中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：梯子模型、對角互補模型和梯形中位線定理（含答案及解析）

梯子模型、對角互補模型和梯形中位線定理

叁^模型解密

梯子模型

如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上，當(dāng)梯子底端滑動時，探究梯子上某點（如中點）或梯子構(gòu)成圖

形上的點的軌跡模型（圖2）,就是所謂的梯子模型。

［考查方向］已知一條線段的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，求線段最值問題。

模型」如圖所示，線段AC的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，LACB=ZAOC=90°AC的中點為P,連接OP、BP、0B,

則當(dāng)0、P、B三點共線時，此時線段0B最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的長,就可求出梯子模型中0B的最值

模型二：如圖所示，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊0M、0N上，當(dāng)點A在邊0M上運動時，點B隨之在0N

上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點為P,連接OP、PD、0D,則當(dāng)0、P、D三

點共線時，此時線段0D取最大值

四邊形中對角互補模型

對角互補模型：即四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。主要分為含90°與120°的兩種對

角互補類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形全等或者相似.

模型一：含90°的全等型

1.如圖1,已知/AOB=NDCE=90",0c平分則可以得到如下幾個結(jié)論：

QCD=CE,②①+施'=、/}%,③夕＞夕」0C.

2

2.如圖2,已知/ZO的一邊與/。的延長線交于點〃NA0B=NDCE=9G,%平分

如圖3,已知///=2F=120。，％平分//四則可得到如下幾個結(jié)論:

①CD=CE,②0D+0E=0C,③—我4

4

梯形中位線定理

(1)定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線

(2)性質(zhì)定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

類型一：梯子模型

【典例1】如圖，ZMON=90°,矩形/BCD的頂點/、8分別在邊(W、ON上，當(dāng)8在邊ON上運動時，

/隨之在(W上運動，矩形/BCD的形狀保持不變，其中48=6,BC=2.運動過程中點。到點。的最

大距離是.

【變式1-1］如圖，在中，NBAC=9Q°,45=1,NC=4,點/在y軸上，點C在x軸上，則點

工在移動過程中，2。的最大值是.

VAB

0\Cx

【變式1-2】如圖，/MEN=90°,矩形/BCD的頂點8,C分別是/MEN兩邊上的動點，已知8c=10,

CD=5,點、D,E之間距離的最大值是.

MA

ECN

類型二：四邊形中對角互補模型

【典例2】在四邊形4BCD中，ZS+ZD=180°,對角線/C平分/A4D

D

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若/。48=120°,且N5=90°,試探究邊與對角線/C的數(shù)量關(guān)系為

（2）如圖2,若將（1）中的條件“NB=9Q?！比サ?，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由；

（3）如圖3,若/。48=90°,若/D=3,4B=7,求線段/C的長和四邊形4BCD的面積.

【變式2-1】如圖，點尸(3"z-l,-2"?+4)在第一象限的角平分線OC上，NPL8P,點/在x軸正半軸上,

點2在y軸正半軸上.

(1)求點P的坐標(biāo).

(2)當(dāng)/4P2繞點尸旋轉(zhuǎn)時，

①。N+O8的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值.

②請求出OA2+OB2的最小值.

【變式2-2】四邊形若滿足N/+/C=180°,則我們稱該四邊形為“對角互補四邊形”.

(1)四邊形/BCD為對角互補四邊形，且N8：ZC：/。=2：3：4,則//的度數(shù)為

(2)如圖1,四邊形/BCD為對角互補四邊形，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD.

求證：NC平分N3CD.

小云同學(xué)是這么做的：延長CO至使得DM=BC,連MW,可證明△/5C也△/DM,得到是

等腰直角三角形，由此證明出NC平分48。，還可以知道C8、CD、C4三者關(guān)系為：；

(3)如圖2,四邊形48CO為對角互補四邊形，且滿足4840=60°,AB=AD,試證明：

①NC平分/8CO；

②CA=CB+CD；

(4)如圖3,四邊形48C。為對角互補四邊形，且滿足N/8C=60°,AD=CD,則A4、BC、BD三者

關(guān)系為：?

