線段、角、相交線與平行線-2025年浙教版九年級(jí)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)講義

第四單元三角形

《第16講線段'角、相交線與平行線》

【知識(shí)梳理】

1.三種基本圖形一直線、射線、線段

(1)有關(guān)概念：

線段向一方無(wú)限延伸就成為射線.線段向兩方無(wú)限延伸就成為直線.線段是直線上

兩點(diǎn)間的部分，射線是直線上某一點(diǎn)及一旁的部分.連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)

間的距離.

(2)有關(guān)基本事實(shí)：

①直線有下面的基本事實(shí):經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條而且只有一條直線.可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成確定一

條直線.

②線段有以下的基本事實(shí):在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短.簡(jiǎn)單地說(shuō)，兩點(diǎn)之間線段最短.

(3)常見(jiàn)幾何計(jì)數(shù)：

①當(dāng)一條直線上有〃個(gè)點(diǎn)時(shí)，在這條直線上存在口尸_條以這〃個(gè)點(diǎn)中的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.

②平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，過(guò)這n個(gè)點(diǎn)中的兩點(diǎn)可作一條直線，在這個(gè)平面內(nèi)最多可作；聯(lián)一條直線.

③如果平面內(nèi)有〃條直線，它們最多有J啜一個(gè)交點(diǎn).

2.角

(1)角的定義：

①由兩條有公共端點(diǎn)的所組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn).

②由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角.

(2)角的分類(lèi):角按照大小可以分為銳角、直角、鈍角、平角、周角.

(3)角的比較方法:①疊合法;②度量法.

(4)角的度量及單位換算:1。=601'=60

(5)角平分線:從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做

這個(gè)角的平分線.

3.互為余角、互為補(bǔ)角

(1)互為余角:如果N1和N2互為余角，那么Nl+N2=90

(2)互為補(bǔ)角:如果N1和N2互為補(bǔ)角，那么Nl+N2=180。.

(3)余角與補(bǔ)角的性質(zhì):同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等.

4.對(duì)頂角

(1)定義:一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.

(2)對(duì)頂角的性質(zhì):對(duì)頂角相等.

5.垂直

(1)垂直的性質(zhì):在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線.

(2)點(diǎn)到直線的距離:從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離.

(3)垂線段最短:連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

6.同位角'內(nèi)錯(cuò)角'同旁內(nèi)角

如圖，兩條直線/2被第三條直線/3所截.

(1)同位角:兩個(gè)角都在第三條直線/3的同旁，并且分別位于直線3/2的同一側(cè)，這樣的一對(duì)角

叫做同位角.如N1和N5,Z7和N3.

(2)內(nèi)錯(cuò)角:兩個(gè)角分別位于第三條直線/3的異側(cè)，并且都在直線/1,/2之間，這樣的一對(duì)角叫做

內(nèi)錯(cuò)角汝口N3和N5,Z6和N4.

(3)同旁內(nèi)角:兩個(gè)角都在第三條直線/3的同旁，并且在直線/1,/2之間，這樣的一對(duì)角叫做同旁

內(nèi)角.如N3和N6,N5和N4.

7.平行線

(1)平行線的定義:在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

(2)平行公理:經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

(3)平行公理的推論:如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

8.平行線的判定

(1)同位角相等，兩直線平行.

⑵內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

9.平行線的性質(zhì)

(1)兩直線平行，同住角相等.

(2)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

(3)兩直線平行，同委內(nèi)角互補(bǔ).

10.七巧板

七巧板是中國(guó)古老的智力游戲，它由七塊板組成，完整圖案為一個(gè)正方形，由這七塊板可以變

幻出各種不同的圖案.解七巧板問(wèn)題的技巧之一是活用等腰直角三角形的性質(zhì).

【考題探究】

類(lèi)型一直線、線段和射線

【例1】［2024?浙江模擬］高速公路是指專(zhuān)供汽車(chē)高速行駛的公路.高速公路在建設(shè)過(guò)程中，通

常要從大山中開(kāi)挖隧道穿過(guò)，把道路取直以縮短路程.其中的數(shù)學(xué)原理是(A)

A.兩點(diǎn)之間線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.平行線之間的距離最短

D.平面內(nèi)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線

變式1如圖，設(shè)P是直線/外一點(diǎn)，PQM,垂足為。，T是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PT,則

(C)

變式1圖

A.PTN2PQ

B.PTW2PQ

C.PT^PQ

D.PTWPQ

類(lèi)型二相交線與垂線

【例2][2024?北京]如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O,OELOC若NAOC=58。，則NE03

的大小為（B）

C/E

例2圖

A.290B.320

C.450D.580

類(lèi)型三余角與補(bǔ)角

【例3][2024?甘肅改編]若NA=55。，則NA的補(bǔ)角為125。,余角為35。

變式3如果一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的%那么這個(gè)角的度數(shù)為（B）

A.3O0B.450

C.6O0D.750

【解析】設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為a,則它的余角的度數(shù)為（90°—a）,補(bǔ)角的度數(shù)為（180°—a）.

