2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題143 乘法公式【九大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題14.3乘法公式【九

大題型】

【人教版】

【題型?乘法公式的基本運算】..................................................................1

【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】.............................................................2

【題型3乘法公式的運算】......................................................................2

【題型4利用乘法公式求值】....................................................................3

【題型5利用面積法驗證乘法公式】.............................................................3

【題型6乘法公式的應(yīng)用】......................................................................4

【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】.................................................5

【題型8整式乘法中的新定義何題】.............................................................8

【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】...............................................................9

。。片蘆，?三

【知識點1乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫做

平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a?b)2=a2?2ab+b2。兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上

(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。

【題型1乘法公式的基本運算】

【例1】(2022春?青川縣期末)下列各式中計算正確的是()

A.(A+2Z?)(a-2b)=cr-2b1

B.(-a+2b)-2b)=『-4〃

C.(-a-2b)(a-2b)=-a2+4b2

D.(-a-2b}(a+2b)=a2-4b2

【變式1-1](2022春?六盤水期中)下列各式中能用平方差公式計算的是()

A.(-x+2y)(x-2y)B.(3x-5y)(-3x-5y)

C.(1-5AM)(5m-1)D.(a+h)(/?+?)

【變式1-2］（2022春?巴中期末）下列運算正確的是（）

A.(x+y)(y-x)=JT-y2B.(-x+y)2=-jr+2xy>+y2

C.(-x-y)2=-x2-2xy-y1D.(x+y)(?y+x)=x2-y2

【變式1-3](2022秋?天心區(qū)校級期中)下列各式中，能用完全平方公式計算的是()

A.(a-b)(-b-a)B.(-/")(，川+〃2)

C.(-1p+Q)(<?+jp)D.(2A--3y)(2什3y)

【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】

【例2】（2022秋?望城區(qū)期末）若二項式f+4加上一個單項式后成為一個完全平方式，則這樣的單項式共

有（）

A.1個B.2個C.3個D.5個

【變式2-1］（2022?南通模擬）如果多項式f+2x+女是完全平方式，則常數(shù)k的值為（）

A.1B.-1C.4D.-4

【變式2-2］（2022秋?青縣期末）若%2-（K-1）/1是關(guān)于"勺完全平方式，則常數(shù)K的值為（）

A.0B.-5或7C.7D.9

【變式2-3］（2022秋?崇川區(qū)校級月考）（x+a）（x+力）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式,

則小4c的關(guān)系可以寫成（）

A.a<b<cB.（a-b）2+（Z>-c）2=0

C.c<a<bD.a=h=^c

【題型3乘法公式的運算】

【例3】（2022春?龍勝縣期中）計算:（1一白）X（1一白）X（1-^）X…義（1一白）X（1一焉）的

OO/zxAVv

結(jié)果是（）

A.—B.—C.—D.—

200125100100

【變式3-1］（2022秋?碾子山區(qū)期末）先化簡，再求值：（2r-y）（），+2x）-（2y+x）（2y-x）,其中x

=1,y=2.

【變式3-2］（2022春?乳山市期末）用乘法公式進行計算：

（1）20192-2018X2020：

（2）11?+］3X66+392.

【變式3?3］（2022春?順德區(qū)校級月考）計算：（2+1）（22+1）（24+1）…（2.+1）

【題型4利用乘法公式求值】

【例4】（2022秋?九龍坡區(qū)校級期中）若/■從=]6,（"》）』8,則"的值為（）

A—B*C,-6D.6

【變式4-1]（2022春?姜堰區(qū)校級月考）已知4加+〃=90,2m-3n=10,求（〃?+2〃）2-（3川-〃）？的值.

【變式4-2]（2022春?雙峰縣期中）若工、＞滿足占）2=京所一去求下列各式的值.

（1）（x+y）2

（2）x4+y4.

