2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)練：二次函數(shù)與圓綜合（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)練：二次函數(shù)與圓綜合

1.已知拋物線(xiàn)了=--2了-3與X軸交于/,3兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)8左側(cè)），與了軸交于點(diǎn)C.

⑴直接寫(xiě)出B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵過(guò)4,3兩點(diǎn)作?！?，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)。（點(diǎn)。在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)），若/DMB=90°,求點(diǎn)

M的坐標(biāo)；

_15

⑶如圖2,點(diǎn)0是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，縱坐標(biāo)為一了的點(diǎn)，點(diǎn)E是對(duì)稱(chēng)軸上拋物線(xiàn)下方的動(dòng)

點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心，為半徑作圓交拋物線(xiàn)于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)），求證：直線(xiàn)

成7與拋物線(xiàn)有唯一公共點(diǎn).

2.如圖①，經(jīng)點(diǎn)⑼的直線(xiàn)與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的二次函數(shù)廣辦2+隊(duì)的圖像交于點(diǎn)°（1，-3）,

與了軸交于點(diǎn)5.

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(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)如圖②，點(diǎn)P是線(xiàn)段NC下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線(xiàn)，交線(xiàn)段

/C丁點(diǎn)尸，再過(guò)點(diǎn)尸作了軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)是否存在點(diǎn)尸使△尸斯為等腰直角

三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)如圖③，點(diǎn)。為線(xiàn)段48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與48重合)，經(jīng)過(guò)4。，°三點(diǎn)的圓與經(jīng)過(guò)

點(diǎn)A且垂直于N2的直線(xiàn)交點(diǎn)G,當(dāng)AOQG面積取最小值時(shí)，求直線(xiàn)上打點(diǎn)的坐標(biāo)，使

得周長(zhǎng)最小.

3.二次函數(shù)＞="+云+8的圖像與x軸分別交于點(diǎn)/(2,0)、'(4,0),與夕軸交于點(diǎn)

點(diǎn)P是這個(gè)函數(shù)圖像的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)8C下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)/＞作尸垂足為河，求尸河的最大值；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時(shí)，連接"、PB,直線(xiàn)/是二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)

P作PNU,垂足為N,以點(diǎn)N為圓心作圓，尸7與ON相切，切點(diǎn)為工若以尸7的長(zhǎng)為

邊長(zhǎng)的正方形的面積與的面積相等，試說(shuō)明。N的半徑是常量.

4.如圖，拋物線(xiàn)夕=--+法+3交x軸負(fù)、正半軸于A,B兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)C,連接

AC,tanZOAC=3,的外接圓的圓心為M

s_

⑵在/C段的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)p使iS=Cp-2,若存在請(qǐng)求出點(diǎn)p坐標(biāo)，若不存在,

說(shuō)明理由；

(3)圓上是否存在0點(diǎn)，使△4℃與相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)0坐標(biāo)；若不存在,

說(shuō)明理由.

5.如圖1,拋物線(xiàn)了=*+云+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-4,0)、8(1,0),交,軸于點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)尸是

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拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).

圖2

（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2,6）時(shí)，求四邊形/℃尸的面積;

（2）當(dāng)NP2N=45。時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶過(guò)點(diǎn)4。、C的圓交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E、F,如圖2.連接/￡、”、EF,判斷△/斯的

形狀，并說(shuō)明理由.

12,

y=—x+bx+c

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)2與1軸交于兩點(diǎn)，與歹軸

交于C點(diǎn)，且05=OC=4.

JJ

FBF

CC

備用圖

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)在第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)使/8CM=15。，如果存在，求M點(diǎn)的坐標(biāo)，如

果不存在，說(shuō)明理由；

⑶若。是拋物線(xiàn)第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DF'x軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)/、B、。的圓與

DF交于E點(diǎn)、,求的面積.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為(4T)的拋物線(xiàn)交y軸于N點(diǎn)，交x軸于8,C兩

點(diǎn)(點(diǎn)3在點(diǎn)C的左側(cè)).已知/點(diǎn)坐標(biāo)為(°，3).

(1)求此拋物線(xiàn)的解析式；

(2)已知點(diǎn)尸是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于4,C兩點(diǎn)之間(不與4,C重合)，連

接/C.當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，A4。的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)過(guò)點(diǎn)8作線(xiàn)段的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)。，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線(xiàn)8。相切，請(qǐng)

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判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸/與°C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明;

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)N=-/+bx+c與了軸交于點(diǎn)C,

與x軸交于“(T°)8(3，°)兩點(diǎn)，連接8c.點(diǎn)0為線(xiàn)段8C上方拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，連接

“。交8c于點(diǎn)p,以點(diǎn)P為圓心作圓.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)當(dāng)點(diǎn)5和點(diǎn)C同時(shí)在0P上時(shí).

