數(shù)學(xué)材料閱讀題、新定義

材料閱讀題、新定義閱讀下列材料：

如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求證：CD=AB．

小剛是這樣思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求證及特殊角度數(shù)可聯(lián)想到構(gòu)造特殊三角形．即過點(diǎn)A作AE⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)E，則AB=AE，∠E=∠D．

在△ADC與△CEA中，

∵∠D=∠E,∠DAC=∠ECA=75°

∴△ADC≌△CEA，

得CD=AE=AB．

請你參考小剛同學(xué)思考問題的方法，解決下面問題：

如圖2，在四邊形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，請問：CD與AB是否相等？若相等，請你給出證明；若不相等，請說明理由．答案答案：答：CD與AB相等．

證明如下：作AE=AB交BC延長線于E點(diǎn)，

∴∠B=∠E

∵∠B=∠D

∴∠D=∠E，

∵∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°，

∴∠DAC=∠ECA，

∵在△DAC和△ECA中，

，

∴△DAC≌△ECA

（AAS），

∴CD=AE

∴CD=AB．

解析：作AE=AB交BC延長線于E點(diǎn)，則∠B=∠E，而∠B=∠D，得到∠D=∠E，由∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°可得到∠DAC=∠ECA，然后根據(jù)“AAS”可判斷△DAC≌△ECA，根據(jù)全等的性質(zhì)得CD=AE，于是有CD=AB．閱讀下面文字，解決下列問題

(1)問題背景

宇昕同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，求證：BE+DF=EF．

宇昕是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．

他的方法是將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG(如圖2)，此時(shí)GE即是DF+BE．

請回答：在圖2中，∠GAF的度數(shù)是_____、△AGE≌△_____．

(2)拓展研究

如圖3，若E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，要使(1)中線段BE，EF，F(xiàn)D的等量關(guān)系仍然成立，則∠EAF與∠BAD應(yīng)滿足的關(guān)系是_____．

(3)構(gòu)造運(yùn)用

運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下面問題：如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，點(diǎn)E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AE=，試求線段AD，BE的長．

答案答案：90°

△AFE

∠EAF=∠BAD

解析：（1）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，所以AG=AF，∠GAF=90°因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠GAE=∠EAF=45°，從而證得△AGE≌△AEF；

（2）延長FD使DG=BE，連接AG，可證得△ABE≌△ADG，從而證得△AEF≌△AFG，則可證得∠EAF=∠BAD；

（3）由∠CAB=∠CAD=22.5°可得∠DAE=45°，DE⊥AB所以DE=AE=3．根據(jù)勾股定理可求得AD=6，由∠CAB=∠CAD=22.5°根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到兩邊的點(diǎn)到兩邊的距離相等，可證得BC=CF，然后證得△CBG≌△CFD，再證得△CGE≌△CED，求得∠3=∠4=45°，從而求得CE=AE=3，在△CBE中根據(jù)勾股定理求得BE的長，

解；（1）∠GAF的度數(shù)是

90°、△AGE≌△AEF；

將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，

∠GAB=∠DAF，GB=DF，

∵∠GAF=90°，∠EAF=45°；

∴∠GAE=∠EAF=45°；

在△AGE與△AEF中

∴，

∴△AGE≌△AEF（SAS），

∴GB+BE=EF，

∵GB=DF，

∴BE+DF=EF．

（2）∠EAF=∠BAD，

延長FD使DG=BE，連接AG

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°

∴∠B=∠ADG；

在△ABE于△ADG中

∴△ABE≌△ADG（SAS）

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG；

∵BE+DF=EF，DG=BE，

∴DG+DF=EF，

即GF=EF，

在△AEF與△AFG中

∴△AEF≌△AFG（SSS），

∴∠FAG=∠EAF，

∵∠BAE=∠DAG，

∴∠BAE+∠CAD=∠FAG，

∴∠EAF=∠BAD．

（3）∵∠CAB=∠CAD=22.5°，

∴∠DAE=45°，

又∵∠AED=90°，

∴DE=AE=，

∴AD==6．

延長AD，過點(diǎn)C作CF垂直AD于F，

由∠CAB=∠CAD可知AC為∠BAD的角平分線，

∴CB=CF，

把三角形CDF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CF與CB重合，則DF與GB重合．

∴CG=CD，∠GCB=∠DCF；

∵CB⊥AB，CF⊥AD，∠CAB=∠CAD=22.5°；

∴∠ACB=∠ACF=67.5°=∠DCE

∴∠DCA=∠2=∠3，∠DCA+∠DCF=∠2+∠GCB=∠DCE=67.5°，

在△DCE與△GCE中

，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠3=∠4=45°，

∵∠CAB=∠CAD=22.5°，∠4=∠CAB+∠ACE，

∴∠ACE=∠CAB=22.5°，

∴CE=AE=3，

在Rt△CBE中，BE2+BC2=CE2，

即BE==3．

請嘗試解決以下問題：

(1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．

感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠_____．

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_____．

∴_____=EF，故DE+BF=EF．

(2)運(yùn)用(1)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：

如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD＞BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一點(diǎn)，且∠BAE=45°，DE=4，求BE的長．

(3)類比(1)證明思想完成下列問題：在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合)，在旋轉(zhuǎn)過程中，等式BD2+CE2=DE2始終成立，請說明理由．

答案答案：FAE

△EAF

GF

解析：（1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；

（2）過A作AG⊥BC，交BC延長線于G，由正方形的性質(zhì)得出CG=AD=10，再運(yùn)用勾股定理和方程求出BE的長；

（3）運(yùn)用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和勾股定理判斷說明等式成立．

解：（1）根據(jù)等量代換得出∠GAF=∠FAE，

利用SAS得出△GAF≌△EAF，

∴GF=EF，

故答案為：FAE；△EAF；GF；

（2）過A作AG⊥BC，交CB延長線于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∴∠C=∠D=90°，

