2023-2024學年九年級數學下冊常考點微專題提分精練（人教版）專題06 反比例函數中的平行四邊形含解析

2023-2024學年九年級數學下冊?？键c微專題提分精練

專題06反比例函數中的平行四邊形

1.如圖，在第一象限內，A是反比例函數），=~伏＞0）圖象上的任意一點，A8平行于y軸交反比

例函數y=§化＜。）的圖象于點叢作以A8為邊的平行四邊形ABCZ）,其頂點C,。在）?軸上,

若S*=7,則這兩個反比例函數可能是（）

34

B.y=一和v=——

x'x

工

D.y=一5和Hy=——6

xxxx

2.如圖，反比例函數的圖像經過平行四邊形布。的頂點C。，若點A、點八點C的坐

標分別為（3,0）,（0,4）,（?〃），且〃+人=7.5,則k的值是

3.如圖‘在平面直角坐標系中’點A在反比例函數），=：（XV。）的圖像上一點'點B是y軸正半

4

軸上一點，以04、48為鄰邊作平行四邊形"CO,若點C和4C的中點。都在反比例函數），=一（X

X

4.如圖，已知反比例函數產々x>0)與止比例困數y=x(x.O)的圖象，點AU，4),點4(4/)與點8

X

均在反比例函數的圖象上，點8在直線)上，四邊形是平行四邊形，則8點的坐標為一

5.如圖，分別過反比例函數y=:圖像上的點P/(I,)，/),P2(1+2,”)，P3(1+2+3,yj),...,

PH(1+2+3+...+〃,刈)作x軸的垂線,垂足分別為A/,A2f4….，連接A/P2,A2P3,AH….，

AnjPn,再以A/P"A/P2為一組鄰邊畫一個平行四邊形A/P/B/P2,以4尸2,A2P3為一組鄰邊畫一個

平行四邊形A2P282P3,以此類推，則歷的縱坐標是;點、B/,B”.,8〃的縱坐標之和

為__________

Q

6.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數產區(qū)+Z?的圖象與雙曲線v=--交于點M(4機)、N(〃,

x

-4)?與x軸交于A.

⑴求A、b的值;

（2）①將直線尸匕仍向上平移4個單位分別交x軸、），軸于點3、C,畫出這條直線；

②P是平面直角坐標系中的一點，若以A、B、a尸為頂點的四邊形是平行四邊形，求尸點的坐標.

7.綜合與探究

如圖，己知，4（0,4）,B（-3.0）,C（2,0）,。為8點關于AC的對稱點，反比例函數y的圖象

經過。點.

（1）證明四邊形/WCQ為菱形；

（2）求此反比例函數的解析式；

⑶已知在y=V的圖象（x>0）上有一點N,丁軸正半軸上有一點“，且四邊形A8MN是平行四

x

邊形，求M點的坐標.

1L

8.如圖，一次函數y=;x+2的圖象與X軸交于點B,與反比例函數），=一伙壬0）的圖象的一個交

2x

點為A（2,m）.

（1）宜接寫出反比例函數的解析式；

（2）過點A作AC_Lx軸，垂足為點。，設點P在反比例函數圖象上，且APBC的面積等于6,請

求出點尸的坐標；

（3）設M是直線AB上一動點，過點M作MN//X軸，交反比例函數.y=的圖象于點N,若以B、

X

0、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點M的坐標.

9.如圖，一次函數產依+〃與反比例函數)，二竺的圖像交于點A(l,6),6(3,〃)兩點.

.X

⑴求反比例函數和一次函數的表達式；

⑵連接04、0B,求一4。4的面積；

⑶直線。經過點(0,1)且平行于x軸，點M在直線。上，點N在)，軸上，以A、B、M、N為頂點的

四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫出點M、N的坐標，如果不可以，說明理由.

10.如圖，一次函數y=x+l與反比例函數)，=&的圖象相交于4科2),B兩點,分別連接。4,OB.

x

(1)求這個反比例函數的表達式；

(2)求AO8的面積；

⑶在平面內是否存在一點P,使以點O,B,A,P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接

寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

11.如圖，已知一次函數好如+2與反比例函數尸石的圖象交于第一象限內的點A(l,6)和

X

8(6,，〃)，與X軸交于點C,交丁軸于點O.

