中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)之圓與母子型相似結(jié)合型：切割線定理反A模型 壓軸題（含答案及解析）

圓與圖子型相假:翎割線定理反人模型窿軸題專題

知識(shí)剖析

切割線定理:反a模型

圖形相似的證明結(jié)論

@DC2=DB-DA；

因?yàn)椋?OCB=/Z14C

②tanZA=tanZDCB=相似比

??.\DCB~bDAC

經(jīng)典例題

題目上（北雅）如圖，。為。。上一點(diǎn),點(diǎn)。在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且ZCDA=ACBD.

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）過點(diǎn)B作。。的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若BC=6,tan/CD4=。,求跳;的長(zhǎng).

O

???

題目團(tuán)（南雅）如圖，。為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。在直徑BA的延長(zhǎng)線上,且C?=CA-CB.

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）過點(diǎn)B作OO的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若BC=10,tanZCDA=§，求BE的長(zhǎng).

5

遮目叵〕（長(zhǎng)郡）已知:如圖，。。的直徑AB垂直于弦CD,過點(diǎn)。的切線與直徑AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,連

結(jié)PD

（1）求證：PD是。。的切線.

⑵求證：PD2=PB-P4

⑶若PD=4,tanZCDB=/,求直徑4B的長(zhǎng).

O\M

題目⑷（明德）如圖，AB為圓。的直徑，。為圓。上一點(diǎn)，AD和過。點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為。，且AC

平分/D4B,延長(zhǎng)48交。。于點(diǎn)E,。歹，于點(diǎn)F.

（1）求證:直線DE與。O相切；

（2）若EB=2,EC=4,求。。的半徑及力。、40的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下,求陰影部分的面積.

題目?（雅禮）如圖，在。。中，AB為直徑，OCL弦CD與OB交于點(diǎn)F,在AB的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)

E,且EF=ED.

（1）求證：OE是。。的切線

（2）若tan4=，探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）在（2）的條件下，若OF=1,求。O的半徑和CD的長(zhǎng).

C

D

題目⑹(青竹湖)如圖，已知AB是0O的直徑，直線4。與。。相切于點(diǎn)/,過點(diǎn)B作BO〃O。交。。于

點(diǎn)。，連接CD并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是0O的切線.

(2)求證：。彥二踮㈤人；

(3)若BE=1,tan乙48=/,求線段AD的長(zhǎng)度.

題目□(北雅)如圖①，A4BC內(nèi)接于0O,點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，AP交邊BC于點(diǎn)O,交。。于

點(diǎn)瓦經(jīng)過點(diǎn)E作0O的切線分別交AB、4。延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、G.

⑴求證：BC7/FG；

(2)探究：PE與DE和AE之間的關(guān)系；

(3)當(dāng)圖①中的EE=AB時(shí),如圖②，若FB=3,CG=2,求AG的長(zhǎng).

?M

題目包（青竹湖）如圖，。。經(jīng)過4ABC的頂點(diǎn)A、C,并與AB邊相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DFIIBC,交AC

于點(diǎn)E,交（DO于點(diǎn)F,連接_DC,點(diǎn)。為弧OF的中點(diǎn).

（1）求證：BC為OO的切線；

（2）若。O的半徑為3,DF=40,求CE?CA的值；

（3）在（2）的條件下，連接AF,若BD=AF,求AD的長(zhǎng).

題目叵］（麓山國(guó)際）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，40與過點(diǎn)。的切線垂直，垂足為點(diǎn)

直線。。與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,弦CE平分乙4cB，交AB點(diǎn)F,連接BE.

（1）求證：AC平分ZDAB；

（2）求證：PC=PF；

（3）若tanZABC=今，AB=14,求線段PC的長(zhǎng).

題目jo］（青竹湖）如圖，AB為。。的直徑，。為。O上一點(diǎn)，。為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AACD=ZB.

（1）求證：。。為?。的切線；

（2）若。。的半徑為5,sinB=^■，求CD和40的長(zhǎng)；

5

（3）在（2）的條件下，線段OR分別交A。，6。于點(diǎn)E,尸且/CEF=45°,求CF的長(zhǎng).

6

圓與圖子型相假:翎割線定理反人模型窿軸題專題

知識(shí)剖析

切割線定理:反a模型

圖形相似的證明結(jié)論

@DC2=DB-DA；

因?yàn)椋?OCB=/Z14C

②tanZA=tanZDCB=相似比

??.\DCB~bDAC

經(jīng)典例題

題目上（北雅）如圖，。為。。上一點(diǎn),點(diǎn)。在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且ZCDA=ACBD.