類型三：梯形中位線定理

【典例3】在梯形4BCD中，AB//CD,AC、AD相交于點。，若/C=5,BD=12,中位線長為」且，AAOB

2

的面積為Si,△<%>￡>的面積為S2,則何+厄=-

【變式3-1］如圖，在梯形48co中，AB//CD,點、E、尸分別是40、2c的中點，如果42=2,EF=3,那

么CD=.

s

【變式3-2］如圖，DE是△4BC的中位線，〃是DE的中點，那么:⑨3=

SAABC

式真題精練

1.如圖，△48C為等邊三角形，以為邊向形外作△N8。，使//。8=120°,再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把

△CBD旋轉(zhuǎn)到LCAE,則下列結(jié)論:

①。、A、￡三點共線；

②DC平分/BDA；

③NE=ABAC-,

?DC=DB+DA.

其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

2.如圖，ZUBC為等邊三角形，以48為邊向△48C外側(cè)作△48。，使得/ND8=120°,再以點C為旋

轉(zhuǎn)中心把△CAD沿著順時針旋轉(zhuǎn)至△C4E,則下列結(jié)論:

①￡（、/、￡三點共線；②△CDE為等邊三角形；③DC平分/8D4；?DC=DB+DA,其中正確的有（）

B.3個C.2個D.1個

3.如圖，正方形/8CD點P是對角線/C上一點，連接8P,過P作尸PQ交CD于■Q,連接80

交NC于G,若AP=H，。為CD中點，則下列結(jié)論：

①/PBC=/PQD；②BP=PQ；③/BPC=NBQC；④正方形4BCD的面積是16；

C.2D.1

4.如圖，ZMON=90°,矩形N8C。的頂點/、8分別在。河、ON上,當(dāng)點8在ON上移動時，點/隨

之移動，48=2,BC=1,運動過程中，點。到點。的最大距離為.

5.AC=6,BC=3,點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點N在x軸上運動

時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點3到原點的最大距離是.

6.如圖，的兩直角邊。4,。2分別在x軸和y軸上，且點43的坐標(biāo)分別是（3,0）和（0,4）,

點C是半圓NC8上任意一點，則點。，C的最大距離為

7.邊長為2的等邊三角形/8C的頂點8分別在x軸正半軸和y軸正半軸

上運動.

(1)當(dāng)。8=1時，點C的坐標(biāo)為

頂點/、C分別在x軸、y軸的正半軸上滑動.

(2)若點。是/C的中點.則點D在運動過程中經(jīng)過的路徑長為

(3)點B到原點。的最大的距離是

9.在學(xué)習(xí)三角形中位線定理時，小麗發(fā)現(xiàn)作以下輔助線能夠證明三角形中位線定理.

已知：如圖1,在△48C中，點。，E分別是邊48,NC的中點，連接?！?

求證：DE//BC,DE^BO

證明：(小麗的輔助線作法)延長到「使EF=DE,連接。C、AF、FC.-

(1)請在圖1中畫出小麗所說的輔助線，并補全三角形中位線定理的證明過程；

(2)三角形中位線定理應(yīng)用：如圖2,在梯形/BCD中，AD〃BC,點、E,尸分別是CD的中點,

則線段ND,EF,8C之間的數(shù)量關(guān)系是

圖1圖2

10.如圖，正方形4SCD中，點E,尸分別是邊8c上的兩個動點，且正方形N8C。的周長是ABE尸

周長的2倍.連接。E,DF分別與對角線ZC交于點"，N.

(1)若/E=2,CF=3,求跖的長;

(2)求證；/EFN+/EMN=180°；

(3)若迎=2,BE=3,求斯的長.

AM

11.定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形.

理解：(1)如圖1,點B,C在上，NN8C的平分線交于點。，連接ND,CD.

求證：四邊形/BCD是等補四邊形.

探究：(2)如圖2,在等補四邊形4BCD中，B4=BC,連接AD,2。是否平分N4DC?請說明理由.

運用：(3)如圖3,在等補四邊形48CD中，CB=CD,其外角/尸C8的平分線交48的延長線于點E,

48=20,CE=10,求BE的長.

圖1圖2圖3

12.定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形.

【問題理解】

如圖1,點/、B、C在O。上，/4BC的平分線交OO于點。，連接40、CD.

求證：四邊形/BCD是等補四邊形；

【拓展探究】

如圖2,在等補四邊形4BCD中，AB=AD,連接/C,/C是否平分N2CD?請說明理由；

【升華運用】

如圖3,在等補四邊形488中，AB^AD,其外角NE4。的平分線交CD的延長線于點F.若CD=6,

DF=2,求/尸的長.

13.有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等鄰邊互補四邊形.