(I)分別求出這兩個函數的表達式；

(2)連接。4、0B,求AAO8的面積：

(3)點P為坐標平面內的點，若點。，A,C,P組成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點尸的坐

標.

12.加圖，在平面直角坐標系中，一次函數y/=2t-4(00)的圖象與反比例函數)，2=9的圖象交

x

于A、B兩點.

(1)求A、8的坐標.

(2)當x為何值時，Zv-4>-?

x

(3)如圖，將直線A8向上平移與反比例函數)，=2的圖象交于點。、D,順次連接點4、B、C、D,

X

若四邊形ABC。是平行四邊形，求的值.

13.如圖，一次函數y=x+【與反比例函數)，=一的圖象交于點A和B(-2,〃)，與)，軸交于點C.

⑴求反比例函數解析式；

(2)點P為第三象限內反比例函數圖象上一點，過點。作PD〃y軸，交線段A8于點。，是否存在點

P使得四邊形DPOC為平行四邊形？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=gx+l的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點C,

與反比例函數(存0)的圖象交于8,。兩點，jlAC=BC.

x

(1)寫出點A,6的坐標為：A(,),B(,)

(2)求出點D的坐標，并直接寫出當反比例函數的值大于一次函數的值時對應x的取值范圍；

(3)若?是x軸上一點，軸交一次函數于點交反比例函數于點N,當O,C,M,N為

頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點P的坐標.

15.如圖1,菱形頂點A在戶軸,上，頂點。在反比例函數)公夕*。)」：，邊"C交y軸于點E,

AO〃x軸，AE=2EC,AD=5.

（1）求h

⑵如圖2,延長川交工軸于點尸，問是否在該反比例函數上存在的點“，坐標軸上的點0,使得

以A、尸、/>、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標,

若不存在請說明理由.

16.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數乂=犬-2的圖像與反比例函數為二K（ZHO）的圖像交

X

于4（-2,〃），4（次2）兩點，與丁軸交于點C,與x軸交于點。，連接04.OB.

備用圖

⑴求反比例函數必」（攵工。）的表達式；

X

（2）求AAOA的面積；

⑶點N為坐標軸上一點，點M為凡的圖像上一點，當以點C、D、M、N為頂點的四邊形是平

行四邊形時，請直接寫出所有滿足條件的N點的坐標.

17.如圖1,在平面直角坐標系中，反比例函數y=4（&為常數，x>0）的圖像經過點A（2,〃。,

.1

8(6,〃)兩點.

y

oX

備用圖

⑴加與〃的數量關系是（）

A.m=3nB.n=3mC.tn+n=SD.m—n=4

（2）如圖2,若點A繞了軸上的點尸順時針旋轉90。，恰好與點8重合.

①求點P的坐標及反比例函數的表達式：

②連接04、08,則3A04的面積為；

（3）若點M在反比例函數），=幺*>0）的圖像上，點N在〉軸上，在（2）的條件卜，是否存在以A、

X

B、例、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點用的坐標，若不存在，請說明

理由.

Q

18.如圖1,動點M在函數j=-（x>0）的圖象上，過點M分別作x軸和丁軸的平行線，交函數

Xr

4,

1y=—">0）的圖象于點C,作直線4C,設直線4c的函數表達式為丁=履+以

圖1圖2

(1)若點例的坐標為(2,4).

①〃點坐標為,C點坐標為,直線AC的函數表達式為；

②點。在X軸上，點E在y軸上，且以點3、C、D、￡為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫

出點。、E的坐標；

(2)連接80、CO.

①當08=0。時，求。8的長度；

②如圖2,試證明.80c的面積是個定值.

專題06反比例函數中的平行四邊形

1.如圖，在第一象限內，A是反比例函數），=&（4＞（））圖象上的任意一點，A8平行于y軸交反比

例函數§化＜。）的圖象于點B,作以A8為邊的平行四邊形ABCZ）,其頂點C,。在）?軸上,

若SABCD=L則這兩個反比例函數可能是（）

34

B.?=一和），=——

x'x

D.y=一和y=—

xxxx

【答案】B

【分析】設A（。，&），B（a，&），然后求出AB的長，進而求得CD的長，然后根據5^0=7求

得4的值，進而確定心-依=7,最后結合選項即可解答.

