廣東省香山中學(xué)、高要一中、廣信中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則等于（）A.1 B. C. D.02.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B. C. D.3.化簡(jiǎn)式子，得（）A. B. C. D.4.如圖，雪花形狀圖形作法是:從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形(圖①)的邊長(zhǎng)為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長(zhǎng)依次記為，，，，則（）A. B. C. D.5.若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.或C. D.6.已知函數(shù)是減函數(shù)，則正數(shù)（）A.9 B. C.3 D.7.已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.624 B.625 C.626 D.6508.記定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意的都有，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.10.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，以下命題正確的是（）A.函數(shù)最小值是B.在區(qū)間上單調(diào)C.是函數(shù)極值點(diǎn)D.曲線在附近比在附近上升得更緩慢11.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且.當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大恰好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則k的可能取值為（）A.0 B.1 C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等比數(shù)列滿足的等差中項(xiàng)為18，則_________13.蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長(zhǎng)度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（第一段圓?。?，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為_____________.14.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.在數(shù)列中，點(diǎn)在直線上；在等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且，求的最大值.18.若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，令．（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前n項(xiàng)和；（3）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在互不相同的3項(xiàng)，，（m，k，，且）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．19.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求取值范圍.

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則等于（）A.1 B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即得結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義可知：，所以.故選：A.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，然后解不等式可得出所求的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，，解不等式，即，解得，所以，函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題時(shí)注意導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系，再者就是求出導(dǎo)數(shù)不等式的解集后必須與定義域取交集才行，考查計(jì)算能力，屬于中等題．3.化簡(jiǎn)式子，得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】.故選：D4.如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形(圖①)的邊長(zhǎng)為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長(zhǎng)依次記為，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察圖形可得出為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出.【詳解】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)圖形開始，每一個(gè)圖形的周長(zhǎng)都在前一個(gè)的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上多了其周長(zhǎng)的，即，所以為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.故選：A5.若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】借助極值點(diǎn)定義可得，即可得或，再分類進(jìn)行討論排除極小值情況即可得.【詳解】，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處有極小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處有極大值，符合題意．綜上可得，故選：D.6.已知函數(shù)是減函數(shù)，則正數(shù)（）A.9 B. C.3 D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)的單調(diào)性，判斷出恒成立，利用的導(dǎo)函數(shù)研究的最大值，由此列方程求得的值.【詳解】由是減函數(shù)，得對(duì)任意的，都有恒成立.設(shè).∵，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時(shí)取得最大值.又∵，∴對(duì)任意的，恒成立，即的最大值為，∴，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.7.已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.624 B.625 C.626 D.650【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分類求和即得.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)，時(shí)，，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為2，則，當(dāng)，時(shí)，，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為，則，所以.故選：C8.記定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意的都有，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因?yàn)椋蓸?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知，在單調(diào)遞增，即可得，化簡(jiǎn)即可判斷出正確選項(xiàng)．【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，則,所以在單調(diào)遞增，所以，即，從而．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)逐一求解得答案.【詳解】對(duì)于A,，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC10.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，以下命題正確的是（）A.函數(shù)的最小值是B.在區(qū)間上單調(diào)C.是函數(shù)的極值點(diǎn)D.曲線在附近比在附近上升得更緩慢【答案】BD【解析】【分析】由圖形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合極值點(diǎn)的概念即可判斷ABC；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：由圖可知，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由圖可知，單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：由圖可知單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，且，所以在處的切線的斜率小于處的切線的斜率，即曲線在附近比在附近上升得更加緩慢，故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且.當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大恰好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則k的可能取值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】ABD【解析】【分析】令，得到.作出的圖像，利用圖像法討論零點(diǎn)，分類討論求出k的值.【詳解】令，得到.由已知，，則的周期為2.其大致圖像如圖所示，由圖可知，令，得到.①當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為1?3?5?7?…，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為0?2?4?6?…，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，若零點(diǎn)從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，公差只能為1.由，得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，不符合題意.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等比數(shù)列滿足的等差中項(xiàng)為18，則_________【答案】【解析】【分析】先利用等比數(shù)列的性質(zhì)通過求出，再根據(jù)條件可得，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】，得所以，，得因?yàn)?，故答案為?13.蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長(zhǎng)度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（第一段圓?。?，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得：每段圓弧的圓心角為，半徑滿足，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式分析運(yùn)算.【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設(shè)第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長(zhǎng)度為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，為開口向下的二次函數(shù)，而時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，進(jìn)而可得極值，結(jié)合三個(gè)零點(diǎn)即可得，進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；此時(shí)最大值為，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減,此時(shí)函數(shù)極大值為，且當(dāng)時(shí)，fx=xex>0由于，所以函數(shù)恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，則，所以．故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.在數(shù)列中，點(diǎn)在直線上；在等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題可得通項(xiàng)公式，然后由題目條件結(jié)合等比數(shù)列知識(shí)可得通項(xiàng)公式；（2）由分組求和法可得答案.【小問1詳解】易知故求數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為.【小問2詳解】由（1）知：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則則數(shù)列的前n項(xiàng)和.16.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）根據(jù)極值點(diǎn)求得，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，∴，則在點(diǎn)處的切線方程為；【小問2詳解】因?yàn)?，由題意，解得，檢驗(yàn)符合，故，列表如下：400增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為．由解析式易知，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，且，所以．綜上，的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，求出為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2），求出，由函數(shù)單調(diào)性知，只需求出的最大值，配方得到其最大值，得到答案.【小問1詳解】①，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，②，式子①-②得，即，故為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】，所以，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以只需求出的最大值，其中，又，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，最大值為，所以的最大值為.18.若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，令．（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前n項(xiàng)和；（3）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在互不相同的3項(xiàng)，，（m，k，，且）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的條件，結(jié)合等比數(shù)列定義推理得證，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）的信息求出，再利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.（3）根據(jù)給定條件，結(jié)合（1）的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用等差中項(xiàng)以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)推理得證.【小問1詳解】由，得，而，則，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，.【小問2詳解】由（1）知，，，則，兩式相減得，所以【小問3詳解】依題意，，即，解得，假設(shè)在數(shù)列中存在不相同的3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，則，由成等差數(shù)列，得，因此，整理得，則，與互不相等矛盾，所以在數(shù)列中不存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：錯(cuò)位相減求和適用于數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題，一般是和