中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系壓軸題八種模型（含答案及解析）

直線與圓的位置關(guān)系壓軸題八種模型全攻略

導(dǎo)?【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】............................................................................1

【考點(diǎn)一判斷直線和圓的位置關(guān)系】.........................................................1

【考點(diǎn)二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】............................................2

【考點(diǎn)三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】......................................2

【考點(diǎn)四判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】...................................................3

【考點(diǎn)五證明某直線是圓的切線】...........................................................4

【考點(diǎn)六切線的性質(zhì)定理】.................................................................5

【考點(diǎn)七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】.....................................................6

【考點(diǎn)八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】........................................7

【過關(guān)檢測】..........................................................................9

【典型例題】

【考點(diǎn)一判斷直線和圓的位置關(guān)系】

例題:例題：（2023上?浙江臺州?九年級統(tǒng)考期中）已知口0的半徑是5cm,若圓心。到直線A8的距離是8cm,

則直線AB與3O的位置關(guān)系是.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（-3,4）為圓心，3為半徑的圓（）

A.與x軸相交，與〉軸相切B.與x軸相離，與y軸相切

C.與x軸相離，與y軸相交D.與x軸相切，與y軸相離

2.（2023上?福建廈門?九年級?？计谥校┤鐖DNO=30。，C為OB上一點(diǎn)，且0c=4,以點(diǎn)C為圓心,

半徑為2的圓與OA的位置關(guān)系是

A

D

B

3.（2023上?河北唐山?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，BC=5,AB=2,是以3c為直徑的

圓，則直線AD與口。的位置關(guān)系是.

彳1----------------------------1。

【考點(diǎn)二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】

例題：（2022秋?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）直線/與口O相離，且口。的半徑等于3,圓心。到直線/的

距離為4,則d的取值范圍是.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）已知直線/與半徑長為R的口。相離，且點(diǎn)。到直線/的距離為5,那么R

的取值范圍是.

2.（2023?湖南常德?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知NACB=3O。，CM=2,AM^5,以“為圓心，「為半徑作

QM,口/與線段AC有交點(diǎn)時，則廠的取值范圍是.

【考點(diǎn)三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】

例題：（2022秋.九年級單元測試）設(shè)口。的半徑為R,圓心。到直線/的距離為d,若d、R是方程

尤2-6龍+根=0的兩根，則直線/與口。相切時，根的值為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?九年級課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，OM的圓心坐標(biāo)為（租,0）,半徑是2.如果與了軸相切,

那么機(jī)=_；如果與y軸相交，那么加的取值范圍是_；如果與y軸相離，那么〃?的取值范圍是

2.（2023?陜西?模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,￡是AD上一定點(diǎn)，

48=3,8。=6,4。=8,4石=2.點(diǎn)P是3。上一個動點(diǎn)，以尸為圓心，PC為半徑作G）P.若。P與以￡為圓

心，1為半徑的OE有公共點(diǎn)，且0P與線段只有一個交點(diǎn)，則PC長度的取值范圍是

【考點(diǎn)四判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】

例題：（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，已知NAO8=30。，〃為邊上任意一點(diǎn)，以/為圓心，2cm

為半徑作口M，當(dāng)OM=c加時，口加與CM相切.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?九年級課時練習(xí)）如圖，AB為口。的直徑，當(dāng)AC=cm時，直

線AC與口。相切.

2.（2022春?九年級課時練習(xí)）如圖，A、3是。。上的兩點(diǎn)，NC是過/點(diǎn)的一條直線，如果4105=120。,

那么當(dāng)NC4B的度數(shù)等于度時，/C才能成為。。的切線.

【考點(diǎn)五證明某直線是圓的切線】

例題：（2023秋?云南昭通?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知A8是口。的直徑，直線8c與口。相切于點(diǎn)

B,過點(diǎn)/作AD〃OC交口。于點(diǎn)。，連接。.

⑴求證：8是口。的切線.

（2）若/BCD=60。，直徑AB=10,求線段8c的長.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?云南昭通?九年級統(tǒng)考期末）如圖，□。的半徑為2,點(diǎn)N是nO的直徑8。延長線上的一點(diǎn)，C

為口。上的一點(diǎn)，AD^CD,ZA=30°.

r

（2）求二ABC的面積.

2.（2023秋?遼寧葫蘆島?九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AD是圓。的直徑，AD,BC

的延長線交于點(diǎn)E,延長CB交AF于點(diǎn)尸，ZBAF+ZDCE=90°.

⑴求證：A尸是圓。的切線;

(2)點(diǎn)G在CE上，且3C=CD=CG,連接DG,Z)G=2,AB=5,求AO的長.