【詳解】解：設A（a,—）,B（小紅）,ki＞0＞后＜0,

aa

…k、k,k,-k

aaa

???平行四邊形A8CQ,

:?CD=AB=^^~,

a

*?S^BCD=7>

CDa=l,即——k.a=7,

a

:.k]—k[=7,

結合選項可得B選項符合題意.

故選B.

【點睛】本題主要考查了反比例函數的性質、平行四邊形的性質等知識點，求出尢-&=7是解答本

題的關鍵.

2.如圖，反比例函數），=K的圖像經過平行四邊形A8C。的頂點C,D,若點A、點8、點C的坐

標分別為（3,。），（0,4）,（〃/），且々+。=7.5,則A的值是—.

【答案】9

【分析】根據平移和平行四邊形的性質將點。也用小〃表示，再根據反比例函數圖象上的點的橫

縱坐標的乘積相等列式算出公仇再由點坐標求出出的值.

【詳解】解：???A（3,0）,8（0,4）,

，A可以看作由B向右平移3個單位，向下平移4個單位得到的，

根據平行四邊形的性質，。也可以看作由。向右平移3個單位，向下平移4個單位得到的，

VC（a.b）,???O（a+3,〃—4）,

Va+b=7.5,

/.C（a,7.5—?）,。（〃+3,3.5-o）,

?:C、。都在反比例函數圖象上，

???它們橫縱坐標的乘積相等，即。（7.5-〃）=（4+3）（3.5-。），解得々=1.5,

AA:=1.5x（7.5-1.5）=9.

故答案為：9.

【點睛】本題考查反比例函數與幾何圖形的結合，解題的關鍵是根據題目條件，用同一個未知數設

出反比例函數圖象上的點，然后用反比例函數圖象上點的性質列式求解.

3.如圖，在平面直角坐標系中，點4在反比例函數丁="（x<0）的圖像上一點，點4是y軸正半

x

4

軸上一點，以OA、A8為鄰邊作平行四邊形48cO,若點。和8。的中點。都在反比例函數），=一（x

x

>0）的圖像上，則A的值是.

【答案】-8

【分析】作AEJ_人軸，b_L人軸，DG_L人軸，證&A°?三AC/?F(/VAS),設。［〃?，2)，則0(2小,5

4(-2〃?,展)；因為/)GJ_x軸，力是BC的中點，由。E=B尸=2G/即可求解；

【詳解】解：???作AE_Lx軸，b_Lx軸，OG_Lx軸，

???四邊形4BC0是平行四邊形，

A0//BC,

:.ZAOE=ZCBF,

???AE_Lx軸，bJ_x軸，

JZAEO=/CFB,

在A4OE和AC8尸中，

ZAEO=ZCFB

?.?Z4OE=NC8/，

AO=BC

:.M0E=\CBF{AAS),

:?AE=FC,OE=BF,

設￡>[〃[,3],則C(2〃?,2],,cfo,-1,F[^—

\fn)km)l-2〃"Vm)\mJ

???Z)G_Lx軸，。是8c的中點，

/.FC=2DG,OE=BF=2GF,

mmm

-2mrn

&=一8,

都答案為：-8.

【點睛】本題主要考查反比例函數的應用、三角形的全等、平行四邊形的性質、中位線的性質，掌

握相關知識并靈活應用是解題的關健.

4.如圖，已知反比例函數產々x>0)與正比例函數y=x("O)的圖象，點41,4),點4(4刈與點用

X

均在反比例函數的圖象上，點8在直線)，=X上，四邊形必宣/是平行四邊形，則8點的坐標為

【答案】(\A5,x/l3)

【分析】利用反比例函數圖象上點的坐標性質得出H點坐標，再利用平行四邊形的性質假設出“點

坐標，進而表示出9點坐標，即可代入反比例函數解析式得出答案.