(1)如圖1,在等鄰邊互補四邊形/BCD中，AD=CD,S.AD//BC,BC=2AD,求的度數(shù)；

(2)如圖2,四邊形/BCD內(nèi)接于。。，連接。。交NC于點￡(不與點。重合)，若￡是/C的中點，

求證：四邊形N2CD是等鄰邊互補四邊形；

(3)在(2)的條件下，延長。。交3c于點尸，交O。于點G,若祕=源，tan/4BC=2￡/C=12,

7

求尸G的長；

(4)如圖3,四邊形N8CD內(nèi)接于。。AB=BC,8。為。。的直徑，連接NO并延長交BC于點￡,交

。。于點尸，連接PC,設(shè)tan/84F=x,里=乃求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

AE-

14.閱讀下面的材料.

材料一：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，其中平行的兩邊叫梯形的底邊，不平行的

兩邊叫梯形的腰，連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.梯形的中位線具有以下性質(zhì)：梯形的中位

線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.

如圖①，在梯形/BCD中，AD//BC,

■:E、尸是48、CD的中點，

：.EF//AD//BC,EF=LCAD+BC).

2

材料二：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.

如圖②：在△4BC中，

是N8的中點，EF//BC,

尸是/C的中點.

請你運用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料，解答下列問題.

如圖③：在梯形4BCD中，AD//BC,4CLBD于O,E、尸分別為48、CO的中點，/DBC=3G.

(1)求證：EF=AC；

(2)若。。=3如，OC=5,求ACV的長.

①②

③

15.問題提出

Cl)如圖1,在△ABC中，BC=6,。是邊2c上的一個動點，連接若4D的最小值為4,則三角

形N8C的面積為.

問題探究

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZADC=9Q°,Z5^Z)+ZC=180°,試說明

12

S四邊形ABCD革BD-

問題解決

(3)如圖3,四邊形ABCD是某學(xué)校操場上的一塊空地，學(xué)校準備在這塊空地上舉辦航模展.其中邊

N2和2C是用來展示航模展的歷史，且滿足N4BC=N4DC=90°,AB=BC,邊40和DC用來放置電

子顯示屏，播放航模知識講解，AD+CD=IS,求四邊形/BCD的面積.

圖1圖2圖3

梯子模型、對角互補模型和梯形中位線定理

-5模型解密

梯子模型

如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上，當(dāng)梯子底端滑動時，探究梯子上某點（如中點）或梯子構(gòu)成圖

形上的點的軌跡模型（圖2）,就是所謂的梯子模型。

［考查方向］已知一條線段的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，求線段最值問題。

模型一：如圖所示，線段AC的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，LACB=ZAOC=90°AC的中點為P,連接OP、BP、0B,

則當(dāng)0、P、B三點共線時，此時線段0B最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的長,就可求出梯子模型中0B的最值

模型二：如圖所示，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊0M、0N上，當(dāng)點A在邊0M上運動時，點B隨之在0N

上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點為R連接OP、PD、0D,則當(dāng)0、P、D三

點共線時，此時線段0D取最大值

四邊形中對角互補模型

對角互補模型：即四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。主要分為含90°與120°的兩種對

角互補類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形全等或者相似.

模型一：含90°的全等型

1.如圖1,已知//必=/。390°,在平分//如則可以得到如下幾個結(jié)論：

①CD=CE,②OD+OE=%；2OC,③9S+9:OC.

2.如圖2,已知位的一邊與/。的延長線交于點〃NAOB=/DCE=9Q°,OC平濟/AOB.

如圖3,已知//如=2/〃?=120。，0c平分//您則可得到如下幾個結(jié)論:

①CD=CE,②OD+OE=OC,③S+舐旦OC.

4

梯形中位線定理

(1)定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線

(2)性質(zhì)定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

類型一：梯子模型

【典例1】如圖，/MON=90°,矩形/BCD的頂點/、2分別在邊。M、ON上，當(dāng)8在邊ON上運動時,

/隨之在31上運動，矩形N8CO的形狀保持不變，其中/3=6,BC=2.運動過程中點。到點。的最

大距離是

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖：取線段48的中點連接OE,DE,0D,

,:AB=6,點E是48的中點，NAOB=9Q°,

:.AE=BE=3=OE,

.四邊形48CD是矩形，

：.AD=BC=2,NDAB=90°,

二/)￡，=VAE2+AD2=^13，

?：ODWOE+DE,

當(dāng)點。，點E,點。共線時，。。的長度最大.

/.點D到點O的最大距離=。￡+。石=3+05，

故答案為：3+413.