【考點(diǎn)六切線的性質(zhì)定理】

例題：（2023?浙江衢州?統(tǒng)考二模）如圖，口O的切線PC交直徑AB的延長線于點(diǎn)尸，C為切點(diǎn)，若/尸=30。,

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?福建福州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB是口。的直徑，點(diǎn)C是口。外的一點(diǎn)，且BC是口。的切

線，AC交口。于點(diǎn)。，若/C=60。，則NA=°.

2.（2023?湖南永州??？级＃┤鐖D，A8是口。的直徑，PA與口。相切于點(diǎn)AZABC=32。，OC的延長線

交尸A于點(diǎn)P,則/P的度數(shù)是.

A

【考點(diǎn)七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】

例題：(2023秋,江蘇?九年級專題練習(xí))如圖，中，NACB=90°,點(diǎn)O在邊AC上，以點(diǎn)。為圓心,

OC為半徑的圓交邊AC于點(diǎn)O,交邊A3于點(diǎn)E,且BC=BE.

⑴求證：AB是口。的切線.

(2)若AE=24,BE=15,求口。的半徑.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023.河南周口?校聯(lián)考三模)如圖，點(diǎn)E是以為直徑的nO外一點(diǎn)，點(diǎn)C是口。上一點(diǎn)，硬是口。的

切線，EC±OC,連接AC并延長交BE的延長線于點(diǎn)

⑴求證：點(diǎn)E是8尸的中點(diǎn)；

(2)若EC=OC,口O的半徑為3,求CF的長.

2.（2023?云南昆明,統(tǒng)考二模）如圖，在口45。中，。為AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，為半徑作半圓，與

3c相切于點(diǎn)B,過點(diǎn)4作40,CO交CO的延長線于點(diǎn)。，^.ZAOD=ZCAD.

（1）求證：AC是半口O的切線；

（2）若CO=47,BC=4,求半口。的半徑.

3.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，A8是口。的直徑，E為口。上的一點(diǎn)，NABE的平分線交口。于點(diǎn)

C,過點(diǎn)C的直線交54的延長線于點(diǎn)P,交2E的延長線于點(diǎn)Z）.且/PC4=/CB￡>.

⑴求證：PC為口。的切線；

（2）若PC=26BO,PB=n,直接寫出半徑的長.

【考點(diǎn)八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】

例題：（2023?甘肅隴南??？家荒＃┤鐖D，□。與NA=90。的的三邊AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)。、

E、F,若BE=10,CF=3,貝仃O的半徑為（）

A

F

/

BEC

A.5B.4C.3D.2

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?山東淄博?九年級統(tǒng)考期末）如圖，：］ABC中，NC=90。，圓。是nABC的內(nèi)切圓，D,E,F

是切點(diǎn).若AB=5,AC=3,則OD=.

2.（2023秋?陜西延安?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,口。是口相。

的內(nèi)切圓，分別切邊BC,AC,AB于點(diǎn)。，E,F.

⑴求nO的半徑.

（2）若。是的外心，連接。Q,求。。的長度.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023上?福建廈門?九年級廈門市第十一中學(xué)?？计谥校┮阎矫鎯?nèi)有□O和點(diǎn)N,若口。半徑為2cm,

線段OM=3cm,ON=2cm,則直線MN與口。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

2.（2023上,河北張家口?九年級張北縣第三中學(xué)校考期中）如圖，已知口。的直徑A8與弦AC的夾角為35。,

過C點(diǎn)的切線PC與AB的延長線交于點(diǎn)P,則/尸等于（）

3.（2023上?河北唐山?九年級統(tǒng)考期中）如圖，PA,PB分別與口。相切于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為口。上一點(diǎn),

連接AC、BC,若々=80。，則/AC3的度數(shù)為（）

4.（2023上?廣西南寧?九年級南寧十四中校考期中）如圖，口ABC的內(nèi)切圓口。與AB,BC,AC分別相切于

點(diǎn)DE,F,DB=90°,AB=6,BC=8,貝bABC的內(nèi)切圓半徑r為（）

5.（2023下?山東煙臺?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在口48。中，/8=6,以點(diǎn)/為圓心與邊8c相切于點(diǎn)D,與

/C、分別相交于點(diǎn)￡和點(diǎn)G,點(diǎn)尸是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，ZCDE=18°,則/GEE的度數(shù)是（）

C.45°D.36°

二、填空題

6.（2023上?江蘇泰州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)口O的直徑為12cm，點(diǎn)A在直線/上，若AO=6cm,則

直線/與口。的位置關(guān)系是—.

