＝eq\f(n－1！,n－m！)解析：選BAeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Aeq\o\al(m－1,n－1)＝(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m＋1)，∴Aeq\o\al(m,n)≠Aeq\o\al(m－1,n－1).2．乘積m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示為()A．Aeq\o\al(20,m) B．Aeq\o\al(20,m＋20)C．Aeq\o\al(20,m＋20) D．Aeq\o\al(21,m＋20)解析：選D可知最大數(shù)是m＋20，綻開(kāi)式中是21個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積，因而可表示為Aeq\o\al(21,m＋20).3．已知從n個(gè)不同的元素中取出4個(gè)元素的排列數(shù)恰好等于3n·2n－2，則n的可能值為()A．2 B．3C．5 D．6解析：選C由于n≥4.首先解除A、B.若n＝5，則Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2＝120，而3n·2n－2＝3×5×23＝120，∴C成立．同理驗(yàn)證，D不成立．4．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24解析：選D剩余的3個(gè)座位共有4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.二、填空題5．某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言．(用數(shù)字作答)解析：由題意知兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560條畢業(yè)留言．答案：15606．計(jì)算eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))的值為_(kāi)_______．解析：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq\f(5A\o\al(4,9)＋A\o\al(4,9),5A\o\al(5,10)－A\o\al(5,10))＝eq\f(6A\o\al(4,9),4A\o\al(5,10))＝eq\f(6A\o\al(4,9),40A\o\al(4,9))＝eq\f(3,20).答案：eq\f(3,20)7．要從a，b，c，d，e5個(gè)人中選出1名組長(zhǎng)和1名副組長(zhǎng)，但a不能當(dāng)副組長(zhǎng)，則不同的選法種數(shù)是________．解析：不考慮限制條件有Aeq\o\al(2,5)種選法，若a當(dāng)副組長(zhǎng)，有Aeq\o\al(1,4)種選法，故a不當(dāng)副組長(zhǎng)，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16種不同的選法．答案：168．若2Aeq\o\al(3,n)＝3Aeq\o\al(2,n＋1)－8Aeq\o\al(1,n)，則n的值為_(kāi)_________．解析：原等式化為：2·n(n－1)(n－2)＝3(n＋1)n－8n，∴2n2－9n＋9＝0，解得n＝eq\f(3,2)(舍)或n＝3.∴原方程的解為n＝3.答案：3三、解答題9．下列問(wèn)題是排列問(wèn)題嗎？并說(shuō)明理由．(1)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出的3個(gè)座位支配3位客人，又有多少種方法？(2)從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)相加，其結(jié)果有多少種不同的可能？從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)相減，其結(jié)果有多少種不同的可能？解：(1)第一問(wèn)不是排列問(wèn)題，其次問(wèn)是排列問(wèn)題．“入座”問(wèn)題同“排隊(duì)”問(wèn)題與依次有關(guān)，故選3個(gè)座位支配三位客人是排列問(wèn)題．(2)第1問(wèn)不是排列問(wèn)題，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)交換位置、結(jié)果不變，即位置與依次無(wú)關(guān)；第2問(wèn)是排列問(wèn)題，因?yàn)楸粶p數(shù)與減數(shù)交換位置后，結(jié)果會(huì)發(fā)生改變，即位置與依次有關(guān)．10．(1)解關(guān)于x的方程：eq\f(A\o\al(7,x)－A\o\al(5,x),A\o\al(5,x))＝89；(2)解不等式：Aeq\o\al(x,9)>6Aeq\o\al(x－2,9).解：(1)法一：∵Aeq\o\al(7,x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·Aeq\o\al(5,x)，∴eq\f(x－5x－6A\o\al(5,x)－A\o\al(5,x),A\o\al(5,x))＝89.∵Aeq\o\al(5,x)>0，∴(x－5)(x－6)＝90.故x＝－4(舍去)，x＝15.法二：由eq\f(A\o\al(7,x)－A\o\al(5,x),A\o\al(5,x))＝89，得Aeq\o\al(7,x)＝90·Aeq\o\al(5,x)，即eq\f(x！,x－7！)＝90·eq\f(x！,x－5！).∵x！≠0，∴eq\f(1,x－7！)＝eq\f(90,x－5x－6·x－7！)，∴(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15.(2)原不等式即eq\f(9！,9－x！)>eq\f(6·9！,9－x＋2！)，由排列數(shù)定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤9，,0≤x－2≤9，))∴2≤x≤9，x∈N＋.化簡(jiǎn)得(11－x)(10－x)>6，∴x2－21x＋104>0，即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13.又2≤x≤9，x∈N＋，∴2≤x<8，x∈N＋.故x＝2,3,4,5,6,7.其次課時(shí)排列數(shù)的綜合應(yīng)用特殊元素(或位置)的排列問(wèn)題[例1]3名男生，4名女生，根據(jù)不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．