【變式1-1］如圖，在Rt448C中，NR4c=90°,48=1,/C=4,點/在y軸上，點C在x軸上，則點

A在移動過程中，BO的最大值是.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，取/C的中點初，連接(W,BM.

：.OM=1AC=2,

2

在RtZX/BM中，VZBAM=90°,AB=\,AM=2,

/.BM={]2+22=炳,

,：OBWBM+OM,

.,.05^2+75)

：.0B的最大值為2+V5.

故答案為2+V5-

【變式1-2]如圖，NMEN=90°,矩形48CD的頂點3,C分別是/MEN兩邊上的動點,已知5C=10,

CD=5,點D,E之間距離的最大值是.

【答案】5+572.

【解答】解：：NAffiN=90°,尸是8c中點,

：.EF=^BC=5.

2

當(dāng)點。，E,尸三點共線時，取等號.

此時尸是BC的中點，

.四邊形48co是矩形，

ZBCD=90°,

???FD=VCF2<D2=VB2+52=5&.

：.ED最大=EF+。尸=5+5&.

故答案為：5+5V2.

類型二：四邊形中對角互補模型

【典例2】在四邊形N5CO中，Z5+Z￡>=180°,對角線/C平分/3/D

D

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若/。48=120°,且/8=90°,試探究邊/。、48與對角線/。的數(shù)量關(guān)系為—

（2）如圖2,若將（1）中的條件“/B=90?！比サ?，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由;

（3）如圖3,若ND4B=90。，若4D=3,AB=7,求線段NC的長和四邊形48CD的面積.

【答案】（1）AD+AB=AC；

（2）成立，理由見解答；

（3）/C=5加，四邊形48co面積為25.

【解答】解：（1）VZ5+ZD=180°,NB=90°,

：.ZZ）=ZB=90o,

:對角線NC平分

ZDAC=ZBAC,

?：AC=AC,

：.RtAD^C^RtAS^C（AAS）,

:?AD=AB,

VZDAB=120°,

?■?ZDAC=jZDAB=60°，

AZDCA=30°,

AD-j-AC'

?'?AD=AB=yAC'

.\AD+AB=AC.

故答案為：AD+AB=AC,

(2)(1)中結(jié)論成立，理由如下:

以。為頂點，力。為一邊作NZC￡=60°,N4CE的另一邊交48延長線于點E,

由(1)可得：/CAB=60°,

VZBAC=60°,

AZAEC=60°,

ZCAB=ZBAC=AAEC,

???ZX/CE為等邊三角形，

：.AC=AE=CE,

VZD+ZABC=1^0°,NCBE+NABC=18O°,

/D=/CBE,

VZABC+ZD+ZDAC+ZDCB=360°,ZD+ZABC=\SO°,ZDAB=120°,

；./DCB=60°,

ZDCB=ZACE,

：.ZDCB-ZACB=AACE-/ACB,

：./DCA=/BCB,

:?ACAD/ACEB(44S),

：.AD=BE,

?；AC=AE=4B+BE,

：.AC=AD+AB,

(3)過點。作CEL4C交Z2延長線于點E,

???對角線/C平分NB/O,ZBAD=90°,

：?/CAE=NDAC=45°,

,JCELAC,

：.ZACE=90°,

—1800-ZACE-ZCAE=45°,

ZE=ZCAE,/E=/DAC,

:?AC=CE,

VZ^C+ZZ)=180°,ZABC+ZCBE=\S0°,

/D=/CBE,

?'.△ADCqAEBC(AAS),

:?AD=BE,

:?AE=AB+BE=AB+AD,

???/￡)=3,AB=7,

：.AE=10,

在RtZXZCE1中：

AC2+CE2=AE2,

；,AC=CE=5?

??SAACE卷X5血X5料=25，

LADC/LEBC,

??S/^ADC=S/^EBCJ

S四邊形ABCD=S/\ADC^-S^ACB=S/\EBC^S/\ACB=SACE=25.

【變式2-1】如圖，點尸(3加-1,-2加+4)在第一象限的角平分線OC上，5H點/在x軸正半軸上,

點2在y軸正半軸上.

(1)求點尸的坐標(biāo).

(2)當(dāng)N4PB繞點P旋轉(zhuǎn)時,

①。N+O8的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值.

②請求出。/2+05的最小值.

【答案】(1)P(2,2)；(2)①不變，值為4；②8.