7.（2023上?江蘇常州?九年級統(tǒng)考期中）在nOAB中，04=03=2,口。的半徑為班，當(dāng)ZAOB=。時，

直線AB與口O相切.

8.（2023上?福建福州?九年級福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在Rt^ABC中，NC=90。，AC=3cm,

BC^4cm,以C為圓心，廠為半徑作圓，若圓C與直線AB相切，則r的值為.

9.（2023上?云南紅河?九年級統(tǒng)考期末）為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，小華采用了如下方法：將鐵環(huán)平放

在水平桌面上，用一個銳角為30。的直角三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到有關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而求得

鐵環(huán)的半徑，若測得M=10cm,則鐵環(huán)的半徑是.

BA

10.（2023上?九年級課時練習(xí)）如圖，與工。相切于點(diǎn)歹，AC與口。交于C,。兩點(diǎn)，ZBAC=45°,

BELCD于點(diǎn)、E,且8E經(jīng)過圓心，連接00,若OD=5,CD=8,則BE的長為.

三、解答題

11.（2023上?江蘇鹽城,九年級校考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題:

⑴在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心0；

（2）請在⑴的基礎(chǔ)上，完成下面問題：

①Ho的半徑為」

②判斷直線co與口。的位置關(guān)系，并說明理由.

12.（2023上?江蘇鹽城?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，己知口。是nABC的外接圓，A8是口O的直徑，。是A8

延長線的一點(diǎn)，AE_LCD交。C的延長線于E,CFJ.AB于F,且CE=CF.

⑴求證：DE是口。的切線；

⑵若AB=10,BO=3,求AE的長.

13.（2023上?福建福州?九年級福建省福州第十九中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，AB是口。的直徑，AC是弦，點(diǎn)

。為BC的中點(diǎn)，DE1AC交AC的延長線于點(diǎn)E,OE交AD于點(diǎn)F.

E

⑴求證：是口O的切線;

DE1EF

⑵若AE5'求標(biāo)的值;

⑶在（2）的條件下，若ZJO直徑為15,求CE的長.

14.（2022上,江蘇泰州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）探究問題:

⑴如圖1,PM、PN、口分別切口。于點(diǎn)/、B、C,猜想nPER的周長與切線長物的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

（2）如果圖1的條件不變，且尸O=10cm,1]PE尸的周長為16cg求口。的半徑.

（3）如圖2,點(diǎn)E是/MPN的邊上的點(diǎn)，EFLPN于點(diǎn)、F,口O與邊砂及射線PM、射線PN都相切.若

EF=3,PF=4,求口。的半徑.

15.（2023上?江蘇蘇州?九年級校考階段練習(xí)）【觀察思考工

某種在同一平面進(jìn)行傳動的機(jī)械裝置如圖1,圖2是它的示意圖.其工作原理是：滑塊。在平直滑道/上可

以左右滑動，在。滑動的過程中，連桿尸。也隨之運(yùn)動，并且PQ帶動連桿。尸繞固定點(diǎn)O擺動.在擺動過程

中，兩連桿的接點(diǎn)P在以0P為半徑的口。上運(yùn)動.數(shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，過

點(diǎn)。作于點(diǎn)H,并測得。"=8分米，PQ=6分米，OP=4分米.

⑴點(diǎn)。在/上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是.分米;

(2)如圖3,小明同學(xué)說："當(dāng)點(diǎn)?；瑒拥近c(diǎn)H的位置時，PQ與口。是相切的."你認(rèn)為他的判斷對嗎？為什

么？

⑶小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)："當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到上時，點(diǎn)P至卜的距離最小."事實(shí)上，還存在著點(diǎn)尸至IJ/距離最大的位

置，此時，點(diǎn)P至卜的距離是分米;

16.(2023上,江蘇揚(yáng)州?九年級?？茧A段練習(xí))RtZXABC和口。如圖放置，其中,

口。的半徑為6，圓心。與直線的距離為5.

