河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

邯鄲市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.2.如圖，已知為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，，則等于（）A. B. C. D.3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則（）A. B. C. D.4.已知非零向量，滿足，若，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為（）A. B. C. D.5.的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A. B.4 C. D.86.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7.已知與均為單位向量，其夾角為，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則正十二面體的總曲率為（）A. B. C. D.二、多選題9.下列說法中正確的是（）A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長(zhǎng)方體是直四棱柱C.用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)；D.球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面．10.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為111.已知中，所對(duì)的邊分別為，且滿足，則下列說法正確的是（）A.為等腰三角形 B.C.面積是 D.的周長(zhǎng)是三、填空題12.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則__________.13.在中，若，，三角形的面積，則外接圓的直徑為__________．14.在邊長(zhǎng)為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點(diǎn)，如圖所示．點(diǎn)P為弧上任意一點(diǎn)，向量最大值為______．四、解答題15.（1）在中，已知，，．求．（2）在中，已知，，．求．（3）銳角中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，，求；16.已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線非零向量，，，，且三點(diǎn)共線．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．18.在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）若，求的面積S；（2）若角C平分線與的交點(diǎn)為，求的最小值.19.三角形在數(shù)學(xué)中是十分常用的圖形，將向量運(yùn)用在三角形中同時(shí)會(huì)迸發(fā)出火花!（1）如圖1，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且滿足：，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn).若，求的值.（2）如圖2，在中，點(diǎn)分所成的比為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若，求的最小值.

邯鄲市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得.故選：A.2.如圖，已知為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】∵，∴.故選：A.3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知得，再由正弦邊角關(guān)系即可得比值.【詳解】由，且，則，所以.故選：D4.已知非零向量，滿足，若，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影向量的公式計(jì)算.【詳解】首先，向量的坐標(biāo)為(2,0)，其模長(zhǎng)為2，因此，根據(jù)條件，即它們的數(shù)量積為零：展開數(shù)量積：,即：因此：,代入已知條件：因此，在方向上的投影向量坐標(biāo)為(2,0)，故選：B.5.的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】將直觀圖還原為原圖，然后即可求解.【詳解】將直觀圖還原為原圖，如圖所示，則是直角三角形，其中，，故的面積為，故選：B．6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由得，或，可知“”是“”充分不必要條件.【詳解】充分性：若，則；必要性：若則，則，得，或，故不滿足必要性綜上“”是“”充分不必要條件，故選：A7.已知與均為單位向量，其夾角為，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的模可求得，可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)榕c均為單位向量，其夾角為，由，可得，所以，所以，所以，由，，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以的取值范圍是.故選：D.8.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則正十二面體的總曲率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出面角，計(jì)算頂點(diǎn)處的曲率，結(jié)合頂點(diǎn)個(gè)數(shù)可得答案.【詳解】正十二面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正十二面體在各頂點(diǎn)的曲率為，由于正十二面體有20個(gè)頂點(diǎn)，故其總曲率為.故選：B二、多選題9.下列說法中正確的是（）A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長(zhǎng)方體是直四棱柱C.用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)；D.球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正棱錐概念判斷A；根據(jù)直四棱柱的概念判斷B；根據(jù)圓臺(tái)的概念判斷C；根據(jù)球的概念判斷D.【詳解】對(duì)于A，各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知長(zhǎng)方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)圓臺(tái)的定義，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確．故選：BD10.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出，根據(jù)模長(zhǎng)公式得到；B選項(xiàng)，設(shè)，，計(jì)算出；C選項(xiàng)，舉出反例；D選項(xiàng)，設(shè)，，得到，，根據(jù)，得到的最小值為1，故D正確.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有成立，但此時(shí)為實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，故D正確．故選：ABD11.已知中，所對(duì)的邊分別為，且滿足，則下列說法正確的是（）A.為等腰三角形 B.C.的面積是 D.的周長(zhǎng)是【答案】AC【解析】【分析】通過正弦定理對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出三角形的內(nèi)角，進(jìn)而求出三角形的面積和周長(zhǎng).【詳解】由正弦定理，知，又，則，將代入，得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，可得，故A正確，B錯(cuò)誤．又由正弦定理知，則三角形的面積，周長(zhǎng)為，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC三、填空題12.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)出現(xiàn)得另一根，再結(jié)合韋達(dá)定理求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根，因此故答案為：13.在中，若，，三角形的面積，則外接圓的直徑為__________．【答案】【解析】【分析】由三角形面積以及余弦定理可求得，再由正弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，解得；則，即；所以外接圓的直徑為.故答案：14.在邊長(zhǎng)為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點(diǎn)，如圖所示．點(diǎn)P為弧上任意一點(diǎn)，向量最大值為______．【答案】【解析】【分析】過作交于點(diǎn)，可知當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大，再利用三角函數(shù)求解即可.【詳解】過作交于點(diǎn)，根據(jù)投影向量的概念可得，設(shè)，所以，當(dāng)與半圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，過作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)取得最大值時(shí)，且，因?yàn)?，正方形邊長(zhǎng)為4，則，，所以，所以，則，所以，得，所以的最大值為.所以最大值為.故答案為：24.四、解答題15.（1）在中，已知，，．求．（2）在中，已知，，．求．（3）銳角中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，，求；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；（2）利用正弦定理計(jì)算可得；（3）利用正弦定理求出，從而求出，再由兩角和的正弦公式計(jì)算可得；【詳解】（1）在中，由余弦定理，可得，所以；（2）在中，由正弦定理得，因此.（3）在中，由正弦定理得，即，解得，又為銳角三角形，所以，所以.16.已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，，且三點(diǎn)共線．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，列方程組求參數(shù)即可；（2）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可；（3）根據(jù)平行四邊形中的坐標(biāo)表示列方程組求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，若，，則.【小問3詳解】由四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形可得，設(shè)，則，由（2）得，所以，解得，所以.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)余弦定理化角邊，再根據(jù)余弦定理求角；（2）先根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)角范圍以及正弦函數(shù)圖象性質(zhì)得的取值范圍．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以．小?詳解】由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)檫@樣的有兩解，即關(guān)于的三角方程在時(shí)有兩解，所以，所以．18.在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）若，求的面積S；（2）若角C的平分線與的交點(diǎn)為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，把化成，根據(jù)正弦定理可得，在根據(jù)余弦定理，可得角，再結(jié)合余弦定理，表示出，可得的值，進(jìn)而利用可求面積.（2）根據(jù)，結(jié)合可得：，再結(jié)合基本不等式，可求的最小值.【小問1詳解】由，得.由正弦定理得.所以，因?yàn)?，所?在中，，由余弦定理，得，解得.所以.即的面積S為.【小問2詳解】因?yàn)闉榻荂平分線，，所以.在中，，所以，由，得，所以.因?yàn)?，所以由基本不等式，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.19.三角形在數(shù)學(xué)中是十分常用的圖形，將向量運(yùn)用在三角形中同時(shí)會(huì)迸發(fā)出火花!（1）如圖1，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且滿足：，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為