【詳解】解：反比例函數乃々x>())過點A(l,4),

x

/.Ar=1x4=4,

4

???反比例函數解析式為：y=-,

?點。(4,份在反比例函數的圖象

.-.4/7=4,

解得：b=l,

.5(4,1),

點B在直線丁二彳上，

???設8點坐標為：(a,a),

點4(1,4),8(4,1),

??.A點向下平移3個單位，再向右平移3個單位，即可得到A點，

:四邊形/VV88是平行四邊形，

.??B點向下平移3個單位，再向右平移3個單位，即可得至IJ9點(〃+3/-3),

.?點9在反比例函數的圖象上，

(a+3)(。-3)=4,

解得；a-(負數不合題意)，

故B點坐標為：(加，V13).

【點睛】本題考查了反比例函數綜合及平行四邊形的性質、平移的性質等知識，根據題意表示出用

點坐標是解題的關鍵.

5.如圖,分別過反比例函數,，=■!■圖像上的點P/(1,y/),P2(1+2,y2),P3(1+2+3,”)，...，

Pn(1+2+3+...+〃，/)作x軸的垂線,垂足分別為AhA2,Ab...?An,連接A/P2,A2P3,A必，…,

An.jPn,再以A/P/,4小2為一組鄰邊畫一個平行四邊形A/P/8/P2,以4尸2,A2P3為一組鄰近畫一個

平行四邊形A2P2&尸3,以此類推，則&的縱坐標是__________；點、B/,B2….,8〃的縱坐標之和

為?

【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征求得點修、尸2的縱坐標，由平行四邊形對邊平行且相

等的性質求得點田的縱坐標是”+#、B2的縱坐標是"+”、&的縱坐標是興+W，據此可以推知點

114

Bn的縱坐標是然+?儲，再求和整理即嘰

11-+2+3++n1+2+3+,+〃+一(〃“+1)/7(/7+2)

【詳解】???點B(l,川)，巳(1+2,”)在反比例函數y=:的圖象上，

..11

.?>,，，2=由=屋

???4A=x=i.

又???四邊形A/P/8/P2,是平行四邊形，

???，4=片鳥=1,RAJIBH.

14

???點8/的縱坐標是：y+=-+1=-.

2JJ

???點丹(1+2+3,戶)在反比例函數)，=’的圖象上，

*1+2+3

???點&的縱坐標是：%+*=:+[；

??.點尸川+2+3+4,聞在反比例函數必的圖象上,

1

”=

1+2+3+4

，點B.；的縱坐標是：%+>4=----------+---------------

1+2+31十2十3十4

???點Bn的縱坐標是：然+了川=------+——:一1——;一-

1+2+3++〃1+2+3++〃+(〃+1)

=--2---1----2---

〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

4

一〃(〃+2)

二點以，比…曲]的縱坐標之和為

I、，114

(1+—)+(4-------)+(--------F-----------)++

1+21+21+2+31+2+31+2+3+4〃(〃+2)

1

=4xJ++)

1x32x43x5〃x(〃+2)

=4xix(l-l+l-l+l-l++i—L)

232435nn+2

1

=2(1+—一)

2〃+ln+2

3n2+5n

n~+3〃+2

故答案為:，-￥十”

〃-+3〃+2

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的國象.解

答此題的關鍵是根據平行四邊形的對邊平行同相等的性質求得點Bn的縱坐標為/+/+)九

三、解答題(共0分)

Q

6.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數尸質+力的圖象與雙曲線產■一交于點M(~4,in).N(〃,

x

-4),與x軸交于A.

⑴求聯人的值；

⑵①將直線產區(qū)+〃向上平移4個單位分別交x軸、），軸于點4、C,畫出這條直線；

②P是平面直角坐標系中的一點，若以A、B、C、尸為頂點的四邊形是平行四邊形，求尸點的坐標.

【答案】（1火=-1,b=-2；

⑵①作圖見解析；②點尸坐標為（0,-2）或（Y,2）或（4,2）.

【分析】（1）先求出點M和點N的坐標，再待定系數法求解析式即可；

（2）①根據平移的性質可得平移后的直線解析式，進一步求出點8和點C坐標，即可畫出平移后

的直線；

②分情況討論：當CA,C8為邊時，當AC,84為邊時，當AC,A8為邊時，分別根據平行四邊形

的性質即可求出點P坐標.