1

由題意，得90。一々=]（180。一a）,

將得a=45°,即這個(gè)角的度數(shù)為45。.

類(lèi)型四平行線的性質(zhì)

【例4][2024?福建]在同一平面內(nèi)，將直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CraDE）按如圖方

式擺放，若A3〃CD,則N1的大小為（A）

A.30°B.450

C.60°D.750

例4圖例4答圖

【解析】如答圖標(biāo)注字母.

,JAB//CD,：.ZCDB=ZABF=60°.

'JCDLDE,：.ZCDE=90°,，Nl=180°—60°—90°=30°.故選A.

變式4—1[2024?南充]如圖，兩個(gè)平面鏡平行放置，光線經(jīng)過(guò)平面鏡反射時(shí)，Zl=Z2=40°,

則N3的度數(shù)為(C)

A.80°B.9O0

C.1OO0D.12O0

變式4—2[2023?臺(tái)州]用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若/1=20。，則N2的度數(shù)為

140°.

【解析】如答圖標(biāo)注N3.

;圖嗓是由一張等寬的紙條折成的，

/.紙條的長(zhǎng)邊平行，

.?.Z2=Z3=180°-2Zl=140°.

類(lèi)型五平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用

【例5][2024?臺(tái)州模擬]如圖,若N1=N2=75。，Z3=108°,則N4的度數(shù)是(D)

5

,2

b

4

例5圖

A.750B.1O20

C.1O50D.1O80

變式5［2023?金華］如圖，已知Nl=N2=N3=50。，則N4的度數(shù)是（C）

A.12O0B.1250

C.13O0D.1350

變式5圖變式5答圖

【解析】如答圖所示標(biāo)注N5.

?.*Zl=Z3=50o,

：.a//b,.,.Z2+Z5=180°.

又,.,N2=50°,

，N4=Z5=180°-Z2=130°.

類(lèi)型六七巧板

【例6】［2023?溫州］圖1是4X4方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為魚(yú)，現(xiàn)將它剪

拼成一個(gè)“房子”造型（如圖2）,過(guò)左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形CDER作

為題字區(qū)域（點(diǎn)A,E,D,3在圓上，點(diǎn)C,R在A5上），形成一幅裝飾畫(huà)，則圓的半徑為5.

若點(diǎn)A,N,航在同一直線上，AB//PN,DE=^6EF,則題字區(qū)域的面積為一三點(diǎn)

例6圖

【解析】如答圖所示標(biāo)注字母，連結(jié)。G,觀察圖形，結(jié)合七巧板的性質(zhì)易得L/=2,GI=IJ

=4,點(diǎn)G,I,J在同一條直線上，LK垂直平分GJ,是。。的一條直徑.

設(shè)。。的半徑為r,在RSG/O中，GI2+IO2=O（?,即42+（廠-2）2=/，斛得r=5.

例6答圖

如答圖，連結(jié)AO,AM,則AM過(guò)點(diǎn)N.

'：LK//JP,：.ZANK=ZAMP,

.\—NQ=tanZANK=tanZAMPM=P—=2.

'：OI=OL-LI=3,

：.ON=IN-OI^4-3=1.

設(shè)NQ=a,則AQ=2a,OQ=a+l.

ARtAAOQ中，AO2~OQ2=AQ2,即52-(?+l)2=(2a)2,

解得的=2,“2=一苓(舍去),

：.OQ=ON+NQ=3.

\'AB//PN,PNLKL,四邊形CDE尸是矩形，

易知ED±KL,：.ER=DR.

由題意，:殳EF=b,則QR=b,ED=y]~Gb9

：

.ER=-2b.

在RtaOKE中，OR2+ER2=OE2,

2

即(3+b)2+(苧b)=52,

o

解得歷=點(diǎn)岳=一4(舍去)，

2

則題字區(qū)域的面積為M?助=正義電=|1V6.

變式6—1小麗在“紅色研學(xué)”活動(dòng)中深受革命先烈事跡的鼓舞，用正方形紙片制作成圖1的七

巧板，設(shè)計(jì)拼成圖2的“奔跑者”形象來(lái)激勵(lì)自己已知圖1正方形紙片的邊長(zhǎng)為4,圖2中

=2EM,則“奔跑者”兩腳之間的跨度，即AB,CD之間的距離為號(hào).

奔

跑

者

變式6—1圖

【解析】如答圖，過(guò)點(diǎn)E作E/L尸K于點(diǎn)/,過(guò)點(diǎn)M作MJLWK于點(diǎn)J.

