中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：幾何五大最值問(wèn)題（含答案及解析）

中考幾何五大最值問(wèn)題

?^模型解密

模型一:將軍飲馬問(wèn)題

1.

己知:如圖，定點(diǎn)分布在定直線Z兩側(cè)；

要求：在直線I上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小

解:連接4B交直線I于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求，

PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度

理由:在，上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P',連接AP'、BP',

在中，AP'+BP'>AB,即AP'+BP,>AP+BP

：.P為直線AB與直線，的交點(diǎn)時(shí)，P4+PB最小.

2.

已知:如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)3在定直線Z的同側(cè)

要求:在直線，上找一點(diǎn)P,使得PA+PB值最小

（或△4班的周長(zhǎng)最?。?/p>

解:作點(diǎn)A關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B交，于P,

點(diǎn)P即為所求；

理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知直線I為線段'的中垂線，

由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA',要使PA+PB最小，則

需PA'+PB值最小,從而轉(zhuǎn)化為模型1.

方法總結(jié)：

1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;

3.中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短.

模型二:阿氏圓問(wèn)題

阿氏圓問(wèn)題

問(wèn)題:求解“AP+類加權(quán)線段和最小值

方法:①定:定系數(shù),并確定是半徑和哪條線段的比值

②造：根據(jù)線段比,構(gòu)造母子型相似

③算:根據(jù)母子型結(jié)論,計(jì)算定點(diǎn)位置

④轉(zhuǎn):“AP+nPB”轉(zhuǎn)化為“AP+PM”問(wèn)題

關(guān)鍵:①可解性:半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)

②系數(shù)小于1:內(nèi)部構(gòu)造母子型

③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型

模型三:胡不歸問(wèn)題

識(shí)別條件:動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線（或線段）

方法：

1、將所求線段和改為kAP+BP的形式（卜<1）

2、作ACAD=。,使sinJ=k

3、過(guò)點(diǎn)B作跳；，40交人。于點(diǎn)。

4、kAP+BP的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長(zhǎng)

注意:當(dāng)k>1時(shí)，kAP+BP=k（AP+^BP）按常規(guī)模型算即可

模型四:隱圓

（一）：定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓

點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且長(zhǎng)度固定，

則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)人為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓。

（二）:點(diǎn)圓最值

已知平面內(nèi)一定點(diǎn)。和口O,點(diǎn)E是口。上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。與點(diǎn)。之間距離為d,口。半徑為r.

位置關(guān)系點(diǎn)。在圓。內(nèi)點(diǎn)。在圓。上點(diǎn)。在圓。外

0

圖示

DE的最大值d+r2rd+r

此時(shí)點(diǎn)E的位置連接DO并延長(zhǎng)交口。于點(diǎn)E

DE的最小值r—d0d—r

連接OD并延長(zhǎng)交

此時(shí)點(diǎn)E的位置點(diǎn)E與點(diǎn)。重合連接OD交。于點(diǎn)E

□O于點(diǎn)E

(三)定弦定角解決問(wèn)題的步驟：

⑴讓動(dòng)點(diǎn)動(dòng)一下,觀察另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段弧。

(2)找不變的張角(這個(gè)時(shí)候一般是找出張角的補(bǔ)角)，(這個(gè)補(bǔ)角一般為60、45)

(3)找張角所對(duì)的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓,確定圓心位置

(4)計(jì)算隱形圓的半徑

(5)圓心與所求線段上定點(diǎn)的距離可以求出來(lái)

(6)最小值等于圓心到定點(diǎn)之間的距離減去半徑

模型五:費(fèi)馬點(diǎn)

【費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題】

問(wèn)題:如圖1,如何找點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最?。?/p>

圖文解析：

如圖1,把△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至U/XA'P'C,連接PP'.則△CPP

為等邊三角形，CP=PP,PA=P'A',

/.PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'BC.

?.?點(diǎn)4可看成是線段CA繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BA'為定長(zhǎng)

/.當(dāng)B、P、P、A'四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小.最小值為BA：

【如圖1和圖2,利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段.】

/.AAPC=ZA'P'C=180°-ZCP'P=180°-60°=120°,

NBPC=180°—4PPC=180°-60°=120°,

/APC=360°-ZBPC-/APC=360°-120°-120°=120°.

