中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：最值模型之瓜豆模型（原理）圓弧軌跡型（含答案及解析）

最值模型之瓜豆模型（原理）圓弧軌跡型

動點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型解讀】

模型1、運(yùn)動軌跡為圓弧

模型11如圖，尸是圓O上一個動點(diǎn)，/為定點(diǎn)，連接/P,0為/尸中點(diǎn).。點(diǎn)軌跡是？

如圖，連接/。，取NO中點(diǎn)任意時刻，均有QM:PO=AQ:AP=1:2.

則動點(diǎn)0是以"為圓心，為半徑的圓。

模型1-2.如圖，是直角三角形，^R4Q=90°S.AP=k-AQ,當(dāng)尸在圓。運(yùn)動時，0點(diǎn)軌跡是？

如圖，連結(jié)/。，作NM/。，AO:AM=k:l；任意時刻均有八4尸?！鞍?加，且相似比為譏

則動點(diǎn)。是以M為圓心，為半徑的圓。

模型1-3.定義型：若動點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）

如圖，若P為動點(diǎn)，AB=AC=AP,則3、C、P三點(diǎn)共圓，

則動點(diǎn)尸是以N圓心，N笈半徑的圓或圓弧。

模型1-4.定邊對定角（或直角）模型

1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動點(diǎn)，48為定值，UPB=90。,則動點(diǎn)P是以48為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若P為動點(diǎn)，48為定值，乙4尸3為定值，則動點(diǎn)尸的軌跡為圓弧。

【模型原理】動點(diǎn)的軌跡為定圓時，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑

之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

例1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZkAOB的一條直角邊在無軸上，

點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-6,4）；R。COD中，ZCOD=90°,0D=4^,ZD=30%連接3C,點(diǎn)/是8c中點(diǎn)，連接

AM.將RHCOD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是（）

C.2713-2D.2

例2.（2023?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，線段為nO的直徑，點(diǎn)C在48的延長線上，A8=4,BC=2,

點(diǎn)P是口O上一動點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作Rt3PCD,且使ZDCP=60°，連接0。，則0D

長的最大值為

例3.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊C￡＞的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP,

線段BP以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8。，連接MQ.若A8=4,MP=l,則加。的最小值為

例4.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=布，動點(diǎn)P在矩形的邊上沿

3—C—OfA運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A3重合時，將nABP沿AP對折，得至打ABT,連接CB',則在點(diǎn)P的

運(yùn)動過程中，線段CB'的最小值為

例5.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ABAD=90°,AB^5,AD=4,AD<BC,

點(diǎn)￡在線段8c上運(yùn)動，點(diǎn)F在線段AE上，ZADF=ZBAE,則線段BF的最小值為

例6.（2023?浙江金華?九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)4C,N的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（2,0方（4,3）,以點(diǎn)C為圓心、

2為半徑畫DC,點(diǎn)P在口<:上運(yùn)動，連接AP,交DC于點(diǎn)。，點(diǎn)M為線段。尸的中點(diǎn)，連接MN,則線段

W的最小值為.

例7.（2023上,江蘇連云港?九年級?？茧A段練習(xí)）已知矩形筋8,48=6,屈=4,尸為矩形45CD內(nèi)一點(diǎn),

且ZBPC=135°,若點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)。，則PQ的最小值為.

例8.（2023下,陜西西安?九年級?？茧A段練習(xí)）問題提出:

（1）如圖①，在［ABC中，AB^AC,N及10=120。，8C=4指，則AB的長為；

問題探究：（2）如圖②，已知矩形ABCD,AB=4,8C=5,點(diǎn)尸是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足/APB=90。，

連接CP,求線段CP的最小值；

問題解決：（3）如圖③所示,我市城市綠化工程計(jì)劃打造一片四邊形綠地A8CD,其中AD^BC,AD=40m,

3c=60m,點(diǎn)￡為CD邊上一點(diǎn)，且CE:OE=1:2,ZA￡B=60°,為了美化環(huán)境，要求四邊形ABCD的面

積盡可能大，求綠化區(qū)域ABCD面積的最大值.

圖3

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，在口回。中，NB=45。,AC=2,以AC為邊作等腰直角口ACD,連

BD,則8。的最大值是（）

+V3D.V10+V2

2.（2023春?廣東?九年級專題練習(xí)）己知:如圖，在口旗（？中,乙&4C=3O。，BC=4,面積的最大

值是（）.