①直接寫(xiě)出點(diǎn)。與。尸的位置關(guān)系.

②求點(diǎn)。的坐標(biāo).

PQ

(3)當(dāng)點(diǎn)。在。尸上，且/尸的值最大時(shí)，直接寫(xiě)出連接點(diǎn)A與。尸上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中,

最短線(xiàn)段的長(zhǎng)度.

9.如圖，二次函數(shù)夕=x?-6x+8的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)),

直線(xiàn)/是對(duì)稱(chēng)軸.點(diǎn)尸在函數(shù)圖象上，其橫坐標(biāo)大于4,連接尸/,PB,過(guò)點(diǎn)尸作尸河，/,

垂足為以點(diǎn)"為圓心，作半徑為『的圓，尸T與相切，切點(diǎn)為7.

(1)求點(diǎn)A,8的坐標(biāo)；

⑵四邊形/3P河能是一個(gè)菱形嗎？若能，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；

⑶若以PT為邊長(zhǎng)的正方形的面積與AP/8的面積相等，且。“不經(jīng)過(guò)點(diǎn)"(3,2),求

尸赫的取值范圍.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)“(2,4)為圓心，以"°的長(zhǎng)為半徑的圓交x軸于點(diǎn)

A,交＞軸于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)2(-2,2)的直線(xiàn)/與。M相切，且與y軸，直線(xiàn)x=2分別交于

D,E兩點(diǎn)，連接N8,AD.

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⑵判斷△48。的形狀并說(shuō)明理由；

（3）已知拋物線(xiàn)了="2-4G（。#°）,在x軸上方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)尸，使得以

B,M,P為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，直接寫(xiě)出“的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

11.如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)BQ，。），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心的圓的半徑

備用圖

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式.

(2)求證：直線(xiàn)48與0°相切.

(3)己知P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段PO交0°于點(diǎn)當(dāng)以M,O,A,C為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形時(shí)，求的長(zhǎng).

12.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)'=*+2'+3與x軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在

點(diǎn)3的左側(cè))，與歹軸交于點(diǎn)°,連接BC.

⑴請(qǐng)你直接寫(xiě)出卻C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線(xiàn)的表達(dá)式.

(2)如圖②，點(diǎn)尸為直線(xiàn)8c上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為優(yōu),以點(diǎn)尸為圓心的

圓與直線(xiàn)8c相切，當(dāng)。尸的半徑最大時(shí)，求優(yōu)的值.

⑶設(shè)點(diǎn)。是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)火是拋物線(xiàn)＞=-/+2》+3上任意一點(diǎn).是否存在

這樣的點(diǎn)五，使以反c、R。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)

R的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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12,

y=—x+bx+c.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)2與x軸交于42n兩點(diǎn)，與y

軸交于C點(diǎn)，且08=℃=2。4.

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)使=如果存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，如果不存在,

說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)。是拋物線(xiàn)第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。尸,X軸于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)4瓦。的圓與

DF交于點(diǎn)、E,連接AE，BE,求的面積.

=V52_V52

14.如圖，拋物線(xiàn)’42分別交x軸于點(diǎn)4B(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)),

交了軸于點(diǎn)C.

圖1圖2圖3

⑴求點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵以5為圓心，3為半徑作圓.

①如圖1,連接/C,尸是線(xiàn)段/C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作。8的一條切線(xiàn)（點(diǎn)"為切點(diǎn)）

,求線(xiàn)段PW的最小值；

②如圖2,點(diǎn)。為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)。在圓8上，連接C。，DQ,求2的最大

值.

15.已知二次函數(shù)>="2+8+0的圖像與x軸交于48兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A為（T，°）,與V軸

3

⑴求二次函數(shù)>=依2+8+。的表達(dá)式；

⑵圓°,為A/BC的外接圓，點(diǎn)石是/C延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，Z8CE的平分線(xiàn)CO交圓。于點(diǎn)

連接40、BD,求ANCD的面積；

⑶在（2）的條件下，了軸上存在點(diǎn)尸，使得以RC1為頂點(diǎn)的三角形與相似，則

P點(diǎn)坐標(biāo)為.

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y=a(x—3)2H----

16.已知拋物線(xiàn)4過(guò)點(diǎn)C(0,4).頂點(diǎn)為與x軸交于/、B兩點(diǎn).如圖所

示以為直徑作圓，記作。D.

(1)求拋物線(xiàn)解析式.

(2)判斷△CDM的形狀，并證明你的猜想.

(3)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)尸，若將線(xiàn)段0尸繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

C'恰好落在拋物線(xiàn)上？若能，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.