【變式4-3]（2022春?包河區(qū)期中）已知（2022-m）（2022-m）=2021,那么（2022-m）2+（2022-

?。?的值為（）

A.4046B.2023C.4042D.4043

【題型5利用面積法驗證乘法公式】

【例5】（2022春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個圖形的面積

關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）

A.（?-/?）（a+b）=a2-b2B.（?+/?）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-lab+b1D.（2a-b）2=4tz2-4ab+b2

【變式5-1]（2022春?樂平市期末）如圖所示，兩次用不同的方法計算這個圖的面積，可驗證整式乘法公

式是（）

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)(a+2b)=a2+3ab^-2b2

C.(alb)1=crI2ab\tr

D.（a-b）2=a2-2ah+b2

【變式5?2】（2022春?錦州期末）如圖1,在邊長為。的大正方形中，剪去一個邊長為3的小正方形，將

余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，

可驗證的等式為（）

圖2

B.(。+3)2=a2+6a+9

D.(〃+3)(a?3)=a2-9

【變式5-3］（2022?鄲都區(qū)模擬）如圖，在邊長為G+”）的正方形中，剪去一個邊長為。的小正方形，將

余下部分對稱剪開，拼成一個平行四邊形，由左右兩個陰影部分面積，可以得到一個恒等式是（）

A.(*+〃)2-a2=x(x+2a)B.x1+2ax=x(x+2a)

C.Cx+a)2-)r=a(a+2r)D..r2-a2=(x+a)(x-?)

【題型6乘法公式的應(yīng)用】

【例6】（2022春?榆次區(qū)期中）如圖1,從邊長為（。+5）cm的大正方形紙片中剪去一個邊長為（a+2）cm

的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開，按圖3方式拼接成一個長方形（無縫隙不重合）則該長

方形的面積為（）

圖3

C.(6a+9)cnrD.(6a+21)cm2

【變式6-1］（2022秋?西峰區(qū)期末）如圖，正方形ABC。和正方形和重疊，其重疊部分是一個

長方形，分別延長人。、CD,交NP和MP于H、Q兩點，構(gòu)成的四邊形NG。，和MEQQ都是正方形，

四邊形PQDH是長方形.若正方形ABCD的邊長為x,AE=10,CG=20,長方形EFGD的面積為200.求

正方形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）.

【變式6-2]（2022春?湖州期末）如圖，把一塊面積為100的大長方形木板被分割成2個大小一樣的大正

方形①，1個小正方形②和2個大小一樣的長方形③后，如圖擺放，且每個小長方形③的面積為16,則

標號為②的正方形的面積是（）

?FT-

________________①

②

①------------

③

A.16B.14C.12D.10

【變式6-3]（2022秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，我校一塊邊長為米的正方形空地是八年級I-4班的衛(wèi)

生區(qū)，學(xué)校把它分成大小不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個班級所抽到的衛(wèi)生區(qū)情

況，其中1班的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長為（x-2y）米的正方形，其中0V2），Vx.

（1）分別用x、的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；

（2）求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？

【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】

【例7】（2008秋?上海校級期中）我們已經(jīng)知道利用圖形中面根的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式，如圖

一，我們可以得到兩數(shù)差的完全平方公式：（。-b）2=/.2ab+b2

（1）請你在圖二中，標上相應(yīng)的字母，使其能夠得到兩數(shù)和的完全平方公式（。+。）2=/+2,心+/落

（2）圖三是邊長為〃的正方形中剪去一個邊長為的小正方形，剩下部分拼成圖四的形狀，利用這兩幅

圖形中面積的等量關(guān)系，能驗證公式:

（3）除了拼成圖四的圖形外還能拼成其他的圖形能驗證公式成立，請試畫出一個這樣的圖形，并標上相

【變式7-1］（2022春?西城區(qū)校級期中）閱讀學(xué)習:

數(shù)學(xué)中有很多恒等式可以用圖形的面枳來得到.

如圖1,可以求出陰影部分的面積是〃?〃；如圖2,若將陰影部分裁剪下來，重新拼成?個矩形，它的

長是。+江寬是。?b,比較圖1,圖2陰影部分的面積，可以得到恒等式（a+b）（a-b）=a2-b2.

2

（1）觀察圖3,請你寫出（a+b）2,（a-b）,"之間的一個恒等式.

