雅禮集團2025年春季3月考試數學試卷(教師版)

雅禮教育集團2025年上學期3月考試試卷高二數學時量:120分鐘分值:150分單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1、設集合,下列結論中正確的是()A. B. C. D.【答案】【解析】因為集合,所以,因此,所以不正確,正確.又因為,所以不正確.故選.2、已知函數的圖像關于點對稱,則()A. B. C. D.【答案】【解析】函數的圖像關于點對稱,則,即.因為,所以.故選.3、復數滿足,則的虛部為()A. B. C.2 D.【答案】【解析】因為,所以,所以的虛部為2.故選.4、邊長為1的正三角形中,的值為()A.1 B.2 C. D.【答案】【解析】如圖,作菱形,則由余弦定理得,所以故選.、已知,則曲線在點處的切線方程為() B.C. D.【答案】A【解析】,當時,,故切點為(1,0),切線在該點處的斜率為,故曲線在點處的切線方程為,即.6、如圖,三棱柱中,,分別是、的中點,平面將三棱柱分成體積為(左為,右為)兩部分,則()A. B. C. D.【答案】【解析】設三角形的面積為,三角形與三角形的面積為,三棱柱的高為,則有,設三棱柱的體積為,又因為①,②,所以③,由題意可知④,由①②③④可得,所以,所以.故選:.★7、如圖1所示,雙曲線具有光學性質;從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射,其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左、右焦點分別為,從發(fā)出的光線經過圖2中的兩點反射后,分別經過點和,且,則的離心率為()圖1圖2A. B. C. D.【答案】B【詳解】由題意可知直線都過點,如圖,則有,設,則,所以,故,所以,因此,在,即,整理得即,解得,所以,令雙曲線半焦距為,在中,,即,解得,所以的離心率為.故選:B8、已知函數的定義域為是的導數,且,若為偶函數,則()A.80 B.75 C.70 D.65【答案】【解析】因為為偶函數,所以,所以,是奇函數,所以,因為,所以,所以,,所以,所以,又,所以是周期為4的函數, 故選:.二、多項選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.、已知拋物線的焦點到準線的距離是4,直線過它的焦點且與交于,兩點,為弦的中點,則下列說法正確的是()A.拋物線的焦點坐標是(2,0)B.C.若,則D.若以為圓心的圓與的準線相切,則是該圓的一條直徑【答案】ABD【解析】對選項,拋物線的焦點到準線的距離是4,所以,故正確.對選項,當直線的斜率不存在時,,所以,當直線的斜率存在時,設,得:,所以.故正確.對選項,,故錯誤.對選項,如圖所示:過分別向準線作垂線,垂足為,因為,所以,即:以為直徑的圓與的準線相切,故正確.故選:ABD10、一個不透明的口袋中有8個大小相同的球,其中紅球4個,白球1個,黑球3個,則下列選項正確的有()A.從該口袋中任取3個球,設取出的紅球個數為,則數學期望B.每次從該口袋中任取一個球,記錄下顏色后放回口袋,先后取了3次,設取出的黑球次數為,則C.從該口袋中任取3個球,設取出的球的顏色有種,則數學期望D.每次從該口袋中任取一個球,不放回,拿出紅球即停,設拿出的黑球的個數為,則數學期望【答案】【解析】【分析】本題考查了離散型隨機變量的期望,二項分布等,屬于中檔題.對于,分別計算隨機變量取不同值時對應的概率,即可求解期望值,對于,則可求.【解答】對于的可能值:0,1,2,3,則,故正確;對于的可能值:0,1,2,3,取球一次取到黑球的概率為,因取球一次有取到黑球和沒取到黑球兩個結果,因此,,故錯誤;對于的可能值:1,2,3, 則,故正確;對于的可能值:0,1,2,3,因為對應的事件為:紅或白紅,所以,因為對應的事件為:黑紅或黑白紅或白黑紅,所以,因為對應的事件為:黑黑紅或黑黑白紅或白黑黑紅或黑白黑紅,所以,所以,則,故正確.故選:ACD.高斯被譽為“數學王子”,是世界上偉大數學家.用他名字定義的函數表示不超過的最大整數)稱為高斯函數.已知正項數列的前項和為,且,令,則下列結論正確的有()A. B.C. D.【答案】【解析】【解析】對于,當時,,化簡得,又,解得,則是以1為首項,1為公差的等差數列,,選項錯,選項正確;對于,,,選項正確;對于,當時,,,又,,,故對.故選:BCD.三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.★12、已知,若,則_____【答案】【解析】令,可得,解得,,展開式中的系數為.★13、2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕某校足球社的6名學生準備分成三組前往村超球隊所在的平地村、口寨村、忠誠村3個村寨進行調研,每個村各有一組來調研,每個組至多3名學生,則不同的安排方法種數為_____【答案】450種【解析】由題意可知6個人分成三組且每組最多3名學生,所以可以分成1,2,3或2,2,2兩類,當6人分成1,2,3三組,有種分法,當6人分成2,2,2三組,有種分法,所以不同的安排方法種數為種★14、已知不等式在區(qū)間上恒成立,則實數的取值范圍是_____【答案】【解析】設,則對有,對有.從而在(0,1)上遞減,在上遞增,所以,故.①一方面,在條件中令,即得.