（1）

88

解：把x=-4,y=ni代入產--中，得m=--=2,

x-4

，點M（-4,2）,

QQ

把x=〃，產代入產--中，得〃=--7=2,

x-4

???點N（2,-4）,

工將點M(-4,2),點N(2,-4)代入尸H+b中,

z(-4k+b=2

得2k+h=-4"

%=一1

解得

b=-2

.?.仁1,。二2；

(2)

解：①由（1）知直線MN的解析式為尸土2,

將直線尸*2向上平移4個單位，得產了+2,

當人=0時，尸2,

???點C坐標為（0,2）,

當｝=-x+2=0時，x=2,

，點B坐標為（2,0）,

直線與x軸的交點4的坐標為（-2,0）,

分情況討論：

當C4,C3為邊時，A0〃a且AP=C4,

???點C（0,2）向左平移2個單位，向下平移平移2個單位得到點A（-2,0）,

?,?點B（2.0）向左平移2個單位,向下平移平移2個單位得創(chuàng)點P（（）,-2）.

點P坐標為（0,-2）；

當BC,BA為邊時，AP//CBRAP=CB,

同理可得點P坐標為（-4,2）；

當AC,4H為邊，AC//BPRAC=BP,

同理可得點尸坐標為（4,2）.

綜_1_,滿足條件的點尸坐標為（0,-2）或（-4,2）或（4,2）.

【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的綜合應用，涉及待定系數法求解析式，平移的性質,

平行四邊形的判定等，熟練掌握這些知識是解題的關鍵，本題綜合性較強.

7.綜合與探究

如圖，已知，A（0,4）,B（-3.0）,C（2,0）,。為8點關于AC的對稱點，反比例函數y的圖象

經過D點、.

（1）證明四邊形/WCQ為菱形；

（2）求此反比例函數的解析式；

⑶已知在y=V的圖象（x>0）上有一點N,丁軸正半軸上有一點“，且四邊形A8MN是平行四

x

邊形，求M點的坐標.

【答案】（1）見詳解

（2）y=—

x

Q

⑶%）

【分析】（1）由A（0,4）,B（-3,0）,C（2,0）,利用勾股定理可求得AB=5=8C,又由。為B點關

「AC的時稱點，可得人8=人。，BC=DC,即可證得人B=A/）=CO=CB,繼而證得四邊形人BCO為菱

形；

（2）由四邊形ABCQ為菱形，可求得點。的坐標，然后利用待定系數法，即可求得此反比例函數

的解析式；

（3）由四邊形ABMN是平行四邊形，根據平移的性質，可求得點N的橫坐標，代入反比例函數解

析式，即可求得點N的坐標，繼而求得M點的坐標.

（1）證明：?.F（0,4）,?（-10）,C（2,O）,二。A=4,OB=3,OC=2,：,

AI3=y/OA2+OI32=x/42+32=5?4c=4O+OC'=2+3=5，六A4=4C'，:。為8點關于AC'的對

稱點，AA/3=AD,CB=CD,:.AB=AD=CD=CB,工四邊形ABC。為菱形：

出???四邊形鈦，。為菱形，??.。點的坐標為（5,4）,反比例函數丫」的圖象經過。點，.?.44,

x5

20

???上20,???反比例函數的解析式為：），二工；

x

（3）,?,四邊形A8AW是平行四邊形，???AN〃用W,4N=4M,工AN是8M經過平移得到的，

???將8點先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度即可得到A點，，將M先向右平移3

個單位長度，再向上平移4個單位長度即可得到N點，???M點在），軸正半軸，??.M點的橫坐標為0,

（）（）

???即根據平移可知N點的橫坐標為3,代入y=‘?，得），=2”,即N點坐標為（3,2多0），???艱據平移

x33

onQQ

的路徑可知M點的縱坐標為：4=a，???M點的坐標為（0,7.

【點睛】此題屬于反比例函數綜合題，考查了菱形的性質與判定、待定系數法求函數的解析式以及

平行四邊形的性質.注意掌握坐標與圖形的關系是關鍵.

1b

8.如圖，一次函數>=71+2的圖象與x軸交于點B,與反比例函數），二一（2H0）的圖象的一個交

2x

點為A（2m）.