（2）觀察圖4,請寫出圖4所表示的代數(shù)恒等式：.

（3）現(xiàn)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖5所示，請你用拼圖的方法推出一個恒等式（。+〃）2=

/+2必+〃，仿照圖4畫出你的拼圖并標出相關(guān)數(shù)據(jù).

【變式7-2］（2022春?武侯區(qū)校級期中）［知識生成］通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可

以得到一個恒等式.

例如：如圖①是一個長為2a,寬為力的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②

的形狀拼成一個正方形.請解答下列問題：

（1）觀察圖②，請你寫出（a-b）2、（a-b）2、帥之間的等量關(guān)系是：

（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系解決如下問題：若x+y=6,盯=去求G-y）?的值；［知識遷移］類似地,

用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式.

（3）根據(jù)圖③，寫出一個代數(shù)恒等式：；

（4）已知。+〃=3,ah=1,利用上面的規(guī)律求產(chǎn)的值.

【變式7-3］（2022春?賀蘭縣期中）在前面的學(xué)習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，利用圖①

和圖②發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式，不僅更清晰地“看到”公式的結(jié)構(gòu)，同時感受到這樣

的抽象代數(shù)運算也有直觀的背景.這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而

形象化.

請你利用上述方法解決卜.列問題:

（1）請寫出圖（1）、圖（2）、圖（3）所表示的代數(shù)恒等式

y

X

X

y

x

(1)⑵⑶

（2）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）(x+3y)=x2+4xy+3yz

【拓展應(yīng)用】

提出問題：47X43,56X54,79X71,……是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相

乘的算式，是否可以找到一種速算方法?

幾何建模:

用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47X43為例:

（1）畫長為47,寬為43的矩形，如圖③，將這個47X43的矩形從右邊切下長40,寬3的一條，拼接

到原矩形的上面.

（2）分析：幾何建模步驟原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，47X43的矩形面積或（40+7+3）X

40的矩形與右上角3X7的矩形面積之和，即47X43=(40+10)X40+3X7=5X4X100+3X7=2021,

用文字表述47X43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100,加上個位數(shù)字3與7的

積，構(gòu)成運算結(jié)果.

請你參照上述幾何建模步驟，計算57X53.要求畫出示意圖，寫出幾何建模步驟（標注有關(guān)線段）

歸納提煉:

兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（川文字表述）:

，證明上述速算方法的正確性.

【題型8整式乘法中的新定義問題】

【例8】（2022春?嘉興期中）定義：對于三個不是同類項的單項式4,B,C,若A+8+C可以寫成（〃+6）

?的形式，則稱這三項為“完全搭配項"，若單項式4和m是完全搭配項，則m可能是.(寫

出所有情況）

【變式8/】（2022春?成華區(qū)月考）如果?個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)

為“神秘數(shù)”，如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、20都是這種“神秘數(shù)”.

（I）28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎?試說明理由；

（2）試說明神秘數(shù)能被4整除；

（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘數(shù)嗎？試說明理由.

【變式8-2］（2022春?博山區(qū)期末）定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)正奇數(shù)的平方差，那么稱這

個正整數(shù)為：“奇異數(shù)”.如8,16,24都是“奇異數(shù)”.

（1）寫出兩個奇異數(shù)（8,16,24除外）；

（2）試問偶數(shù)6050是不是奇異數(shù)？為什么？

【變式8-3］（2022?永川區(qū)模擬）如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智

一數(shù)”，否則稱這個正整數(shù)為“非智慧數(shù)”.例如:22-產(chǎn)=3；32-22=5；32-12=8；42-32=7；42

-22=12；42-12=15；等等.

因此3,5,8,都是“智慧數(shù)”；而1,2,4,都是“非智慧數(shù)”.

對于“智慧數(shù)”，有如下結(jié)論：

①設(shè)4為正整數(shù)（k22）,則人（h1）2=2k-1.，除1以外，所有的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”；

②設(shè)女為正整數(shù)（A23）,則F-Ck-2）2=.??,都是“智慧數(shù)”.