又∠CGA=90°，AD=CD，

∴四邊形AGCD為正方形．

∴CG=AD=10．

已知∠BAE=45°，

根據(jù)（1）可知，BE=GB+DE．

設(shè)BE=x，則BG=x-4，

∴BC=14-x．

在Rt△BCE中，∵BE2=BC2+CE2，即x2=（14-x）2+62．

解這個(gè)方程，得：x=．

∴BE=；

（3）證明：如圖，將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH的位置，

則CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°．

連接HD，在△EAD和△HAD中，

∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．

∴△EAD≌△HAD，

∴DH=DE，

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，

∴BD2+HB2=DH2，

即BD2+CE2=DE2…（11分）閱讀下面材料：

小炎遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連結(jié)EF，則EF=BE+DF，試說明理由．

小炎是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對集中．她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB，AD是共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問題的方法．她的方法是將△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，再利用全等的知識解決了這個(gè)問題(如圖2)．

參考小炎同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

(1)如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足_

關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+DF；

(2)如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的長．

答案答案：(1)∠B+∠D=180°（或互補(bǔ)）；(2)．

解析：

試題分析：(1)如圖，△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，利用全等的知識可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三點(diǎn)共線，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．

(2)把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合，通過證明△AEG≌△AED得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的長．

(1)∠B+∠D=180°（或互補(bǔ)）．

(2)∵AB=AC，

∴把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合．

則∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．

∵在△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．

∴EC2+CG2=EG2．

在△AEG與△AED中,

∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．

又∵AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED．

∴DE=EG．

又∵CG=BD,

∴BD2+EC2=DE2．

∴．

考點(diǎn)：1．面動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題；2．全等三角形的判定和性質(zhì)；3．勾股定理．閱讀下列材料，并解決后面的問題，在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則

(1)過點(diǎn)A作AD⊥BC于D(如圖1)，

則在Rt△ABD中，AD=_____；(限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素來表示)

在Rt△ACD中，AD=_____；

∴_____=_____

∴_____=_____

同理最后可得，_____=_____=_____；

(2)用尺規(guī)畫△ABC的外接圓⊙O，半徑為r(圖2)，請你另用不同的方法證明以上結(jié)論；并寫出上述結(jié)論與△ABC外接圓直徑的關(guān)系．

(3)應(yīng)用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=，則a=_____，外接圓半徑r=_____．

答案答案：c?sinB

b?sinC

c?sinB

b?sinC

1

1

解析：（1）根據(jù)正弦的定義寫出，然后再等量代換進(jìn)行整理；

（2）過點(diǎn)C作直徑交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠D=∠A，直徑所對的圓周角是直角可得∠DBC=90°，在Rt△BDC中表示出sinD，也就是sinA，然后代入整理即可，同理可證其它兩個(gè)也成立；

（3）代入上述結(jié)論計(jì)算即可．

（1）解：AD=c?sinB，

AD=b?sinC，

c?sinB=b?sinC，

，

同理可得：==；

（2）證明：如圖，點(diǎn)C作直徑CD交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，

∴∠A=∠D（同弧所對的圓周角相等），

∠DBC=90°（直徑所對的圓周角是直角），

∴sinA=sinD，sinD=，

∴==2r，

同理可證：=2r，=2r，

∴===2r；

（3）解：∵=，∠A=30°，∠B=45°，b=，

∴=，

解得a=×=1，

∵=2r，

∴=2r，

解得r=1，

故答案為：a=1，r=1．閱讀下列材料，并解決后面的問題．

在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．過A作AD⊥BC于D(如圖)，則sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．

同理有，．

所以…(*)

即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．

(1)在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素a、b、∠A，運(yùn)用上述結(jié)論(*)和有關(guān)定理就可以

求出其余三個(gè)未知元素c、∠B、∠C，請你按照下列步驟填空，完成求解過程：

第一步：由條件a、b、∠A______∠B；

第二步：由條件∠A、∠B．______∠C；

第三步：由條件．____________c．

(2)一貨貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以28.4海里/時(shí)的速度按北偏東45°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔A在貨輪的北偏西70°的方向上(如圖)，求此時(shí)貨輪距燈塔A的距離AB(結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966)．

答案答案：分析：（1）只要讀清題意，填寫此問應(yīng)該不難；

（2）本題要構(gòu)建出直角三角形，使得已知和所求的條件都轉(zhuǎn)移到直角三角形中進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1），∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，

或

（2）依題意：∠FBC=180°-∠ECB=135°，

∵∠FBA=70°，

∴∠ABC=65°，

∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=40°，BC=14.2．

過B作BD⊥AC于D，

直角三角形BCD中

BD=BC?sin75°≈13.7

直角三角形ABD中

AB=BD÷sin40°≈21.3．

答：貨輪距燈塔A的距離約為21.3海里．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)以及解直角三角形的應(yīng)用，注意直角三角形的應(yīng)用關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，以便把條件和問題都放到直角三角形中進(jìn)行解決．

請閱讀下列材料：

問題：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是過點(diǎn)A的直線，DB⊥MN于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD．求證：BD+AD=CD．

小明的思考過程如下：要證BD+AD=CD，需要將BD，AD轉(zhuǎn)化到同一條直線上，可以在MN上截取AE=BD，并聯(lián)結(jié)EC，可證△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且∠ACE=∠BCD，由此推出△CDE為等腰直角三角形，可知DE=CD，于是結(jié)論得證．

小聰?shù)乃伎歼^程如下：要證BD+AD=CD，需要構(gòu)造以CD為腰的等腰直角三角形，可以過點(diǎn)C作CE⊥CD交MN于點(diǎn)E，可證△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且AE=BD，由此推出△CDE為等腰直角三角形，可知DE=CD，于是結(jié)論得證．

請你參考小明或小聰?shù)乃伎歼^程解決下面的問題：

(1)將圖1中的直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2和圖3的兩種位置時(shí)，其它條件不變，猜想BD，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一個(gè)圖形加以證明；

(2)在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD=，CD=_____．答案答案：±1

解析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE=CB，根據(jù)BE=AB-AE即可證得；

（2）過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

解：（1）如圖2，BD-AD=CD．

如圖3，AD-BD=CD．

證明圖2：（

法一）在直線MN上截取AE=BD，聯(lián)結(jié)CE．

設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F，∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，

