變量在數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

page1德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)建模暑期培訓(xùn)教案數(shù)學(xué)建模主講人：高秀蓮第1頁數(shù)學(xué)建模實(shí)例先看一個發(fā)生在我國實(shí)例，年全國人口普查，挨家挨戶實(shí)查一年多（約5億人年），查出是12.66億人，若用微分方程，一個大學(xué)生只花5分鐘（5人分），算出是13.45億人。二者結(jié)果相差不多（實(shí)查和預(yù)測相差8000萬人，占6.4%），但效率有天壤之別，前者又費(fèi)時又慢（約5億人年），后者又省又快（5人分）。這是什么道理呢？page2可見，數(shù)學(xué)能夠作為預(yù)測或驗(yàn)證現(xiàn)實(shí)一個又省又快方法。第2頁慣用建模方法page31.概率統(tǒng)計建模：數(shù)據(jù)統(tǒng)計描述、方差分析（單原因、多原因）、回歸分析（線性、非線性、多元線性、逐步回歸）、聚類分析等。2.優(yōu)化問題建模：非線性、多目標(biāo)、動態(tài)規(guī)劃、圖論。3.當(dāng)代優(yōu)化算法：蟻群算法、貪心算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法。4.數(shù)學(xué)試驗(yàn)MATLAB、LINGO。第3頁參賽隊?wèi)?yīng)具備能力page4基本知識：

高等數(shù)學(xué)+線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、0-1規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、圖論、排隊論等）、數(shù)值計算方法、常微分方程等；能力要求：

建模能力，編程或試驗(yàn)?zāi)芰?，論文寫作能力，團(tuán)結(jié)協(xié)作能力、文件檢索與閱讀能力等（選讀優(yōu)異論文，掌握論文寫作方法，提升寫作技能）。第4頁熱點(diǎn)建模問題房價問題網(wǎng)癮問題,網(wǎng)購問題高等教育問題金融危機(jī)問題釣魚島、南海戰(zhàn)爭博弈問題環(huán)境污染控制問題（霧霾問題、地下水、重金屬等）食品安全問題城鎮(zhèn)化問題、計劃生育問題、老齡化問題、交通堵塞問題大數(shù)據(jù)問題第5頁歷年本科組賽題列表年度AB1992作物生長施肥效果問題;化學(xué)試驗(yàn)室試驗(yàn)數(shù)據(jù)分解問題1993通訊中非線性交調(diào)頻率設(shè)計問題足球甲級聯(lián)賽排名問題1994山區(qū)修建公路設(shè)計造價問題鎖具制造、銷售和裝箱問題1995飛機(jī)安全飛行管理調(diào)度問題天車與冶煉爐作業(yè)調(diào)度問題1996最優(yōu)打魚策略問題節(jié)水洗衣機(jī)程序設(shè)計問題1997零件參數(shù)優(yōu)化設(shè)計問題

金剛石截斷切割問題1998投資收益和風(fēng)險問題災(zāi)情巡視路線問題1999自動化機(jī)床控制管理問題地質(zhì)堪探鉆井布局問題DNA序列分類問題鋼管訂購和運(yùn)輸問題三維血管重建問題公交車優(yōu)化調(diào)度問題汽車車燈優(yōu)化設(shè)計問題彩票中數(shù)學(xué)問題SARS傳輸問題露天礦生產(chǎn)車輛安排問題第6頁年度AB奧運(yùn)會暫時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計問題電力市場輸電阻塞管理問題長江水質(zhì)評價與預(yù)測問題DVD在線租賃問題出版社資源管理問題艾滋病療法評價及預(yù)測問題中國人口增加預(yù)測問題“乘公交，看奧運(yùn)”問題;數(shù)碼相機(jī)定位問題高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討問題制動器試驗(yàn)臺控制方法問題眼科病床合理安排問題儲油罐變位識別與罐容表標(biāo)定問題上海世博會影響力定量評定問題城市表層土壤重金屬污染分析問題交巡警服務(wù)平臺設(shè)置與調(diào)度問題葡萄酒評價問題太陽能小屋設(shè)計問題車道被占用對城市道路通行能力影響碎紙拼接歷年本科組賽題列表第7頁命題特點(diǎn)建模方法高度綜合現(xiàn)實(shí)性和導(dǎo)向性：問題和數(shù)據(jù)大多起源于工程、科技、生活、管理等科研、工程實(shí)際問題，問題處理有一定現(xiàn)實(shí)意義和科研導(dǎo)向。規(guī)模性：大規(guī)模變量或海量數(shù)據(jù)必須借助數(shù)學(xué)軟件數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性：