【解答】解：(1)???點P(3m-1,-2m+4)在第一象限的角平分線OC上,

3m-1=-2加+4,

??加=1,

：.P(2,2)；

(2)①不變.

過點P作PM±y軸于M,PN1.OA于N.

*

X

VZPMO=ZPNO=ZMON=90°,PM=PN=2,

四邊形0MPN是正方形，

Z.ZMPN=900=AAPB,

：.ZMPB=ZNR4.

，ZMPB=ZNPA

在APMB和APNA中，，PM=PN，

ZPMB=ZPNA

:.叢PMB沿叢PNA(ASA),

：.BM=AN,

OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4,

②連接AB,

VZAOB=90°,

：.OA2+OB2=AB2,

VZBPA=90°,

：.AB2=PA1+PB~=2R42,

：.OA2+OB2=2B42,當(dāng)以最小時，0/2+082也最小.

根據(jù)垂線段最短原理，H最小值為2,

...0/2+082的最小值為8.

【變式2-2】四邊形/BCD若滿足N/+/C=180°,則我們稱該四邊形為“對角互補四邊形”.

(1)四邊形/BCD為對角互補四邊形，且N2：ZC：/。=2：3：4,則//的度數(shù)為

(2)如圖1,四邊形49C。為對角互補四邊形，ZBAD=ZBCD=9Q°,AB=AD.

求證：NC平分乙BCD.

小云同學(xué)是這么做的：延長CO至M使得連可證明△/2C附△/￡)跖得到是

等腰直角三角形，由此證明出NC平分/BCD,還可以知道C8、CD、C4三者關(guān)系為：；

(3)如圖2,四邊形4BCD為對角互補四邊形，且滿足N24D=60°,AB^AD,試證明：

①NC平分/BCD；

@CA^CB+CD-,

(4)如圖3,四邊形48CD為對角互補四邊形，且滿足N/8C=60°,AD=CD,貝UA4、BC、8。三者

關(guān)系為：?

【答案】(1)CD+BC=MAC；⑵CD+BC=42AC-,(3)①見解析；②見解析；(4)BC+AB=MBD.

【解答】解：(1)..?四邊形/3CD為對角互補四邊形，

AZB+ZD=180°,

VZB：ZC：Z￡>=2：3：4,

/.Z5=180°XA=60°,

3

AZC=90°,

.?.N/=90°,

故答案為：90°；

(2)。；AABC/AADM,

J.AC^AM,BC=DM,

CM是等腰直角三角形，

：.CM=yf2AC,

"：CM=CD+DM,

：.CM=CD+BC=?AC,

故答案為：CD+BC=MAC；

(3)①延長CD至M,使。初=8。，連接

???四邊形ABCD為對角互補四邊形，

???N2+N4DC=180°,

???AADM=/B,

?；AB=AD,

:.LABC咨LADM(SAS)f

：.AC=AM,/BAC=/DAM,

VZBAD=60°,

：.ZCAM=60°,

???△4CM是等邊三角形，

AZACM=ZM=60°,

/ACB=NM,

：.ZACB=60°,

/ACB=/ACM,

???4C平分N5cA

?U：AC=CM,BC=DM,

：.CM=CD+DM=CD+BC,

:?AC=CD+BC；

(4)延長BC至河，使CM=4B,連接QM,

四邊形ABCD為對角互補四邊形，

AZA+ZBCD=ZBCD+ZDCM=1SO°,

???NA=/DCM,

?：AD=CD,

:?△ADB/ACDM(SAS),

:?BD=MD,NADB=NCDM,

VZABC=60°,

ZADC=120°,

AZBDM=120°,

:?/M=/DBM=32°,

過點D作DNLBM交于點N,

???N為創(chuàng)/的中點，

:?BM=2MN,

在RtZXDMW中，MN=^-DM=^-BD,

22

:.BM=MBD,

,:BM=BC+CM=BC+AB=MBD,

故答案為：BC+AB=?BD.

圖3

圖2

類型三：梯形中位線定理

【典例3】在梯形4BCD中，AB//CD,AC、AD相交于點。，若/C=5,BD=12,中位線長為23,AAOB

2

的面積為S1,△<%>￡>的面積為S2,則歷+圾=.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：悴BE/IAC,

,:AB〃CE,

：.CE=AB,

???梯形中位線為6.5,

：.AB+CD=\?>,

:.DE=CE+CD=AB+CD=13,

,:BE=AC=5,BD=\2,由勾股定理的逆定理，

得△ADE為直角三角形，即/E3O=/COD=90°,

設(shè)SAEBD=S

則出：S=DO2：DB2

Si：S=OB2：BD2

?,?何+厄=立

；S=12X5X-l=30

2

二何+厄=倔?