B.873+4C.873D.8+8出

3.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，/是口3上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在口B外，已知

AB=2,BC=4,aACD是等邊三角形，則△BCD的面積的最大值為（）

4C.473+8D.6

4.（2023?山東濟(jì)南?一模）正方形ABCD中,/2=4,點(diǎn)E、尸分別是CD、2c邊上的動點(diǎn)，且始終滿足DE=CF,

DF、NE相交于點(diǎn)G.以NG為斜邊在NG下方作等腰直角A48G使得乙48G=90。，連接3區(qū)則AH'的最小值

為（）

B

A.275-2B.2岳2c.V10-V2D.V10+V2

5.（2023上?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,點(diǎn)P是邊上

一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），連接AP,作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)M,連接CM,則CM的最小值

為―,

6.（2023春?廣東深圳?九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)G是口回。內(nèi)的■點(diǎn)，且NBGC=120。，△BCF是等邊

三角形，若8C=3,則FG的最大值為.

7.（2023?江蘇泰州?九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD=1O,AB=16,P為。的中點(diǎn)，連接BP.在

矩形ABCD外部找一點(diǎn)使得/BEC+/BPC=180。，則線段。E的最大值為.

8.（2023?陜西渭南?三模）如圖，在矩形488中，AB=6,BC=5,點(diǎn)E在BC上，且CE=4BE,點(diǎn)M

為矩形內(nèi)一動點(diǎn)，使得NCME=45。,連接則線段//的最小值為.

9.（2023江蘇揚(yáng)州?三模）如圖，在等邊△ZSC和等邊中，AB=6,CD=4,以48、為鄰邊作平

行四邊形/BED,連接/尸.若將△（：￡困繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線段/尸的最小值是.

10.（2023秋?湖北武漢?九年級校考階段練習(xí)）如圖，口他。為等腰直角三角形，ZBAC=90SAB=AC=2V2，

點(diǎn)。為所在平面內(nèi)■點(diǎn)，NBDC=90。，以AC、。為邊作平行四邊形ACDE,則CE的最小值為一.

11.（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的內(nèi)部一個動點(diǎn)（含邊界），且AD=EB=8,

點(diǎn)尸在BE上，BF=2,則以下結(jié)論：①CF的最小值為6；②DE的最小值為8近-8；③CE=CF；④

DE+B的最小值為10；正確的是.

12.（2021?廣東?中考真題）在［ABC中，/ABC=90。,AB=2,8C=3.點(diǎn)。為平面上一個動點(diǎn)，ZADB=45°,

則線段。長度的最小值為.

13.（2023?廣東?深圳市二模）如圖，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,E為邊BC上一動點(diǎn),尸為/E中點(diǎn),

G為?！晟弦稽c(diǎn)，BF=FG,則CG的最小值為

14.（2023秋?廣東汕頭?九年級?？计谥校┤缦聢D，在正方形ABC。中，AB=6,點(diǎn)E是以3c為直徑的圓

上的點(diǎn)，連接DE,將線段DE繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段連接b,則線段CP的最大值與最

小值的和__________

15.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=ZBC=4,0是矩形ABCD左側(cè)一點(diǎn)，連

接AQ、BQ,且NAQB=90。，連接DQ,E為DQ的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為

16.（2023?安徽亳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）等腰直角□ABC中，BAC^90°,AB=5,點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，AD=2,

連接8D,將8。繞。點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到DE,連接AE,當(dāng)（填度數(shù)）度時，AE可以取最

大值，最大值等于.

17.（2023?河北廊坊?統(tǒng)考二模）已知如圖，nABC是腰長為4的等腰直角三角形，ZABC=90°,以N為圓

心，2為半徑作半圓/,交2A所在直線于點(diǎn)/，N.點(diǎn)￡是半圓4上仟意一點(diǎn).連接8E,把BE繞點(diǎn)2順

時針旋轉(zhuǎn)90。到80的位置，連接AE,CD.

⑴求證：JEBA^DBC；(2)當(dāng)BE與半圓/相切時，求弧期/的長；G)直接寫出△3。面積的最大值.