17.已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)戶(hù)4+6x+c點(diǎn)/(TO)、8(1,0)C(0,3)

(1)求拋物線(xiàn)解析式和直線(xiàn)/C的解析式；

⑵若點(diǎn)p是第四象限拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，若S*/c=10,求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；

⑶如圖2,點(diǎn)M是線(xiàn)段NC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與4C重合)，經(jīng)過(guò)4M。三點(diǎn)的圓與

過(guò)A且垂直于/C的直線(xiàn)交于點(diǎn)N,求當(dāng)5刎最小時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及49最小值.

18.已知：如圖，拋物線(xiàn)歹=辦2+法+1的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)，且拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,2),點(diǎn)

尸為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)尸為圓心的。尸與x軸相切，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)對(duì)，。尸始終經(jīng)過(guò)了軸

上的一個(gè)定點(diǎn)￡.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

⑵當(dāng)。尸的半徑為7時(shí)，。尸與7軸交于〃，N兩點(diǎn)，求的長(zhǎng);

⑶求定點(diǎn)E到直線(xiàn)了=履一肱的距離的最大值.

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19.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/+6x+c的圖象交X軸于/(T，°),B兩

點(diǎn)，48=4,C為拋物線(xiàn)頂點(diǎn).

(1)求6,。的值；

(2)點(diǎn)尸為直線(xiàn)40下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PQ'x軸，垂足為點(diǎn)°,交力。于點(diǎn)川,

是否存在加=3PM?若存在，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

CN+-AN

⑶如圖2,以B為圓心，2為半徑作圓，N為圓5上任一點(diǎn)，求2的最小值.

y=-^-(x+w)(x-3m)

20.如圖，V關(guān)于x的二次函數(shù)3加'圖象的頂點(diǎn)為加，圖象交》軸于A、

8兩點(diǎn)，交了軸正半軸于點(diǎn)。.以N8為直徑作圓，圓心為點(diǎn)0,定點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(一二°),

(1)求用加表示的A、B、。三點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，點(diǎn)M在直線(xiàn)區(qū)＞上？判定此時(shí)直線(xiàn)即與圓的位置關(guān)系;

(3)當(dāng)，"變化時(shí)，用加表示的面積.

21.若拋物線(xiàn)V="2+bx+c交x軸于/(L0)、8(5,0)交y軸于C(0,5)

(1)請(qǐng)求出拋物線(xiàn)的解析式并直接寫(xiě)出"2+法+。＜0的解集.

(2)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P.當(dāng)三角形4。為直角三角形時(shí)請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

cMC+-MA

(3)以8為圓心2為半徑做圓，上有一點(diǎn)連接MC、請(qǐng)求出2的最小

值.

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22.如圖1,已知拋物線(xiàn)了=*+云+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(-5,0)兩點(diǎn)，且與了軸交于點(diǎn)

⑴求6,c的值.

(2)在第二象限的拋物線(xiàn)上，是否存在一點(diǎn)P,使得△尸8c的面積最大？求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)及

△尸的面積最大值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖2,點(diǎn)￡為線(xiàn)段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與5,C重合)，經(jīng)過(guò)2、E、。三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)

8且垂直于的直線(xiàn)交于點(diǎn)尸，當(dāng)AOM面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)￡坐標(biāo).

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)廣/+加+0與x軸交于點(diǎn)/GO),和點(diǎn)8(4,0),

直線(xiàn)/是對(duì)稱(chēng)軸.

(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在直線(xiàn)/上是否存在點(diǎn)C,使4c8=45。？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

(3)尸為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)/右側(cè)，連接尸工，PB,過(guò)點(diǎn)尸作

PM工1,垂足為河，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為廠的圓，PT與?！毕嗲校悬c(diǎn)為葭若

P『=S*且。屈不經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，3),求PW長(zhǎng)的取值范圍.

13)

y——x2—x—4

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)"42，了與x軸交于4,3兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C.

⑵直接寫(xiě)出△28C的重心點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶坐標(biāo)系中存在點(diǎn)N("，6),且N/N2=45。，請(qǐng)你推導(dǎo)計(jì)算出〃的值;

17/90

(4)如圖2.若點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心，0/長(zhǎng)為半徑作的圓上，連接AP、CP,請(qǐng)你直接寫(xiě)

-CP+BP

出2的最小值.