因此，當(dāng)△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120°；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等

于120°時(shí),所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，

解決問(wèn)題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換.

【方法總結(jié)】利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段，將三條線段轉(zhuǎn)化成首尾相連的三條線段.

【知識(shí)應(yīng)用】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.

典例分析

模型一:將軍飲馬問(wèn)題

題目刀如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6,腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC,AB于點(diǎn)E,F,。

為BC邊的中點(diǎn)，河為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若△CZW的周長(zhǎng)的最小值為13,則等腰三角形ABC的面積為

()

c

題旦⑨已知AAOB=30°,在AAOB內(nèi)有一定點(diǎn)P,點(diǎn)、M,N分別是。4,上的動(dòng)點(diǎn)，若"MN的周長(zhǎng)

最小值為3,則OP的長(zhǎng)為（）

遮目§如圖所示，在△ABC中，乙4BC=68°,B。平分/ABO,P為線段3。上一動(dòng)點(diǎn)，Q為邊AB上一

動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+PQ的值最小時(shí)，乙4PB的度數(shù)是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

題目工］如圖，正方形ABCD中ANCD=22.5°,點(diǎn)P是C7V上一點(diǎn)，若CD=8,CM=V2,則PM+PD的最

題目可如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,河在。。上，且。河=2,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+AW的最

小值為.

題目向如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)、E、F、H分別是邊AD,AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，若

題目⑺如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)3是3。邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，則四

邊形BEFG周長(zhǎng)的最小值為.

題目回如圖,菱形草地ABCD中,沿對(duì)角線修建60米和80米兩條道路［AC<BD),M、N分別是草地邊

BC、CD的中點(diǎn)，在線段BD上有一個(gè)流動(dòng)飲水點(diǎn)P,若要使JW+PN的距離最短,則最短距離是

米.

:題目回如圖，在等邊△ABC中，于D,AD=3cm.點(diǎn)P,Q分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP

=AQ=1cm,點(diǎn)Af為線段BD上一動(dòng)點(diǎn),連接PM,QM，則PM+QM的最小值為cm.

題目叵如圖，在中，乙民4。=90°,AB=3,AC=4,EF垂直平分BO,點(diǎn)P為直線EF上任意一

點(diǎn)，則AP+BP的最小值是

E

模型二:阿氏圓問(wèn)題

題目兀如圖，在RtZVLBC中，乙4cB=90°,CB=7,AC=9,以。為圓心、3為半徑作。C,P為0。上

一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則：4P+BF的最小值為()

O

C.4+V10D.2V13

題目叵如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(4,0),P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OP=2,連接AP,BP,

則BP+yAP的最小值是.

頷目包如圖，在。。中，點(diǎn)4點(diǎn)B在。。上，乙4OB=90°,。4=6,點(diǎn)。在OA上，且OC=2AC,點(diǎn)。

是。8的中點(diǎn),點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為.

:題目14如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為。。，P是。。上一動(dòng)點(diǎn),則V2PA+PB的最小值為

題目也如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD——PC的

最大值為.

題目逗如圖，在7?必48。中，AB=AC=4,點(diǎn)分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的前上

任意一點(diǎn)，連接BP,CP,則yBP+CP的最小值是.

題目互）如圖，點(diǎn)4B在。。上，且。4=OB=6,且。4LOB,點(diǎn)。是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)。在OB上，且

。0=4,動(dòng)點(diǎn)P在?O上.求2PC+P。的最小值.

模型三:胡不歸問(wèn)題

鶻目,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=乎乎2一代的圖象與c軸交于點(diǎn)4。兩點(diǎn)，與夕

軸交于點(diǎn)B,對(duì)稱軸與c軸交于點(diǎn)。，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,則3PB+PD的最小值為

（）

題§T19i如圖，在4ABC中，ABAC=90°,=60°,AB=4,若。是3。邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+的最小

值是（）

題目遠(yuǎn)］如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)"=/—2a;+c的圖象與立軸交于4。兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)口

（0,—3）,若P是2軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0（0,1）在沙軸上，連接PO,則①D+PC的最小值是（）

A.4B.2+2ypiC.2A/2^D.~F

/O

題目互］如圖，在A4BC中，/A=90°,/B=60°,4B=2,若。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值

A.2V3+6B.6C.A/3+3D.4

題目包|如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=鼻-V3分別交c軸、夕軸于A、5兩點(diǎn)，若。為立軸上

O

的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為.