18.(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系工。〉中，已知點(diǎn)對于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)p向

右020)或向左(a<0)平移同個單位長度，再向上S20)或向下(b<0)平移M個單位長度，得到點(diǎn)P,點(diǎn)P

關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為。，稱點(diǎn)。為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”.⑴如圖，點(diǎn)點(diǎn)N在線段OM的延長線上，若點(diǎn)

尸(-2,0),點(diǎn)。為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”.①在圖中畫出點(diǎn)。；②連接P。,交線段ON于點(diǎn)T.求證：NT=g0M;⑵

口。的半徑為1,M是口。上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且=若P為nO外一點(diǎn)，點(diǎn)。為點(diǎn)

P的“對應(yīng)點(diǎn)”，連接尸。.當(dāng)點(diǎn)”在口。上運(yùn)動時直接寫出PQ長的最大值與最小值的差(用含，的式子表示)

19.(2023下?廣東廣州?九年級?？茧A段練習(xí))如圖，口ABC為等邊三角形，點(diǎn)尸是線段AC上一動點(diǎn)(點(diǎn)尸

不與4,C重合)，連接BP,過點(diǎn)/作直線BP的垂線段，垂足為點(diǎn)。，將線段AO繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)60。得

到線段AE,連接DE,CE.(1)求證：BD=CE；(2)連接CO,延長EO交于點(diǎn)尸，若［"C的邊長為2；

①求。的最小值；②求EF的最大值.

20.（2023?江蘇常州?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-；/+樂-3的圖像與x軸交于

點(diǎn)/和點(diǎn)2（9,0）,與y軸交于點(diǎn)C.⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，滿足

3

NPCB+ZACB=NBCO,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)0在第四象限內(nèi)，且COS乙4。=十點(diǎn)〃在y軸正半軸，

ZMB0=45°,線段是否存在最大值，如果存在，直接寫出最大值；如果不存在，請說明理由.

備用圖

:值模型之瓜豆模型（原理）圓弧軌跡型

動點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型解讀】

模型1、運(yùn)動軌跡為圓弧

模型11如圖，尸是圓O上一個動點(diǎn)，/為定點(diǎn)，連接/P,0為/尸中點(diǎn).。點(diǎn)軌跡是？

如圖，連接/。，取NO中點(diǎn)任意時刻，均有QM:PO=AQ:AP=1:2.

則動點(diǎn)0是以"為圓心，為半徑的圓。

模型1-2.如圖，是直角三角形，^R4Q=90°S.AP=k-AQ,當(dāng)尸在圓。運(yùn)動時，0點(diǎn)軌跡是？

如圖，連結(jié)/。，作NM/。，AO:AM=k:l；任意時刻均有八4尸?！鞍?加，且相似比為譏

則動點(diǎn)。是以M為圓心，為半徑的圓。

模型1-3.定義型：若動點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）

如圖，若P為動點(diǎn)，AB=AC=AP,則3、C、P三點(diǎn)共圓，

則動點(diǎn)尸是以N圓心，N笈半徑的圓或圓弧。

模型1-4.定邊對定角（或直角）模型

1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

如圖，若P為動點(diǎn)，48為定值，UPB=90。,則動點(diǎn)P是以48為直徑的圓或圓弧。

2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.

如圖，若P為動點(diǎn)，48為定值，乙4尸3為定值，則動點(diǎn)尸的軌跡為圓弧。

【模型原理】動點(diǎn)的軌跡為定圓時，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑

之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

例1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZkAOB的一條直角邊在x軸上，

點(diǎn)/的坐標(biāo)為（一6,4）；R口COD中，ZCOD=90°,OD=4?ZD=30°,連接3C,點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接

AM.將RHCOD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是（）

A.3B.6A/2-4C.2V13-2D.2

【答案】A

【分析】如圖所示，延長班到E,使得隹=鈣，連接慮，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）得到座=8,再

AM=-CE

證明AM是口友石的中位線，得到2；解區(qū)日或仍得到℃=4,進(jìn)一步求出點(diǎn)c在以。為圓心，

半徑為4的圓上運(yùn)動，則當(dāng)點(diǎn)M在線段°E上時，CE有最小值，即此時AM有最小值，據(jù)此求出位的最

小值，即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長到E,使得的=鉆，連接CE,

...RtAAOB的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一6,4）,

AB=4,OB=6,AE=AB=4,BE=8,

AM=-CE

...點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)A為BE中點(diǎn)，...AM是nBCE的中位線，2.