∴∠CAE+∠AFD=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠1+∠BFC=90°．

∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

∴CE=CD，∠ACE=∠BCD．

∴∠ACE-∠ACD=∠BCD-∠ACD，即∠2=∠ACB=90°．

在Rt△CDE中，∵CD2+CE2=DE2，

∴2CD2=DE2，即DE=CD．

∵DE=AE-AD=BD-AD，∴BD-AD=CD．

（

法二）如圖2，過點(diǎn)C作CE⊥CD交MN于點(diǎn)E，則∠2=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠2+∠ACD=∠ACB+∠ACD，

即∠ACE=∠BCD．

設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F，∵DB⊥MN，∴∠ADB=90°．

∴∠CAE+∠AFD=90°，∠1+∠BFC=90°．

∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD（ASA）．

∴CE=CD，AE=BD．

在Rt△CDE中，∵CD2+CE2=DE2，

∴2CD2=DE2，即DE=CD．

∵DE=AE-AD=BD-AD，∴BD-AD=CD．

證明：如圖3：（

法一）在直線MN上截取AE=BD，聯(lián)結(jié)CE．

設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)F，∵∠ACB=90°，∴∠2+∠AFC=90°．

∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，∠3+∠BFD=90°．

∵∠AFC=∠BFD，∴∠2=∠3．

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

∴CE=CD，∠1=∠4．

∴∠1+∠BCE=∠4+∠BCE，即∠ECD=∠ACB=90°．

在Rt△CDE中，∵CD2+CE2=DE2，

∴2CD2=DE2，即DE=CD．

∵DE=AD-AE=AD-BD，∴AD-BD=CD．

（

法二）如圖3，過點(diǎn)C作CE⊥CD交MN于點(diǎn)E，則∠DCE=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB，即∠1=∠4．

設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)F，∵DB⊥MN，∴∠ADB=90°．

∴∠2+∠AFC=90°，∠3+∠BFD=90°．

∵∠AFC=∠BFD，∴∠2=∠3．

∵∠1+∠ECF=90°，∠ECF+∠4=90°，

∴∠1=∠4，

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD（ASA）．

∴CE=CD，AE=BD．

在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，

∴2CD2=DE2，即DE=CD．

∵DE=AD-AE=AD-BD，

∴AD-BD=CD．

（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)的意思并沒有指明是哪種情況，

∴綜合了第一個(gè)圖和第二個(gè)圖兩種情況

若是第1個(gè)圖：易證△ACE≌△DCB，CE=CD，

∴△ECD為等腰直角三角形，

∴∠AEC=45°=∠CBD，

過D作DH⊥CB．則△DHB為等腰直角三角形．

BD=BH，

∴BH=DH=1．

直角△CDH中，∠DCH=30°，

BH=1，則CH=．

∴CD=+1

若是第二個(gè)圖：過B作BH⊥CD交CD延長線于H．

解法類似上面，CH=，DH=1，CD=-1．

故答案為：±1．收藏題目題目糾錯(cuò)閱讀材料，解答問題：

命題：如圖，在銳角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圓半徑為R，則===2R．

證明：連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，則∠D=∠A．

因?yàn)镃D是⊙O的直徑，所以∠DBC=90°，

在Rt△DBC中，sin∠D==，

所以sinA=，即=2R，

同理：=2R，=2R，===2R，

請閱讀前面所給的命題和證明后，完成下面(1)(2)兩題：

(1)前面閱讀材料中省略了“=2R，=2R”的證明過程，請你把“=2R”的證明過程補(bǔ)寫出來．

(2)直接運(yùn)用閱讀材料中命題的結(jié)論解題，已知銳角△ABC中，BC=，CA=，∠A=60°，求△ABC的外接圓半徑R及∠C．

答案答案：分析：（1）根據(jù)已知的證明過程，同樣可以分別把∠B和b；∠C和c構(gòu)造到直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行證明；

（2）根據(jù)（1）中證明的結(jié)論===2R，代入計(jì)算．

解答：（1）證明：連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，則∠A=∠D；

因?yàn)镃D是⊙O的直徑，

所以∠DBC=90°，

在Rt△DBC中，

sin∠D=，

所以sinB=，即=2R；

（2）解：由命題結(jié)論知

=，

∴=，

∴sinB=；

∵BC＞CA，

∴∠A＞∠B，

∴∠B=45°，

∴∠C=75°．

由=2R，得R=1．

點(diǎn)評：構(gòu)造直徑所對的圓周角，是圓中構(gòu)造直角三角形常用的一種方法．熟記這一結(jié)論：===2R，便于計(jì)算．

在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c．如圖所示，過C作CD⊥AB于D，則cosA=，

即AD=bcosA．

∴BD=c-AD=c-bcosA

在Rt△ADC和Rt△BDC中有CD2=AC2-AD2=BC2-BD2

∴b2-b2cos2A=a2-(c-bcosA)2

整理得：a2=b2+c2-2bccosA

同理可得：b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

這個(gè)結(jié)論就是著名的余弦定理，在以上三個(gè)等式中有六個(gè)元素a，b，c，∠A，∠B，∠C，若已知其中的任意三個(gè)元素，可求出其余的另外三個(gè)元素．

如：在銳角△ABC中，已知∠A=60°，b=3，c=6，

則由(1)式可得：a2=32+62-2×3×6cos60°=27

∴a=3，∠B，∠C則可由式子(2)、(3)分別求出，在此略．

根據(jù)以上閱讀理解，請你試著解決如下問題：

已知銳角△ABC的三邊a，b，c分別是7，8，9，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)．(保留整數(shù))

答案答案：分析：此題只要把三邊代入余弦定理即可求出三角的余弦值，從而求出三角．

解答：解：由（1）得：72=82+92-2×8×9cosA

則cosA=，∠A≈48°

由（2）得：82=92+72-2×9×7cosB

則cosB=，∠B≈58°

∴∠C=180°-∠A-∠B=74°．

點(diǎn)評：代入法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法，學(xué)生一定要牢固掌握．

“數(shù)學(xué)迷”小楠通過從“特殊到一般”的過程，對倍角三角形(一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形)進(jìn)行研究．得出結(jié)論：如圖1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，如果∠A=2∠B，那么a2-b2=bc．