《2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)練：二次函數(shù)與圓綜合》參考答案

1（1/（-1,。），5（3,0）jC（0,-3）

⑵0,3）或（IT）

（3）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）分別求出當(dāng)x=0時(shí)，V的值；當(dāng)＞二°時(shí)，x的值，由此即可得；

（2）求出圓心初必在48的垂直平分線(xiàn)上，即在直線(xiàn)x=l上，設(shè)點(diǎn)"的坐標(biāo)為"°，加），

分兩種情況：①點(diǎn)"在x軸上方和②點(diǎn)"在x軸下方，再通過(guò)全等三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)

。的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式求出加的值，由此即可得；

⑶先求出點(diǎn)。的坐標(biāo)為Qi4［設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為""一2"3）（。＞1）,點(diǎn)￡的坐

標(biāo)為E（L〃）（〃＜-4）,再過(guò)點(diǎn)尸作直線(xiàn)QE的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)〃，連接。尸，在RtAQFH中,

利用勾股定理可得"二一（"一1）一一4,從而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)環(huán)的

解析式，然后聯(lián)立直線(xiàn)跖和拋物線(xiàn)的解析式，由此即可得證.

【詳解】（1）解：對(duì)于二次函數(shù)y=--2x-3,

2

當(dāng)N=0時(shí)，X-2X-3=0,解得X=-1或X=3,

當(dāng)x=0時(shí)，尸-3,

???拋物線(xiàn)歹二一一級(jí)—與工軸交于“潭兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè)），與了軸交于點(diǎn)C,

,^（-1,0）5（3,0）C（0,-3）

??f，?

（2）解：二次函數(shù)-2x-3=（x-l）2-4的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)彳=1,

???過(guò)42兩點(diǎn)作°河，

二圓心M必在N5的垂直平分線(xiàn)上，即在直線(xiàn)x=l上，

設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為"O'"），

①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在無(wú)軸上方時(shí)，則加＞0,

過(guò)點(diǎn)M作Wx軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)。作OG1MN,交加飲的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,

1/90

ZG=Z.MNB—90°,BN=3-\=2,MN=m,ON=1,

,.,ADMG+AMDG=9Q0，

???/DMB=90。,

?.?ZDMG+ZBMN=90°，

...ZMDG=/BMN,

在ADMG和叢MBN中,

NG=/MNB=90。

</MDG=ZBMN

DM=MB

.△Z)MG絲△MSN(AAS)

?.?MG=BN=2,DG=MN=m，

?.?ON+DG=l+m,GN=MG+MN=2+m,

.D(l+m,2+m)

將點(diǎn)。。+在2+?代入二次函數(shù)k(1)2-4得:(1+…-4=2+q

解得加=3或機(jī)=-2<°(不符合題設(shè)，舍去)，

.??"(45),位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，符合題意，

此時(shí)點(diǎn)河的坐標(biāo)為"(⑶；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，則加<0,

過(guò)點(diǎn)M作Wx軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)。作DHL及W,交M0的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,

.../H=NMNB=90°,BN=3-\=2,MN=-mfON=1,

同理可證：ADMHAMBN,

:.MH=BN=2,DH=MN=-mf

,.,ON+DH=\-m,NH=MH+MN=2-m,

,O（1-也一（2-加））即0（1—加，加—2）

將點(diǎn)0（1-加所2）代入二次函數(shù)k（1）2-4得:。一加一1）2一4=加-2,

解得加=T或%=2>°（不符合題設(shè)，舍去），

.??0（2廠3）,位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，符合題意，

,此時(shí)點(diǎn)初的坐標(biāo)為“&T)；

綜上，點(diǎn)加的坐標(biāo)為。3)或(LT).

(3)證明：二次函數(shù)y"/一？》/=々-。--4的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)工=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,一4),

。卜，-與

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為I4人

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為""點(diǎn)石的坐標(biāo)為E(l,〃)(…4),

如圖，過(guò)點(diǎn)方作直線(xiàn)V的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)“，連接°廠，

3/90

15("1)2—；

QH=/-2a-3-

22

15

("1)2+("1)2-1-------n

在RtZiQT/中，F(xiàn)H2+QH2=QF\即4

22

15

-----n=("IT+；

整理得:4

QF=QE=--n>0

15z2I

-------n=(a-Al)+—

4V74,

〃=-(Q-1)2-4

設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為了=區(qū)+6G40）,

k+b=-(a-l^-4

將點(diǎn)尸（。，/-2”3）代入得:ka+b=a?—2a—3

k=2(a-l)

2

解得b=—a—3

則直線(xiàn)EF的解析式為夕=2（。-1b一/_3

y=2(a-\ylx―Q2—3(J)

y=一一2%一3②

聯(lián)立直線(xiàn)EF和拋物線(xiàn)的解析式得:

將②代入①得：2("f_3=x2_2x_3,即/_2姓+/=0,

這個(gè)方程的根的判別式為A=G2"）-一4/=°,這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

...直線(xiàn)EF與拋物線(xiàn)有唯一公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、