⑴若［ABC以每秒2個單位的速度向右移動，口O不動，則經(jīng)過時間口相。的邊與圓第一次相切？

⑵若兩個圖形同時向右移動，1ABe的速度為每秒2個單位，的速度為每秒1個單位，則經(jīng)過多少時間

口"C的邊與圓第一次相切？

⑶若兩個圖形同時向右移動，口ABC的速度為每秒2個單位，口。的速度為每秒1個單位，同時nABC的邊

長AB、BC分別以每秒走」個單位沿343c方向增大.求當(dāng)口46。的邊與圓第一次相切時，點(diǎn)B運(yùn)動了

22

多少距離？

直線與圓的位置關(guān)系壓軸題八種模型全攻略

導(dǎo)?【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】............................................................................1

【考點(diǎn)一判斷直線和圓的位置關(guān)系】.........................................................1

【考點(diǎn)二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】............................................3

【考點(diǎn)三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】......................................5

【考點(diǎn)四判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】...................................................7

【考點(diǎn)五證明某直線是圓的切線】...........................................................9

【考點(diǎn)六切線的性質(zhì)定理】................................................................14

【考點(diǎn)七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】....................................................16

【考點(diǎn)八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】.......................................23

——11【過關(guān)檢測】.........................................................................27

【典型例題】

【考點(diǎn)一判斷直線和圓的位置關(guān)系】

例題:例題：（2023上?浙江臺州?九年級統(tǒng)考期中）已知口O的半徑是5cm,若圓心。到直線的距離是8cm,

則直線AB與3O的位置關(guān)系是.

【答案】相離

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線A8與口。的位置關(guān)系即可解答，掌握判斷直線與圓的位

置關(guān)系的方法是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：已知口。的半徑為5cm,圓心0到直線AB的距離是8cm,

即半徑小于圓心0到直線A8的距離，

故直線A8與口。的位置關(guān)系為相離，

故答案為：相離.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（-3,4）為圓心，3為半徑的圓（）

A.與x軸相交，與y軸相切B.與x軸相離，與y軸相切

C.與x軸相離，與了軸相交D.與x軸相切，與y軸相離

【答案】B

【分析】由已知點(diǎn)（一3,4）可求該點(diǎn)到X軸，y軸的距離，再與半徑比較，確定圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系.設(shè)d

為直線與圓的距離，r為圓的半徑，則有若d<J則直線與圓相交：若d=J則直線于圓相切；若d>r,

則直線與圓相離.

【詳解】解：點(diǎn)（一二可到*軸的距離為％大于半徑3,

點(diǎn)（一二4）到丫軸的距離為3,等于半徑3,

故該圓與x軸相離，與y軸相切，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，解決此類問題可通過比較圓心到直線

距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定.

2.（2023上?福建廈門?九年級?？计谥校┤鐖DNO=30。，C為OB上一點(diǎn)，且OC=4,以點(diǎn)C為圓心,

半徑為2的圓與OA的位置關(guān)系是

【答案】相切

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直角三角形中3?！憬撬鶎Φ倪吺切边叺囊话?；利用直角三角形中

3。°角所對的邊是斜邊的一半，求出。的長；根據(jù)CD的長與圓的半徑的大小關(guān)系，可判斷圓0與。4的位

置關(guān)系.

【詳解】過點(diǎn)°作CD,AO于點(diǎn)。.

VZO=30°,OC=4,

:.DC=2,

?:以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓與OA的位置關(guān)系是相切.

故答案為：相切.

3.（2023上?河北唐山?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，BC=5,AB=2,口。是以3C為直徑的

圓，則直線AD與口。的位置關(guān)系是.

彳1----------------------------1。

【答案】相交

【分析】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，本題先求解圓心到直線4。的距離與圓的半徑，再根據(jù)“<廠

可得答案；熟記直線和圓的位置關(guān)系的判定方法是解題關(guān)鍵.

-BC=2.5

【詳解】解：根據(jù)題意，得圓心°到直線的距離等于48=2,圓的半徑是2,

???圓心到直線的距離小于半徑，得直線和圓相交.

故答案為：相交.

【考點(diǎn)二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】

例題：（2022秋?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）直線/與口O相離，且口。的半徑等于3,圓心。到直線/的

距離為乩則d的取值范圍是.

【答案】1>3

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：???直線I與n°相離，且□°的半徑等于3,圓心。到直線I的距離為d,

??.d的取值范圍是d>3；

故答案為：d>3

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，設(shè)口°的半徑等于r,圓心0到直線I的距離為d,則當(dāng)d>「時，

直線與圓相離，當(dāng)"=廠時，直線與圓相切，當(dāng)“<廠時，直線與圓相交；反之也成立.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）已知直線/與半徑長為R的口O相離，且點(diǎn)。到直線/的距離為5,那么火

的取值范圍是.

【答案】0<7?<5

【分析】若直線和圓相離，則應(yīng)滿足即可.

【詳解】解：?.?直線和圓相離，且點(diǎn)。到直線/的距離為5,

.-.0<7?<5,

故答案為：0<我<5.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，掌握直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系.直線和圓相

離，則應(yīng)滿足是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖南常德?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知NACB=3O。，CM=2,AM^5,以M為圓心，廠為半徑作

UM,口/與線段AC有交點(diǎn)時，則廠的取值范圍是.