故本題答案為：V30.

【變式3-1］如圖，在梯形/BCD中，AB〃CD,點、E、尸分別是40、2c的中點，如果48=2,EF=3,那

【解答】解：在梯形/BCD中，AB〃CD,點、E、尸分別是N。、8c的中點，

...E尸是梯形ABCD的中位線，

：.EF=1.CAB+CD),

2

:.CD=2EF-AB=6-2=4.

故答案為：4.

【變式3-2］如圖，Z)E是△/2C的中位線，〃是DE的中點，那么：皿1MH=

SAABC

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：連接設(shè)DN=X,

是△N8C的中位線，

:.DE=LBC,DE//BC,

2

又,：M是DE中點,

：.DM=1.DE,

2

:.DM=LBC,

4

又,：DM//BC,

J.DN-.BN=DM：BC,

：.DN：BN=1：4

.'.x：（x+」48）=1：4,

2

.'.AB=6x,

：.AN=2x,

S^DMN=-^S/\ADMJ

3

又,**S/\ADM=/\ADE；S/\ADE——S/\ABCy

24

??S/\DMN———*S*Ayi5C?

24

**?SADMN：S/\ABC=1：24.

血L.真題精練

1.如圖，△4BC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△/AD,使/402=120°,再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把

△C8D旋轉(zhuǎn)到則下列結(jié)論：

①。、4、E三點共線；

②DC平分/BDA；

③NE=NBAC；

?DC=DB+DA.

其中正確的有（）

B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【解答】解：如圖,

①設(shè)Nl=x度，則N2=(60-x)度，/DBC=(x+60)度，故N4=(x+60)度,

N2+N3+N4=60-x+60+x+60=180度,

：.D,A,E三點共線;

故①正確;

②；LBCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△/(?￡,

：.CD=CE,ZDCE=60°,

；.△(?￡)￡為等邊三角形,

—60°,

；./BDC=NE=60°,

：.ZCDA=nQ°-60°=60°,

：.DC平分/AD/；

故②正確;

③：/H4C=60°,

ZE=60°,

ZE=ZBAC.

故③正確;

④由旋轉(zhuǎn)可知NE=8。,

又；NZ>/E=[80。,

：.DE^AE+AD.

?.?△CDE為等邊三角形,

：.DC=DB+BA.故④正確；

故選：A.

2.如圖，ZUBC為等邊三角形，以48為邊向△48C外側(cè)作△48。，使得/4D8=120°,再以點C為旋

轉(zhuǎn)中心把△CAD沿著順時針旋轉(zhuǎn)至△C4E,則下列結(jié)論：

①￡）、/、￡三點共線；②△（?/）￡為等邊三角形；③DC平分N8D4；?DC=DB+DA,其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【解答】解：???△/8C為等邊三角形，

：.N4BC=NB4C=NACB=60°,

VZADB=120°,

；./1+/2=60°,

,/點C為旋轉(zhuǎn)中心把△CAD沿著順時針旋轉(zhuǎn)至

/.ZACB=60°,即旋轉(zhuǎn)角等于60°,CD=CE,ZCAE=ZCBD=Z1+ZCBA=Z1+6O0,

VZCAE+ZBAC+Z2=Zl+60°+60°+Z2=180°,即ND/E=180°,

:.D、A,E三點共線，所以①正確；

VZDCE^ZACB^60°,CD=CE,

為等邊三角形，所以②正確；

:△CDE為等邊三角形，

.-.Z4=60°,

.,.Z3=60°,

；.DC平分/BDA,所以③正確；

為等邊三角形，

：.CD=DE,

而點C為旋轉(zhuǎn)中心把△C2D沿著順時針旋轉(zhuǎn)至△C4E,

:.AE=DB,

：.DE=DA+AE=DA+BD,

：.DC=DB+DA,所以④正確.

故選：A.