下面給出小楠對其中一種特殊情形的一種證明方法．

已知：如圖2，在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°．

求證：a2-b2=bc．

證明：如圖2，延長CA到D，使得AD=AB．

∴∠D=∠ABD，

∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，∠CAB=90°

∴∠D=45°，∵∠ABC=45°，

∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C

∴△ABC∽△BCD

∴，即

∴a2-b2=bc

根據(jù)上述材料提供的信息，請你完成下列情形的證明(用不同于材料中的方法也可以)：

已知：如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B．

求證：a2-b2=bc．

答案答案：證明：延長CA到D，使得AD=AB，連接BD．

∴∠D=∠ABD，

∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，

∵∠CAB=2∠ABC，

∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即，

∴a2-b2=bc．

解析：首先延長CA到D，使得AD=AB，得出∠D=∠ABC，進(jìn)而得出△ABC∽△BDC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．解：（1）∠A=600，AC=(2)如圖，依題意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=1800∵∠DCB=300，∴∠CBE=1500∵∠ABE=750。∴∠ABC=750，∴∠A=450在△ABC中 解之得：AB=15………………2分答：貨輪距燈塔的距離AB=15海里答案答案：(1)840

(2)56

解析：

解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(種)．

(2)C83＝＝56(種).收藏題目題目糾錯(cuò)答案

閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線平行的定義.下面就兩個(gè)一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設(shè)一次函數(shù)的圖象為直線，一次函數(shù)的圖象為直線，若，且，我們就稱直線與直線互相平行.解答下面的問題：(1）求過點(diǎn)且與已知直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式,并畫出直線的圖象；(2）設(shè)直線分別與軸、軸交于點(diǎn)、，如果直線：與直線平行且交軸于點(diǎn)，求出△的面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.24246246－2－2用max{a，b，c}表示a、b、c三個(gè)數(shù)中的最大值，則f(x)=max{3x，2x+1，3-4x2}在區(qū)間[0，2]上的最大值M和最小值m分別是()A.M=9，m=-13B.M=5，m=-13C.M=9，m=2D.M=5，m=1答案答案：C

解析：用max{a，b，c}表示a、b、c三個(gè)數(shù)中的最大值，則f（x）=max{3x，2x+1，3-4x2}，在同一坐標(biāo)系中畫出圖象易知．

解：在同一坐標(biāo)系中畫出y=3x、y=2x+1、y=3-4x2的圖象，如圖所示．

∴f（x）=max{3x，2x+1，3-4x2}在區(qū)間[0，2]上的最大值M和最小值m分別是9和2．

故選C．

如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)．解決問題：（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E；拓展探究：（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處．若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系．若一個(gè)四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個(gè)小正方形的邊長為1）有一個(gè)扇形BAC，點(diǎn)A．B．C均在格點(diǎn)上，請?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．析：（1）因?yàn)橛胢in（a，b，c）表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．分別計(jì)算sin30°，cos45°，tan30°的值，因?yàn)閟in30°最小，所以min{sin30°，cos45°，tan30°}=sin30度；

（2）結(jié)合題意，分情況討論，將實(shí)際問題與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出算式或一元一次不等式組即可求解；

（3）作出正確的圖象，是解題的關(guān)鍵．

解答：解：（1）min{sin30°，cos45°，tan30°}=，

如果min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的取值范圍為0≤x≤1；

（2）①∵M(jìn){2，x+1，2x}==x+1．

法一：∵2x-（x+1）=x-1．當(dāng)x≥1時(shí)，

則min{2，x+1，2x}=2，則x+1=2，

∴x=1．當(dāng)x＜1時(shí)，

則min{2，x+1，2x}=2x，則x+1=2x，

∴x=1（舍去）．

綜上所述：x=1．

法二：∵M(jìn){2，x+1，2x}==x+1=min{2，x+1，2x}，

∴

∴

∴x=1．

②a=b=c．

證明：∵M(jìn){{a，b，c}}=，如果min{a，b，c}=c，則a≥c，b≥c．則有=c，

即a+b-2c=0．

∴（a-c）+（b-c）=0．

又a-c≥0，b-c≥0．

∴a-c=0且b-c=0．

∴a=b=c．

其他情況同理可證，故a=b=c．

③-4；

（3）作出圖象．

最大值是1．

點(diǎn)評：解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系．

1、對于實(shí)數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例如，，，若，則的取值可以是（）.A.40B.45C.51D.562、若定義：，，例如，，則=（）A．B． C． D．3、對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算“?”為：a?b=a2+ab﹣2，有下列命題：①1?3=2；②方程x?1=0的根為：x1=﹣2，x2=1；③不等式組的解集為：﹣1＜x＜4；④點(diǎn)（）在函數(shù)y=x?（﹣1）的圖象上．其中正確的是（）A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④4.對于有理數(shù)a，b，規(guī)定一種新運(yùn)算：a⊕b=a?b+b．有下列命題：①(-3)⊕4=-8；②a⊕b=b⊕a；③方程(x-4)⊕3=6的解為x=5；④(4⊕3)⊕2=4⊕(3⊕2)．其中正確命題的序號是______________.5、已知，則,,……已知，則n的值為_________。6、對于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因?yàn)?>2,所以4﹡2.若是一元二次方程的兩個(gè)根，則﹡=7、現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，則實(shí)數(shù)x的值是．8、定義一種新的運(yùn)算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么請?jiān)嚽螅?﹠2）﹠2=．9、我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）．已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是（寫出1個(gè)即可）．10、在計(jì)算n+（n+1）+（n+2）的過程中，各數(shù)位上均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“本位數(shù)”，例如2和30是“本位數(shù)”，而5和91不是“本位數(shù)”.現(xiàn)從所有大于0且小于100的“本位數(shù)”中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，抽到偶數(shù)的概率為____.11.對非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為<x>，即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若n-eq\f(1,2)≤x<n+eq\f(1,2),則<x>=n,如<0.46>=0,<3.67>=4,給出下列關(guān)于<x>的結(jié)論：①<1.493>=1,②<2x>=2<x>,③若<eq\f(1,2)x-1>=4，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是9≤x<11,④當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有<m+2013x>=m+<2013x>,⑤<x+y>=<x>+<y>.其中，正確的結(jié)論有（填寫所有正確的序號）。12、定義：對于實(shí)數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．（1）如果[a]=﹣2，那么a的取值范圍是．（2）如果[]=3，求滿足條件的所有正整數(shù)x．13、定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a⊕b＝a(a－b)+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：2⊕5＝2(2－5)+1＝2(－3)+1＝－6+1＝－5（1）求（－2）⊕3的值（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范圍，并在圖13所示的數(shù)軸上表示出來.14、閱讀材料：若a，b都是非負(fù)實(shí)數(shù)，則a+b≥．當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立．證明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立．舉例應(yīng)用：已知x＞0，求函數(shù)y=2x+的最小值．解：y=2x+≥=4．當(dāng)且僅當(dāng)2x=，即x=1時(shí)，“=”成立．當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值，y最小=4．問題解決：汽車的經(jīng)濟(jì)時(shí)速是指汽車最省油的行駛速度．某種汽車在每小時(shí)70～110公里之間行駛時(shí)（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若該汽車以每小時(shí)x公里的速度勻速行駛，1小時(shí)的耗油量為y升．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；（2）求該汽車的經(jīng)濟(jì)時(shí)速及經(jīng)濟(jì)時(shí)速的百公里耗油量（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．15.現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a★b=，如：3★5=，若x★2=6，則實(shí)數(shù)x的值是(