【答案】卬《5

HM=-CM=1

【分析】過M作MHLAC于H,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到2,然后根據(jù)直線與圓的位置

關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過M作MHLAC于H,如圖所示:

HM=-CM=\

2

???AM=5,口加與線段AC有交點(diǎn),

??.r的取值范圍是r?5,

故答案為：1WY5.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)口°的半徑為r,圓心0到直線I的距離為d,若直線I和口°

相交od<J直線I和口°相切od=j直線|和口°相離od>r.

【考點(diǎn)三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】

例題：（2022秋?九年級單元測試）設(shè)的半徑為K,圓心。到直線/的距離為d,若d、R是方程

+加=0的兩根，則直線/與口。相切時，機(jī)的值為.

【答案】9

【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出方程有兩個相等的根，再根據(jù)公=0即可求出m的值.

【詳解】解：?"、R是方程V-6x+機(jī)=°的兩個根，且直線|與相切，

.-.d=R,

???方程有兩個相等的實(shí)根，

A=b2-4ac=（-6）~-4m=36-4m=0

,,，

解得，加=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系及一元二次方程根的判別式，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?九年級課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，的圓心坐標(biāo)為（孫0）,半徑是2.如果OM與y軸相切，

那么機(jī)=_；如果O”與V軸相交，那么m的取值范圍是_；如果O"與y軸相離，那么m的取值范圍是

【答案】±2-2<m<2m<-2m>2

【分析】根據(jù)》軸與圓的位置關(guān)系，推出圓心到丁軸的距離和半徑之間的關(guān)系即可得解.

【詳解】解：與y軸相切,

,.,\m\=r=2?

即力=d2；

???如果OM與y軸相交，那么m的取值范圍是-2<加<2；

如果OM與y軸相離，那么m的取值范圍是根<-2或〃z>2.

故答案為：±2；-2<m<2.m<-2或m>2.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系與直線與圓的

位置關(guān)系之間的聯(lián)系，是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?陜西?模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,E是AD上一定點(diǎn)，

A8=3,BC=6,AD=8,AE=2.點(diǎn)尸是3c上一個動點(diǎn)，以尸為圓心，PC為半徑作。P.若。P與以E為圓

心，1為半徑的OE有公共點(diǎn)，且。尸與線段/。只有一個交點(diǎn)，則PC長度的取值范圍是

【答案】4或尸C=3

【分析】根據(jù)題意可得PC的最小值為圓p與AD相切，切點(diǎn)為M；PC最大值為圓P與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為

Q,由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：PC的最小值為圓P與A。相切，切點(diǎn)為M,如圖所示:

...PMLAD,

在直角梯形中，

-AD//BC

?.,ZABC=ZA=90°9

???四邊形是矩形,

?PM=AB=PC=3,

PC最大值為圓尸'與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q,

,.,P'C=PQ=P'E+EQ=3+T=4，

當(dāng)尸C=P4時，此時圓P與線段開始有2個交點(diǎn)，不符合題意，

^PC=PA=xf則BP=BC—PC=6—x,AB=3,

.（6-x）2+9=x2

,,，

15

x=一

4,

—<PC<4

則尸C長度的取值范圍是4或尸C=3.

—<PC<4

故答案為：4或PC=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與

圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系.

【考點(diǎn)四判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】

例題：（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，已知4408=30。，”為05邊上任意一點(diǎn)，以/為圓心，2cm

為半徑作口當(dāng)31=cm時，口加與CM相切.

【答案】4

【分析】過M作MN10A于點(diǎn)N,此時以MN為半徑的圓口V與OA相切，根據(jù)30。角所對直角邊為斜邊的

一半可得0M的長.

【詳解】解：如圖，過M作MN_LOA于點(diǎn)N,

,.?MN=2cm,NA03=30。，

.,.OM=4cm,

則當(dāng)OM=4cm時，口M與OA相切.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線判定，直角三角形中30。角所對直角邊為斜邊的一半，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌

握其知識點(diǎn).

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春.九年級課時練習(xí)）如圖，為口。的直徑，AB=lcm,BC=V2cm,當(dāng)AC=cm時，直

線AC與口。相切.

【分析】直線AC與口。相切時，N8AC=90。，根據(jù)勾股定理即可求出AC.

【詳解】解：當(dāng)N8AC=90。時，直線AC與□°相切,

...ACNBG+AB?=1（5）,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2022春?九年級課時練習(xí)）如圖，4、3是O。上的兩點(diǎn)，/C是過/點(diǎn)的一條直線，如果405=120。,

那么當(dāng)?shù)亩葦?shù)等于度時，/C才能成為。。的切線.