（1）宜接寫出反比例函數的解析式；

（2）過點A作AC_Lx軸，垂足為點C,設點P在反比例函數圖象上，且^PBC的面積等于6,請

求出點2的坐標；

（3）設M是直線AB上一動點，過點M作MN〃x軸，交反比例函數y=人的圖象于點N,若以B、

X

O、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點M的坐標.

【答案】（1）反比例函數的表達式為y=-；（2）P（3,2）或P（-3,-2）；（3）點M點坐標

X

為：M,（2>/7,2+>/7）;M2（-277,2-77）；M3（2>/5-4，x/3）；M4（-2x/3-4,->/3）

【分析】（1）先將點A（2,m）代入反比例函數），=工入+2求得A的坐標，然后代入），二與，求得

2x

k的值即可;

(2)可求得點B的坐標，設P(x,y),由S”BC=6,即可求得X,y的值；

(3)設M(2y-4,y),N(-,y),根據平行四邊形的性質可得(2)，-4)-9=4,解出y即可求解.

)'y

【詳解】(1)???一次函數y=；x+2的圖象經過點A(2,m),

m=3.

???點A的坐標為(2,3).

???反比例函數)，=A(kwO)的圖象經過點A(2,3),

x

...k=6,

???反比例函數的表達式為y=9.

X

(2)令gx+2=0,解得x=-4,即B(-4,0).

???AC_Lx軸，

AC(2,0).

.\BC=6.

設P(x,y),

丁SAPBC=g?BC*|y|=6,

Ayi=2或y2=-2.

分別代入y=9中，

X

得xi=3或X2=-3.

???P(3,2)或P(-3,-2).

(3)<MN〃OB,故M,N的縱坐標相同,

<M是直線ABy=gx+2上一動點，N在反比例函數y=工的圖象上，

2x

設M(2y-4,y),N(y,y),

依題意可得(2)=4)-；=4

當(2.尸4)-°=4時，

y

解得yi=2+幣,y2=2-41,

???M|(2a2+⑺；M2(-2X/7,2-5/7)

當(2y_4)_q=_4時，

解得yi=5y2=-G,

M3(2X/3-4,^);M4(-2>/3-4,-X/3)

綜上，點M點坐標為:M,(277,2+77)；M2(-2V7,2-X/7)；M3(2>/3-4,>/3)；M(2癢

【點睛】本題考查了一次函數和反比例函數的交點問題，利用平行四邊形的性質及待定系數法求解

析式是解此題的關鍵.

9.如圖，一次函數尸辰+〃與反比例函數y二'的圖像交于點A(l,6),8(3，〃)兩點.

X

⑴求反比例函數和一次函數的表達式；

⑵連接OA、OB,求AO8的面積；

⑶直線。經過點(0,1)且平行于x軸，點”在直線〃上，點N在)，軸上，以A、4、M、N為頂點的

四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫出點M、N的坐標，如果不可以，說明理由.

【答案】(1)反比例函數解析為尸9,一次函數解析式為嚴-2x+8

x

(2)8

⑶M(4,1),N(0,7)或M(2,I),N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3)

【分析】(1)由4點坐標可求得，〃的值，可求得反比例函數解析式，則可求得8點坐標，由A、B

兩點坐標，利用待定系數法可求得直線A4的解析式；

(2)設直線AB與x軸交于點D,求出。點的坐標，分別求出“OQ^LBOD的面機即可?確定aAOB

的面積；

(3)設M(〃?，1),N(0,?),分三種情況討論，AB.AM、4N分別為平行四邊形的對角線，列

出相應方程式解得即可.

(1)

解：???反比例函數產絲的圖像過A(1,6),

x

.*.///=1x6=6,

???反比例函數解析為產9,

X

把x=3代入可得〃=2,

：.B(3,2),

設直線AB解析式為y=kx+b(k*0),

k+b=6

把A、8坐標代入可得《

3k+b=2'

k=-2

y=kx+b(^k^O)解得，

b=8'

工一次函數解析式為y=-2*8；

(2)

解：設直線4B與x軸的交點為D,

令)，=0,得2i+8=0,

解得m4,

：,D(4,0),

?'?SADO=；X4X6=I2，S8W=；X4X2=4,

**?SAOR—SADO-SBDO=8；

(3)

解：點M在直線〃」：，點N在)，軸上,

設M(m,1),N(0?n),

①當48為平行四邊形對角線時，

I+3=〃?+0

6+2=1+〃

rn=4

解得「，

〃二7

:,M(4,1),N(0,7)；

②當AW為為平行四邊形對角線時,

\+ni=3+0

6+1=2+〃'

m=2

解得

〃=5

???M(2,1),N(0,5)；

③當AN為為平行四邊形對角線時,

1+0=3+，〃

6+〃=2+1'

in=-2

解得

n=-3

:.M(-2,1),N(0,-3)；

綜上所述，以4、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，例(4,1),N(0,7)或Mi2,1),

N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3).