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）過點(diǎn)B作。。的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若BC=6,tan/CD4=。,求跳;的長(zhǎng).

O

【解答】（1）證明：連。。，OE,如圖，?.2B為直徑，/ADB=90°,即乙4。。+/1=90°,

又■/ACDA=ACBD,而ACBD=Z1,/.Zl=ACDA,：.ACDA+ZADO=90°,即ZCDO=90°,

.?.CD是。。的切線；

（2）解：???EB為。。的切線，：.ED=EB,OE±DB,：.AABD+ADBE=9Q°,NOEB+NDBE=90°,

：.AABD=4OEB,：.ACDA=AOEB.而tan/CDA=工，：.tan/OEB=零=4，；Rt/XCDO?

33

RtACBE,：.盜=需=嗯=與，：.CD=^x6=4,在Rt4CBE中，設(shè)BE=H,：.（rc+4）2=x2+62,

UJDJ3rjHh/33

解得名=￡.

題目團(tuán)（南雅）如圖，。為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。在直徑BA的延長(zhǎng)線上,且CD2=CA-CB.

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）過點(diǎn)B作。。的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)石，若BC=10,tan/CD4=春,求BE的長(zhǎng).

5

???

：./ADC=ZDBC,OB=OD,：.ABDO=/DBO,：AB為OO的直徑，，ABDA=90°,

NBDO+^ODA=ZCDA+ZODA=90°,：.OD±CD,：.CD為。0的切線；

(2)?:BE、CE是OO的切線，：.ED=EB,?:/XDCA?ABCD，,4DBA=ACDA,：.器=架

BCyIDL)

tanZDBA=tanZCDA.?.CD=3BO=6,設(shè)BE=rc,則DE=rr,CE=a;+6.在RtACBE中，

55

_16

(t+6)2=a:2+102,解得:x

-3，

o

題目叵〕（長(zhǎng)郡）已知:如圖，OO的直徑AB垂直于弦CD,過點(diǎn)。的切線與直徑AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,連

結(jié)PD

（1）求證：PD是。。的切線.

（2）求證：PD2=PB-PA.

（3）若PD=4,tanZGDB=y,求直徑AB的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：連接OD,OC,???PC是。。的切線，二/PCO=90°,???AB_LCD,AB是直徑,

DO=CO

弧BD=孤BC,；.NDOP=Z.COP,在/XDOP和△8P中，，2DOP=4COP,

OP=OP

：.ADOP篤△COP(SAS),APDO=2PCO=90°,1?。在。。上，；.PD是。。的切線；

(2)證明：AB是。。的直徑，/.AADB=90°,/APDO=90°,/.AADO=NPDB=90°-ZBDO,

?：OA^OD,：.ZA=AADO,：.ZA=APDB,VABPD=NBPD,：.4PDB?APAD,

?,.恩=篝,??.P02=P4PB；

⑶解：???ZX7_LAB,AADB=ADMB=90°,ZA+ZZ)BM=90°,ACDB+ADBM=,

??NA—/-CDB,VtanZCDB=]，工tanA=]=，:/^PDB~/\PAD,：.—%??—《4?—；?

???PO=4,??.PB=2,P4=8,??.48=8—2=6.

題目@（明德）如圖，AB為圓O的直徑，。為圓。上一點(diǎn)，AO和過。點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為。，且AC

平分/DAB,延長(zhǎng)AB交。。于點(diǎn)E,CFL于點(diǎn)F.

（1）求證：直線DE與。。相切；

（2）若EB=2,EC=4,求。。的半徑及AC、AD的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下,求陰影部分的面積.

【解答】解：⑴連接OC;?.2D，。。，/口4。+/48=90°;又?.2。平分/2143,OA=OC,

：.ADAC=ACAO,ACAO=AACO,：.ADAC=AACO,：.AACD+AACO=90°，即OC_LDC,

直線DE與。。相切.

⑵?：EC是◎O的切線，,EC2=EB*EA,而EC=4,EB=2,：.EA=8,AB=8-2=6;

.?.（DO的半徑為3.?.?4。平分/DAE,.?.*=空，.?.惡=莓="=2,.?.4。=2。。（設(shè)為2）;

AECEDCEC4

???4C平分NZZ4B,CDrAD,CF_LAB,.?.CD=GF;在△ADC與△AFC中，＜,

[CD=CF

：./XADC空AAFC（HL）,AF=AO=26，BF=6-26；TAB為。O的直徑，.?.Z.ACB=90°;

由射影定理得：CF2=AF-BF,即x2=2z（6—2,）,解得：a;=￥■,.?.AD="；

55

由勾股定理得：AC2=47=今⑤，

即。。的半徑及AC、AD的長(zhǎng)分別為3,畢⑤，空.