(1)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(2)全體站成一排，其中甲、乙必需在兩端；(3)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全體站成兩排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因個(gè)子高要排在后排．[解](1)(特殊元素優(yōu)先法)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種方案，再考慮其余六人全排列，故N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)．(2)(特殊元素優(yōu)先法)先支配甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方案，再支配其余5人全排列，故N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(種)．(3)法一：(特殊元素優(yōu)先法)：按甲是否在最右端分兩類：第一類甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)(種)，其次類甲不在最右端時(shí)，甲有Aeq\o\al(1,5)個(gè)位置可選，而乙也有Aeq\o\al(1,5)個(gè)位置，而其余全排列Aeq\o\al(5,5)，有N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)，故N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．法二：(間接法)：無(wú)限制條件的排列數(shù)共有Aeq\o\al(7,7)，而甲在左端或乙在右端的排法都有Aeq\o\al(6,6)，且甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．法三：(特殊位置優(yōu)先法)：按最左端優(yōu)先支配分步．對(duì)于左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)種排法，余下六個(gè)位置全排有Aeq\o\al(6,6)，但減去乙在最右端的排法Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種，故N＝Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．(4)將兩排連成一排后原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為女生甲、乙要排在前3個(gè)位置，男生丙、丁要排在后4個(gè)位置，因此先排女生甲、乙有Aeq\o\al(2,3)種方法，再排男生丙、丁有Aeq\o\al(2,4)種方法，最終把剩余的3名同學(xué)排好有Aeq\o\al(3,3)種方法．故N＝Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝432(種)．排列問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是“元素”占“位置”的問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不能排在某個(gè)位置上或某個(gè)位置不排某些元素，解決該類問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿意特殊位置．總的來(lái)說(shuō)，解決這類問(wèn)題有干脆法和間接法兩種，詳細(xì)分析時(shí)可以按位置來(lái)分析，也可以先考慮特殊元素，各種方法可以相互驗(yàn)證．1．用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無(wú)重復(fù)的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)；(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)．解：(1)第一步，排個(gè)位，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其次步，排十萬(wàn)位，有Aeq\o\al(1,4)種排法；第三步，排其他位，有Aeq\o\al(4,4)種排法．故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288個(gè)六位奇數(shù)．(2)法一：(干脆法)十萬(wàn)位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類．第一類，當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有Aeq\o\al(5,5)個(gè)；其次類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)個(gè)．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(個(gè))．法二：(解除法)0在十萬(wàn)位和5在個(gè)位的排列都不對(duì)應(yīng)符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬(wàn)位和5在個(gè)位的狀況．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(個(gè))．(3)分三種狀況，詳細(xì)如下：①當(dāng)千位上排1,3時(shí)，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)個(gè)．②當(dāng)千位上排2時(shí)，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)個(gè)．③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40××，42××的各有Aeq\o\al(1,3)個(gè)；形如41××的有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)個(gè)；形如43××的只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110(個(gè))．捆綁法處理相鄰問(wèn)題[例2]3名男生，4名女生，根據(jù)不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．