【點睛】本題為反比例函數與一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖像與％軸交點、平行

四邊形的性質、方程思想及數形結合思想等知識，在(1)中注意待定系數法的應用，在(2)中注

意數形結合，在(3)中確定出M、N的位置是解題的關鍵.

10.如圖，一次函數尸x+l與反比例函數尸人的圖象相交于4九2),B兩點，分別連接04,OB.

x

(1)求這個反比例函數的表達式；

(2)求一408的面積：

⑶在平面內是否存在一點P,使以點0,B,4,P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接

寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴丁，2

x

(2)|

⑶P(T1)或代―3,-3)或P(3,3)

【分析】(1)先利用一次函數求出A點的坐標，再將A點坐標代入反比例函數解析式即可；

(2)先求出以。點坐標，再利用三角形的面積公式求解即可；

(3)分三種情況，利用坐標平移的特點，即可得出答案.

(1)

解：把A(皿2)代入一次函數)，=*+1,得2=m+1,

解得〃2=1,

二.A(l,2),

把A(l,2)代入反比例函數)，=士k，得2=k￡,

x1

:.k=2,

2

「?反比例函數的表達式為)，=-；

x

(2)

2

解：令-=x+l,解得工=1或戶_2,

x

當X=-2時，y=-l,即8(-2,-1),

當x=0時，y=l,

/.OC=1,

SAO8=Sg+S0cB=JOC.kJ+foe3=OC(k/-XA)=；xIx(2+1)=1；

(3)

解：存在，理由如下：

當04與04為鄰邊時，點0(0,0)先向左平移2個單位再向下平移1個單位到點3(-2,-1),則點A(l,2)

也先向左平移2個單位再向下平移I個單位到點P,即/'(-ID；

當A〃與AO為鄰邊時，點4L2)先向左平移3個單位再向下平移3個單位到點,則點0(0,0)

也先向左平移3個單位再向下平移3個單位到點即2-3,-3)；

當84與8。為鄰邊時，點B(-2,-l)先向右平移3個單位再向上平移3個單位到點4L2),則點。。0)

也先向右平移3個單位再向上平移3個單位到點P,即P(3,3):

綜上，P點坐標為打一口)或尸(T-3)或尸(3,3).

【點睛】本題考查了反比例法數與特殊四邊形的綜合題目，涉及求反比例函數解析式，三角形的面

積公式，反比例函數與一次函數的交點問題，平移的性質，熟練掌握知識點并運用分類討金的思想

是解題的關鍵.

11.如圖，已知一次函數y=3+力與反比例函數)，=&的圖象交于第一象限內的點41,6)和

X

8(6,m),與上軸交于點C,交軸于點Q.

(1)分別求出這兩個函數的表達式；

(2)連接。4、08,求AAQ8的面積；

(3)點?為坐標平面內的點，若點。，A,C,尸組成的四邊形是平行四邊形，清直接寫出點P的坐

標.

【答案】(l)y=9,y=-x+7

x

(2)T

(3)點尸的坐標為:(8,6),(-6,6),(6,-6)

【分析】(1)直接利用待定系數法分別求出?次函數與反比例函數解析式；

(2)利用三角形面積的和差求解，即可得出結論；

(3)利用平行四邊形的性質結合當4P〃0C且AP=OC時，當AP〃O。且AP，=OC時，當A0〃P”C,

且40=P"C時，分別得出答案.