一元二次方程的根的判別式等知識(shí)，綜合很強(qiáng)，正確分類(lèi)討論，熟練掌握二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.⑴,二12_41，（0,-4）

J7-V175-3而］

⑵尸CT或〔丁'^-1

⑶打（3,一1）

【分析】⑴直接將點(diǎn)C（『3）代入二次函數(shù)”/+為中即可求得a力得解，

同時(shí)設(shè)直線(xiàn)/C的解析式為片乙+加，代入“（4°）,°（-3）得到加值，即可得點(diǎn)8的坐

標(biāo)；

⑵設(shè)尸6,蘇一4%）,則尸3吁4）,式4-私療-4機(jī)），進(jìn)而得出

PE=\m-（4-m^=\2m-4\^PF=m-4-（m2-4m）=-m2+5m-4根據(jù)尸￡=內(nèi)列出方程,

解方程，即可求解；

⑶先求得直線(xiàn)/G的解析式尸r+4,設(shè)G（s,-s+4）,設(shè)o</<4,

OG的中點(diǎn)為圓心，設(shè)為Q,則,根據(jù)圓的性質(zhì)，可得。一定在的垂直

平分線(xiàn)上，得出f+s=4,進(jìn)而得出G（4-0）,用f表示出其8G,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得

出，其。司取得最小值時(shí)，G（2,2）,進(jìn)而根據(jù)A°GH周長(zhǎng)最小，設(shè)G關(guān)于N5的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

N,得出N（6，-2）,求得直線(xiàn)ON的解析式為'一一3”,聯(lián)立直線(xiàn)/C解析式，即可求解.

【詳解】（1）解：依題意，將點(diǎn)“（4°）,°（1二3）代入二次函數(shù)解析式了="2+法中，

J16Q+46=0［a=\

可得］0+6=-3,解得H=-4,

???二次函數(shù)解析式為：尸/-4。

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為了=h+機(jī)（心°）,

5/90

將/（4,0）,C（-3）代入，

14左+機(jī)=0［k=\

可得在+%=-3,解得［加=一4,

故直線(xiàn)NC的解析式為N=x-4,

令x=0,得尸-4,

.??點(diǎn)^的坐標(biāo)為。-4）；

⑵解：「k/一4》=6一2）2-4,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,

設(shè)尸如蘇-4〃）o＜加＜4,則尸（如加-4）,E（4-〃7,，〃2_4〃）

,PE=|m-（4-m）|=|2m-4|PF=m-4-^m2-4m^=-m2+5m-4

???△尸所為等腰直角三角形，PFLPE,

:,PE=PF,

.?.2m-4=-m2+5m-4或-2m+4=-m2+5加一4,

7-V177+V17

m=----------m=----------

解得：冽=°（舍去）或冽=3或2或2（舍去）,

2

當(dāng)加=3時(shí)，m-4m=9-12=-3y

1n7-后/-4加二』［上姮-4］="亞

當(dāng)機(jī)一丁時(shí)，212J2,

p（"歷5-3而］

.??時(shí)一D或〔二'一

⑶解：?0=08=4,

...△0/8是等腰直角三角形，

...4/G=90。，

設(shè)直線(xiàn)"G與了軸交于點(diǎn)加，如下圖，則△04”是等腰直角三角形,

,OM=OA=A,即"（Q4）,

V

G

TQ

D

r\

設(shè)直線(xiàn)/G的解析式為kG+4,代入州（0,4）,“（4,0）,

J4左+4=0kx=—1

Ji,解得

4=4

直線(xiàn)"G的解析式k-x+4,設(shè)G（S,-S+4）,

???點(diǎn)。為線(xiàn)段N8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與"I重合），設(shè)一4）,0<Z<4,

?-AGLABf

t+st—s

二Q

??.OG的中點(diǎn)為圓心，設(shè)為Q,則22

又..Q=QO,則°一定在40的垂直平分線(xiàn)上,

—=2

.-.2,

.../+s=4,

,G（47/）

S.ODG=^OG-OD

=；J7+（一4）2.J（4_1）2+，

=1（2f2-8^+16）

=/2-4/+8

7/90

=（”2）2+4

...當(dāng)f=2時(shí)，SMG取得最小值為4,

.G（2,2）

??，

設(shè)G關(guān)于48的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,

???/D4G=90。,

??.N在直線(xiàn)/G上，

...AOGI/的周長(zhǎng)為OH+OG+7/G=GO+07/+砌2GO+ON,

當(dāng)“在ON上時(shí)，AOGH周長(zhǎng)最小，

設(shè)N（%-"+4）

...GA=AN,

2+〃

-------=44

??.2,

.?.〃=6,

.N（6,-2）

??，

設(shè)直線(xiàn)ON的解析式為＞=Qx,,

k=_L

.「2=6融，解得23,

1

y——x

，直線(xiàn)ON的解析式為3,

1

產(chǎn)亍卜3

聯(lián)立[y=x-4,解得=

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題、二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、等腰三角形的