55

（/Jo）\...bc^ABc—1MA乂12_365Q半圓O一_萬(wàn)1X乂T？rTX乂JQ2_97r?.bQ陰影一_^97-r----3.6

題目回（雅禮）如圖，在OO中，AB為直徑，OC，AB,弦CD與OB交于點(diǎn)F,在48的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)

E,且EF=ED.

⑴求證：DE是。。的切線

⑵若tanA=-1，探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（3）在（2）的條件下，若OF=1,求O。的半徑和CD的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：連接OD,如圖，?；EF=ED,：.2EFD=NEDF,；2EFD=2CFO,：.ZCFO=

NEDF,'：OC±OF,：.^OCF+ACFO=90°,?/OC=OD,：.2OCF=ZODF,：./LODC+NEDF=

90°,即/ODE=90°,，。。，。右，?.?點(diǎn)。在。。上，是。。的切線；

（2）解;線段AB、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AB=3BE.證明：：為。O直徑，,NADB=90°,

：.ZADO=ZBDE,'：OA=OD,：.ZADO=ZA,ABDE=/A,而ABED=NDEA,/.AEBD?

△EDA，：?噓=黑=^」??母4ABD中==%?.噓=^W，：.AE=2DE,DE

=2BE,

：.AE=4BE,/.AB=3BE;

（3）解：設(shè)BE=a:,則DE=EF=2c,AB=3①，半徑OD=等①，：OF=1,二OE=1+2rr,

在Rt4ODE中，由勾股定理可得：（52）2+（2以=（1+2a;）2,/.x——■（舍）或立=2,

AB=3x=6,：.圓O的半徑為3.過點(diǎn)。作。f/_LCD,

?/OC=OD,CD=2cH,在RtdOCF中，CF=JOCe+o尸2=視,m=。0f,

在辦△OS中，tan/OCH=3="=々，/.CH=3OH=,ACD=2CH=

C/i（JG3105

題目回（青竹湖）如圖，已知AB是。。的直徑，直線A。與OO相切于點(diǎn)4過點(diǎn)B作BDIIOC交。。于

點(diǎn)。，連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：CD是。。的切線.

（2）求證：DE2=EB>EA；

（3）若BE=1,tanZACO=-y,求線段AD的長(zhǎng)度.

?M

【解答】解：（1）BD〃OC,：.NDBO=ACOA,NODB=NCOD,；OB=OD,：.ADBO=NODB,

CO=CO

：.ACOA=Z.COD,在ACOA和/\COD中，，Z.COA=ZCOD,：./\COA空ACOD（SAS）,

,OA=OD

：./.CAO=/CDO,AC是。。的切線，/.CAO=90°=/CD。，即。D_LEC,：OD是G>O的半徑,

.?.EC是OO的切線；

（2）VEC是。。的切線，4ODE=90°,即AEDB+AODB=90°,又AB是。。的直徑，

NADB=90°,/.NABD+ABAD=90°,又：ZODB=ZOBD,：.2EDB=NEAD,

又；NE=NE,：./\EBD?AEDA,：.萼=塔，即DE?=AE，BE;

DEAE

（3）VZACO+2cOA=90°,ABAD+AOBD=90°,而NOBD=ZODB=2cOD=ZCOA,

AAABD+ABAD=90°，,ABAD=AACO,由/\EBD?/\EDA,；.署=筆=tanZBAD=1，

Uh/ATJ2

?；BE=1,；.DE=2,由DE?=AE?BE得,2?=1XAE,，AB=4,，AB=4—1=3,設(shè)BD=a，則AD=

2a,由勾股定理得，BD2+AD2^AB2,即a2+（2a）2=32,解得a=鋰5,...人。=2a=曜$.

55

題目可（北雅）如圖①，△ABC內(nèi)接于。。，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，AP交邊BC于點(diǎn)。，交。。于

點(diǎn)E,經(jīng)過點(diǎn)E作。O的切線分別交AB、AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、G.

（1）求證：BC7/FG；

（2）探究：PE與DE和AE之間的關(guān)系；

（3）當(dāng)圖①中的FE=AB時(shí),如圖②，若FB=3,CG=2,求AG的長(zhǎng).

