2025新北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊教案（帶反思）☆ 問題解決策略：特殊化

第四章三角形☆問題解決策略：特殊化1．理解特殊化策略在解決數(shù)學(xué)問題中的重要意義，明確特殊化策略是解決復(fù)雜問題的有效手段之一.2．會識別出哪些類型的數(shù)學(xué)問題適合采用特殊化策略來解決，例如幾何圖形面積計(jì)算問題、與圖形內(nèi)點(diǎn)相關(guān)的線段關(guān)系問題等．3．能熟練地將一般性的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為特殊情形進(jìn)行思考，學(xué)會在不同特殊情形之間建立聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)舉一反三的學(xué)習(xí)能力．重點(diǎn)：理解特殊化問題解決策略的本質(zhì)，掌握運(yùn)用特殊化策略解決幾何問題的方法．難點(diǎn)：將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，并會運(yùn)用特殊情形的結(jié)論解決一般問題．一、導(dǎo)入新課知識鏈接回顧七年級上冊我們學(xué)過的數(shù)軸，點(diǎn)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，你知道怎么快速比較a，eq\f(1,a)，|a|的大小關(guān)系嗎？答：取a＝－0.5，則a，eq\f(1,a)，|a|三個(gè)數(shù)分別為－0.5，－2，0.5，所以eq\f(1,a)＜a＜|a|.創(chuàng)設(shè)情境——見配套課件二、合作探究探究一：幾何圖形中的特殊化活動1：裁出兩塊邊長為10cm，大小一樣的正方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH，如圖，把頂點(diǎn)E釘在紙片ABCD的正中心位置，旋轉(zhuǎn)正方形紙片EFGH，畫一畫重疊部分，量一下兩個(gè)正方形重疊部分的面積是多少？分小組討論，如何計(jì)算重疊部分面積．問題1：在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形的重疊部分會呈現(xiàn)出哪些情形？(學(xué)生轉(zhuǎn)動紙片觀察，老師用幾何畫板操作演示)幾種情形如下：①正方形ABCD的頂點(diǎn)在正方形EFGH邊上；②正方形ABCD的邊與正方形EFGH的邊垂直；③兩個(gè)正方形的邊相交．問題2：對于這些不同情形，如何求兩個(gè)正方形重疊部分的面積？你遇到的困難是什么？你會選擇哪一種方法求正方形面積？(分小組討論，寫出你的解決方案．)情形①：兩個(gè)正方形重疊部分的面積恰好為三角形BEC的面積，很容易得出為正方形面積的eq\f(1,4)，為eq\f(1,4)×10×10＝25(cm2).情形②：兩個(gè)正方形的邊互相垂直時(shí)，重疊部分剛好也是一個(gè)小正方形，其面積為5×5＝25(cm2).思考1：在這兩種特殊圖形中，你是如何通過簡單的幾何關(guān)系得出重疊部分面積為正方形面積的eq\f(1,4)的？可以通過正方形的對稱性或三角形全等關(guān)系來證明重疊部分面積是正方形面積的eq\f(1,4).情形③：將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形．(1)如圖，連接EB，EC，兩個(gè)正方形重疊部分的面積記作S重疊．(2)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)S重疊＝S△BEC＋S△CEN－S△BEM；△BEM≌△CEN.(3)引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)此時(shí)圖③的情形就轉(zhuǎn)化為圖①的情形，S重疊＝S△BEC＝eq\f(1,4)S正方形ABCD.要點(diǎn)歸納：1.面對一般性的問題時(shí)，可以考慮特殊圖形，借助特殊情形下獲得的結(jié)論或方法解決一般性的問題，這就是特殊化策略．2．在數(shù)學(xué)問題中，“從特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論．探究二：代數(shù)問題中的特殊化活動2：同桌兩人一組玩游戲．游戲規(guī)則：甲、乙兩人輪流在正方形紙片上放同樣大小的硬幣，每人每次只能放一枚，且放置過程中不允許重疊與傾斜，硬幣不能超出紙片的邊界．規(guī)定誰在紙片上放下最后一枚硬幣，誰就獲勝．你知道獲勝的策略嗎？如果你走第一步，你會放在哪里才可能穩(wěn)操勝券？請說明你的理由．第一步應(yīng)放正方形紙片的中心位置．這時(shí)，對方放一枚硬幣，你就可以在正方形紙片上放一枚硬幣，使它與你同桌的硬幣關(guān)于正方形中心對稱，直到同桌無處可放，你就贏了．思考2：在日常生活中，還有哪些問題可以用特殊化的方法來解決？寫一篇小短文介紹你的發(fā)現(xiàn)．若一個(gè)三位數(shù)eq\x\to(xyz)的各位數(shù)字是任意三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，則eq\x\to(xyz)÷3的最小值是41，最大值是329．當(dāng)x＝1，y＝2，z＝3時(shí)，123÷3＝41；當(dāng)x＝9，y＝8，z＝7時(shí)，987÷3＝329.如圖，四邊形ABCD各內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，則有AB＋CD＝AD＋BC，試說明理由．特殊情形：顯然當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，點(diǎn)O是正方形的中心，滿足題目條件，則有AB＝BC＝CD＝DA，顯然結(jié)論AB＋CD＝AD＋BC成立．一般情形：過點(diǎn)O作四邊形ABCD各邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，H.在△AOE與△AOH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OAE＝∠OAH，,∠OEA＝∠OHA＝90°，,AO＝AO，))∴△AOE≌△AOH(AAS).∴AE＝AH.同理，DH＝DG，BE＝BF，CF＝CG，∴AB＋CD＝AD＋BC.三、當(dāng)堂檢測教材P112習(xí)題4.4，T1－3.(其他課堂拓展題，見配套PPT)四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計(jì)】☆問題解決策略：特殊化1．特殊化策略的概念2．應(yīng)用步驟：提出問題→理解問題→擬定計(jì)劃→實(shí)施計(jì)劃→回