【答案】60

【分析】由已知可求得NOAB的度數(shù)，因?yàn)镺A1AC,AC才能成為。。的切線，從而可求得NCAB的度數(shù).

【詳解】解：???△AOB中，OA=OB,NAOB=120°,

NOAB=AOBA=1(180°-NA08)=30°

???當(dāng)0A1AC即NOAC=90。時，AC才能成為。。的切線,

???當(dāng)NCAB的度數(shù)等于60°,即OA1AC時，AC才能成為。0的切線.

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此

題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五證明某直線是圓的切線】

例題：（2023秋?云南昭通?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知A8是口。的直徑，直線2C與口。相切于點(diǎn)

B,過點(diǎn)工作AD〃OC交口O于點(diǎn)。，連接。.

⑴求證：8是口。的切線.

⑵若/BCD=60。，直徑AB=10,求線段8c的長.

【答案】（1）見解析

（2）5否

【分析】（]）連接根據(jù)平行線的性質(zhì)可得==,通過證明

]ODC^]OBC（SAS）得出NODC=NOBC,即可求證；

（2）易得08=8=5,根據(jù)△COD=△CO8,得出NOCE>=NOCB=30。，則OC=208=10,根據(jù)勾股

定理求解即可.

【詳解】（1）證明：連接如圖所示:

...OA=OD,

...ZODA=ZOAD^

.：AD〃OC,

?.?/COD=ZODA,/COB=ZOAD，

.../COD=/COB.

..OD=OB,OC=OC

.□ODCWOBC(SAS)

.,.NODC=NOBC,

???CB是圓o的切線且。3為半徑，

...NCBO=90。.

/CDO=90。.

,OD_LCD.

又...°D是口°半徑，

??.8為圓。的切線.

(2)解：???AB是直徑，且鉆=10

.3=00=5

據(jù)(1)知，4COD沿ACOB,

又48=60。，

..."CD=/OCB=30。,

...在RtZkQBC中：00=203=10,

BC=-IOC2-OB1=V102-52=5A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)，勾股定理等知

識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵通過正確作輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?云南昭通?九年級統(tǒng)考期末）如圖，方。的半徑為2,點(diǎn)/是nO的直徑2。延長線上的一點(diǎn)，C

為nO上的一點(diǎn)，AD=CD,ZA=3O°.

A

⑴求證：直線AC是口。的切線;

（2）求口相。的面積.

【答案】（1）見解析

⑵3百

【分析】（1）首先根據(jù)仞=8,4=30。得到NCD5=6O。，進(jìn)而得到/OCD=60。，然后求出

ZACO=ZACD+ZOCD=90°,即可證明；

（2）首先得到口OCO是等邊三角形，然后作W3D于點(diǎn)H,利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到。a=1,

進(jìn)而利用勾股定理求出C”=JCC>2-=,2?-產(chǎn)=上,得到/R=AO+O3=4+2=6,最后利用三角形

面積公式求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接℃

AD\

.AD=CD,ZA=30°

.ZACD=30°

...ZCDB=6Q0

-；OD=OC

,NOCD=60。

...ZACO=ZACD+ZOCD=90°

vOC是半徑

...直線AC是口。的切線；

(2)由(1)得口。。。是等邊三角形，CD=AD=OD=2

C

作CH,即于點(diǎn)H,則。"=1

...CH=yJcif-DH2=722-12=6

在△ACO中，NACO=90。，ZA=30°

...AO=2OC=4

.."=AO+O5=4+2=6

S=—AB-CH=—x6xA/3=3y/3

△AARoCc22

,??

【點(diǎn)睛】此題考查了圓和三角形綜合題，圓切線的判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn).

2.（2023秋,遼寧葫蘆島?九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AO是圓。的直徑，AD,BC

的延長線交于點(diǎn)E,延長CB交4尸于點(diǎn)尸，NBAF+NDCE=90°.

⑴求證：A尸是圓。的切線;

(2)點(diǎn)G在CE上，S.BC=CD=CG,連接OG,DG=2,AB=5,求AD的長.