E

3.如圖，正方形/SCO,點尸是對角線ZC上一點，連接BP,過P作。。交CD于0,連接80

交4。于G,若AP=如,0為CD中點，則下列結(jié)論:

?ZPBC=ZPQD；②BP=PQ：③/BPC=/BQC；④正方形45cZ）的面積是16；

C.2D.1

【答案】A

??,四邊形4BCZ）是正方形，

AZBCQ=90°,

?；PQ【PB,

：.ZBPQ=90°,

AZBPQ+ZBCQ=\SO°,

:?B、C、Q、尸四點共圓，

:?/PBC=/PQD,/BPC=/BQC,???①正確；③正確；

過尸作尸MJ_4。于M,PEL4B于E,。于R則及尸、尸三點共線

???四邊形是正方形,

:?AB=AD=DC=BC,NDAC=NBAC,ZDAB=90°,

AZMAE=ZPEA=ZPMA=90°,PM=PE,

???四邊形AMPE是正方形，

：.AM=PM=PE=AE,

:AP=?

.?.在RtZUE尸中，由勾股定理得：AE2+PE2=(5/2)2,

解得：AE=AM=PE=PM=1,

設(shè)AB=BC=CD=AD=a,

則BE=PF=a-1,

VZBEP=ZPFQ=ZBPQ=90°,

/.ZBPE+ZEBP=90°,NEPB+NFPQ=9Q°,

ZEBP^ZFPQ,

fZEBP=ZFPQ

在△AEP和△尸尸。中，BE=PF，

ZBEP=ZPFQ

:.ABEPmAPFQ(ASA),

：.PE=FQ=\,BP=PQ,.?.②正確；

?\DQ=l+\=2,

???。為CD中點,

???OC=2Z)0=4,

???正方形/BCQ的面積是4X4=16,???④正確；

故選：A.

4.如圖，/MON=90°,矩形45CZ)的頂點4、5分別在。河、ON上,當(dāng)點5在QN上移動時，點/隨

之移動，AB=2,BC=1,運動過程中，點。到點O的最大距離為.

【解答】解：如圖，取48的中點連接QD、OE、DE,

VZMON=90°,AB=2,

：.0E=4E=LB=1,

2

：BC=1,四邊形48co是矩形，

：.AD=BC=1,

22

'-DE=,\/AD+AE=我'

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，ODWOE+DE,

.?.當(dāng)過點￡時，等號成立，的值最大，最大值為J5+1.

故答案為：V2+1-

5.如圖，在△NBC中，ZC=90°,AC=6,BC=3,點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點N在x軸上運動

時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點2到原點的最大距離是.

冰B

qA'x

【答案】3+372.

【解答】解：如圖，取CN的中點。，連接OD、BD,

則O￡）=C￡）=A/4C=AX6=3,

22=3

由勾股定理得，5￡>=^3+3V2;

當(dāng)。、D、8三點共線時點8到原點的距離最大,

所以，點3到原點的最大距離是3+36.

故答案為：3+3V2.

Ax

6.如圖，Rd/03的兩直角邊。4,分別在x軸和y軸上，且點/,3的坐標(biāo)分別是（3,0）和（0,4）,

點C是半圓ACB上任意一點，則點O,C的最大距離為.

【答案】5.

【解答】解：取48中點D連接OD,CD.

點。是RtAAOB斜邊AB的中點，

/.0口號皿，AB2=OA2+OB2,

.".AB=5,

TAB是半圓ACB的直徑，

ZACB=90°,

丁點。是RtZUCS斜邊48的中點，

；?CD^^AB

當(dāng)點O、D、C共線時，0c的值最大，OC的最大值為OC=OD+CO=5.

故答案為：5.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的等邊三角形/8C的頂點月，8分別在x軸正半軸和y軸正半軸

上運動.

(1)當(dāng)0B=l時，點C的坐標(biāo)為；

【解答】解：(1)如圖，如圖，取的中點￡,連接C￡,OE,

y

VZAOB=90°，點E是43的中點，AB=2,

.\OE=BE=AE=\,Z0={研2_0^2=J4-]=?,

：,OB=OE=BE=\,

/\AOB是等邊三角形，

：?NOBA=60°,

：.ZBAO=30°,

???△48。是等邊三角形，

：.AB=AC=2,ZBAC=60°,

：.ZCAO=90°,

...點C坐標(biāo)為(JE，2),

答案為：(我，2)；

(2)如圖，是等邊三角形，點E是43的中點，

:.CE1AB,

CE-{AC2-AE2='4-1=V3,

在△OEC中，OE+CE>OC,

當(dāng)點E在。C上時，OC的最大值為1+我，

故答案為：1+百.

8.如圖.△48C中，ZC=90°,AC=2,BC=\,頂點N、C分別在x軸、了軸的正半軸上滑動.