（1）補全結(jié)論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于2（）的“非智慧數(shù)”；

（2）求出從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個“智慧數(shù)”.

【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】

【例9】（2022春?江陰市期中）觀察下列各式（x-1）（x+1）=r-1,（x-1）（,r+x+l）=?-1,（x

420,73

-1）（V+F+x+l）=.r-1……根據(jù)規(guī)律計算：（-2）2018+（.2）+（-2）20W+…+（-2）+（-2）

2+（-2）J+1的值為（）

【變式9-1］（2022?豐順縣校級開學(xué)）解答下列問題.

（1）觀察下列各式并填空：32-12=8X1；52-32=8X2；①72-52=8X；②92-2=8X4；③

-92=8X5；?132-2=8X6；…

（2）通過觀察、歸納，請你用含字母〃（〃為正整數(shù)）的等式表示上述各式所反映的規(guī)律；

（3）你能運用平方差公式來說明（2）中你所寫規(guī)律的正確性嗎？

【變式9-2］（2022秋?肥城市期中）我們知道，1+2+3+…+〃=也羅，關(guān)于這個公式的推導(dǎo)方法，有很多，

比如說小高斯的故事.下面我們利用以前學(xué)過的公式，給山另外一種推導(dǎo)方法:

首先,我們知道：(〃+1)2=戶+2〃+1,

變形一下，就是(〃+1)2-7i2=2n+l>

依次給〃一些特殊的值：1,2,3,…，我們就能得到下面一列式子：

22-12=2X1+1；

32-22=2X2+1；

42-32=2x3+1；

???

(〃+1)2-，p=2X〃+l；

觀察這列式子，如果把它們所芍的等式兩端左右相加，抵消掉對應(yīng)的項，我們可以得到(/1)2-?=2

X(1+2+3+…+〃)+〃，

觀察這個式子，等式右邊小括號內(nèi)的式子，不就是我們要求的嗎？把它記為S就是：(/?+1)2-12=2X

S十〃,

把S表示出來，得到：S=1+2+3+…+〃=華2

用這個思路，可以求很多你以前不知道的和，請你仿照這個推導(dǎo)思路，推導(dǎo)一下5=F+22+32+…+/的值.

【變式9-3](2022春?漳浦縣期中)你能化簡(a-I)(?99+<?8+a97+-+</2+a+l)嗎？

我們不妨先從簡單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論.

(1)先填空：(a-1)(a+1)=；(a-1)(/+〃+])=；(a-1)(/+/+〃+])=；???

由此猜想：(a-1)(￡799+t/98+tz97+?--+a2+a+1)=

(2)利用這個結(jié)論，你能解決下面兩個問題嗎？

①求2吃+2198+2⑼+…+2?+2+1的值：

②若〃+/+冉合+。+1=0,則心等于多少？

專題14.3乘法公式【九大題型】

【人教版】

”松媽宮巾

【邈型?乘法公式的基本運算】................................................................11

【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】.............................................................13

【題型3乘法公式的運算】.....................................................................14

【題型4利用乘法公式求值】...................................................................16

【題型5利用面積法驗證乘法公式】............................................................17

【題型6乘法公式的應(yīng)用】.....................................................................19

【題型7平方■差公式、完全平方公式的幾何背景】................................................22

【題型8整式乘法中的新定義何題】............................................................27

【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】..............................................................30

【知識點1乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a?b)=a，b2。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫做

平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a?b)2=a2?2ab+b2。兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上

(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。

【題型1乘法公式的基本運算】

【例1】(2022春?青川縣期末)下列各式中計算正確的是()

A.(a+2b)(a-2b)=a2-lb2

B.(-a+2b)(a-2by=cr-4b2

C.(-a-2b)(?-2b)=-a2+4b2

D.(-a-2b)(a+2b)=cr-4從

【分析】根據(jù)平方差公式對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A、應(yīng)為(”+2〃)(a-2b)=a2-(2b)2,故本選項錯誤；

B、應(yīng)為(-a+2b)(a-2b)=-a2+4ab-4b2,故本選項錯誤；

C、(-a-2b)(〃-2b)--a2+4h2,正確；

￡＞、應(yīng)為(-4-26)(a+26)=-a2-4ab-4b2,故木選項錯誤.