有

r0C=—0D=4

在RtQCO。中，ZCOD=90°,OD=4y/3,ZD=30°r.3,

...將RtQCOD以點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，...點(diǎn)C在以。為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動,

???當(dāng)點(diǎn)M在線段°E上時，支有最小值，即此時AM有最小值，

..OE=y/BE2+OB2=10,；.CE的最小值為10-4=6,...AM的最小值為3,故選A.

MQ=-OC=2

另解：取BO的中點(diǎn)為Q(-3,0)，根據(jù)中位線可確定2,

故點(diǎn)M為以Q為圓心，MQ為半徑的圓上運(yùn)動，故AM的最小值為AQ-MQ=3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30

度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

例2.(2023?四川廣元?統(tǒng)考一模)如圖，線段A8為nO的直徑，點(diǎn)C在的延長線上，AB=4,BC=2,

點(diǎn)p是0o上一動點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作Rt]PCD,且使ZDCP=60°，連接0D,則0D

長的最大值為

【分析】作LICOE,使得NCEO=90。，NECO=60。，貝11co=2CE,OE=273；NOCP=NECD,由

OP_CPc1

=

A------2ED=—OP=1

△COPsMAED,推出即CO,即2（定長），由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長，點(diǎn)〃在半徑為

1的口石上，由此即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作使得NCE0=90°,NECO=60。,則C0=2CE,°E=2g,ZOCP=ZECD,

COCP_2

VZCDP=90°,ZDCP=60°,CP=2CD,；,CECD.-QCOP^QCED,

OPCP

ED=-OP=\

ED-O）即2（定長）,

??,點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長，二點(diǎn)。在半徑為1的IE上,

-：OD<OE+DE=2y/3+lt，8的最大值為26+1,故答案為：20+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常

用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

例3.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CO的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接8尸，

線段8尸以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BQ,連接若AB=4,MP=\,則加。的最小值為一.

【答案】2^0-1

【分析】連接將以B中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°,加點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為E,由P的運(yùn)動軌跡是以雙為圓

心，1為半徑的半圓，可得：°的運(yùn)動軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，再根據(jù)"圓外一定點(diǎn)到圓上任一

點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動點(diǎn)，三點(diǎn)共線時定點(diǎn)與動點(diǎn)之間的距離最短"，所以當(dāng)反、Q、E三點(diǎn)共線時,

加°的值最小，可求ME=&M=2M,從而可求解.

【詳解】解，如圖，連接BM,將以B中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90。，加點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為E,

A

DMC

；p的運(yùn)動軌跡是以/為圓心，1為半徑的半圓，，Q的運(yùn)動軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，

如圖，當(dāng)“、2、E三點(diǎn)共線時，/2的值最小，

四邊形ABCD是正方形，=NC=90。，

...M是CM的中點(diǎn)，:.CM=2,,BM=<CM。+BC?=小展+4?=2君,

由旋轉(zhuǎn)得：BM=BE,:.ME=6BM=2回,

:.MQ=ME-EQ=2^-lt的值最小為2》記-1.故答案：2如-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問題，掌握相關(guān)的性

質(zhì)，根據(jù)題意找出動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023,湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=S，動點(diǎn)P在矩形的邊上沿

BfCfDfA運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A3重合時，將尸沿AP對折，得到:連接8',則在點(diǎn)P的

運(yùn)動過程中，線段CB'的最小值為.

［答案］Vn-2/-2+Vii

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出*在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動，進(jìn)而分類討論當(dāng)點(diǎn)p在BC上時，當(dāng)點(diǎn)

P在■℃上時，當(dāng)P在AD上時，即可求解.

【詳解】解：?.?在矩形"CD中，AB=2,AD=布,

22

.BC=AD=tAC=ylBC+AB=^7+4=Vil（

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在3c上時，...4Q=AB=2...e在A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動,

當(dāng)A,￡,C三點(diǎn)共線時，CB'最短，此時CB'=AC-AB'=血-2,

當(dāng)點(diǎn)P在℃上時，如圖所示，此時

當(dāng)P在AD上時，如圖所示，此時CB'>而-2

綜上所述，C2的最小值為JH-2,故答案為：VTT-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點(diǎn)到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

例5.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，/ABC=/朋。=90。,=5,=4,AD<8C,

點(diǎn)￡在線段8c上運(yùn)動，點(diǎn)廠在線段AE上，ZADF=ZBAE,則線段8F的最小值為.