)A-4或-1B.4或-1C.4或-2D.-4或216.對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：，設(shè)f(x)=(2x-1)*(x-1)，且關(guān)于x的方程為f(x)=m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．17..先閱讀，再填空解答：

方程x2-3x-4=0的根是：x1=-1，x2=4，則x1+x2=3，x1x2=-4；

方程3x2+10x+8=0的根是：x1=-2，，則x1+x2=，x1x2=．

(1)方程2x2+x-3=0的根是：x1=______，x2=______，則x1+x2=______，x1x2=______；

(2)若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a，b，c為常數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么x1+x2，x1x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系是：x1+x2=______，x1x2=______；

(3)如果x1，x2是方程x2+x-3=0的兩個(gè)根，根據(jù)(2)所得結(jié)論，求x12+x22的值．18.給出下列命題：①對于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“*”為：u*v=uv+v．若關(guān)于x的方程x*(a*x)=-沒有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜1；

②設(shè)直線kx+(k+1)y-1=0(k為正整數(shù))與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的直角三角形的面積為Sk，則S1+S2+S3+…+S2008=；③函數(shù)y=-的最大值為2；

④甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有48種．其中真命題的個(gè)數(shù)有___________.19.對x、y定義一種新的運(yùn)算T，規(guī)定（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：（1）已知T（1，-1）=-2，T（4,2）=1求a、b的值；若關(guān)于m的不等式組有3個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。（2）若T(x,y)=T(y,x)對于任意實(shí)數(shù)x、y都成立，則a、b應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？15.答案：①③

解析：根據(jù)新定義可對①②④直接判斷；根據(jù)新定義由（x-4）⊕3=6得到（x-4）⊕3=6，解得x=5，則可對③進(jìn)行判斷．

解：（-3）⊕4=-3×4+4=-8，所以①正確；a⊕b=ab+b，b⊕a=ab+a，所以②錯(cuò)誤；方程（x-4）⊕3=6化為3（x-4）+3=6，解得x=5，所以③正確；（4⊕3）⊕2=（4×3+3）

⊕2=15⊕2=15×2+2=32，4⊕（3⊕2）=4⊕（3×2+2）=4⊕8=4×8+8=40，所以④錯(cuò)誤．

故答案為①③．16---答案：解：∵，

∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=，

則當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值0，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得極大值

故關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3時(shí)，

實(shí)數(shù)m的取值范圍是

令f（x）=，則x=，或x=

不妨令x1＜x2＜x3時(shí)

則＜x1＜0，x2+x3=1

∴x1+x2+x3的取值范圍是

故答案為：，

17--答案：分析：（1）解方程求出方程的兩個(gè)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，與兩根之積；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=-，x1x2=；

（3）利用完全平方公式把x12+x22變化成（x1+x2）2-2x1x2的形式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求值．

解答：解：（1）∵2x2+x-3=0，

∴（2x+3）（x-1）=0，

∴x1=-，x2=1，

∴x1+x2=-，x1x2=-；

故填空答案：，1，，-．

（2）x1+x2=-，x1x2=；

故填空答案：，．

（3）解：根據(jù)（2）可知：

x1+x2=-1，x1x2=-3，

則x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2

=（-1）2-2×（-3）

=7．

點(diǎn)評：本題是一個(gè)信息題，通過閱讀題目所給材料，然后根據(jù)材料解決題目問題，注意題目中每個(gè)小題的聯(lián)系，在解題的過程中善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．

18----答案：A

解析：解：①根據(jù)新定義，x*（a*x）=x*（ax+x），

=x（ax+x）+（ax+x），

=（a+1）x2+（a+1）x，

所以，（a+1）x2+（a+1）x+=0，

∵方程沒有實(shí)數(shù)根，

∴△=（a+1）2-4（a+1）×＜0，

即a（a+1）＜0，

解得-1＜a＜0，故本小題錯(cuò)誤；

②當(dāng)y=0時(shí)，kx-1=0，解得x=，

當(dāng)x=0時(shí)，（k+1）y-1=0，解得y=，

所以，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），

∵k為正整數(shù)，

∴Sk=××==（-），

∴S1+S2+S3+…+S2008=（1-+-+-+…+-），

=（1-），

=×，

=，故本小題正確；

③∵y=-+=-（-+）+=-（-）2+，

∴當(dāng)=，即x=時(shí)，函數(shù)有最大值，故本小題錯(cuò)誤；

④設(shè)4門課程分別為1，2，3，4，甲選修2門，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，

