專項(xiàng)突破卷：圓錐曲線中的定直線問(wèn)題（原卷版）

專題突破卷21圓錐曲線中的定直線問(wèn)題

堡題好嵬

章題粵各個(gè)擊破_______________________

題型一：橢圓中的定直線問(wèn)題

1.已知橢圓C：J+y2=l的左右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)r>t，o］的直線與橢圓C交于區(qū)F

兩點(diǎn)(異于左右頂點(diǎn))，直線AE,8尸相交于點(diǎn)P.

(1)求證：點(diǎn)P在定直線上；

(2)線段EF的中點(diǎn)為求AOMP面積的最大值.

2.已知橢圓C：±+*=1(。>6>0)的右頂點(diǎn)為43,0),離心率為好，過(guò)點(diǎn)P(3,2)的直

ab3

線/與C交于M,N兩點(diǎn).

11

(1)若C的上頂點(diǎn)為8,直線BM,8N的斜率分別為《，k2,求7+廠的值；

(2)過(guò)點(diǎn)/且垂直于x軸的直線交直線AN于點(diǎn)。證明：線段的中點(diǎn)在定直線上.

22

3.已知橢圓C:[+]=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片,心，上、下頂點(diǎn)分別為4,4,四

ab

邊形AfjAK的面積為2石且有一個(gè)內(nèi)角為三.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若以線段FR為直徑的圓與橢圓C無(wú)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A(l,3)的直線與橢圓C交于p,Q兩點(diǎn)

(點(diǎn)P在點(diǎn)。的上方)，線段PQ上存在點(diǎn)M,使得蔚=崗，求段的最小值?

22

4.己知橢圓石:亍+方=1(°>6>0)的短軸長(zhǎng)為2月，左、右頂點(diǎn)分別為"，過(guò)右焦點(diǎn)

尸(1,0)的直線/交橢圓E于42兩點(diǎn)(不與C,。重合)，直線AC與直線3D交于點(diǎn)T.

⑴求橢圓E的方程；

⑵求證：點(diǎn)T在定直線上.

22

5.已知橢圓C：I+當(dāng)=l(a>。>O)的左、右焦點(diǎn)分別為6,月,M(l,l)是C上一點(diǎn),且點(diǎn)M到

ab

點(diǎn)用出的距離之和為2G.

(1)求C的方程；

(2)斜率為;的直線/與C交于43兩點(diǎn)，則改1么5的外心是否在一條定直線上？若在,求

出該直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,l)、B(O-l),焦點(diǎn)在無(wú)軸上，離心率為手，直線

/:y=Ax-g(Z<0)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)上變化時(shí)，是否存在過(guò)點(diǎn)A的定直線機(jī)，使直線加平分NM4N?若存在，求出該定直

線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

7.已知橢圓r京+5=1(°>0)的右焦點(diǎn)為尸(i,o),過(guò)點(diǎn)/且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交r于

AB兩點(diǎn)，「在兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)Q.

(1)求證：點(diǎn)。在定直線上，并求出該直線方程；

⑵設(shè)點(diǎn)M為直線。。上一點(diǎn)，且求|A"|的最小值.

22

8.已知橢圓C：2+方=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,E，Q(LL5)是C上一點(diǎn)，

4

tan/居。弱=§.點(diǎn)片，層分別為C的上、下頂點(diǎn)，直線心>=履+1與C相交于兩點(diǎn),

直線M綜八名交于點(diǎn)P

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵證明點(diǎn)P在定直線4上，并求直線加耳圍成的三角形面積的最小值.

9.平面直角坐標(biāo)系xOy中，面積為9的正方形ABCD的頂點(diǎn)AB分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，

且加=2西+立而，記動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為曲線r.

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⑴求r的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)E(4,l)的動(dòng)直線/與曲線「交于不同的兩點(diǎn)M,N時(shí)，在線段MN上取點(diǎn)Q,滿足

|兩麗|=|西"就|.試探究點(diǎn)。是否在某條定直線上？若是，求出定直線方程；若

不是，說(shuō)明理由.

10.已知橢圓C：5+*l(a>b>0)的離心率為當(dāng)，點(diǎn)4-2,0)在c上.

(1)求C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)2(-2,1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸作垂直于x軸的直線與直線AQ相交于點(diǎn)M,

證明：線段PM的中點(diǎn)在定直線上.

題型二：雙曲線中的定直線問(wèn)題

11.已知雙曲線C:=-y2=im>])的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線/交雙曲線c于點(diǎn)A,B,

a

且|的最小值為半.

(1)求C的方程；

⑵若p(-V5,o),A,8均在C的右支上且.ABP的外心落在y軸上，求直線/的方程.

12.動(dòng)點(diǎn)尸(X,y)與定點(diǎn)尸(2,0)的距離和它到定直線/:》=；的距離的比是2,記動(dòng)點(diǎn)尸的軌

跡為曲線C.