定義與性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、直角所對(duì)的弦是直徑等知識(shí)，結(jié)合題意完善圖像,

熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.⑴y=丁-6龍+8

4垂

⑵5

⑶見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理、正方形、三角形面積

的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵；

（1）利用待定系數(shù)法即可得出答案；

（2）連接尸8、PC,過(guò)點(diǎn)尸作交BC于點(diǎn)、D,求直線(xiàn)的解析式，設(shè)點(diǎn)尸坐

標(biāo)為（"-6〃+8）,則￡?（〃,一2〃+8）,得出肛根據(jù)%BC-嚴(yán)運(yùn)用三角函數(shù)的

性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為（“一6,+8）,則山“；（4-2）（?-6，+8）="6，+8

設(shè)0N的半徑為人根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得尸72=尸篦一*=（-3）2一廠2,然后根據(jù)PT的長(zhǎng)為邊

長(zhǎng)的正方形的面積與AP/8的面積相等，列式計(jì)算即可得出結(jié)論.

J0=4Q+2b+8

【詳解】（1）解：由題意，得10=16。+46+8,

[a=\

A[b=-6

=x2—6x+8.

（2）連接心、PC,過(guò)點(diǎn)尸作.〃匕交5c于點(diǎn)D

9/90

o

由題意，可得點(diǎn)(°'8),設(shè)直線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為丁=區(qū)+8,則0=4上+8

:.k=一2,

...y=-2x+8

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為-6〃+8),則D(%-2.+8),

PD--2n+8-(n1-6n+8)=-n2+4n

則邑詠=g尸》03=；(一"2+4〃)x4=-2(〃-2)2+8

當(dāng)〃=2時(shí)，'me的最大值為8.

-BC-PM^S

.-.2,

-XA/42+82XPA/=8

...2

???最大?書(shū)

(3)設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(北一6,+8),則邑9=；(4-2)(?-6，+8)4-6，+8

設(shè)0N的半徑為八

?.?PT與ON相切，切點(diǎn)為工

PT2=PN2-r2=(t-3^-r2

???以P7的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積與AP4B的面積相等

.(f-3)2-r2=?2-6r+8

：.r2=1

...一>0,

r=1,

的半徑是常量.

4(1)V=-"2+2%+3

Z3-VB3+屈、

2'9

(2)存在，＜)

⑶存在，(T")或(2，T)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法直接求出拋物線(xiàn)解析式；

(2)分兩種情況用三角形8c尸的面積建立方程，解方程即可得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)先判斷出三角形8C。是直角三角形，進(jìn)而得出。是新的直徑的一個(gè)端點(diǎn)，再分兩種

情況求出直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而判定是否相似即可.

【詳解】(1)解：：拋物線(xiàn)＞=一/+加+3交y軸于點(diǎn)0,

.?.0(0,3)

/.0c=3,

oc

tanZOAC=——=3

???OA,

:.OA=1

...^(-1,0)

代入拋物線(xiàn)解析式V=--+及+3得：

0=-l-b+3

解得b=2,

該二次函數(shù)的解析式為'+2X+3；

e.3

ORCP一

(2)解：在/C段的拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)尸，使02；理由如下：

令^y=-工?+2x+3=-(x-3)(x+1)=0

解得：再=T,%=3,

.?.8(3,0),

尸(%,-%?+2%+3)

???點(diǎn)夕在/。段的拋物線(xiàn)上，

?TW0,

11/90

如圖1,過(guò)尸作包，X軸于Z,

jjiy?S&BCP=S&BOC+S梯形尸￡OC-S^PLB

[[3x3+(*+2x+3+3)x(3(3f)x(*+2x+3)]

22,

393

—x——2x=—_

222,X2-3X=1,

3-V133+V13

x=---------x=---------

解得，2或2(舍去)，

,，3-J131+V13

-x1+2x+3=-x2+3x-x+3=-l-------------F3

.?.點(diǎn)P縱坐標(biāo)為：2-2-

(3-屈1+而)