同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，

所以，不同的選修方案共有6×4×4=96種，故本小題錯(cuò)誤；

綜上所述，真命題有②共1個(gè)．

故選A．

18、閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：=（）2；（3）若a+4=，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？19、（2013?咸寧）閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)．解決問題：（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E；拓展探究：（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處．若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：相似形綜合題．分析：（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．（2）根據(jù)兩個(gè)直角三角形相似得到強(qiáng)相似點(diǎn)的兩種情況即可．（3）因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解．解答：解：（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)．（2）作圖如下：（3）∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折疊可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)以及理解相似點(diǎn)和強(qiáng)相似點(diǎn)的概念等，從而可得到結(jié)論．20、（2013?益陽壓軸題）閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp=，同理，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．由勾股定理得AB2=，所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為．注：上述公式對A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．解答下列問題：如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；（3）將直線l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）根據(jù)y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，直接聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）利用兩點(diǎn)間距離公式得出AB的長，進(jìn)而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；（3）點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)A作AH⊥PC于H，利用A，C點(diǎn)坐標(biāo)得出H點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CG=AH，求出即可．解答：（1）解：由，解得：，．則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（，3﹣），B（，3+），∵P是A，B的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），又∵PC⊥x軸交拋物線于C點(diǎn)，將x=代入y=2x2中得y=，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．（2）證明：由兩點(diǎn)間距離公式得：AB==5，PC=|3﹣|=，∴PC=PA=PB，∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC為直角三角形．（3）解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)A作AH⊥PC于H，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（，3﹣），∴S△PAC=AP?CG=PC?AH，∴CG=AH=|﹣|=．又直線l與l′之間的距離等于點(diǎn)C到l的距離CG，∴直線l與l′之間的距離為．點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間距離公式和兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出H點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．21、(2013年黃石)如圖1，點(diǎn)將線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)。某數(shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行課題研究時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線.（1）如圖2，在△中，°，，的平分線交于點(diǎn)，請問點(diǎn)是否是邊上的黃金分割點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；（2）若△在（1）的條件下，如圖（3），請問直線是不是△的黃金分割線，并證明你的結(jié)論；（3）如圖4，在直角梯形中，，對角線、交于點(diǎn)，延長、交于點(diǎn)，連接交梯形上、下底于、兩點(diǎn)，請問直線是不是直角梯形的黃金分割線，并證明你的結(jié)論.EEACBADBCACDHABBFCD圖1圖2圖3圖4···解析：解：（1）點(diǎn)是邊上的黃金分割點(diǎn)，理由如下：∵°，∴°∵平分∴°∴°∵，∴∴又∵∴∴是邊上的黃金分割點(diǎn) （3分）（2）直線是△的黃金分割線，理由如下：設(shè)的邊上的高為，則，，∴，∵是的黃金分割點(diǎn)∴∴∴是△的黃金分割線 （3分）（3）不是直角梯形的黃金分割線∵∥∴，∴①②由①、②得即③同理，由，得即④由③、④得∴∴∴梯形與梯形上下底分別相等，高也相等∴梯形梯形梯形∴不是直角梯形的黃金分割線 （3分）22、（2013?寧波）若一個(gè)四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個(gè)小正方形的邊長為1）有一個(gè)扇形BAC，點(diǎn)A．B．C均在格點(diǎn)上，請?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．考點(diǎn)：四邊形綜合題．分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD為等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和諧線；（2）由題意作圖為：圖2，圖3（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如圖4，當(dāng)AD=AC時(shí)，∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°．∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=75°，∴∠BCD=60°+75°=135°．如圖5，當(dāng)AD=CD時(shí)，∴AB=AD=BC=CD．∵∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°如圖6，當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，∵AC=CD．CE⊥AD，∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，∴四邊形ABFE是矩形．∴BF=AE．∵AB=AD=BC，∴BF=BC，∴∠BCF=30°．∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC=∠ACE，∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，∴∠BCD=15°×3=45°．點(diǎn)評：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時(shí)合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵．23、(2013年南京壓軸題)對于兩個(gè)相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個(gè)三角形互為順相似；如果沿周界按對應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個(gè)三角形互為逆相似。例如，如圖，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相同，因此△ABC與△A’B’C’互為順相似；如圖，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相反，因此△ABC與△A’B’C’互為逆相似。ABCABCA’B’C’A’B’C’(1)根據(jù)圖I、圖II和圖III滿足的條件，可得下列三對相似三角形：△ADE與△ABC；△GHO與△KFO；△NQP與△NMQ。其中，互為順相似的是；互為逆相似的是。(填寫所有符合要求的序號)(2)如圖，在銳角△ABC中，A<B<C，點(diǎn)P在△ABC的邊上(不與點(diǎn)A、B、C重合)。過點(diǎn)P畫直線截△ABC，使截得的一個(gè)三角形與△ABC互為逆相似。請根據(jù)點(diǎn)P的不同位置，探索過點(diǎn)P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明ABCABC解析：(1)；(4分)(2)解：根據(jù)點(diǎn)P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況。第一種情況：如圖，點(diǎn)P在BC(不含點(diǎn)B、C)上，過點(diǎn)P只能畫出2條截線PQ1、PQ2，分別使CPQ1=A，BPQ2=A，此時(shí)△PQ1C、△PBQ2都與△ABC互為逆相似。第二種情況：如圖，點(diǎn)P在AC(不含點(diǎn)A、C)上，過點(diǎn)B作CBM=A，BM交AC于點(diǎn)M。當(dāng)點(diǎn)P在AM(不含點(diǎn)M)上時(shí)，過點(diǎn)P1只能畫出1條截線P1Q，使AP1Q=ABC，此時(shí)△AP1Q與△ABC互為逆相似；當(dāng)點(diǎn)P在CM上時(shí)，過點(diǎn)P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使AP2Q1=ABC，CP2Q2=ABC，此時(shí)△AP2Q1、△Q2P2C都與△ABC互為逆相似。第三種情況：如圖，點(diǎn)P在AB(不含點(diǎn)A、B)上，過點(diǎn)C作BCD=A，ACE=B，CD、CE分別交AC于點(diǎn)D、E。當(dāng)點(diǎn)P在AD(不含點(diǎn)D)上時(shí)，過點(diǎn)P只能畫出1條截線P1Q，使AP1Q=ABC，此時(shí)△AQP1與△ABC互為逆相似；當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，過點(diǎn)P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使AP2Q1=ACB，BP2Q2=BCA，此時(shí)△AQ1P2、△Q2BP2都與△ABC互為逆相似；當(dāng)點(diǎn)P在BE(不含點(diǎn)E)上時(shí)，過點(diǎn)P3只能畫出1條截線P3Q’，使BP3Q’=BCA，此時(shí)△Q’BP3與△ABC互為逆相似。