題目區(qū)|如圖，UABCD中/A=60°,=6,AD=2,P為邊CD上一點(diǎn)，則V3PD+2PB的最小值為

題目區(qū)j如圖，在△ACE中，CA=CE,/CAE=30°,半徑為5的。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，CE是圓。的切線,且圓的

直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則OD+~CD的最小值為.

題目區(qū)［如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線,分別交C、沙軸于8、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0).(0.

—3),且40cB=60°,點(diǎn)P是直線I上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,則AP+乎PC的最小值是.

題耳㈤已知拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)過(guò)點(diǎn)力(1,0),5(3,0)兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)C,。。=3,

備用圖

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為拋物線上位于直線BC下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：AQ+^-CQ是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值;若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

模型四:隱圓

題目互如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是正方形4BCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是3。邊上的動(dòng)點(diǎn)，且

NEAB=/EBC.連結(jié)則PD+PE的最小值為（）

D

D.2V15-2

【題目亟如圖，四邊形ABCD為矩形，=3,=4.點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)〃■為線段AP上一

點(diǎn).則■的最小值為（

12

A，—2B-TC.V13—D.V13-2

題目包如圖，Rt^ABC中，AB，,4B=8,BC=6,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足APAB=

/PBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）

10

B

B.2C.2V13-6D.2V13-4

題目?如圖，在RtAABC中，乙4cB=7?￡/,AC=8cm,BC=3cm.。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

40,過(guò)點(diǎn)。作CELAD于E,連接BE,在點(diǎn)。變化的過(guò)程中，線段BE的最小值是()

題目［3?1如圖,菱形ABCD邊長(zhǎng)為4,/A=60°,M是AD邊的中點(diǎn)，N是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將4AMN沿

MN所在的直線翻折得到△人如W,連接4C,則4。的最小值是()

［題目叵如圖，矩形ABCD中4B=3,BC=四,E為線段4B上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,則^-AE+CE的最小值

題目應(yīng)I如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,O),B(O,6),。為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，及7=22,"■為線段AC的

中點(diǎn)，連接■，當(dāng)。加■取最大值時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

題目亙|如圖,在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)H、F分別是邊AB.BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=4,點(diǎn)G是

EF的中點(diǎn)，AG、CG,則四邊形AGCD面積的最小值為.

題目與fj如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2通,=2,點(diǎn)E是。。邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將4BEC沿直線BE折疊,

使點(diǎn)。落在點(diǎn)F處,則點(diǎn)。到點(diǎn)F的最短距離為.

題目畫］如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上,且線段EF=4,點(diǎn)G

為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG,則BG+-j-CG的最小值為.

題目亙?nèi)鐖D，③。的半徑為2,弦AB=2,點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，入。，4。交直線。3于點(diǎn)。,則

△ABC的最大面積是.

12

38］如圖，AB是半圓。的直徑,點(diǎn)。在半圓。上，AB=13,AD=5,。是弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接

A。,過(guò)。點(diǎn)作DHLAC于H.連接BH,在點(diǎn)。移動(dòng)的過(guò)程中，AH■的最小值是.

、題目亙］如圖，。Af的半徑為4,圓心及■的坐標(biāo)為（5,12），點(diǎn)P是。M■上的任意一點(diǎn)，PA，PB,且P4、

PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則AB的最小值為

題目互|如圖,在矩形ABCD中，AB=2,=3,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE，BE,則線段CE的

模型五:費(fèi)馬點(diǎn)

題目。如圖，在△ABC中，/CAB=90°,AB=AC=1,P是△AB。內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值

為.

題目藥如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點(diǎn)加■為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為3。邊上任意一點(diǎn)，則M4+

MD+ME的最小值為.

題目圣如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=6,且/48。=60°■是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接41/,3河,

13

CM,則AM+BM+CM的最小值為.