(1)求C的方程；

⑵過(guò)R(-2,0)的直線/與c交于兩點(diǎn)，且麗=4踮(a>0),若點(diǎn)M滿足病="麗，證

明：點(diǎn)M在一條定直線上.

13.在平面直角坐標(biāo)系即中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(-l,0),5(1,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足人隊(duì)=3,設(shè)

點(diǎn)p的軌跡為曲線r.

⑴求曲線「的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)C(l,l)的直線/與曲線r在y軸右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)M,N,在線段上取異于點(diǎn)M,

N的點(diǎn)。，滿足|C"|?|DV|=|MD|"CN|.證明：點(diǎn)。在定直線上.

14.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為耳(0,3),離心率為6.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)C的上、下頂點(diǎn)分別為4，4,若直線/交C于加(石,乂)，N(程％),且點(diǎn)N在第一

3

象限，M%>。，直線AM與直線&N的交點(diǎn)尸在直線>=《上，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).

2

15.已知雙曲線C:尤2-1_=1的左、右頂點(diǎn)分別是4,4,直線/與C交于兩點(diǎn)(不與4

3一

重合)，設(shè)直線4M,4N,/的斜率分別為勺,占,左，且(匕+&)左=-6.

(D判斷直線/是否過(guò)x軸上的定點(diǎn).若過(guò)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若M,N分別在第一和第四象限內(nèi)，證明：直線"A與N4的交點(diǎn)尸在定直線上.

22

16.已知雙曲線C：二-*■=/>0),直線/在％軸上方與％軸平行，交雙曲線。于

4B兩點(diǎn)，直線/交y軸于點(diǎn)D當(dāng)/經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,4).

⑴求C的方程；

(2)設(shè)。。的中點(diǎn)為是否存在定直線/,使得經(jīng)過(guò)加的直線與C交于P,Q,與線段A8

交于點(diǎn)MPM=APN，血=4的均成立；若存在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

17.已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)尸滿足IP耳1尸81=2,且耳(—2,0),尖(2,0).

(1)求C的方程；

(2)若直線A3與C交于A、8兩點(diǎn)，過(guò)A、8分別做C的切線，兩切線交于點(diǎn)P.在以下兩

個(gè)條件①②中選擇一個(gè)條件，證明另外一個(gè)條件成立.

①直線A3經(jīng)過(guò)定點(diǎn)加(4,0)；

②點(diǎn)尸'在定直線x上.

4

22_

18.已知雙曲線C：]-}=l(a>0,6>0)的離心率為過(guò)點(diǎn)E。,。)的直線/與C左右

兩支分別交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）.

（1）若點(diǎn)尸為線段的中點(diǎn)，求直線0P與直線斜率之積（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

⑵若48為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且|AB|=4,試判斷直線AN與直線的交點(diǎn)G是否在

定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由

19.已知雙曲線C:左、右焦點(diǎn)分別為G，鳥(niǎo)，點(diǎn)尸坐

標(biāo)為（3,1）,且圖?朋=6.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線/與C的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)若點(diǎn)M在線段AB上，滿足

品\AP\=隔\BP\，證明：”在定直線上?

22

20.已知月、分別為雙曲線G：當(dāng)-==1（。＞0,。＞0）的上、下焦點(diǎn)，其中K坐標(biāo)為（0,2）

點(diǎn)M（石,0）是雙曲線G上的一個(gè)點(diǎn).

⑴求雙曲線G的方程；

22

⑵己知過(guò)點(diǎn)尸（4,1）的直線與6：當(dāng)-三=1（。＞0,。＞0）上支交于不同的4、2兩點(diǎn)，在線段

ab

AB上取點(diǎn)Q,滿足|44］。理=|4。|-|尸耳，證明：點(diǎn)Q總在某條定直線上.

題型三：拋物線中的定直線問(wèn)題

21.已知拋物線C:/=2px（p＞0）,過(guò)點(diǎn)0（0,2）的直線/與C交于不同的兩點(diǎn)A,反當(dāng)直線/

的傾斜角為135°時(shí)，|A3|=4回.

⑴求C的方程;

\DA\AE\

⑵在線段AB上取異于點(diǎn)A3的點(diǎn)E,且滿足*5=得試問(wèn)是否存在一條定直線，使得

邛

點(diǎn)E恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知拋物線。:產(chǎn)=29(°>0)的焦點(diǎn)為歹，過(guò)尸作互相垂直的直線4,4,分別與C交于

A,B和RE兩點(diǎn)(A,。在第一象限)，當(dāng)直線乙的傾斜角等于45°時(shí)，四邊形AD3E的面積

為32.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)直線AD與BE交于點(diǎn)。，證明：點(diǎn)。在定直線上.

23.若拋物線1的方程為V=4x,焦點(diǎn)、為F,設(shè)尸,。是拋物線T上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).