故選：c.

【變式1?1】(2022春?六盤水期中)下列各式中能用平方差公式計算的是()

A.(-x+2y)(x-2y)B.(3x-5y)(-3x-5y)

C.(1-5m)(5m-1)D.(a+b)(b+a)

【分析】根據(jù)平方差公式的特征：(1)兩個兩項式相乘，(2)有一項相同，另一項互為相反數(shù)，對各

選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：4、不存在相同的項，不能運用平方差公式進行計算；

B、-5)，是相同的項，互為相反項是3x與-3%符合平方差公式的要求；

C、不存在相同的項，不能運用平方差公式進行計算；

D、不存在互為相反數(shù)的項，不能運用平方差公式進行計算；

故選:B.

【變式1?2】(2022春?巴中期末)下列運算正確的是()

A.(x+y)Cy-x)=jr-y2B.(-x+y)2=-r+lxy+y1

C.(-x-y)2=-x2-2xy-y1D.(x+y)(-y+x)=,r-y1

【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式逐個判斷即可.

【解答】解:人、結(jié)果是V故本選項不符合題意；

B、結(jié)果是f-Zry+y2,故本選項不符合題意；

C、結(jié)果是f+2p+)E,故本選項不符合題意；

D、結(jié)果是)2,故本選項符合題意.

【變式1-3](2022秋?天心區(qū)校級期中)下列各式中，能用完全平方公式計算的是()

A.(?-b)(-b-a)B.(-n2-nr)(nr+rr)

C(一1+q)(q+1)D.⑵?3y)⑵+3y)

【分析】小原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意；

B、原式第一個因式提取-I變形后利用完全平方公式計算得到結(jié)果，符合題意；

C、原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意；

D、原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意.

【解答】解：A、原式=廬?/,本選項不合題意；

B、原式=-(m2+n2)2,本選項符合題意；

C、原式本選項不合題意；

D、原式=4『?9）?,本選項不合題意，

故選：B.

【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】

【例2】（2022秋?望城區(qū)期末）若二項式f+4加上一個單項式后成為一個完全平方式，則這樣的單項式共

有（）

A.1個B.2個C.3個D.5個

【分析】本題考杳運用完全平方式進行因式分解的能力，式子x2和4分別是x和2的平方，可當作首尾

兩項，根據(jù)完全平方公式可得中間一項為加上或減去x和2的乘積的2倍，即±4%同時還應(yīng)看到』+4

加上-4或-f或？后也可分別構(gòu)成完全平方式，所以可加的單項式共有5個.

16

【解答】解：可添加士4h-4,-r2或W等5個.

16

故選：D.

【變式2-1］（2022?南通模擬）如果多項式是完全平方式，則常數(shù)k的值為（）

A.iB.-1C.4D.-4

【分析】根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項和已知平方項先確定出另一個數(shù)是1,平方即可.

【解答】解：?.2=2Xl?x,

k—12=1?

故選A.

【變式2-2］（2022秋?青縣期末）若9f?（K-l）x+l是關(guān)于x的完全平方式，則常數(shù)K的值為（）

A.0B.-5或7C.7D.9

【分析】根據(jù)完全平方式的定義解決此題.

【解答】解：9f-（K-1）x+l=（3x）2-（K-1）x+12.

???9f-（K-I）x+l是關(guān)于x的完全平方式，

???9--（K-I）x+l=（3x）2±2?3尸l+|2=（3.r）2±6LV+12.

■（K-1）=±6.

當-（K-1）=6時，K=-5.

當?（K-1）=?6時，K=7.

綜上：K=-5或7.

故選:B.