假設,則,從而,矛盾.所以一定有.②另一方面,若:首先有%.以及.將兩個不等式相加,就得到,從而.由于,故,所以對任意,有.而對任意的,顯然也有,所以,從而時條件一定滿足.綜合①②兩個方面,可知的取值范圍是.法二:指對同構四、解答題:共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、如圖,四棱錐的底面是矩形,是等邊三角形,平面平面,分別是的中點,與交于點.(1)求證:平面；(2)平面與直線交于點,求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)略(2)【解析】(1)證明:因為為正三角形,是中點,所以,又因為平面平面,平面平面,所以平面,因為,所以,所以,又因為在平面內且相交,故平面;(2)因為分別為的中點,所以,又平面過且不過,所以平面,又平面交平面于,故,進而,因為是中點,所以是的中點,以為原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系,則,所以,設平面的法向量為,則,解得,令,得,所以,所以,所以,所以直線與平面所成角的大小為.16、(本小題15分)已知分別是角的對邊,的面積.(1)證明:;(2)若為的平分線,交于點,且,,求的長.【答案】(1)略(2)【解析】(1)證明:因為,化簡得,由正弦定理,得,又,所以,整理得,又為的內角,所以,即；(2)因為為的平分線,且,所以,所以,在等腰三角形中,,①又,,化簡得,又②①代入②,得,解得或(舍去),,在中,由余弦定理得:.17、南澳縣是廣東唯一的海島縣,海區(qū)面積廣闊,發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨厚的優(yōu)勢,所產的“南澳牡蠣”是中國國家地理標志產品,產量高、肉質肥、營養(yǎng)好,素有“海洋牛奶精品”的美譽.根據養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經驗,產自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個“南澳牡蠣”質量(克)在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.(1)購買10只該基地的“南澳牡蠣”,會買到質量小于的牡蠣的可能性有多大？(2)2019年該基地考慮增加人工投入,現有以往的人工投入增量(人)與年收益增量(萬元)的數據如下:人工投入增量(人)234681013年收益增量(萬元)13223142505658該基地為了預測人工投入增量為16人時的年收益增量,建立了與的兩個回歸模型:模型①:由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程:;模型②:由散點圖的樣本點分布,可以認為樣本點集中在曲線:的附近,令(i)根據所給的統(tǒng)計量,求模型②中關于的回歸方程(精確到0.1)；(ii)根據下列表格中的數據,比較兩種模型的決定系數,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預測人工投入增量為16人時的年收益增量.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2附:若隨機變量,則決定系數.【答案】(1)1.29%(2)(i)(ii)當時,模型②年收益增量預測值為:(萬元),這個結果比較模型①的預測精度更高、更可靠.【解析】(1)由已知,單個“南澳牡蠣”質量,則,由正態(tài)分布的對稱性可知設購買10只該基地的“南澳牡蠣”,其中質量小于的牡蠣為只故,則,這10只“南澳牡蠣”中,會買到質量小于20g的牡蠣的可能性僅為1.29%;(2)(i)由,有,且,所以模型②中關于的回歸方程為；(ii)由表格中的數據,有182.4>79.2,即,模型①的小于模型②,說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好,當時,模型②年收益增量預測值為:(萬元),這個結果比較模型①的預測精度更高、更可靠.18、已知橢圓,定義橢圓上的點的“伴隨點”為.(1)求橢圓上的點的“伴隨點”的軌跡方程;(2)如果橢圓上的點的“伴隨點”為,對于橢圓上的任意點及它的“伴隨點”,求的取值范圍;(3)當時,直線交橢圓于兩點,若點的“伴隨點”分別是,且以為直徑的圓經過坐標原點,求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1)設.所以,根據“伴隨點”的定義,有,則又因為,所以,即所以,橢圓上的點的“伴隨點”的軌跡方程為(2)由(1)知,橢圓上的點的“伴隨點”的軌跡方程為,因為橢圓上的點的“伴隨點”為,所以,根據“伴隨點”的定義與(1)中結論,有,解得.因為點在橢圓上,所以,所以,,且,所以因為,所以,所以的取值范圍是(3)由題意,得橢圓的方程為.設,則聯(lián)立橢圓和直線的方程,得所以由題意,得,所以.①因為為直徑的圓經過坐標原點,所以,即,所以.②將①代入②,化簡,得.所以,所以又因為點到直線的距離,所以.19、定義:如果函數在定義域內,存在極大值和極小值,且存在一個常數,使成立,則稱函數為極值可差比函數,常數稱為該函數的極值差比系數.已知函數(1)當時,求；(2)是否存在使的極值差