(1)AB=；

(2)若點。是ZC的中點.則點。在運動過程中經(jīng)過的路徑長為;

(3)點8到原點。的最大的距離是.

【答案】(1)通;

（2）―；

2

（3）V2+1.

【解答】解：（1）「△/BC中，ZC=90°,AC=2,BC=\,

AB=VAC2+BC2=^22+12=V5，

故答案為：Vs；

;點。是/c的中點.

:頂點/、C分別在x軸、y軸的正半軸上滑動，

...點。的運動軌跡是以。為圓心，半徑為1的在第一象限的圓弧,

/.點D在運動過程中經(jīng)過的路徑長為9°兀*1工,

1802

故答案為：2L；

2

：.O,B,。三點共線時，02最大,

..1

?OD=CD=yXAC=r

BD=VBC24CD2=V12+12=V2，

.??OB=BD-H3D=V2+1；

故答案為：V2+1.

9.在學(xué)習(xí)三角形中位線定理時，小麗發(fā)現(xiàn)作以下輔助線能夠證明三角形中位線定理.

已知：如圖1,在△ABC中，點、D,E分別是邊/C的中點，連接?！?

求證：DE//BC,

證明：(小麗的輔助線作法)延長DE到尸，使EF=DE,連接。C、AF、FC.-

(1)請在圖1中畫出小麗所說的輔助線，并補全三角形中位線定理的證明過程；

(2)三角形中位線定理應(yīng)用：如圖2,在梯形/BCD中，AD〃BC,點、E,尸分別是CD的中點,

則線段EF,3c之間的數(shù)量關(guān)系是.

圖1圖2

【答案】(1)證明見解析；(2)EF=L(AD+BC),理由見解析.

2

【解答】(1)證明：如圖1,延長DE到尸，使EF=DE,連接。C、AF、FC,

是4C中點，

：.AE=EC,

四邊形ADCF是平行四邊形，

J.AD//CF,AD=CF,

?.?。是4D中點，

：.AD=BD,

：.BD=CF,

\'BD//CF,

...四邊形DBCF是平行四邊形，

J.DE//BC,DF=BC,

,:DE=LDF,

2

:.DE=LBC；

2

(2)解：如圖2,線段EF,3c之間的數(shù)量關(guān)系：EF=\QAD+BC),理由如下:

2

連接AF并延長交BC延長線于G,

；AD〃BC,

：.ZD=ZFCG,ZDAF=ZG,

:尸是。C中點,

：.FD=FC,

:.△4DF妾AGCF(AAS),

：.AF=FG,AD=CG,

；E是AB中點，

；.EF是/XABG的中位線，

:.EF=LBG,

2

'：BG=BC+CG=BC+AD,

：.EF=1.(AD+BC).

2

故答案為：EF=1(AD+BC).

2

10.如圖，正方形N8CZ)中，點￡,/分別是邊48,8C上的兩個動點，且正方形N8CD的周長是△8EF

周長的2倍.連接。E,。下分別與對角線/C交于點M,N.

(1)若AE=2,CF=3,求跖的長；

(2)求證；ZEFN+ZEMN=1SO°；

(3)若典=2,BE=3,求EF的長.

【答案】(1)EF=5；

(2)證明見解析；

(3)E尸=2?.

【解答】解：(1):正方形/3CO的周長是ABE尸周長的2倍,

BE+BF+EF=AB+BC,

：.EF=AE+FC,

若4E=2,CF=3,

則跖=2+3=5；

（2）如圖，在四的延長線上取點H,使得4H=CF,

在正方形ABCD中，AD=CD,NHAD=NFCD=90°,

'AD=CD

在△4HD和△CKD中，，ZHAD=ZFCD-

AH=CF

△AHD/ACFD(SAS),

Z.ZCDF=ZADH,HD=DF,ZH=ZDFC,

,;EF=AE+CF,

：.EF=AE+AH=EH,

'DH=DF

在△￡＞四和△￡＞￡尸中，＜DE=DE

EH=EF

:ADEgADEF(SSS),

AHDE=AFDE,/H=/EFD,NHED=NFED,

:NCDF+/ADF=ZADH+ZADF=/HDF=9Q°,

ZEDF=ZHDE=45°,

?：NH=NDFC=NDFE,NEMN=NHED+/EAM=45°+ZDEF,

：.ZEFN+ZEMN=ZDFC+450+ZDEF=ZDFE+ZEDF+