變灰6—1答圖

由題意得，△ABM,4EFK都是等腰直角三角形，AB—BM=2,EK=EF—2y[2,FK=4,FK

與CD之間的距離為1.

'：EI±FK,：.KI=IF,：.EI=-FK=2.

2

1\4jMF?4

易知AMFJsAEFI,EF=EM+FM=3EM,

EIEF33

力,：AB〃CD,

A.1Q

：.AB與CD之間的距離=2+-+l=—.

變式6—2[2024?江西]將圖1所示的七巧板拼成圖2所示的四邊形A8CD,連結(jié)AC,則tan/

1

CAB=-

-2-

圖1圖2

變式6—2圖

【解析】設(shè)AC與5。相交于點(diǎn)。

■:ZABD=ZCDB=90°,:.CD//AB.

^'：AB=CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AC與BD互相平分,

1

:.OB=-BD.

2

1

D-1

在Rt^AOB中,tanZCAB=tanZOAB=-=-.

【課后作業(yè)】

1.如圖，工人砌墻時(shí)，先在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的

磚在一條直線上.這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（B）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.垂線段最短

D.三角形兩邊之和大于第三邊

2.[2024?河南]如圖，乙地在甲地的北偏東50。方向上，則N1的度數(shù)為（B）

第2題圖

A.6O0B.5O0

C.4O0D.3O0

3.[2024?雅安]如圖，直線A3,CD相交于點(diǎn)O,OELAB于點(diǎn)。，若Nl=35。，則N2的度數(shù)

是（A）

4.[2024?廣西]如圖，2時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角為（C）

A.20°B.4O0

C.60°D.8O0

5.[2024?鹽城]如圖，小明將一塊直角三角尺擺放在直尺上，如圖，若Nl=55。，則N2的度數(shù)

為（B）

第5題圖

A.250B.350

C.450D.550

6.[2024?深圳]如圖，一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角Nl=50。，則

反射光線與平面鏡夾角N4的度數(shù)為（B）

第6題圖

A.40°B,50°

C.60°D,70°

【解析】?.,人射光線是平行光線，：.Zl=Z3,由反射定律得N3=N4,，N4=N1=5O。.故

選B.

7.角度互化:(1)57.18。=57°10'48"

⑵12，=。.2?；?20”

8.[2023-煙臺(tái)]如圖，將一個(gè)量角器與一把無(wú)刻度直尺水平擺放，直尺的長(zhǎng)邊與量角器的外弧分

別相交于點(diǎn)A,B,C,D,其中點(diǎn)A,B,C,。所在刻度分別為25。，50°,130°,155。.若連結(jié)

AB,則NA4D的度數(shù)為52.52

第8題圖

9.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZB=80°.

(1)求NB4D的度數(shù).

⑵若AE平分NA4D交3c于點(diǎn)E,N3CD=50。.求證:AE〃DC

第9題圖

^;(iy：AD//BC,

：.ZB+ZBAD=180°.

又「NS=80°,

：.ZBAD=100°.

(2)..NE平分N5AD,

:.ZDAE=50°.

'：AD//BC,:.ZAEB=ZDAE=50°.

又TZBCD=50°,:.ZBCD=ZAEB,

：.AE//DC.

10.[2024?達(dá)州]當(dāng)光線從空氣射入水中時(shí)，光線的傳播方向發(fā)生了改變，這就是光的折射現(xiàn)象.

如圖，Zl=80°,Z2=40°,則N3的度數(shù)為（B）

A.3O0B.40°

C.5O0D.7O0

11.[2024?德陽(yáng)]如圖是某機(jī)械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中ZABC

=70°,則NEDC等于（B）

第11題圖

A.1O0B.2O0

C.3O0D.4O0

12.[2024.蓮都區(qū)模擬]課堂上同學(xué)們獨(dú)立完成了這樣一道問(wèn)題：”如圖，已知A3〃CD,

求證:N1=N2.”

小蓮?fù)瑢W(xué)解答如下：

證明:?.?AB"CD,

：.Z1+ZBCD=18O°.

'JAD//BC,

/.Z2+ZBCD=180°,

/.Z1=Z2.

小蓮的證法是否正確?若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“7”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程.

解:小英的證法是錯(cuò)誤的.

證明:A3〃CD,

：.Zl+ZBAD=18d°.

'：AD//BC,

.,.Z2+ZBAZ>=180°,

.\Z1=Z2.

13.如圖是一種躺椅及其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF,前支架0E與

后支架OF分別與CD相交于點(diǎn)G和點(diǎn)D,AB與DM相交于點(diǎn)N,ZAOE=ZBNM.

(1)求證:0E〃。跖

(2)若0E平分NAOFZODC=30°,求扶手A3與靠背DM的夾角NA7VM的度數(shù).