2025版高考數(shù)學一輪復習第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布10.4古典概型教學案蘇教版

PAGE1-第四節(jié)古典概型[最新考綱]1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事務所包含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務發(fā)生的概率.3.了解隨機數(shù)的意義，能運用隨機模擬的方法估計概率．1．基本領(lǐng)件的特點(1)任何兩個基本領(lǐng)件是互斥的．(2)任何事務(除不行能事務)都可以表示成基本領(lǐng)件的和．2．古典概型的特點3．古典概型的概率計算公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨機模擬方法是以事務發(fā)生的頻率估計概率． ()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個事務是等可能事務． ()(3)概率為0的事務肯定是不行能事務． ()(4)從市場上出售的標準為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材改編1．一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)D[一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四種狀況，只有一次出現(xiàn)正面的狀況有兩種，故P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).]2．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下的2種顏色的花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花種在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(5,6)C[把這4種顏色的花種在兩個花壇中的全部狀況為(紅，黃)，(白，紫)；(紅，白)，(黃，紫)；(紅，紫)，(黃，白)；(黃，白)，(紅，紫)；(黃，紫)，(紅，白)；(白，紫)，(紅，黃)，共有6種，其中紅色和紫色的花種在同一花壇的狀況有2種，所以紅色和紫色的花種在同一花壇的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故選C.]3．袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,3)A[從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]4．同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為．eq\f(5,6)[擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共6×6＝36(種)可能的結(jié)果，其中點數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點數(shù)不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).]考點1簡潔的古典概型計算古典概型事務的概率可分3步(1)計算基本領(lǐng)件總個數(shù)n；(2)計算事務A所包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)m；(3)代入公式求出概率P.提示：解題時可依據(jù)須要敏捷選擇列舉法、列表法或樹形圖法．(1)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)(2)(2024·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)(3)(2024·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“－－”，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(11,16)(1)D(2)D(3)A[(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元．乙、丙、丁三人搶完6元錢的全部不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙獲得“手氣最佳”的全部不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．依據(jù)古典概型的概率計算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.(3)由6個爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在全部重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的種數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,6)＝20.依據(jù)古典概型的概率計算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故選A.]古典概型中基本領(lǐng)件個數(shù)的探求方法(1)枚舉法：適合于給定的基本領(lǐng)件個數(shù)較少且易一一列舉出的問題．(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題，留意在確定基本領(lǐng)件時(x，y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同．(3)排列組合法：在求一些較困難的基本領(lǐng)件個數(shù)時，可利用排列或組合的學問．[老師備選例題]1．設平面對量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，記“a⊥(a－b)”為事務A，則事務A發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)A[有序數(shù)對(m，n)的全部可能結(jié)果為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事務A包含的基本領(lǐng)件為(2,1)和(3,4)，共2個，所以所求的概率P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).]2．用1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位，則出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為．eq\f(1,20)[1,2,3,4,5可組成Aeq\o\al(5,5)＝120個不同的五位數(shù)，其中滿意題目條件的五位數(shù)中，最大的5必需排在中間，左、右各兩個數(shù)字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿意條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6個，故出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).]1.(2024·武漢模擬)將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球，那么甲盒中恰好有3個小球的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,20) D.eq\f(1,4)C[將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球有Ceq\o\al(3,6)種放法，甲盒中恰好有3個小球有Ceq\o\al(2,3)種放法，結(jié)合古典概型的概率計算公式得所求概率為eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20).故選C.]2．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)A[∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴基本領(lǐng)件總數(shù)n＝3×4＝12.函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，①當a＝0時，f(x)＝－2bx，符合條件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②當a≠0時，須要滿意eq\f(b,a)≤1，符合條件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4種．∴函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝eq\f(5,12).]考點2古典概型與統(tǒng)計的綜合求解古典概型的交匯問題，關(guān)鍵是把相關(guān)的學問轉(zhuǎn)化為事務，然后利用古典概型的有關(guān)學問解決，其解題流程為：(2024·天津高考)2024年，我國施行個人所得稅專項附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受狀況．(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受狀況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪．員工項目ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○(ⅰ)試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；(ⅱ)設M為事務“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事務M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采納分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．(2)(ⅰ)從已知的6人中隨機抽取2人的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．(ⅱ)由表格知，符合題意的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．所以，事務M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點，概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是干脆描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，精確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．[老師備選例題]某縣共有90個農(nóng)村淘寶服務網(wǎng)點，隨機抽取6個網(wǎng)點統(tǒng)計其元旦期間的網(wǎng)購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)．(1)依據(jù)莖葉圖計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)若網(wǎng)購金額(單位：萬元)不小于18的服務網(wǎng)點定義為優(yōu)秀服務網(wǎng)點，其余為非優(yōu)秀服務網(wǎng)點，依據(jù)莖葉圖推斷這90個服務網(wǎng)點中優(yōu)秀服務網(wǎng)點的個數(shù)；(3)從隨機抽取的6個服務網(wǎng)點中再任取2個作網(wǎng)購商品的調(diào)查，求恰有1個網(wǎng)點是優(yōu)秀服務網(wǎng)點的概率．[解](1)由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(4＋6＋12＋12＋18＋20,6)＝12.(2)樣本中優(yōu)秀服務網(wǎng)點有2個，概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，由此估計這90個服務網(wǎng)點中優(yōu)秀服務網(wǎng)點有90×eq\f(1,3)＝30(個)．(3)樣本中優(yōu)秀服務網(wǎng)點有2個，分別記為a1，a2，非優(yōu)秀服務網(wǎng)點有4個，分別記為b1，b2，b3，b4，從隨機抽取的6個服務網(wǎng)點中再任取2個的可能狀況有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15種，記“恰有1個是優(yōu)秀服務網(wǎng)點”為事務M，則事務M包含的可能狀況有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8種，故所求概率P(M)＝eq\f(8,15).移動公司擬在國慶期間推出4G套餐，對國慶節(jié)當日辦理套餐的客戶進行實惠，實惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得實惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得實惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得實惠300元．國慶節(jié)當天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．(1)求從中任選1人獲得實惠金額不低于300元的概率；(2)若采納分層抽樣的方式從參與活動的客戶中選出6人，再從該6人中隨機選出2人，求這2人獲得相等實惠金額的概率．[解](1)設事務A為“從中任選1人獲得實惠金額不低于300元”，則P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(