【變式2-3](2022秋?崇川區(qū)校級月考)(x+〃)(x+h)+(x+h)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，

則mb,。的關(guān)系可以寫成()

A.a<b<cB.(a-b)2+(b-c)2=0

C.c<a<bD.a=bWc

【分析】先把原式展開，合并，由于它是完全平方式，故有3『+2(.a+b+c)A+(ab+bc+ac)=[、&+苧

222222

(a+b+c)F，ab+bc+ac=a+b+cf那么就有(a-b)+(b-c)+(c-a)=0>三個非負數(shù)的

和等于0,則每一個非負數(shù)等于0,故可求r=b=c.故選答案艮

【解答】解：原式=3.P+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac),

■:Cx+a)(x+力)+(x+Z?)(工+c)+(x+c)(x+〃)是完全平方式，

；?3『+2(a+b+c)x+Cab+bc+ac')=[V5x+\Ca+b+c)]2,

/.ab+bc+ac=Ca+b+c)2=7(a2+b2+(r+2ab+2ac+2bc),

33

:.ab+bc+ac=(r+b1+c1,

：.2Cab+bc+ac)=2,

即Qa-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

Aa-/>=(),方-c=0,c-〃=0,

??ci—b=c9

故選：B.

【題型3乘法公式的運算】

[ft31(2022春?龍勝縣期中)計算：(1-^)X(1一2)X(1-^)X-X(1一白)X(1一焉)的

結(jié)果是()

.101「101

AC.—D.—

-荻B.五100100

[分析]根據(jù)a1-b2=(.a-h)(a+b)展開，中間的數(shù)全部約分，只剩下第一個數(shù)和最后一個數(shù)相乘，

從而得出答案.

【解答】解：原式=(1一；)X(1+i)X(1--)X(1+3X(1--)X(1+-)X-X(1-—)X

667799

(14--)X(1---)X(1+-^―)

99100100

4657689810099101

=-x-x-x-x-x-x???X—X——X——X——

5566779999100100

4101

=-X-----

5100

101

=-----.

125

故選：B.

【變式3-1](2022秋?碾子山區(qū)期末)先化簡，再求值：(2x-y)Cy+2x)-(2y+x)(2y-.r),其中x

=1,y=2.

【分析】利用平方差公式展開并合并同類項，然后把小丁的值代入進行計算即可得解.

【解答】解：(2x-y)(>-+2r)-(2y+x)(2y-x),

=4.?-/-(4/-/)，

=4.r2-y1-4V+X2,

=5A2-5y2,

當x=l,y=2時，原式=5X>-5X22=5?20=-15.

【變式3-2](2022春?乳山市期末)用乘法公式進行計算：

(1)20192-2018X2020；

(2)112+]3X66+392.

【分析】平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差；完全平方公式：(。+〃)

2=cr+2ab+lr.

【解答】解：(1)20192-2018X2020

=20192-(2022-1)X(2022+1)

=20192-(20222-1)

=1:

(2)ll2+13X66+392

=ll2+13X2X3Xll+392

=ll2+2X||X39+392

=(11+39)2

=5O2

=2500.

【變式3-3](2022春?順德區(qū)校級月考)計算：(2+1)(22+1)(24+1)-(2W+1)

【分析】原式變形后，利用平方差公式計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)-(264+1)

=(22-I)(22+1)(24+1)-(264+1)

=(2‘-1)(24+1)???(264+1)

=???

=C264-1)(2M+1)

=2,28-1.

【題型4利用乘法公式求值】

(ft4](2022秋?九龍坡區(qū)校級期中)若〃2一/=16,(〃+8)2=8,則"的值為()

A.--B.-C.-6D.6

22

【分析】根據(jù)『-從=16得到(。+“)2(?-Z?)2=256,再由(。+力)2=8,求出(a-/?)?=32,

最后根據(jù)ab=空號也求出答案.

【解答】解：???『?護=16,

:.(a+b)(a-b)=16,

???(a+b)2(a-b)2=256,

*/(a+b)2=8,

(.a-h}2=32,

?,(a+b)2-(a-b)28-32j

??ab=-----------------=------=-6,

44

故選：c.

【變式4-1](2022春?姜堰區(qū)校級月考)已知4加+〃=90,2m-3w=10,求(機+2〃)？-的值.