數(shù)據(jù)屬性結(jié)構(gòu)復(fù)雜性缺失或異常數(shù)據(jù)問題數(shù)據(jù)真實(shí)性不是全部數(shù)據(jù)都有用，怎樣篩選本身就是數(shù)學(xué)建模第8頁賽題中包括到數(shù)學(xué)方法空間與解析理論、線性代數(shù)、微積分概率與統(tǒng)計--方差、回歸、時間序列、相關(guān)分析、聚類或判別分析運(yùn)籌學(xué)或數(shù)學(xué)規(guī)劃線性、整數(shù)、0-1、非線性、多目標(biāo)規(guī)劃圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化多原因綜合評價數(shù)值計算方法數(shù)值微分，數(shù)值積分，插值與擬合等差分與微分方程等機(jī)理分析建模方法排隊論、對策論、決議論其它：含糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)規(guī)劃與決議、隨機(jī)模擬、灰色系統(tǒng)理論、優(yōu)化算法（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、蟻群算法等）第9頁※看上去簡單、易了解題目，普通并不輕易取得獎項(xiàng)；

※看上去不好了解題目，反而有可能取得好獎項(xiàng)；

※盡早確定，防止猶豫不決，浪費(fèi)時間取勝關(guān)鍵：靜下心來，仔細(xì)閱讀，經(jīng)過查閱文件和相關(guān)資料，把問題想明白，并用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)诒硎厩宄?/p>

※國家一等獎名額分配平均分散到各題怎樣選題第10頁

１耐心、

細(xì)心題目

——注意仔細(xì)閱讀題目，找出并標(biāo)注相關(guān)關(guān)鍵詞或關(guān)鍵句子，仔細(xì)體會可能引導(dǎo)建模方向與問題目標(biāo)一切詞匯

※閱讀題目通常會伴隨競賽全過程

２確定目標(biāo)要求——找出全部與建模目標(biāo)相關(guān)相關(guān)原因，理清各原因之間關(guān)聯(lián)關(guān)系或機(jī)理聯(lián)絡(luò)，確定建模目標(biāo)基本結(jié)構(gòu)和建模方法

３分清建?；疽蟆㈦y點(diǎn)或關(guān)鍵點(diǎn)

經(jīng)過查閱文件和閱讀相關(guān)圖書或?qū)I(yè)資料，尋求問題難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)處理策略或方法＿創(chuàng)新亮點(diǎn)題意了解第11頁

先宏觀、再微觀，先主體，后細(xì)節(jié)；分清主次，逐次進(jìn)行。先主要原因，后次要原因

不停選擇、不停論證、不停完善

關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)處理：逐步清楚化亮點(diǎn)

現(xiàn)實(shí)與理想之間平衡，簡單與復(fù)雜之間博弈：模型解應(yīng)符合現(xiàn)實(shí)要求，即含有可行性，最理想解不一定含有可操作性；模型并不一定越復(fù)雜越好，但過于簡化有可能失真，復(fù)雜程度高低應(yīng)視問題需要。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

——在不停論證中，建模思緒逐步展開和完善建模方向把握——漸次清楚過程第12頁重視節(jié)奏與效率：

1確立分時段進(jìn)展目標(biāo)，合理分工

2提倡討論，但要提升討論有效率，防止無意義爭論；

3以成效論優(yōu)劣

論文寫作

1論文寫作應(yīng)視為競賽中間過程，防止等一切做完后再著手寫作

2論文寫作自始至終應(yīng)由一個隊員執(zhí)筆，防止多人執(zhí)筆出現(xiàn)混亂現(xiàn)象建模方向把握——漸次清楚過程第13頁端正態(tài)度競爭意識，追求卓越，鍥而不舍