(10分)AABCQ1PQ2ABCQ1MQ2QP1P2ABCQ1Q’QP1P2D’EQ2P324、（綿陽市2013年壓軸題）我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質(zhì)，如在關(guān)線段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題。請你利用重心的概念完成如下問題：（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長交BC于D，證明：；（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點(diǎn)，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點(diǎn)重合）（如圖3），S四邊形BCHG．S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究eq\f(S四邊形BCGH,S△AGH)的最大值。解：（1）證明：如圖1，連結(jié)CO并延長交AB于點(diǎn)P，連結(jié)PD?！唿c(diǎn)O是△ABC的重心，∴P是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，PD是△ABC的中位線，AC=2PD，AC//PD，∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，△OPD∽△CA，eq\f(OD,AO)=eq\f(PD,AC)=eq\f(1,2),eq\f(AD,AO)=eqeq\f(OD+OA,OA)=\f(1+2,2)=\f(3,2),∴eq\f(AO,AD)=\f(2,3)；（2）點(diǎn)O是是△ABC的重心。證明：如圖2，作△ABC的中線CP，與AB邊交于點(diǎn)P，與△ABC的另一條中線AD交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q是△ABC的重心，根據(jù)（1）中的證明可知eq\f(AQ,AD)=\f(2,3)，而eq\f(AO,AD)=\f(2,3)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合（是同一個(gè)點(diǎn)），所以點(diǎn)O是△ABC的重心；（3）如圖3，連結(jié)CO交AB于F，連結(jié)BO交AC于E，過點(diǎn)O分別作AB、AC的平行線OM、ON，分別與AC、AB交于點(diǎn)M、N，∵點(diǎn)O是△ABC的重心，∴eq\f(OE,BE)=eq\f(1,3)，eq\f(OF,CF)=eq\f(1,3),∵在△ABE中，OM//AB，eq\f(OM,AB)=eq\f(OE,BE)=eq\f(1,3)，OM=eq\f(1,3)AB，在△ACF中，ON//AC，eq\f(ON,AC)=eq\f(OF,CF)=eq\f(1,3)，ON=eq\f(1,3)AC，在△AGH中，OM//AH，eq\f(OM,AG)=eq\f(OH,GH)，在△ACH中，ON//AH，eq\f(ON,AH)=eq\f(OG,GH)，∴eq\f(OM,AG)+eq\f(ON,AH)=eq\f(OH,GH)+eq\f(OG,GH)=1，eq\f(\f(1,3)AB,AG)+eq\f(\f(1,3)AC,AH)=1,eq\f(AB,AG)+eq\f(AC,AH)=3,令eq\f(AB,AG)=m,eq\f(AC,AH)=n,m=3-n,∵eq\f(S四邊形BCGH,S△AGH)=eq\f(S△ABC-S△AGH,S△AGH),eq\f(S四邊形BCGH,S△AGH)=eq\f(\f(1,2)AB?AC?sin∠BAC-\f(1,2)AG?AH?sin∠BAC,\f(1,2)AG?AH?sin∠BAC)=eq\f(AB?AC-AG?AH,AG?AH)=eq\f(AB?AC,AG?AH)-1=mn-1=(3-n)n-1=-n2+3n-1=-(n-eq\f(3,2))2+eq\f(5,4),∴當(dāng)eq\f(AC,AH)=n=eq\f(3,2)，GH//BC時(shí)，eq\f(S四邊形BCGH,S△AGH)有最大值eq\f(5,4)。附：eq\f(BG,AG)+\f(CH,AH)=1或eq\f(AB,AG)+\f(AC,AH)=3的另外兩種證明方法的作圖。方法一：分別過點(diǎn)B、C作AD的平行線BE、CF，分別交直線GH于點(diǎn)E、F。方法二：分別過點(diǎn)B、C、A、D作直線GH的垂線，垂足分別為E、F、N、M。下面的圖解也能說明問題：材料閱讀題、新定義1、（2013年濰坊市）對于實(shí)數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例如，，，若，則的取值可以是（）.A.40B.45C.51D.56答案：C．考點(diǎn):新定義問題.點(diǎn)評:本題需要學(xué)生先通過閱讀掌握新定義公式，再利用類似方法解決問題.考查了學(xué)生觀察問題，分析問題，解決問題的能力.2、（5-&函數(shù)的綜合與創(chuàng)新·2013東營中考）若定義：，，例如，，則=（）A． B． C． D．6.B.解析：由題意得f(2,3)=(-2,-3),所以g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3),故選B.3、（2013四川宜賓）對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算“?”為：a?b=a2+ab﹣2，有下列命題：①1?3=2；②方程x?1=0的根為：x1=﹣2，x2=1；③不等式組的解集為：﹣1＜x＜4；④點(diǎn)（，）在函數(shù)y=x?（﹣1）的圖象上．其中正確的是（）A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；有理數(shù)的混合運(yùn)算；解一元二次方程－因式分解法；解一元一次不等式組；命題與定理．專題：新定義．分析：根據(jù)新定義得到1?3=12+1×3﹣2=2，則可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)新定義由x?1=0得到x2+x﹣2=0，然后解方程可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)新定義得，解得﹣1＜x＜4，可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)新定義得y=x?（﹣1）=x2﹣x﹣2，然后把x=代入計(jì)算得到對應(yīng)的函數(shù)值，則可對④進(jìn)行判斷．解答：解：1?3=12+1×3﹣2=2，所以①正確；∵x?1=0，∴x2+x﹣2=0，∴x1=﹣2，x2=1，所以②正確；∵（﹣2）?x﹣4=4﹣2x﹣2﹣4=﹣2x﹣2，1?x﹣3=1+x﹣2﹣3=x﹣4，∴，解得﹣1＜x＜4，所以③正確；∵y=x?（﹣1）=x2﹣x﹣2，∴當(dāng)x=時(shí)，y=﹣﹣2=﹣，所以④錯(cuò)誤．故選C．點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足二次函數(shù)的解析式．也考查了閱讀理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式組．.5、（2013達(dá)州）已知，則……已知，求n的值。解析：由題知f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=+++…+=1-+-+-+…+-=1-………(4分）=.………(4分）又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=,∴=.解得n=14.………(6分）經(jīng)檢驗(yàn)，n=14是上述方程的解.故n的值為14.………(7分）6、(2013年臨沂)對于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因?yàn)?>2,所以4﹡2.若是一元二次方程的兩個(gè)根，則﹡=答案：解析：（1）當(dāng)，＝3時(shí)，﹡=＝－3；（2）當(dāng)，＝2時(shí)，﹡=＝3；7、（2013?白銀）現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，則實(shí)數(shù)x的值是﹣1或4．考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法．專題：新定義．分析：根據(jù)題中的新定義將所求式子轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．解答：解：根據(jù)題中的新定義將x★2=6變形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，解得：x1=4，x2=﹣1，則實(shí)數(shù)x的值是﹣1或4．故答案為：﹣1或4點(diǎn)評：此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊變?yōu)榉e的形式，然后根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．8、（2013?牡丹江）定義一種新的運(yùn)算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么請?jiān)嚽螅?﹠2）﹠2=81．考點(diǎn)：有理數(shù)的乘方．3718684專題：新定義．分析：首先根據(jù)運(yùn)算a﹠b=ab，把所求的式子轉(zhuǎn)化為一般形式的運(yùn)算，然后計(jì)算即可求解．解答：解：（3﹠2）﹠2=（32）2=92=81．故答案是：81．點(diǎn)評：本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，理解題意是關(guān)鍵．9、（2013菏澤）我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）．已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是，（或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)）（寫出1個(gè)即可）．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)．專題：新定義；開放型．分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，（1）最長的面徑是等邊三角形的高線；（2）最短的面徑平行于三角形一邊，最長的面徑為等邊三角形的高，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑．解答：解：如圖，（1）等邊三角形的高AD是最長的面徑，AD=×2=；（2）當(dāng)EF∥BC時(shí)，EF為最短面徑，此時(shí)，（）2=，即=，解得EF=．所以，它的面徑長可以是，（或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)）．故答案為：，（或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)）．點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，弄明白面徑的定義，并準(zhǔn)確判斷出等邊三角形的最短與最長的面徑是解題的關(guān)鍵．10、（2013成都市）若正整數(shù)n使得在計(jì)算n+（n+1）+（n+2）的過程中，各數(shù)位上均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“本位數(shù)”，例如2和30是“本位數(shù)”，而5和91不是“本位數(shù)”.現(xiàn)從所有大于0且小于100的“本位數(shù)”中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，抽到偶數(shù)的概率為____.答案：解析：各位數(shù)上均不進(jìn)位，那么n的個(gè)位數(shù)上只能是0,1,2，否則就要在個(gè)位上發(fā)生進(jìn)位，在大于0小于100的數(shù)中，一位數(shù)的本位數(shù)有1,2.兩位數(shù)中十位數(shù)字不能不超過3，否則向百位進(jìn)位，所以有3×3=9個(gè)，分別為10,11,12,20,21,22,30,31,32,其中偶數(shù)有7個(gè)，共有11個(gè)本位數(shù)，所以其概率為12、（2013達(dá)州）選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方。例如