，點(diǎn)尸坐標(biāo)為22；

(3)解:圓上存在0點(diǎn)，使A/℃與A80C相似；理由如下：

如圖2,

vC(0,3),

.-?3C=斤萬(wàn)=3及，

■■AB的垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸&=1,

二點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1,

???△/0C是直角三角形，A/OC與AB。。相似,

是直角三角形，

8c不是直徑，

.?.點(diǎn)0是?！钡闹睆降囊粋€(gè)端點(diǎn)，

①當(dāng)乙BCQ是直角，則8。是直徑，

CQVBC

:AAOCSAQCB,

QC_BC_BQQC372BQ

:.^O~~CO~~CA,gp13M,

:.BQ=2亞,CQ=y/2t

BM=QM=-BQ=4S

??2,

設(shè)點(diǎn)

V(3-l)2+^2=V5,

解得，r1或T(舍去)，

.'.A/(1,1),

???8(3,0),

設(shè)點(diǎn)。(私〃),

丁點(diǎn)"是8。的中點(diǎn)，

3+加1

-------=1

<2

0+〃1

------=1

.?.〔2,

[m——1

解得:1"=2,

.?-2(-1,2).

13/90

②當(dāng)乙8℃=90。時(shí)，則CQ是直徑,

設(shè)。（加M,

??.點(diǎn)M是CQ的中點(diǎn)，

0+m1

---=I

V2

3+〃1

---=1

，12,

（m=2

解得:〔”=一1,

綜上，滿(mǎn)足條件的0（-1，2）或Q（2,-l）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定

和性質(zhì)、勾股定理，圓周角定理，作輔助線(xiàn)夠構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

5.（1）16

⑵（T4）或（-5,-6）

（3）△4即是等邊三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，過(guò)點(diǎn)尸作尸于7,根據(jù)

S四邊形佛形尸=S^PT+sOCPT歹U式求角軍即可.

（2）取"（45）,連接防B%,易證明%=45。，則線(xiàn)段驅(qū)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)

（y=-X+-[卜=-3

月即為所求；求出直線(xiàn)8a的解析式為y=-x+1,聯(lián)立〔k*-3》+4,解得[y=4或

Jx=1

壯二°（舍去），則6（T4）；如圖所示，取名㈠,-5）,連接/凡，BH、同理可得

ZABH2=45°t則直線(xiàn)時(shí)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)心即為所求；同理可得6（一5,一6）；則符合題

意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一二3）或（一5,-6）；

（3）由90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到NC為過(guò)40C三點(diǎn)的圓的直徑，如圖所示,

取/C中點(diǎn)尺，連接NE，AF,EFERFR,則火（々2）,OA=OC=4

22(SY

3+2)+(n-2)=--

________\27

AC=^42+42=4A/2.設(shè)OR與拋物線(xiàn)交于(見(jiàn)〃)，聯(lián)立卜=一/_3〃+4得

432

m+6m+6m-8m=0;解得機(jī)］=0，?i2,=—4m}=-l+V3w4=-l-V3,則

-石,3+百)F(-l+V3,3-V3)

由勾股定理可得/￡==則△/￡尸是等

邊三角形.

【詳解】(1)解:將點(diǎn)8。°)代入了=一/+云+4,

得-1+6+4=0

解得6=-3

???拋物線(xiàn)解析式為V=-3x+4；

過(guò)點(diǎn)尸作尸于兀

..尸(-2,6),/(-4,0),C(0,4)；

?..CM=4,0T=2OC=4PT=6,

??.ZT=2,

.?.S四邊形頻尸=S/XAPT+SOCPT

1。/6+4-

=—x2x6+------x2

22

(2)解：如圖所示，取”64,5),連接/%BH,

../(-4,0)5(1,0)乜(-4,5)

?、，，

15/90

.AH】=5,AB,h5AH、AB

.NABH、=45°

二線(xiàn)段BH\與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)4即為所求；

設(shè)直線(xiàn)BH\的解析式為>=區(qū)+4,

]左+4=0

.：-4左+4=5

,,，

[k=-\

,U=i

??，

???直線(xiàn)附的解析式為y=f+i,

(y=-x+l卜=-3(x=1

聯(lián)立ik*一3x+4,解得卜=4或1尸0(舍去),

.6(-3,4).

,,?

如圖所示，取區(qū)(一4「5),連接"凡，BH"

同理可得乙颯=45。，

???直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)P］即為所求；

同理可知直線(xiàn)BE的解析式為y=x-l,

\y=x-\Jx=-5\x=l

聯(lián)立一3X+4,解得jy=_6或〔y=0(舍去)，

.U),

,,，

綜上所述，符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(T，4)或(-5,-6)；

(3)解：△/即是等邊三角形，理由如下：

「40C三點(diǎn)共圓，且N/OC=90。，

.../C為過(guò)40C三點(diǎn)的圓的直徑，

如圖所示，取"中點(diǎn)R,連接AE,AF,EF,ER,FR,

../(-4,0),C(0,4),

.R(-2,2),04=0C=4

..AC=A/42+42=4A/2.