⑴割尸耳=3,求直線Pf■的斜率；

(2)設(shè)尸。中點(diǎn)為R,若直線尸。斜率為母，證明R在一條定直線上.

24.已知拋物線C：j=y,過(guò)點(diǎn)E(0,2)作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,2兩點(diǎn)分別

作拋物線C的切線交于點(diǎn)P.

(1)證明：尸在定直線上；

(2)若f為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：^PFA=Z.PFB.

25.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸，直線4：y=K(x+2)與直線/2：y=&(x+2)與拋物

線C分別交于點(diǎn)P,Q和點(diǎn)R,S.

(1)若勺=；，求△尸。尸的面積；

(2)若直線PS與衣。交于點(diǎn)A,證明：點(diǎn)A在定直線上.

26.已知拋物線E：y=2px(p>0),過(guò)點(diǎn)(-1,0)的兩條直線乙、乙分別交E于A、B兩點(diǎn)和

C、。兩點(diǎn).當(dāng)乙的斜率為:時(shí)，|鉆|=2跳.

(1)求￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)G為直線與2C的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G在定直線上.

27.已知拋物線C：V=2x,過(guò)尸(1,0)的直線與C相交于A,B兩點(diǎn)，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)證明：直線OA,。8的斜率之積為定值；

(2)若線段的垂直平分線交y軸于且tanZAA*與，求直線A8的方程.

28.已知拋物線G：/=2/(2>0)和圓6：(》+1)2+產(chǎn)=2,傾斜角為45。的直線乙過(guò)G的焦點(diǎn)

且與Q相切.

⑴求p的值：

⑵點(diǎn)M在G的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在G上，C在A點(diǎn)處的切線/2交y軸于點(diǎn)B,設(shè)麗=疝+礪，

求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程.

29.已知直線丫=履+1與拋物線C：Y=8y交于A,B兩點(diǎn),分別過(guò)A,8兩點(diǎn)作C的切線,

兩條切線的交點(diǎn)為。.

(1)證明點(diǎn)。在一條定直線上；

⑵過(guò)點(diǎn)。作y軸的平行線交C于點(diǎn)E線段AB的中點(diǎn)為P,

①證明：E為Z)產(chǎn)的中點(diǎn)；

②求VADE面積的最小值.

30.已知直線'=履+1與拋物線C：尤2=8y交于A,2兩點(diǎn)，分別過(guò)A,8兩點(diǎn)作C的切線,

兩條切線的交點(diǎn)為D

（1）證明點(diǎn)。在一條定直線上；

⑵過(guò)點(diǎn)。作y軸的平行線交C于點(diǎn)E,求VADE面積的最小值.

窿小時(shí)制/

22

1.橢圓C:工+1=1（。＞。＞0）的左右焦點(diǎn)分別為不工，焦距為20，點(diǎn)M為橢圓上位于

ab

X軸上方的一點(diǎn)，MFXMK=Q,且△岬乙的面積為2.

⑴求橢圓C的方程；

TT

（2）過(guò)點(diǎn)尸2的直線/與橢圓交于A，8兩點(diǎn)，且=求直線/的方程.

2.已知3（-l,0）,C（l,0）為VA8C的兩個(gè)頂點(diǎn)，P為VABC的重心，邊AC,上的兩條中線

長(zhǎng)度之和為6.

（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程.

⑵已知點(diǎn)N（T0）,E（—2,0）,F（2,0）,直線PN與曲線C的另一個(gè)公共點(diǎn)為。，直線研與

F。交于點(diǎn)求證：當(dāng)點(diǎn)尸變化時(shí)，點(diǎn)“恒在一條定直線上.

丫221

3.已知橢圓。：三十七=1（〃〉力＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,且|4闋=4,離心率為彳,

cib2

過(guò)點(diǎn)M（3,0）的直線/與橢圓C順次交于點(diǎn)°,P.

⑴求橢圓C的方程;

（2）是否存在定直線無(wú)=/與直線&P交于點(diǎn)G,使4,G,Q共線.

22

4.已知雙曲線E:=-3=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為我|、F?,寓局=2指且雙曲

ab

線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,2).

⑴求雙曲線E的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P(2,l)作動(dòng)直線/,與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)M、N,在線段上取異于

\PM\\MH\.

點(diǎn)M、N的點(diǎn)“，滿足?〉入了|='求證：點(diǎn)”怛在一條定直線上.

\PN\

5.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知人(-2,0),5(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件：直線2與直線PB的斜

率之積等于記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E.

⑴求E的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)C(4,0)作直線/交E于M,N兩點(diǎn)，直線AM與3N交點(diǎn)。是否在一條定直線上？

若是，求出這條直線方程；若不是，說(shuō)明理由.

6.己知雙曲線C:0-斗=1.>0力>0)的右焦點(diǎn)為網(wǎng)2,0),漸近線方程為>=±瓜.