(1)

???點41,6)在反比例函數y=8■的圖象上，

X

.?.6=牛，解得：&2=6,

???反比例函數的表達式是：y=-；

X

.8(6,⑼在反比例函數尸工的圖象上，

/.m=\t

???4(6,1),

6=k.+h

將點41,6),8(6,1)代入)，=k/+入可得：\

1=6^+b

k.=—1

解得：］,，

b=l

，一次函數表達式是：)，=f+7；

(2)

由(1)知,直線L3的解析式為y=-x+7,則力(0,7),C(7,0),

1|35

?'-S^OB=SACOD-(SMOD+S^oc)=3℃.OD-k=于7x7-7=W；

(3)

..P點坐標為(&6)：

當4〃〃0C且4P=O。時，貝|J4P=OC=7,

41,6),

二產點坐標為：（Y，6）；

當AO〃產C,且47=產。時，則點A與P〃到尤軸距離相等，且尸點橫坐標為7-1=6,

產點坐標為：（6,-6）

綜上所述：點P的坐標為：（&6）,（-6,6）,（6,-6）.

【點睛】此題是反比例函數綜合題，主要考杳了待定系數法求一次函數解析式、平行四邊形的性質

等知識，正確數形結合分析是解題關鍵.

12.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數）"=214（右0）的圖象與反比例函數的圖象交

x

于4、B兩點、.

（1）求A、4的坐標.

（2）當x為何值時，2r-4>g?

⑶如圖，將直線4B向上平移與反比例函數），=9的圖象交于點C、D,順次連接點A、從C、D,

x

若四邊形A8c。是平行四邊形，求S型繡人8C。的值.

【答案】⑴點A、8的坐標分別為（?1,?6）、（3,2）

（2）x>3或-IVxVO

⑶32

【分析】（1）聯立），尸244（原0）和即可求解；

x

（2）觀察函數圖象即可求解；

（3）當四邊形48CO是平行四邊形，則（x4-x8）2=（xC-xD）2,求出直線A3平移的距離為8,由

S四邊形ABCD=AB?EH,即可求解.

(1)

解：聯立y/=2x-4（附））和”=9,得

x

y=2x-4

，6，

）'=一

x

4,x=-l4fx=3

解得：A或C，

y=-6[y=2

故點A、8的坐標分別為（-1,-6）、（3,2）；

（2）

解：由圖象得，當x>3或-l<r<0時，2x-4>-；

x

（3）

設直線AB向上平移了機個單位得到直線CD,

則直線CD的表達式為y=2?4+加②，

聯立①②并整理得：源+（w-4）x-6=0,

.*.x/+%2=y（4-in）,x/X2=-3,

則（X/-X2）2=（X/+X2）2-4xiX2=_竺）—+12,

4

???四邊形48CQ是平行四邊形，

故（M?x8）2=（3+1）2=（xC-.vD）2=（X/-X2）2=?-〃，）_+12,

4

解得〃?=0（舍去）或8,

即直線A8平移的距離為8,

設直線A8交），軸于點E,過點E作EH_LCO于點”，宜線CO交y軸于點尸,

則FE=m=S,

由直線CD的表達式知，tan/HFE=g,MsinZ/7FE=^,

在RSEH*中，EH=EFsin^HIE=4=x8=

???S艱/ABCD=AB?EH=J(3++(2+6『x專=32.

【點睛】本題為反比例函數綜合題，涉及到一次函數的性質、平行四邊形的性質、解直隹三角形、

圖形的平移、面積的計算等，有一定的綜合性，難度適中.

13.如圖，一次函數y=x+l與反比例函數y=@的圖象交于點4和B（-2,〃），與,，軸交于點C.

X

⑴求反比例函數解析式；

⑵點P為第三象限內反比例函數圖象上一點，過點P作尸?！ǎ?，軸，交線段AB于點。，是否存在點

尸使得四邊形。尸0C為平行四邊形？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

2

【答案】（1）丁二一

x

⑵存在,（S-近）

【分析】（1）將點3（-2,加代入y=x+l得點B的坐標，再將點8坐標代入反比例函數解析式

即可；

2

（2）由四邊形。POC為平行四邊形，得PO=OC,設尸（m,-）,表示出點。的坐標，求出P。

的長度，即可解決問題.

解：由題意知，點8在一次函數.v=x+l的圖象上,

，點4坐標為（-2,-1）,

代入反比例函數解析式可得〃=（-2