設(shè)?；鹋c拋物線(xiàn)交于("'〃)，

22/4后丫

(m+2)-+(?-2)-=—

kZ7

聯(lián)立、〃二一/-3〃+4得/+6加3+6m2-8m=0f

m(m+4)(加2+2m-2)=0

m_

解得i=°,加2=4,m3=-l+V3,m4=-l-\/3

在y=-x?—3x+4中，當(dāng)+時(shí),尸一。+⑸一3。+6>4=3"

當(dāng)x=--百時(shí)，>=-。-6)-3。-6)+4=3+6

,E(-l-V3,3+V3)F^l+V3,3-V3)

N￡=《I一百+4)+0+司=276

AF=41+6+4)+°一可=2y/6

封=41一出+1一可+@+m一3+可=2屈

...AE=AF=EF,

.?.△NM是等邊三角形.

17/90

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，圓的相關(guān)知識(shí),

解題的關(guān)鍵在于正確作出輔助線(xiàn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.

12,

y=—X--x-4

6.（1）'2

⑵存在，9+2.2+26）

⑶6

【分析】⑴根據(jù)題意得到以4'°）,C（°"）,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）判斷小℃是等腰直角三角形，可求出/℃川=30。，設(shè)CM交x軸于點(diǎn)。，則

A

OZ）=（9C-tan30°=-4^—/3八

3,求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)°。的解析式，聯(lián)立方

y=V3x-4

<12/

y——x—x—4

程組C2,求出公共解即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；

（3）記過(guò)點(diǎn)AB、。的圓的圓心為點(diǎn)G,設(shè)'），根據(jù)G?=GT,可得出

/一2根+1+〃2一2切-9=0①，由點(diǎn)。在拋物線(xiàn)上，可得出毋=2優(yōu)+2〃+8②，將②代

S,?=—AB-EF=3（2t—〃）

入①得求出2t-=2,根據(jù)三角形面積公式求出F27,然后整體代

入計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：???。3=。。=4,

:點(diǎn)B的坐標(biāo)為0°），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（°”）,

把8（4,0）,。（0，-4）代入"；/+如+:

8+4b+c=0

得c=-4

fb=-l

解得i0二一匕

124

y=—x-x-4

???拋物線(xiàn)的解析式為2；

（2）解：在第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)使/5C"=15。，理由如下:

如圖4cM=15。，

.?.小℃是等腰直角三角形,

,.,/ABC=ZOCB=45°，

???/BCM=15。,

,.,ZOCM=30°，

4x/3

(7D=OCtan30°=——

設(shè)”交工軸于點(diǎn)。，則3

??.點(diǎn)D的坐標(biāo)為

設(shè)直線(xiàn)0。的解析式為卜=履+4,

bx=-4

則小4

<k=

解得〔4=一4

.y=V3x-4

19/90

y=V3x-4

14

y=—x2-x-4

聯(lián)立2

x=2+2-\/3

x=0

解得1=2+26

y=-4（舍）

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為（（2+2收2+2?。?

1

尸0=—x92-x-4

（3）解：把＞=°代入2,得2

解得%=-2或％=4,

二點(diǎn)/的坐標(biāo)為（一2”

，AB=6,

設(shè)過(guò)點(diǎn)/、B、。得圓的圓心為點(diǎn)G,

???點(diǎn)G在線(xiàn)段42的垂直平分線(xiàn)上,

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為0'0,

同理可得點(diǎn)G在線(xiàn)段。石的垂直平分線(xiàn)上,

????！?，》軸于點(diǎn)尸,

...設(shè)。（如〃）,則￡（加2-〃）,

S“BE=；4B,E尸=gx6（2f-〃）=3（2f-〃）

...GD2=GA2,

.（1一加）2+g_"）2_（_2_I）+（0_,）2

整理得加2一2加+1+〃2-2打一9=0①,

???點(diǎn)。在拋物線(xiàn)上,

12

—m-m-44=n

??.2,

得m2=2m+2〃+8,

將②代入①得,/_2切+2〃=0,

???〃w0,

—2/+2=0,即2/—〃=2,

...LBE=3（2lz）=6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，拋物線(xiàn)上

的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

y=—（x-4Y-1=—x2-2x+3；

7.（I）-八）4

（3）相交，證明見(jiàn)解析

【分析】（1）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線(xiàn)的解析式，然后將/點(diǎn)坐標(biāo)代

入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)尸作y軸的平行線(xiàn)，交/C于°；易求得直線(xiàn)NC的解析式，可設(shè)出尸點(diǎn)的坐標(biāo)，

進(jìn)而可表示出P、。的縱坐標(biāo)，也