EE

圖（1）圖（2）

【解答】⑴證明：連接BE,?.?點(diǎn)P是△AB。的內(nèi)心，/BAD=/CAD又：FG切。。于E,

4BEF=ABAD.又；NDBE=NCAD,；.ZBEF=ADBE.：.BC//FG.

（2）解：連接BP,則NABP=ZCBP.?：Z.BPE=NBAP+NABP=NPBC+4EBD,；.ZBPE=

APBE.

：.BE=PE.在/\ABE和^BDE中，ABAE=ZEBD,ABED=AAEB,：./\ABE?ABDE.

:.照=照.：.BE2=AE-DE.：.PE2=AE-DE.

AEBE

⑶解：：FE2=FB-FA=FB（FB+AB），而FE=AB,；.AB2=3（3+AB）.設(shè)AB=rr,則x2-3x-9=0,

解之得c=.?.AB=3+：.（取正值）.由（i）在△AFG中，BC7/FG,.?.禁=冬.

22DrCG

A

EG

題目8j（青竹湖）如圖，。。經(jīng)過4ABC的頂點(diǎn)A、C,并與AB邊相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DFHBC,交AC

于點(diǎn)E,交OO于點(diǎn)F,連接OC,點(diǎn)。為弧OF的中點(diǎn).

（1）求證：BC為OO的切線；

（2）若。O的半徑為3,DF=40,求CE?CA的值；

（3）在（2）的條件下，連接AF,若BD=AF,求AD的長(zhǎng).

【解答】⑴證明：連接CO并延長(zhǎng)交OO于G,連接DG,如圖：CG為直徑，/.4GDC=90°,

ZDCG+Z.DGC=90°,/ZDGC=/B力。，點(diǎn)。為弧DF的中點(diǎn)，：.ZCDF=ABAC,

：.ZDGC=NCDF,：.ZDCG+/CDF=90°,???DF//BC,：.2CDF=ADCB,：./DCG+ZDCB=90°,

OC_LBC,又是0O的半徑，.?.B。為。。的切線；

⑵解:連接OC交DF于此為弧DF的中，OC±DF,:.DM=MF=±DF=2&,

■：QO的半徑為3,：.OM=y/Olf-DM2=V32-(2V2)2=1,/.CM=OC-OM=3-1=2,

ADC2^DM2+CM2^(2V2)2+22=12,-：cb^CF,：.ADAC^ACAF,V4CDF=ACAF,

AZCDF=ADAC,?：ADCE=ZACD，二^DCE?4ACD,：.喘=,：.亦=CE-CA,

7T.OO-L-Z

.?.CE-CA=12;

?.?四邊形ADCF內(nèi)接于OO,AADC+AAFC=180°,又：ABDC+ZCDA=180°,AAAFC=

ABDC,

■：CD^CF,：.CD2V3,又：BDAF,：.l\BDC星△AFC(SAS),ABC=AC,ABCD=

AACF,

■：AACF^AADF,AZBCD=AADF,VDFIIBC,：.4CDF=4BCD,：.ZCDF=AADF,：.AF=

CF,：.AF=CF,BD=CF=2V3,：.AC=DF,：.AC=DF==BC,'：ABCD=ACDF=ACAF

ADAC,ZDBC=4ABC,：.4DBC?4CBA,：.掾=嗯，：.BC'BD*AB,：.(4A/2)2=2V3-AB,

JDUBQy

：.AB^^-V3,AAn=AB-BZ?=^-V3-2V3=^-V3.

ooo

題目回(麓山國(guó)際)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)。的切線垂直，垂足為點(diǎn)O,

直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,弦CE平分/ACB,交4B點(diǎn)F,連接BE.

(1)求證：AC平分/DAB；

(2)求證：PC=PF；?M

【解答】（1）證明：???PD切O。于點(diǎn)C,OC±PD,又AD.LPD,：.OC//AD,：.AACO=ADAC.

?：OC=OA,AAACO^ACAO,：./OAC=/CAO,即4C平分ADAB；

⑵證明：：AD±PD,：.ADAC+乙4co=90°.又：AB為。O的直徑，,NACB=90°.

ANPCB+ZACD=90°,ANDAC=ZPCB.又：NDAC=ACAO,：.ACAO=ZPCB.：CE平分

AACB,A/ACF=ABCF,：.ACAO+ZACF=ZPCB+ABCF,：.4PFC=APCF,：.PC=PF;