【答案】⑴見解析

(2)7

【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于圓。和NDCE+N3CD=18O。得出N3AD=NOCE,再根據(jù)

ZBAF+ZDCE=90°得出NFAD=90°即可證明；

(2)連接OC,BD,記0c與5。相交于點(diǎn)N,根據(jù)5C=C。用垂徑定理得出5N=QN,再根據(jù)

BC=CG,Q4=O。運(yùn)用三角形中位線得出CN,0N即可解答；

【詳解】(1)證明一?四邊形內(nèi)接于圓O

,,ZJ3Ar>+ZBCD=180°

o

vZZ)CE+ZBCD=180

：,ZBAD=ZDCE

.；ZBAF+ZDCE=90。

...ZBAF+/BAD=90°,即NFAD=90°

又???AD是圓°的直徑

二”是圓0的切線

(2)如圖，連接°8,OC,BD,記0c與8。相交于點(diǎn)N

...BC=CD

...ZBOC=ZCOD,又OB=OD

...BN=DN

??.BC=CG,

CN=-DG=-x2=l

.22

又...Q4=OD,

ON=-AB=-x5=2.5

...22

OC=ON+CN^3.5

,AZ）=2OC=7.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了圓切線證明，圓心角定理，垂徑定理，三角形中位線等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握圓部分的這些知識點(diǎn).

【考點(diǎn)六切線的性質(zhì)定理】

例題：（2023?浙江衢州?統(tǒng)考二模）如圖，:O的切線PC交直徑AB的延長線于點(diǎn)P,C為切點(diǎn)，若/尸=30。，

【分析】連接℃,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOCP=90。，再根據(jù)30。所對的直角邊是斜邊的一半計算即可;

???PC是nO的切線，

.'.OCLCP,即/OCP=90。，

又/尸=3?！?口。的半徑為3,

,.,OP=2CO=6，

...PB=6—3=3.

故答案是3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?福建福州?九年級統(tǒng)考期中）如圖，是nO的直徑，點(diǎn)C是口。外的一點(diǎn)，且5c是口。的切

線，AC交口。于點(diǎn)O,若NC=60。，則/A=

【答案】30

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案.

【詳解】解：是口。的切線,

.-.AB1BC,

ZC=60°,

,-.ZA=90°-60°=30°,

故答案為：3。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖南永州??？级＃┤鐖D，A8是口。的直徑，PA與口。相切于點(diǎn)AZABC=32°,OC的延長線

交P4于點(diǎn)P,則NP的度數(shù)是.

【答案】26。〃6度

【分析】利用圓周角定理，切線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】解：「AB是口。的直徑，PA與口。相切于點(diǎn)A,

:.OALPA,

ZPAB=90°,

ZB=-ZAOC

2,ZABC^32°,

:.ZAOC=64°

NP=1800-NPAB-ZAOC=26°

故答案為：26。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，熟練掌握上述定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】

例題：（2023秋,江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，RtZXABC中，NACB=90。，點(diǎn)。在邊AC上，以點(diǎn)。為圓心,

OC為半徑的圓交邊AC于點(diǎn)交邊A8于點(diǎn)E,且3。=3后.

（2）若AE=24,BE=15,求口O的半徑.

【答案】（1）見解析

⑵口。的半徑為10.

【分析】（1）連接OE,連接30,通過證明四△3℃（SSS）即可進(jìn)行求證;

（2）連接OE,則BC=BE=15,鉆=郎+鉆=39根據(jù)勾股定理求出40=,?2—302=36,設(shè)口O的

半徑為小根據(jù)％2=°/+4爐，列出方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OE,連接8°,

在△03C和中,

OE=OC

,BE=BC

BO=BO

.ABOE絲△BOC(SSS)

；.NBEO=NBCO,

-ZBCO=90°,

...ZBEO=9Q°,

???OE是半徑，

??.A8是□。的切線；

（2）解：如圖，連接?！?

?.BE=15,AE=24,

.,BC=BE=15,AB=BE+AE=15+24=39,

...AC=ylAB2-BC2=7392-152=36,

設(shè)Zl°的半徑為r,則OE=OC=r,Q4=36—r,

22

...OA=OE+AE\

.（36-r）2=r2+242

,,，

解得：〃=1°,

.?.□0的半徑為10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的

直線是圓的切線.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)￡是以AB為直徑的口。外一點(diǎn)，點(diǎn)C是口。上一點(diǎn)，硬是口。的

切線，ECLOC,連接AC并延長交3E的延長線于點(diǎn)F.

O

A

⑴求證：點(diǎn)E是8尸的中點(diǎn)；

(2)若EC=OC,口O的半徑為3,求CV的長.

【答案】⑴見解析

(2)3五

【分析】(1)連接BC,證明EC是口。的切線.根據(jù)EB是口。的切線，可得EC=EB,進(jìn)而證明跖=EC,

等量代換可得即=即，即可得證；

(2)根據(jù)EC=℃,可得四邊形OCEB是正方形，則△麗是等腰直角三角形.勾股定理，即可求解.

【詳解】(1)證明：連接BC.

