第八章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 章末題型大總結(jié)（原題版）

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換章末題型大總結(jié)題型01求向量的數(shù)量積解題錦囊解題錦囊求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的方法（1）定義法：根據(jù)向量的模與夾角計(jì)算求解；（2）基向量法：將求數(shù)量積的向量用已知?；驃A角的向量線性表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解；（3）坐標(biāo)法：根據(jù)圖像特點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【典例1】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)是4，是的中點(diǎn)，滿足，則（

）A．10 B．20 C．22 D．25【變式1】（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）如圖，在中，已知為中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7【變式2】（24-25高一下·甘肅臨夏·階段練習(xí)）如圖所示，兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，則.【變式3】（24-25高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）正方形的邊長(zhǎng)為為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，則.【變式4】（24-25高一下·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且．若，則的值為（

）A． B． C． D．1題型02求向量的投影向量解題錦囊解題錦囊已知非零平面向量，向量是與同向的單位向量，則向量在上的投影向量：【典例2】（2025·安徽滁州·一模）已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高三上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C．2 D．4【變式3】（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則的值為（

）A．2 B．0 C． D．【變式4】（24-25高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式5】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．題型03向量的夾角問(wèn)題解題錦囊解題錦囊（1）向量的夾角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夾角的余弦值，從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關(guān)系，然后代入求解.（2）兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線；【典例3】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，，滿足，，則（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【變式1】（24-25高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為（）A．0 B． C． D．1【變式2】（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）“”是“向量與向量的夾角為鈍角”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式3】（2025·湖南邵陽(yáng)·一模）已知向量，，與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【變式4】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方形中，是的中點(diǎn)，在上且，與交于點(diǎn)，則．題型04向量模的計(jì)算解題錦囊解題錦囊向量的模的求解方法：①公式法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；②坐標(biāo)法：求出平面向量的坐標(biāo)求解.【典例4】（2025·廣東·一模）已知平面向量的夾角為，且，，則（

）A．1 B．2 C． D．4【變式1】（24-25高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）已知，，，則等于（

）.A． B． C． D．【變式2】（24-25高三上·江蘇·期末）已知向量，，若，則（

）A．3 B． C．4 D．0【變式3】（24-25高三上·福建泉州·階段練習(xí)）兩個(gè)單位向量、滿足，則.【變式4】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，，則．【變式5】（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知的夾角為，是的中點(diǎn)，則．題型05平行與垂直問(wèn)題【典例5】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高一下·山東威海·月考）已知非零向量滿足，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，的模相等且?jiàn)A角為，若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)（

）.A． B． C． D．2【變式3】（24-25高三下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式4】（多選）（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)、、，其中，則（

）A．若、、三點(diǎn)共線，則 B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時(shí)，題型06最值與范圍問(wèn)題【典例6】（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，“六芒星”是由兩個(gè)邊長(zhǎng)為正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)，是“六芒星”（如圖）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·湖南衡陽(yáng)·期末）是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2【變式2】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，滿足，，則的最大值為（

）A．8 B． C．10 D．【變式3】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知在正方形中，，為中點(diǎn)，為正方形內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的最大值為（

）.A． B． C． D．2【變式4】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．在正八邊形中，若，則的值為；若正八邊形的邊長(zhǎng)為2，是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．

【變式5】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，，分別為，的中點(diǎn)，如果對(duì)于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，那么的取值范圍是題型07兩角和與差的三角函數(shù)解題錦囊解題錦囊公式的應(yīng)用技巧：①角的變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq\f(30°,2)，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；②名的變換：明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦．【典例7】（24-25高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一下·甘肅臨夏·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，則A． B．C． D．【變式3】（2025·廣東·一模）已知，則（

）A． B． C．2 D．3【變式4】（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．【變式5】（24-25高一上·陜西西安·期末）已知，則（

）A． B． C．3 D．題型08二倍角公式解題錦囊解題錦囊（1）直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．（2）若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過(guò)程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．【典例8】（24-25高一下·湖北·階段練習(xí)）已知角為的一個(gè)內(nèi)角，且，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2025高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）若，則的值是（）A． B． C． D．【變式2】（24-25高三上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知是第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【變式4】（24-25高一下·廣西來(lái)賓·開(kāi)學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．題型09積化和差與和差化積公式解題錦囊解題錦囊一、積化和差公式應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)：（1）功能：①把三角函數(shù)的一種形式積的形式轉(zhuǎn)化為另一種形式和差的形式；②將角度化為特殊角求值或化簡(jiǎn)，將函數(shù)式變形以研究其性質(zhì)；（2）關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù).二、和差化積公式應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)：（1）在應(yīng)用和差化積公式時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可施行，若是異名，必須用誘導(dǎo)公式化為同名，若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次；（2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選用公式時(shí)，應(yīng)從以下幾個(gè)方面考慮：①運(yùn)用公式之后，能否出現(xiàn)特殊角；②運(yùn)用公式之后，能否提取公因式，能否約分，能否合并或消項(xiàng)；（3）為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式，有時(shí)需要把某些常數(shù)當(dāng)作三角函數(shù)值才能應(yīng)用公式，如eq\f(1,2)－cosα＝coseq\f(π,3)－cosα.【典例9】（24-25高一上·江蘇無(wú)錫·期末）已知角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一下·全國(guó)·課堂例題）等于（

）A． B． C． D．【變式2】．（24-25高一·江蘇·課后作業(yè)）若，，則（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一下·上海·課后作業(yè)）求值：.【變式4】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）．題型10三角變換的綜合應(yīng)用【典例10】（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D