態(tài)度是實(shí)力發(fā)揮確保

平和心態(tài)，冷靜思索應(yīng)防止問題：投機(jī)意識和學(xué)術(shù)不端參賽一次，受益終生創(chuàng)新把每個細(xì)節(jié)處理到極致，就是創(chuàng)新。創(chuàng)新表達(dá)在建模各個步驟中建模方向把握——漸次清楚過程第14頁建模論文評價2025/4/111、假設(shè)合理性關(guān)鍵假設(shè),并對假設(shè)合理性進(jìn)行解釋,文中引用。2、建模創(chuàng)造性勉勵創(chuàng)新,但要切實(shí),不要離題搞標(biāo)新立異。3、結(jié)果正確性普通是沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，但要自圓其說，好模型結(jié)果普通比很好,但不一定最好。4、表述清楚性表述清楚、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)。撰寫論文是讓他人閱讀，前后表述應(yīng)該是一個邏輯論證過程，即是一個講理過程。要讓人知其理，明其理。第15頁怎樣撰寫一篇高質(zhì)量競賽論文2025/4/111、摘要寫作：摘要是整篇文章高度濃縮和精華，是整篇論文重中之重。在摘要中應(yīng)表示：針對每個問題作了何種分析，基于分析做出了哪些關(guān)鍵假設(shè)，采取了何種建模方法，怎樣對模型參數(shù)進(jìn)行識別（方法），建立了什么模型；主要結(jié)果是什么；有什么特色和創(chuàng)新點(diǎn)，以及其它工作。注意摘要中盡可能不要出現(xiàn)公式、圖形或表格，文字精練，表示準(zhǔn)確。第16頁2025/4/112、論文寫作：要求層次分明，重點(diǎn)突出論文是全部工作完整表達(dá)，力爭將你們工作和創(chuàng)造性結(jié)果或新研究結(jié)果都充分地反應(yīng)出來要求內(nèi)容充實(shí)、論據(jù)充分、論證有力、主題明確、格式規(guī)范、層次分明，經(jīng)過大小標(biāo)題分為若于個邏輯段落，讓評委各取所需，一目了然。不要給評委留下更多疑問和猜測。實(shí)事求是，不要過分夸大。怎樣撰寫一篇高質(zhì)量競賽論文第17頁關(guān)于論文寫作評價規(guī)范性數(shù)學(xué)表示嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性前后自圓其說培養(yǎng)結(jié)果檢驗(yàn)意識：誤差分析、穩(wěn)定性分析、靈敏度檢驗(yàn)、假設(shè)檢驗(yàn)等第18頁競賽論文評閱中常見問題數(shù)學(xué)建模是一個嚴(yán)謹(jǐn)分析、論證、檢驗(yàn)和應(yīng)用過程，建模論文前后應(yīng)自圓其說。問題分析不透徹，不論條件與詳細(xì)問題差異，直接引用或套用建模方法，缺乏必要分析、觀察、論證或假設(shè)檢驗(yàn)過程。整篇論文沒有明確數(shù)學(xué)模型，只是依據(jù)賽題數(shù)據(jù)，利用軟件計算，“湊”出結(jié)果，結(jié)果正確是否不論證；羅列一系列假設(shè)或模型，既不作合理性和正確性分析和評價，又不做模型優(yōu)選和正確性評價，希望碰上“參考答案”或“評閱思緒”第19頁建模方法不可信：吃透題意方面不足，沒有抓住和處理主要問題；就事論事，形成數(shù)學(xué)模型意識和能力欠缺；對所用方法一知半解，不論詳細(xì)條件，套用現(xiàn)成方法，造成錯誤；對結(jié)果分析不夠，怎樣符合實(shí)際考慮不周；撰寫論文時間過于倉促，造成論文過于簡單，該交代內(nèi)容被省略；競賽論文評閱中常見問題第20頁寫作方面問題(摘要、簡明、優(yōu)缺點(diǎn)、參考文件);無參考文件，或羅列一批參考文件，但在論文正文中無引用公式、符號、圖形、表格不規(guī)范現(xiàn)象突出，主要表達(dá)在鍵盤公式、圖形或表格無標(biāo)題和編號、計算結(jié)果直接屏幕截圖隊員之間合作精神差，孤軍奮戰(zhàn)；依賴心理重，甚至違紀(jì)（指導(dǎo)教師、網(wǎng)絡(luò)）競賽論文評閱中常見問題第21頁0-1變量在數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)試驗(yàn)中應(yīng)用