?.?AB為口。的直徑，

；,ZACB=90°.

?*-EC±OC，

??.因是口。的切線.

?「SB是口。的切線，

:.EC=EB,

:.ZECB=NEBC.

ZECB+ZFCE=90°fZEBC+ZF=90°f

:.ZFCE=ZFf

:.EF=ECf

EF=EB,

.??點(diǎn)E是8尸的中點(diǎn).

(2)解：若EC=℃,由(1)得，四邊形OCE3是正方形,

■■■△河是等腰直角三角形.

7口°半徑為3,

:.AB=6,

AF=V2AB=6V2,

BC±AF

CF=-AF=3^/2

2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，

熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?云南昆明?統(tǒng)考二模)如圖，在DABC中，。為A8上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，為半徑作半圓，與

3c相切于點(diǎn)B,過點(diǎn)/作ADLCO交CO的延長線于點(diǎn)。，且NAOD=/。⑦.

(1)求證：AC是半口O的切線；

(2)若CO=AO,BC=4,求半口。的半徑.

【答案】(1)見解析

4>/3

⑵3

【分析】(1)過點(diǎn)O作OFVAC于點(diǎn)F,由切線的性質(zhì)知NB=90。，ZBOC+ZBCO=90^,又

ZCAD+ZACO=90°,AOD=ACAD,AAOD=ZBOC,推證NBCO=NACO,由角平分線性質(zhì)定理得

OF=OB,結(jié)論得證；

(2)由切線長定理知CF=8C=4,由等腰三角形性質(zhì)知”=b=4,ZOCA=ZOAC,進(jìn)一步推證

c口AF46

flri-------___

NO4c=30。，由直角三角形性質(zhì)，求解圓半徑為^33.

【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作OFA.AC于點(diǎn)F.

VBC為半口。切線，

:.OB±BC,

NB=90\

...ZBOC+ZBCO=90°

C

-AD±CD9

NO=90°

:.ZCAD+ZACO=90\

VZAOD=ZCADfZAOD=ZBOC

:.ZBOC=ZCAD?

:.ZBCO=ZACO,

/.CO平分NAC8

\-OB±BC,OF±AC,

:.OF=OBf

??OF是半口0的半徑.

VOF1AC,

二?AC是半口。的切線.

(2)???BC,AC是半口。的切線，5C=4,

，CF=BC=4

-CO=AO,OFLAC

.?.AF=CF=4,ZOCA=ZOAC.

ZBCO=ZOCA,

ZOCA=ZOAC=ZBCO,

ZB=90°,

ZBCA+ZOAC=90",

SPZOCA+ZOAC+ZBCO=90°

ZOAC=30°

在RQOFA中，OA=2OF,

AF=V(9A2-OF2=43OF

【點(diǎn)睛】本題考查圓切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)，勾股定理，利用已知的角之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合直角三角形性質(zhì)求解角度是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，AB是口。的直徑，E為口0上的一點(diǎn),NABE的平分線交口。于點(diǎn)

C,過點(diǎn)C的直線交的延長線于點(diǎn)P,交BE的延長線于點(diǎn)￡>.且=

⑴求證：尸C為口。的切線；

（2）若PC=2030，尸8=12,直接寫出半徑的長.

【答案】⑴見解析

(2)3

【分析】（1）連接℃,根據(jù)角平分線求得NABC=/CBD,由等邊對等角可得/PC4=/OCB,由A8是

直徑和等量代換可得NPC0=90°,即可得證；

（2）連接℃,設(shè)=℃=J證明OP=3r,可得4r=12,推出r=3,即可求解.

【詳解】（1）證明：連接℃,

???3C平分,

，ZABC=NCBD,

QOC=OB,

:.ZABC=NOCB,

?.?NPCA=/CBD,

:"PCA=NOCB,

〈AB是直徑，

:.ZACB=90°9

.?.ZACO+/OCB=90。,

ZPCA+ZACO=90°f

ZPCO=90°f

.\OC±PCf

Voc是半徑，

???PC是oo的切線；

設(shè)OB=OC=r,

???PC=2桓OB,

:.PC=2垃r,

OP=yloC2+PC2=J產(chǎn)+(2&e=3r

;PB=12,

:.4r=12,

/.r=3,

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)

造平行線解決問題.

【考點(diǎn)八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】

例題：（2023?甘肅隴南??？家荒＃┤鐖D，口O與44=90。的Rt^ABC的三邊Afi、BC、AC分別相切于點(diǎn)。、

E、F,若2E=10,CF=3,則口。的半徑為（

4C.3D.2

【答案】D

【分析】連接OF,首先根據(jù)切線長定理得