第一章 全等三角形（壓軸題專練）（原卷版）

第一章全等三角形（壓軸題專練）一．倍長中線壓軸1．【閱讀理解】課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使請根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個(gè)問題如圖，已知，，，為的中點(diǎn)．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點(diǎn)在上，記銳角，且，則的度數(shù)是___________（用含的代數(shù)式表示）．2．如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長到點(diǎn)E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．3．（1）方法呈現(xiàn)：如圖1，在中，若，，D為邊的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長至點(diǎn)E，使，再連接，可證，從而把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”．（2）知識運(yùn)用：如圖2，在中，D為的中點(diǎn)，，，且線段的長度為整數(shù)．求的長度．全等性質(zhì)與判定的綜合證明4．如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點(diǎn)E交于點(diǎn)D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④；錯(cuò)誤的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．3 D．45．（1）已知等腰和，連接，若直線交于點(diǎn)O，則；（2）如圖所示，，連接和，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)G，垂足為F，若，求的面積．

6．如圖，在與中，，，，，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④7．如圖，已知，，，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C． D．8．如圖，交于M，交于D，交于N，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)動點(diǎn)全等三角形問題9．現(xiàn)有一塊如圖所示的綠草地，經(jīng)測量，，，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，小狗汪汪從點(diǎn)B出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)C跑，同時(shí)小狗妞妞從點(diǎn)C出發(fā)沿向點(diǎn)D跑．要使與全等，則妞妞的運(yùn)動速度為（

）

A． B． C．或 D．無法確定10．如圖，已知中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．(1)如果點(diǎn)P在線段上以的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過后，與是否全等？說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，與全等？求出此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動，請直接寫出：①經(jīng)過多少秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？②點(diǎn)P與點(diǎn)Q第2023次相遇在哪條邊上？11．如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的高，、相交于點(diǎn)，，且．

(1)線段的長度等于___________．(2)求證：．(3)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)且．是否存在值，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請求出符合條件的值；若不存在，請說明理由．12．如圖，中，，，．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以每秒1和3的運(yùn)動速度同時(shí)開始運(yùn)動，兩點(diǎn)都要