【分析】設(shè)AD的中點(diǎn)為0,以AD為直徑畫圓，連接°8,設(shè)與口°的交點(diǎn)為點(diǎn)/，證明/"弘=9?！?

可知點(diǎn)F在以AO為直徑的半圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到與口。的交點(diǎn)人時，線段有最小值，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為O,以為直徑畫圓，連接08,設(shè)與口。的交點(diǎn)為點(diǎn)E',

O

AD

BEc

■.ZABC=ZBAD=90°,..AD//BC,-.ZDAE=ZAEB,

?.?/Ar>E=NBAE,.?.N"A=/ABE=90。，...點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動,

???當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到08與口。的交點(diǎn)少時，線段昉有最小值,

AO=OF'=—AD=2r~^r—

AD=4,2,,；.BO=^5+2-=V29；

8尸的最小值為J西-2,故答案為：A/29-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據(jù)題意分析得到點(diǎn)F的運(yùn)動

軌跡是解題的關(guān)鍵.

例6.(2023?浙江金華?九年級?？计谥?如圖，點(diǎn)4C,N的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),(4,3),以點(diǎn)C為圓心、

2為半徑畫□C,點(diǎn)P在nC上運(yùn)動，連接AP,交DC于點(diǎn)。，點(diǎn)M為線段。尸的中點(diǎn)，連接MN,則線段

的最小值為.

【答案】3

【分析】本題考查了垂徑定理，90。的圓周角所對的弦為直徑，勾股定理.熟練掌握弦中點(diǎn)，連接圓心與中

點(diǎn)，明確點(diǎn)”的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵.

如圖，連接CM,由垂徑定理可得，NQ期=90。，則/在以AC為直徑的口。上運(yùn)動，如圖，連接°N交□°

于當(dāng)O、M、N三點(diǎn)共線時，線段"N的值最小，由勾股定理得，ON=5,根據(jù)線段九W的最小值為

MN=ON-OM,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接CM,

???點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，??,由垂徑定理可得，N0WA=9O°,

二叔在以AC為直徑的口。上運(yùn)動，如圖，連接ON交口。于

-AC=2

...當(dāng)。、M.N三點(diǎn)共線時，線段九火的值最小，.口。的半徑為2

由勾股定理得，074-。），（3-。）2=5

???線段MN的最小值為MN=ON-OM=3,故答案為：3.

例7.（2023上?江蘇連云港?九年級?？茧A段練習(xí)）已知矩形ABC2AB=6,JBC=4,尸為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),

且/3PC=135。，若點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。到點(diǎn)。，則尸。的最小值為

【答案】2后-4

【分析】在矩形"CD外，以邊8C為斜邊作等腰直角三角形ZBOC=90°,再以點(diǎn)。為圓心，OC

為半徑作口°,點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且4PC=135。，所以點(diǎn)P在口。的劣弧BC上運(yùn)動，根據(jù)點(diǎn)P繞

點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)0,所以AP=AQ,NPAQ=90。，則尸Q=J6+A0=血華所以當(dāng)AP最小時，

°。最小，然后連接A0,交口。于P,此時，AP最小，則尸。也最小，最后過點(diǎn)。作OE'BC于E,OFLAB

交AB延長線于F,利用勾股定理求出?！闶拈L，從而求得AP,即可求解.

【詳解】解：在矩形骸CD外，以邊BC為斜邊作等腰直角三角形8℃,ZBOC=90°,再以點(diǎn)o為圓心,

℃為半徑作口°，如圖,

???點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且N3PC=135。，...點(diǎn)P在口O的劣弧8c上運(yùn)動,

???點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)Q,.?.AP=A0,NPAQ=90。，

,pQ=JA產(chǎn)+A。？=?AP，當(dāng)A尸最小時,PQ,連接AO,交n°于p,此時，AP最小，則尸。也最小，

在RdBOC中，...BC=4,OB=OC,；.OB—OC=2-\/2,OP=OB=2①,

BE=CE=OE=—BC=2

過點(diǎn)。作OE_LBC于E,緲，回交AB延長線于F,；.2,

OE工BC,OF±AB,..ZOEB=ZOFB=90°

...矩形ABCD...ZABC=90°:.NEBF=90°...四邊形OEBF正方形,

...BF=OF=OE=2,...AF=AB+BF=6+2=S,

在RtV”O(jiān)中，由勾股定理，^OA=-JAF2+OF2=782+22=2V17,

...4尸=04_0尸=2舊_20...尸2=血4尸=夜（2折-2旬=2歷_4,故答案為：2737-4.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓滿的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助圓，得出人尸取

最小值的點(diǎn)P位置是解題的關(guān)鍵.