(1)全體站成一排，男、女各站在一起；(2)全體站成一排，男生必需排在一起；(3)全體站成一排，甲、乙中間必需有2人．[解](1)男生必需站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)排法．(2)把全部男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列，故N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(種)．(3)任取2人與甲、乙組成一個(gè)整體，與余下3個(gè)元素全排列，故N＝(Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝960(種)．保持例題條件不變，若全體站成一排，則男生甲與男生乙之間至少有3人的方法有多少種？解：甲、乙兩人中間無(wú)人的排法種數(shù)N1＝Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,2)＝1440(種)，甲、乙兩人中間有1人的排法種數(shù)N2＝(Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(5,5)＝1200(種)，甲、乙兩人中間有2人的排法種數(shù)N3＝(Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝960(種)．故甲、乙兩人中間至少有3人的排法種數(shù)N＝Aeq\o\al(7,7)－N1－N2－N3＝1440(種)．對(duì)于某些元素“相鄰”的排列問(wèn)題，一般采納“捆綁法”，即先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．2．張、王兩家夫婦各帶1個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園．為平安起見(jiàn)，首尾肯定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩肯定要排在一起，求這6人入園依次排法的種數(shù)．解：因?yàn)閮蓚€(gè)小孩要排在一起，所以可把兩個(gè)小孩視為一個(gè)元素與兩位媽媽一起排列，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12種排法．又因?yàn)閮晌话职直匦枧帕袃啥耍蠥eq\o\al(2,2)＝2種排法．故這6人入園依次的排法有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝6×2×2＝24種．插空法處理不相鄰問(wèn)題[例3]排一張有5個(gè)歌頌節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單．(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2)歌頌節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？[解](1)先排歌頌節(jié)目有Aeq\o\al(5,5)種，歌頌節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有Aeq\o\al(4,6)種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200種方法．(2)先排舞蹈節(jié)目有Aeq\o\al(4,4)種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌頌節(jié)目放入．所以歌頌節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(5,5)＝2880種方法．(1)某些元素要求不相鄰時(shí)，可以先支配其他元素，再將這些不相鄰元素插入空當(dāng)，這種方法稱為“插空法”，即“不相鄰元素插空法”．(2)應(yīng)用插空法要留意以下幾個(gè)方面：①確定好哪些是要插入的元素；②數(shù)清可插入的位置；③搞清插入時(shí)是否有依次．3．某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目，求分別滿意下列條件的節(jié)目編排方法有多少種？(1)一個(gè)唱歌節(jié)目開(kāi)頭，另一個(gè)放在最終壓臺(tái)；(2)2個(gè)唱歌節(jié)目互不相鄰；(3)2個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰．解：(1)先排唱歌節(jié)目有Aeq\o\al(2,2)種排法，再排其他節(jié)目有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(種)排法．(2)先排3個(gè)舞蹈節(jié)目，3個(gè)曲藝節(jié)目有Aeq\o\al(6,6)種排法，再?gòu)钠渲?個(gè)空(包括兩端)中選2個(gè)排唱歌節(jié)目，有Aeq\o\al(2,7)種插入方法，所以共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,7)＝30240(種)排法．(3)把2個(gè)相鄰的唱歌節(jié)目看作一個(gè)元素，與3個(gè)曲藝節(jié)目排列共Aeq\o\al(4,4)種排法，再將3個(gè)舞蹈節(jié)目插入，共有Aeq\o\al(3,5)種插入方法，最終將2個(gè)唱歌節(jié)目互換位置，有Aeq\o\al(2,2)種排法，故所求排法共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(2,2)＝2880(種)排法.解題高手多解題用0到9這十個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？[解]法一：當(dāng)個(gè)位上排0時(shí)，千位、百位、十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來(lái)排列，故有Aeq\o\al(3,9)個(gè)；當(dāng)個(gè)位上在“2,4,6,8”中任選一個(gè)來(lái)排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中隨意選一個(gè)，百位、十位上再?gòu)挠嘞碌陌藗€(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來(lái)排，按分步乘法計(jì)數(shù)原理有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(2,8)個(gè)．