page22數(shù)學(xué)建模在實(shí)際問題和數(shù)學(xué)理論之間架起了橋梁，發(fā)揮了巨大作用，而數(shù)學(xué)模型建立和求解需要試驗(yàn)。許多數(shù)學(xué)模型是抽象，只有經(jīng)過數(shù)學(xué)試驗(yàn)才能快速進(jìn)行數(shù)值求解和定量分析，深入地完善和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。所謂“數(shù)學(xué)試驗(yàn)”就是利用計算機(jī)系統(tǒng)作為研究工具，以數(shù)學(xué)理論作為試驗(yàn)原理，以數(shù)學(xué)素材作為試驗(yàn)對象，以簡單對話方式或復(fù)雜程序方式作為試驗(yàn)形式，以數(shù)值計算、符號演算、幾何圖形演示作為試驗(yàn)內(nèi)容，以實(shí)例分析、模擬仿真、歸納總結(jié)等為主要試驗(yàn)方法，以輔助學(xué)數(shù)學(xué)、輔助用數(shù)學(xué)或輔助作數(shù)學(xué)為試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，以試驗(yàn)匯報為最終形式上機(jī)實(shí)踐活動。數(shù)學(xué)素質(zhì)是數(shù)學(xué)知識和能力綜合表達(dá)，數(shù)學(xué)素質(zhì)除了包含抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力外，還應(yīng)包含數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)值計算能力，即會“用數(shù)學(xué)”處理實(shí)際問題，會用計算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計算，而數(shù)學(xué)試驗(yàn)正是這種能力很好表達(dá)和應(yīng)用。第22頁0-1變量在數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)試驗(yàn)中應(yīng)用