例8.（2023下?陜西西安?九年級?？茧A段練習(xí)）問題提出：

（1）如圖①，在［ABC中，AB=AC,N54C=120。，8c=4#，則AB的長為；

問題探究：（2）如圖②，已知矩形ABCD,AB=4,8C=5,點(diǎn)尸是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足/APB=90。，

連接CP,求線段CP的最小值；

問題解決：（3）如圖③所示,我市城市綠化工程計(jì)劃打造一片四邊形綠地ABCD，其中A?！?C,AD=40m,

3C=60m,點(diǎn)E為。邊上一點(diǎn)，且CE:DE=1:2,ZAEB=60。，為了美化環(huán)境，要求四邊形ABCD的面

積盡可能大，求綠化區(qū)域ABCD面積的最大值.

圖1圖2圖3

【答案】⑴4；（2）回-2；⑶200073m2

【分析】（1）作AH'BC于點(diǎn)H,利用等腰三角形的性質(zhì)可得々=30。，BH=26,然后利用銳角三角函

數(shù)的知識可求得AB的長；（2）由題意可知，點(diǎn)P在以AB為直徑，以AB的中點(diǎn)。為圓心的圓上運(yùn)動，當(dāng)0,

P,C共線時，線段CP的值最小，利用勾股定理求出℃的長即可求解；（3）延長AE、BC,相交于點(diǎn)F.由

JCEF^DEA,求出庭=20m,作EG//AD交AB于點(diǎn)G,作AN，3c于點(diǎn)N,交EG于點(diǎn)M,可得

肱V:AM=1:2,設(shè)“N=x,AM=2x,求出-丁跖的，所以當(dāng)所的面積最大時，綠化區(qū)域ABCD

的面積最大，求出的面積即可求解.

【詳解】（1）如圖1,作AH'BC于點(diǎn)H.

nrARBH=-BC=2y/3

..AB=AC,ZBAC=120°,DC=^5^,,ZB=30°,2

AB2.故答案為：4；

（2）如圖2,,.?"^=90。，..?點(diǎn)p在以A5為直徑，以A5的中點(diǎn)o為圓心的圓上運(yùn)動，當(dāng)o,p,c共線

OB=—AB=2;7/—

時，線段CP的值最小.rAB=4,...2,...OC=A/5-+2-=J29,

???段CP的值最小值=厲-2；

(3)如圖3,延長AE、BC,相交于點(diǎn)F.

CFCE

...AD/7BC,...□CEF^DEA,...AD~DEy

V?CE:DE=1:2，AD=40m，?.?CF=20m,,??.8尸=60+20=80m?

作EG〃&￡>交A8于點(diǎn)G,作W8C于點(diǎn)N,交EG于點(diǎn)M,

..AD^BC,...AD〃EG〃BC,?；CE:DE=1:2MN:AM=1:2,設(shè)MN=無,AM=2x,

則降形BAC?=；x(40+60)?3x=150xSQBEE=萬X80-X=40xS梯形ABCO=1S口BEF

.?.當(dāng)△BM的面積最大時，綠化區(qū)域ABC。的面積最大.

當(dāng)E在的中點(diǎn)時，△BE尸的面積最大.

皿口―,八eBH=FH=~BF=4Qm

連接,0￡，交昉于點(diǎn)力則2

■■ZAEB=60°,；,NBE'F=ZBEF=120°,■_ZE'BH=30°_

+.E'HV3，40」

tan30no°=------EH=——x40n=-------m

BH,...33

c_1Qn4073_1600732<_15Qch2

%BE'F=7X80X---=---mS梯形BACD=7S]=2000V3m

，3J,4bef

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理等知識，難度較大，屬中考壓軸題.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，在DABC中，4=45。,AC=2,以AC為邊作等腰直角ZUCD,連

BD,則BO的最大值是（）

C.2血D.V10+V2

【答案】D

【分析】如圖所示，以AC為斜邊，在AC右側(cè)作等腰直角口4℃,過點(diǎn)。作°E_LAD交.延長線于E,連

接°。，則NA℃=90。，OC=OA=^2,/Q4c=45。，先證明點(diǎn)B在以。為圓心，血為半徑的圓周上運(yùn)