If國(guó)【問(wèn)題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶?德?費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題:求作三角

形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將△4PC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到/XAPC,則可以構(gòu)造出等邊△APP',

得AP=PP,CP=CF',所以P4++PC的值轉(zhuǎn)化為PP'+PB+P'。'的值，當(dāng)B,P,P,C四點(diǎn)共線

時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)P為ZVIBC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

(1)【拓展應(yīng)用】

如圖1,點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),連接PA,PB,PC,將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C.

①若P4=3,則點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離是；

②當(dāng)P4=3,PB=5,PC=4時(shí)，求乙4PC'的大?。?/p>

(2)如圖2,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且/A4C=90°,AB=6,人。=2，§,求PA+PB+PC的最小值.

A

—

中考幾何五大最值問(wèn)題

?^模型解密

模型一:將軍飲馬問(wèn)題

1.

己知:如圖，定點(diǎn)分布在定直線Z兩側(cè)；

要求：在直線I上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小

解:連接4B交直線I于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求，

PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度

理由:在，上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P',連接AP'、BP',

在中，AP'+BP'>AB,即AP'+BP,>AP+BP

：.P為直線AB與直線，的交點(diǎn)時(shí)，P4+PB最小.

2.

已知:如圖，定點(diǎn)A和定點(diǎn)3在定直線Z的同側(cè)

要求:在直線，上找一點(diǎn)P,使得PA+PB值最小

（或△4班的周長(zhǎng)最?。?/p>

解:作點(diǎn)A關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B交，于P,

點(diǎn)P即為所求；

理由：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知直線I為線段'的中垂線，

由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA',要使PA+PB最小，則

需PA'+PB值最小,從而轉(zhuǎn)化為模型1.

方法總結(jié)：

1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;

3.中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短.

模型二:阿氏圓問(wèn)題

阿氏圓問(wèn)題

問(wèn)題:求解“AP+類加權(quán)線段和最小值

方法:①定:定系數(shù),并確定是半徑和哪條線段的比值

②造：根據(jù)線段比,構(gòu)造母子型相似

③算:根據(jù)母子型結(jié)論,計(jì)算定點(diǎn)位置

④轉(zhuǎn):“AP+nPB”轉(zhuǎn)化為“AP+PM”問(wèn)題

關(guān)鍵:①可解性:半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)

②系數(shù)小于1:內(nèi)部構(gòu)造母子型

③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型

模型三:胡不歸問(wèn)題

識(shí)別條件:動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線（或線段）

方法：

1、將所求線段和改為kAP+BP的形式（卜<1）

2、作ACAD=。,使sinJ=k

3、過(guò)點(diǎn)B作跳；，40交人。于點(diǎn)。

4、kAP+BP的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長(zhǎng)

注意:當(dāng)k>1時(shí)，kAP+BP=k（AP+^BP）按常規(guī)模型算即可

模型四:隱圓

（一）：定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓

點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且長(zhǎng)度固定，

則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)人為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓。

（二）:點(diǎn)圓最值

已知平面內(nèi)一定點(diǎn)。和口O,點(diǎn)E是口。上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。與點(diǎn)。之間距離為d,口。半徑為r.

位置關(guān)系點(diǎn)。在圓。內(nèi)點(diǎn)。在圓。上點(diǎn)。在圓。外

0

圖示

DE的最大值d+『2rd+r

此時(shí)點(diǎn)E的位置連接DO并延長(zhǎng)交口。于點(diǎn)E

OE的最小值r—d0d—r

連接OD并延長(zhǎng)交

此時(shí)點(diǎn)E的位置點(diǎn)E與點(diǎn)。重合連接。。交。于點(diǎn)E

口O于點(diǎn),E

（三）定弦定角解決問(wèn)題的步驟:

(1)讓動(dòng)點(diǎn)動(dòng)一下，觀察另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段弧。

(2)找不變的張角(這個(gè)時(shí)候一般是找出張角的補(bǔ)角)，(這個(gè)補(bǔ)角一般為60°、45°)

(3)找張角所對(duì)的定弦，根據(jù)三點(diǎn)確定隱形圓,確定圓心位置

(4)計(jì)算隱形圓的半徑

(5)圓心與所求線段上定點(diǎn)的距離可以求出來(lái)

(6)最小值等于圓心到定點(diǎn)之間的距離減去半徑

模型五:費(fèi)馬點(diǎn)

【費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題】

問(wèn)題:如圖1,如何找點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最小？

圖文解析：

PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'BC.