page23近幾年數(shù)學(xué)建模競賽題大都來自于工程技術(shù)與社會經(jīng)濟(jì)生活，每一道題都緊緊圍繞當(dāng)前社會熱點(diǎn)，而每年都有這么一類題：給定人力、物力、財力怎樣使得效益最大或給定任務(wù)，怎樣用最少人力、物力、財力去處理它——即屬于“運(yùn)籌學(xué)中規(guī)劃論”部分，更確切地說，屬于“規(guī)劃論中整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃”，如年A題：SARS傳輸、B題：露天礦生產(chǎn)車輛安排；年A題：奧運(yùn)會暫時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計、B題：電力市場輸電阻塞管理；年A題：長江水質(zhì)評價和預(yù)測、B題：DVD在線租賃；年A題：出版社資源配置；年B題：“乘公車，看奧運(yùn)”；年B題：眼科病床合理安排問題；年B題：交巡警服務(wù)平臺設(shè)置與調(diào)度問題；年B題：太陽能小屋設(shè)計問題；年B題：碎紙拼接問題。第23頁生產(chǎn)和經(jīng)營管理中經(jīng)常提出怎樣合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，取得最大效益，這就是規(guī)劃問題。線性規(guī)劃通常處理以下兩類問題：（1）當(dāng)任務(wù)或目標(biāo)確定后，怎樣統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少資源（如資金、設(shè)備、原標(biāo)材料、人工、時間等）去完成確定任務(wù)或目標(biāo)（2）在一定資源條件限制下，怎樣組織安排生產(chǎn)取得最好經(jīng)濟(jì)效益（如產(chǎn)品量最多、利潤最大.）（非）線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型規(guī)劃問題page24第24頁我們碰到實(shí)際中整數(shù)規(guī)劃所包括主要問題有：(1)運(yùn)作問題(OperationalProblems)比如：貨物分配、生產(chǎn)調(diào)度、機(jī)器排序、運(yùn)輸問題等。(2)計劃問題(PlanningProblems)比如：資金預(yù)算、選址問題、證券組合分析等。(3)設(shè)計問題(DesignProblems)比如：通信和交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計、超大規(guī)模集成電路設(shè)計、自動化生產(chǎn)線設(shè)計等。其特點(diǎn)都是對資源進(jìn)行有效管理，使其發(fā)揮盡可能大效益。傳統(tǒng)計算整數(shù)規(guī)劃方法有：“割平面法(CuttingPlaneAlgorithm)”和“分支定界法(BranchandBoundMethod)”。不過對于變量比較多整數(shù)規(guī)劃問題或是混合整數(shù)規(guī)劃問題，這些方法就不太實(shí)用了。當(dāng)前比較簡單方法就是引入0一l邏輯變量，使得約束條件線性化，光滑化后用LINDO／L1NG0來處理。常規(guī)整數(shù)規(guī)劃求解方法page25第25頁0—1變量應(yīng)用page260—1變量也稱為邏輯變量(LogicalVariable)，經(jīng)常表示系統(tǒng)處于某種特定狀態(tài)，或者決議時是否取定某個特定方案：當(dāng)系統(tǒng)處于特定狀態(tài)，或決定取定方案當(dāng)系統(tǒng)不處于特定狀態(tài)，或決定不取定方案10yì=í?第26頁這類問題經(jīng)常出現(xiàn)在計劃問題中選址問題和證券組合分析中，比如：在A1、A2、A3處建廠至多項(xiàng)選擇擇兩個，則可引入0-1變量，問題化為，其中。0-l變量在含有相互排斥計劃問題中應(yīng)用page27第27頁對于這類相互矛盾又必須同時出現(xiàn)在模型中互斥約束，能夠經(jīng)過引入0-1變量及一個很大正數(shù)M，化為能夠看出當(dāng)y=0時(1)式起作用，(2)式自然成立；y=1時(2)式起作用，(1)式自然成立。在建立數(shù)學(xué)模型時候，有時會碰到相互矛盾約束條件，而模型只能是二者選擇其一，比如：與是相互矛盾，顯然不能同時將他們直接放在模型中，因?yàn)檫@兩個矛盾約束案件交集是空集，模型將無解，不過問題卻需要同時考慮這對矛盾約束。0-1變量在含有相互排斥約束條件問題中應(yīng)用page28第28頁更普通地page290-1變量在含有相互排斥約束條件問題中應(yīng)用①若n個約束條件中只有k個起作用，能夠經(jīng)過引入0-1變量及一個很大正數(shù)M，化為其中表明個約束條件中有n-k個右端項(xiàng)為，為自然成立不起約束作用，而只有k個約束條件起作用。第29頁②約束條件右端項(xiàng)可能是r個值中某一個，page300-1變量在含有相互排斥約束條件問題中應(yīng)用即則定義則模型可為：第30頁我們經(jīng)常能碰到含有固定費(fèi)用優(yōu)化問題，尤其在存放問題中，經(jīng)常含有固定費(fèi)用和可變費(fèi)用兩部分。這類含有固定費(fèi)用問題普通不能用線性規(guī)劃來表述，不過經(jīng)過引入0—1變量能夠化為混合整數(shù)規(guī)劃。比如用表示產(chǎn)品j生產(chǎn)數(shù)量，其生產(chǎn)費(fèi)用函數(shù)通常可表示page310-1變量在含有固定費(fèi)用函數(shù)問題中應(yīng)用其中是與產(chǎn)量無關(guān)生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用。若問題目標(biāo)是使全部產(chǎn)品總生產(chǎn)費(fèi)用為最小，即求為了表示費(fèi)用函數(shù)中兩個式子，引入0—1變量滿足第31頁page320-1變量在含有固定費(fèi)用函數(shù)問題中應(yīng)用現(xiàn)引入一個任意大正數(shù)M，則上述約束可表為：則模型可為：第32頁page330-1變量在模型中應(yīng)用及其LINGO求解考慮數(shù)學(xué)模型滿足以下約束條件：(3)下等式最少有一個成立：其中將此問題歸結(jié)為混合整數(shù)規(guī)劃并求解。第33頁page340-1變量在模型中應(yīng)用及其LINGO求解解：引入0-1變量則模型化為：第34頁page35利用LINGO求解model:min=20*y1+5*x1+12*y2+6*x2;x1-1000*y1<0;x2-1000*y2<0;x1+1000*y3>10;x2+1000*(1-y3)>10;2*x1+x2+1000*y4>15;x1+x2+1000*y5>15;x1+2*x2+1000*y6>15;y4+y5+y6<2;x1-x2+0*y7-5*y8+5*y9-10*y10+10*y11=0;y7+y8+y9+y10+y11=1;@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);@bin(y4);@bin(y5);@bin(y6);@bin(y7);@bin(y8);@bin(y9);@bin(y10);@bin(y11);end第35頁計算結(jié)果Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:70.00000

Extendedsolversteps:0

Totalsolveriterations:14

VariableValueReducedCost

Y11.00000020.00000

X110.000000.000000

Y20.00000012.00000

X20.00000011.00000

Y30.0000000.000000

Y40.0000000.000000

Y51.0000000.000000

Y61.0000000.000000

Y70.0000000.000000

Y80.00000025.00000

Y90.000000-25.00000

Y101.00000050.00000

Y110.000000-50.00000

RowSlackorSurplusDualPrice

170.00000-1.000000

2990.00000.000000

30.0000000.000000