【分析】原式利用平方差公式分解，變形后將已知等式代入計算即可求出值.

【解答】解：V4m+n=90,2m-3〃=10,

:.(m+2n)2-(3m-n)2

=[(m+2n)+(3m-n)][(m+2n)-(3zz?-n)J

=(4in+n)(3/?-2in)

=-900.

【變式4-2](2022春?雙峰縣期中)若x、y滿足f+產(chǎn)京xy=求下列各式的值.

(1)(xiy)2

(2)/+/.

【分析】(1)原式利用完全平方公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值：

(2)原式利用完全平方公式變形，將各自的值代入計算即可求出值.

【解答】解：(1)???f+)，2=*町=一￡

原式=f+y2+2\y=；一]=:：

(2)VA2+/=x)=-p

???原式=(f+)2)2_W=^_1=1Z.

【變式4-3](2022春?包河區(qū)期中)己知(2022-m)(2022-m)=2021,那么(2022-m?2+(2022-

m)2的值為()

A.4046B.2023C.4042D.4043

【分析】利用完全平方公式變形即可.

【解答】解：*.*(。-力)2=a2-2ab+b2,

(r+b2=(a-b)2+2ab.

:.(2022-m)2+(2022-m)2

=[(2022-w)-(2022-w)]2+2X(2022-m)(2022-m)

=4+2X2021

=4046.

故選：A.

【題型5利用面積法驗證乘法公式】

【例5】(2022春?新泰市期末)將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個圖形的面積

關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是()

A.(?-Z?)(〃+/?)=cr-b2B.Ca+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+h2D.(2a-b)2=4a2-4ah+b2

【分析】利用兩個圖形面積之間的關(guān)系進行解答即可.

【解答】解：如圖，圖甲中①、②的總面積為（。+5）（。?2，），

圖乙中①、②的總面積可以看作兩個正方形的面積差，即

因此有（?+/?）（a-b）=a2-b2,

式是（）

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)(a+2b)=(r+3ab^2b2

C.(a+b)2=a2+2ah+b2

D.(a-b)2=a2-2ab+b2

【分析】用代數(shù)式表示各個部分以及總面積即可得出答案.

【解答】解：大正方形的邊長為什兒因此面積為（。+。）2,四個部分的面積分別為，、心、ab、廿,

由面積之間的關(guān)系得，（a+b）2=a2+2ab+b2,

故選：C.

【變式5-2］（2022春?錦州期末）如圖I,在邊長為。的大正方形中，剪去一個邊長為3的小正方形，將

余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，

可驗證的等式為（）

圖1圖2

A.(a-3)2=a2-6a+9B.(a+3)2=a2+6a+9

C.a(〃+3)=/+3〃D.(a+3)(a-3)=a2-9

【分析】用代數(shù)式分別表示圖I、圖2中陰影部分的面積即可.

【解答】解：圖1中，陰影部分的面積可以看作是兩個正方形的面積差，即/-32=4-9,

圖2是長為"3,寬為。-3的長方形，因此面枳為（a+3）（a-3）,

所以有（。+3）（。?3）=序?9,

故選：

【變式5-3]（2022?鄲都區(qū)模擬）如圖，在邊長為（x+a）的正方形中，剪去一個邊長為〃的小正方形,將

拼成一個平行四邊形，由左右兩個陰影部分面積，可以得到一個恒等式是（)

Cx+2a)B.jr+2ax=xCx+2a)

C.(x+a)2-r=a(a+2r)D..r-cr=(犬+a)(x-?)

【分析】根據(jù)陰影部分面積相等得到恒等式即可.

【解答】解：第一幅圖陰影部分面積=（x+a）2-層，

第二幅圖陰影部分面積=（x+a+a）x=x（x+2a）,

/.（x+a）2-a2=x（x+2a）,

故選：4.