動（AB右側(cè)），故當(dāng)點(diǎn)0在線段8。上時，BD最大,再求出0E，的長，進(jìn)而利用勾股定理求出。。的

長即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，以&C為斜邊，在AC右側(cè)作等腰直角過點(diǎn)o作交R4延長線于E,

ZAOC=90°,OC=OA=-AC=42

連接°。，.?.2Zft4C=45°,

.../A5C=45。，...點(diǎn)B在以o為圓心，V2為半徑的圓周上運(yùn)動（AB右側(cè)），

???當(dāng)點(diǎn)O在線段8。上時，BD最大,???□ACD是以AC為邊的等腰直角三角形,

...ZCAD=90°,AD=AC=2,.../OAE=45°,...”。石是等腰直角三角形,

AE=OE^—OA^l八;-----7/—

2,...DE=AE+AD=3,在RtZkDOE中，由勾股定理得O￡>=,O￡=J10,

.??8D的最大值=OO+BO=M+夜，故選D.

【點(diǎn)睛】不能退主要考查了圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最大值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與

判定，正確作出輔助線確定點(diǎn)B的軌跡是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?廣東?九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在中，N3AC=30。，BC=4,14BC面積的最大

值是（）.

A.8+4&B.8A/3+4C.8BD.8+8出

【答案】A

【分析】作14BC的外接圓n0,連接OBOC,當(dāng)口ABC的BC邊上的高經(jīng)過點(diǎn)。時，：MBC面積的最大,

此時△0BC是等邊三角形，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：作口加。的外接圓□°,連接08OC,當(dāng)口ABC的5c邊上的高經(jīng)過點(diǎn)。時，口ABC面積的

最大，如圖，過點(diǎn)。作ODLBC,并延長°。交口°于點(diǎn)A,連接ABA'C,

℃,...△OBC是等邊三角形,

（4+2⑹=8+4指

；/-S.AIRr=—x4x

..ZBOD=30°,OB=OA,=BC=4,.OD=2Y3,2'），故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，找出口"C面積的最大時點(diǎn)A

的位置時關(guān)鍵.

3.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，/是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在UB外，已知

AB=2,BC=4,4ACD是等邊三角形，則△BCD的面積的最大值為（）

D

A.473+4B.4C.4石+8D.6

【答案】A

【分析】以BC為邊向上作等邊三角形3cM,連接。M,證明400/244。3得到。加=43=2,分析出

點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)M為圓心，長為半徑的圓，在求出點(diǎn)D到線段3c的最大距離，即可求出面積

的最大值.

【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形3cM,連接DW,

■.ZDCA=ZMCB=60°,...ZDCA-ZACM=ZMCB-ZACM,即NOCM=NACB,

DC^AC

，ZDCM=ZACB

在ADGW和△ACB中，,MC=BC,.ADCM^AACfi（SAS）,DM=J\B=2,

.??點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DM長為半徑的圓，要使△BCD的面積最大，則求出點(diǎn)D到線段BC的

最大距離，???□8CM是邊長為4的等邊三角形，.?.點(diǎn)M到BC的距離為2百，

I--X4X（2A/3+2）=4A/3+4

???點(diǎn)D到8c的最大距離為2J3+2,...△BCD的面積最大值是2'），故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)軌跡是圓的問題，解決本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造全等三角形找到動點(diǎn)D的軌跡圓，

再求出圓上一點(diǎn)到定線段距離的最大值.

4.（2023?山東濟(jì)南一模）正方形4BCD中，48=4,點(diǎn)E、尸分別是CD、3c邊上的動點(diǎn)，且始終滿足。E=CF,

DF、4E相交于點(diǎn)G.以NG為斜邊在/G下方作等腰直角使得N/〃G=90。，連接8”.則8”的最小值

為（）

A.2#)-2B.275+2C.V10-V2D.710+72

【答案】C

OG=-AD=2l

【分析】首先證明NAGD=90。，從而2，再根據(jù)NOAG=NHAM,可求M"=j2,可知點(diǎn)H

的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值.