∴沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(2,8)＝504＋1792＝2296(個(gè))．法二：當(dāng)個(gè)位數(shù)字排0時(shí)，同解法一有Aeq\o\al(3,9)個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2、4、6、8之一時(shí)，千位、百位、十位上可從余下9個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)的排列中減去千位數(shù)是“0”的排列數(shù)，得Aeq\o\al(1,4)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))個(gè)．∴沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))＝504＋1792＝2296(個(gè))．法三：千位數(shù)從1,3,5,7,9中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個(gè)，百位、十位上從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,8)個(gè)；千位數(shù)從2、4、6、8中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)從余下的四個(gè)偶數(shù)中任選一個(gè)(包括0在內(nèi))，百位、十位從余下的八個(gè)數(shù)字中隨意選兩個(gè)作排列，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,8)個(gè)．∴沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,8)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,8)＝41Aeq\o\al(2,8)＝2296(個(gè))．法四：將沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù)．沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有(Aeq\o\al(4,10)－Aeq\o\al(3,9))個(gè)，其中四位奇數(shù)有Aeq\o\al(1,5)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))個(gè)．∴沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有Aeq\o\al(4,10)－Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(1,5)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))＝10×Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(3,9)－5Aeq\o\al(3,9)＋5Aeq\o\al(2,8)＝4Aeq\o\al(3,9)＋5Aeq\o\al(2,8)＝36Aeq\o\al(2,8)＋5Aeq\o\al(2,8)＝41Aeq\o\al(2,8)＝2296(個(gè))．1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，假如A，B必需相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法有()A．60種 B．48種C．36種D．24種解析：選D把A，B視為一人，且B排在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，故有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．2．在數(shù)字1、2、3與符號(hào)＋、－五個(gè)元素的全部全排列中，隨意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是()A．6 B．12C．18 D．24解析：選B符號(hào)＋、－只能在兩個(gè)數(shù)之間，這是間隔排列，排法有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝12種．3．從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市巡游，要求每個(gè)城市有一人巡游，每人只巡游一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎巡游，則不同的選擇方案共有()A．300種 B．240種C．144種 D．96種解析：選B第一步先從剩余4人中選一個(gè)人去巴黎巡游共有4種方法；其次步從剩余5人中選3人去另外三個(gè)城市有Aeq\o\al(3,5)種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×Aeq\o\al(3,5)＝240(種)不同選擇方案．4．我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲-15飛機(jī)打算著艦．假如甲、乙兩機(jī)必需相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．18種C．24種 D．48種解析：選C把甲、乙看作1個(gè)元素和另一飛機(jī)全排列，調(diào)整甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)種方法，再把丙、丁插入到剛才“兩個(gè)”元素排列產(chǎn)生的3個(gè)空位中，有Aeq\o\al(2,3)種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24.5．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有________種．解析：先將5名志愿者排好，有Aeq\o\al(5,5)種排法，再將2位老人“捆綁”起來(lái)插入中間的間隔，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝960種．答案：9606．從5名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參與4×100米接力賽，假如A不能跑第一棒，那么有多少種不同的參賽方法？