【題型6乘法公式的應(yīng)用】

（ft6]（2022春?榆次區(qū)期中）如圖1,從邊長為（a+5）。加的大正方形紙片中剪去一個邊長為（a+2）cm

的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開，按圖3方式拼接成一個長方形（無縫隙不重合）則該長

方形的面積為（）

圖1圖2圖3

B.(6a-9)cnrC.(64+9)cnrD.(6a+21)cirr

【分析】由圖形可知長方形的長為兩正方形的和，寬為兩長方形的差，據(jù)此可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，長方形的面積為[(〃+5)+(〃+2)JL(〃+5)-(。+2)]=3(2〃+7；=(6?+21)

cm.

故選：

【變式6-1](2022秋?西峰區(qū)期末)如圖，正方形48CO和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個

長方形，分別延長40、CD,交NP和MP于H、Q兩點,構(gòu)成的四邊形NGQH和MEQQ都是正方形，

四邊形PQDH是長方形.若正方形ABCD的邊長為x,AE=10,CG=20,長方形EFGD的面積為200.求

正方形MFNP的面積(結(jié)果必須是一個具體數(shù)值).

【分析】設(shè)。E=〃，DG=b,則〃=x?10,b=x-20,a-b=\0,又由H=200,所以正方形MFNP的

面積為(a+b)2=(a-b)2+4a/?=900.

【解答】解：)設(shè)DG=b,!/W?=v-10,b=x-20ta~b=\0,

乂由"=200,

22

???正方形MFNP的面積為：(a+〃)2=(a-b)+4ab=10+4X200=900.

【變式6-2](2022春?湖州期末)如圖，把一塊面積為100的大長方形木板被分割成2個大小一樣的大正

方形①，1個小正方形②和2個大小一樣的長方形③后，如圖擺放，且每個小長方形③的面積為16,則

標號為②的正方形的面積是()

_____________①

②

①------------

③

A.16B.14C.12D.10

【分析】設(shè)標號為①的正方形的邊長為x,標號為②的正方形的邊長為y,根據(jù)圖形及已知條件可將③長

方形的長和寬表示出來，再根據(jù)每個小長方形的面積均為16及大長方形的面積為100,得出Y與尸的數(shù)

最關(guān)系，然后解得產(chǎn)即可.

【解答】解：設(shè)標號為①的正方形的邊長為x,標號為②的正方形的邊長為y,則標號為③的長方形長為

（x+y）,寬為（x-y）,

???每個小長方形③的面積均為16,

/.（x+y）（x-y）=16,

-y2=16?

?'?F=16+r

???大長方形的長等于標號為③的小長方形的長與標號為①的正方形的邊長的和，寬等于標號為③的小長

方形的寬與標號為①的正方形的邊長的和，

，大長方形的長為：[（x+y）+x]=2x+.y,寬為：[（x-?。?x]=2x-y,

???大長方形的面枳為100,

???（2r+y）（2A--y）=100,

A4.？-/=100,

:.4（16+/）-r=ioo,

/?r=12,

卻標號為②的正方形的面積為r=12.

故選：c.

【變式6-3]（2022秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，我校一塊邊長為2x米的正方形空地是八年級1-4班的衛(wèi)

生區(qū)，學(xué)校把它分成大小不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個班級所抽到的衛(wèi)生區(qū)情

況，其中1班的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長為（x-2y）米的正方形，其中0V2），Vx.

（1）分別用x、y的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積：

（2）求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？

【分析】（1）結(jié)合圖形、根據(jù)平方差公式計算即可；

（2）根據(jù)圖形分別表示出2班的衛(wèi)生區(qū)的面積和1班的衛(wèi)生區(qū)，根據(jù)平方差公式和完全平方公式化簡、

求差即可.

【解答】解：（1）八年3班的衛(wèi)生區(qū)的面積=（x-2y）\2x~（x-2），）]=『-49；

八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積=（J-2y）[2x-（1-2y）]=f-4）2；

（2）[2A-（x-2y）]2-（x-2>02=Sxy.

答：2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多8冷，平方米.

【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】

【例7】（2008秋?上海校級期中）我們已經(jīng)知道利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式，如圖

（1）請你在圖二中，標上相應(yīng)的字母，使其能夠得到兩數(shù)和的完