【詳解】解：如圖，取AD中點(diǎn)。，連接OG,以A。為斜邊作等腰直角三角形AOM,

AM=—AO^s[2

則2,在VADE和中,

AD=CD

ZADE=NDCF

DE=CF,...QADE^DCF（SAS）,-ZDAG=ZCDF,

.ZADG+ZCDF=90°,...NADG+ND4G=90。，...ZAGD=90°,

OG=-AD=2

△ADG是直角三角形，...2,?.?口A"G為等腰直角三角形,

...ZOAG+ZGAM=ZHAM+ZGAM,...ZOAGZHAM,

AHMAy/2MH

X...AG-04...AAMH^AAOG,:灰一k,：,MH=^,

.??點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，

如圖，連接BM,交圓M于"'，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P,

--ZDAE+ZBAH^45°,ZOAG^ZMAH,

ZPAM=AMAH+ZBAH=45°,.-.^APM為等腰直角三角形,

受x0

■■AM=^2,；.AP=MP=2=1,.-,BP=4-1=3,

22

在RzOBPM中，BM=VBP+PM=y/10）.BH'=BM—MH'=-\/10—5/2

??.BH的最小值為-0.故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線，利用三角形相似以及點(diǎn)和圓的知識解決.

5.（2023上,江蘇連云港,九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,點(diǎn)P是BC邊上

一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），連接”，作點(diǎn)B關(guān)于直線A尸的對稱點(diǎn)反，連接CM,則CM的最小值

【分析】本題考查圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì).連接AM,得到AM=AB=3,

進(jìn)而得到點(diǎn)以在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)A,M,C三點(diǎn)共線時，線段CM的長度最小，求出

此時CM的長度即可.解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)反的運(yùn)動軌跡.

【詳解】解：連接4",,??點(diǎn)8和”關(guān)于AP對稱，==

在以A圓心，3為半徑的圓上，，當(dāng)A,M,C三點(diǎn)共線時，CM最短，

22

VAC=73+4=5；AM=AB=3,CM=5-3=2故答案為：2

6.（2023春?廣東深圳?九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)G是口MC內(nèi)的一點(diǎn)，且N3GC=120。，是等邊

三角形，若3c=3,則FG的最大值為.

【答案】2石

【分析】如圖，作尸C的外接圓口°,連接°G,OF,OC,過點(diǎn)。作OH'CF于點(diǎn)說明8,F,C,

G四點(diǎn)共圓，求出°尸，利用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作△①7c的外接圓口°,連接°G,OF,OC,過點(diǎn)0作OH,CF于點(diǎn)a.

△3b是等邊三角形，...ZBFC=NF8C=60。，CB=CF=3,

?；NBGC=120。，...點(diǎn)G在口友下的外接圓上，...OG=O尸=OC,

3

FH=CH=-

-;OHLCF9...2,...ZFOC=2ZFBC=120°,

OF=FH=A/3

...ZOFC=ZOCF=30°,...cos30°,

..FG<OF+OG=2^3,打？的最大值為2道.故答案為：2員

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓的有關(guān)知識等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用

輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題，屬于中考?？碱}型.

7.（2023?江蘇泰州?九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD=10,AB=16,P為8的中點(diǎn)，連接8尸.在

矩形ABCD外部找一點(diǎn)使得N3￡C+/3PC=180。，則線段DE的最大值為.

【答案】13+V41/V41+13

【分析】以的中點(diǎn)。為圓心，為半徑畫圓，可得所畫圓是Rt^BCP的外接圓，弦3C右側(cè)圓弧上任

意一點(diǎn)E與BC構(gòu)成的/3EC,使得四邊形3尸CE是圓內(nèi)接四邊形，，可得/3￡C+/3PC=180。，連接DO

并延長與圓的交點(diǎn)即為。E的最長距離，作于點(diǎn)H,OH是口PBC的中位線，，根據(jù)勾股定理求出。尸

和°。的值，進(jìn)而可得。E的最大值.

【詳解】解：如圖，以8尸的中點(diǎn)。為圓心，為半徑畫圓,

在矩形ABCD中，AD=BC=10,AB=CD=16,,

ZBCP=90°,...所畫圓是RtABCP的外接圓，

弦3C右側(cè)圓弧上任意一點(diǎn)E與2C構(gòu)成的/8EC,使得四邊形3PCE是圓內(nèi)接四邊形，

NBEC+ZBPC=180。，連接并延長與圓的交點(diǎn)即為DE的最長距離，