①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；

②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：，

或

③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：

根據(jù)上述材料，解決下面問題：

（1）寫出的兩種不同形式的配方；（2）已知，求的值。解析：：（1）＝x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12或＝（x-2）2-4x(2)X=-1,y=2.因此xy=(-1)2=113、（2013濟(jì)寧）人教版教科書對分式方程驗(yàn)根的歸納如下：“解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母為0，因此應(yīng)如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解．”請你根據(jù)對這段話的理解，解決下面問題：已知關(guān)于x的方程﹣=0無解，方程x2+kx+6=0的一個(gè)根是m．（1）求m和k的值；（2）求方程x2+kx+6=0的另一個(gè)根．考點(diǎn)：解分式方程；根與系數(shù)的關(guān)系．專題：閱讀型．分析：（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解，故將x=1代入整式方程，即可求出m的值，將m的值代入已知方程即可求出k的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出方程的另一根．解答：解：（1）分式方程去分母得：m﹣1﹣x=0，由題意將x=1代入得：m﹣1﹣1=0，即m=2，將m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=﹣5；（2）設(shè)方程另一根為a，則有2a=6，即a=3．點(diǎn)評：此題考查了解分式方程，以及根與系數(shù)的關(guān)系，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．14、（2013?張家界）閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，將等式兩邊同時(shí)乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014將下式減去上式得2S﹣S=22014﹣1即S=22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1請你仿照此法計(jì)算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數(shù)）．考點(diǎn)：同底數(shù)冪的乘法．3718684專題：計(jì)算題．分析：（1）設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210，兩邊乘以2后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值；（2）同理即可得到所求式子的值．解答：解：（1）設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210，將等式兩邊同時(shí)乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211，將下式減去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，則1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；（2）設(shè)S=1+3+32+33+34+…+3n，兩邊乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，下式減去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），則1+3+32+33+34+…+3n=（3n+1﹣1）．點(diǎn)評：此題考查了同底數(shù)冪的乘法，弄清題中的技巧是解本題的關(guān)鍵．15、（2013?十堰）定義：對于實(shí)數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．（1）如果[a]=﹣2，那么a的取值范圍是﹣2≤a＜﹣1．（2）如果[]=3，求滿足條件的所有正整數(shù)x．考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用．3718684專題：新定義．分析：（1）根據(jù)[a]=﹣2，得出﹣2≤a＜﹣1，求出a的解即可；（2）根據(jù)題意得出3≤[]＜4，求出x的取值范圍，從而得出滿足條件的所有正整數(shù)的解．解答：解：（1）∵[a]=﹣2，∴a的取值范圍是﹣2≤a＜﹣1，（2）根據(jù)題意得：3≤[]＜4，解得：5≤x＜7，則滿足條件的所有正整數(shù)為5，6．點(diǎn)評：此題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式組，求出不等式的解．16、（2013年河北）定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b