解：法一：當(dāng)A被選上時(shí)，共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,4)＝72(種)方法，其中Aeq\o\al(1,3)表示A從除去第一棒的其他三棒中任選一棒；Aeq\o\al(3,4)表示再?gòu)氖Ｏ?人中任選3人支配在其他三棒．當(dāng)A沒(méi)有被選上時(shí)，其他四人都被選上且沒(méi)有限制，此時(shí)有Aeq\o\al(4,4)種方法．故共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝96(種)參賽方法．法二：接力的一、二、三、四棒相當(dāng)于有四個(gè)框圖，第一個(gè)框圖不能填A(yù)，有4種填法，其他三個(gè)框圖共有Aeq\o\al(3,4)種填法，故共有4×Aeq\o\al(3,4)＝96(種)參賽方法．法三：(間接法)先不考慮A是否跑第一棒，共有Aeq\o\al(4,5)＝120(種)方法．其中A在第一棒時(shí)共有Aeq\o\al(3,4)種方法，故共有Aeq\o\al(4,5)－Aeq\o\al(3,4)＝96(種)參賽方法．一、選擇題1．從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué)，每人一本，給法共有()A．5種 B．10種C．20種 D．60種解析：選C從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué)，共有Aeq\o\al(2,5)＝20種不同的方法．2．由1,4,5，x這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若全部四位數(shù)的各位上的數(shù)字之和為288，則x等于()A．2 B．3C．6 D．8解析：選A經(jīng)分析可知x≠0，所以這四個(gè)數(shù)字可組成Aeq\o\al(4,4)＝24(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所以(1＋4＋5＋x)×24＝288，所以x＝2.3．航天員在進(jìn)行一項(xiàng)太空試驗(yàn)時(shí)，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序B和C都與程序D不相鄰，則試驗(yàn)依次的編排方法共有()A．216種 B．288種C．180種 D．144種解析：選B當(dāng)B，C相鄰，且與D不相鄰時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝144種方法；當(dāng)B，C不相鄰，且都與D不相鄰時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144種方法，故共有288種編排方法．4．現(xiàn)從甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)中選四位支配參與志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作有一人參與．甲不會(huì)開(kāi)車、乙不會(huì)翻譯，但都能從事其他三項(xiàng)工作，而丙丁戌能勝任全部四項(xiàng)工作，則不同支配方案的種類是()A．108 B．78C．72 D．60解析：選B分兩種狀況，乙開(kāi)車和乙不開(kāi)車當(dāng)乙開(kāi)車時(shí)，甲、丙、丁、戌可勝任其余崗位即有Aeq\o\al(3,4)種支配方案；當(dāng)乙不開(kāi)車時(shí)，開(kāi)車人選有3種可能，翻譯人選為除乙外的剩余3人，最終還剩3人支配兩個(gè)崗位，有Aeq\o\al(2,3)支配方法，故乙不開(kāi)車時(shí)有3×3×Aeq\o\al(2,3)＝54，則故有Aeq\o\al(3,4)＋54＝78種不同方案．二、填空題5．由數(shù)字1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)可以組成比20000大且百位數(shù)字不是3的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有________個(gè)．解析：當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為3時(shí)，有Aeq\o\al(4,4)種狀況；當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字不是3時(shí)，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種狀況，故共有Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝78個(gè)．答案：786．有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組．則不同的選法共有________種．解析：從6名男醫(yī)生中選出2名有Ceq\o\al(2,6)種選法，從5名女醫(yī)生中選出1名有Ceq\o\al(1,5)種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選法共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,5)＝75(種)．答案：75種7．3個(gè)人坐8個(gè)位置，要求每個(gè)人的左右都有空位，有________種坐法．解析：第一步：擺5個(gè)空位置，○○○○○；其次步：3個(gè)人帶上凳子插入5個(gè)空位置之間的四個(gè)空，有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)插法，故有24種不同坐法．解此類問(wèn)題主要用“插空法”．答案：248．在某藝術(shù)館中展出5件藝術(shù)作品，其中不同的書法作品2件，不同的繪畫作品2件，標(biāo)記性建筑設(shè)計(jì)1件，在展臺(tái)上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必需相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則展出這5件作品的不同方案有________種．解析：把2件書法作品當(dāng)作一個(gè)元素，與其他3件藝術(shù)品進(jìn)行全排列，有2Aeq\o\al(4,4)＝48種方案．其中，2件繪畫作品相鄰，有2×2Aeq\o\al(3,3)＝24種方案，則該藝術(shù)館展出這5件作品的不同方案有48－24＝24種．答案：24三、解答題9．3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排．(1)假如女生全排在一起，有多少種不同排法？(2)假如女生互不相鄰，有多少種不同排法？(3)