?.?點(diǎn)4可看成是線段C4繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BA'為定長(zhǎng)B

.?.當(dāng)B、P、P、4四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小.最小值為BAJA__-,/八，

【如圖1和圖2,利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段.】

：.AAPC=AA'P'C=180°-2^^=180°-60°=120°,/

ZBPC=180°-AP'PC=180°-60°=120°,R--------

ZAPC=360°-ZBPC-AAPC=360°-120°-120°=120°.

因此，當(dāng)△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120°；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等

于120°時(shí),所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，

解決問(wèn)題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換.

【方法總結(jié)】利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段，將三條線段轉(zhuǎn)化成首尾相連的三條線段.

【知識(shí)應(yīng)用】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.

色/典例分析

模型一:將軍飲馬問(wèn)題

題目①如圖，等腰三角形ABC的底邊3。長(zhǎng)為6,腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC,4B于點(diǎn)及F,。

為BC邊的中點(diǎn)，河為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，若△CDM的周長(zhǎng)的最小值為13,則等腰三角形ABC的面積為

c

B.39C.42D.30

【答案】。

【詳解】如圖，連接AD,交EF于點(diǎn)M.

?//\ABC是等腰三角形，。是邊的中點(diǎn)，

AD_LBC,CD=^BC=3.

EF是線段AC的垂直平分線，

.?.點(diǎn)。關(guān)于直線班1的對(duì)稱點(diǎn)為A,AM=CM,

：.此時(shí)4CDM的周長(zhǎng)最小，

CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13,

：.AD=13—CD=13—3=10,

SAABC=^-BC-AD=yX6x10=30.

題目為已知ZAOB=30°,在AAOB內(nèi)有一定點(diǎn)P,點(diǎn)、M,N分別是上的動(dòng)點(diǎn)，若APMN的周長(zhǎng)

最小值為3,則OP的長(zhǎng)為（）

D.3V2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，求出。。=06=0。，/。。七=60°,得出等邊三角形。0后,求出

?！?3,求出AP7W的周長(zhǎng)=￡>E,即可求出答案.

【詳解】解:作P關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)。，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)E,連接?！杲?。4于交08于N,連接

PM,PN,則此時(shí)△PA4N的周長(zhǎng)最小,

連接。D,OE,

關(guān)于。4對(duì)稱，

：.OD=OP,PM=DM,

同理OE=OP,PN=EN,

：.OD=OE=OP,

???P、O關(guān)于。4對(duì)稱，

??.OA_LPDf

'：OD—OP,

???ADOAPOA,

同理

???/DOE=2AAOB=2x30°=60°,

；OD=OE,

.?.△DOE是等邊三角形，

:.DE=OD=OP,

?：&PMN的周長(zhǎng)是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3,

.?.OP=3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問(wèn)題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形.

題目§如圖所示，在△ABC中，/4BC=68°,BD平分/4BC,P為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，Q為邊上一

動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4P+PQ的值最小時(shí)，ZAPB的度數(shù)是()

A.118°B.1251C.136°D.124°

【答案】。

［分析】先在上截取BE=BQ,連接PE,證明APBQnAPBE(SAS)，得出PE=PQ,說(shuō)明4P+PQ

=AP+PE,找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且AE_LBC時(shí)，4P+PE最小，即AP+PQ最小，過(guò)點(diǎn)A作

AE，BC于點(diǎn)E,交口。于點(diǎn)P,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解:在BC上截取BE=BQ,連接PE,如圖：

BD平分/ABC,AABC=68°,

A/ABD=ACBD=yZABC=34°,

■：BP=BP,

：.APBQnAPBE(SAS),

PE=PQ,

：.AP+PQ-AP+PE,

：.當(dāng)A、P、E在同一直線上，且AELBC時(shí)，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過(guò)點(diǎn)A作力ELBC于點(diǎn)

E,交BD于點(diǎn)P,如圖：

?//AEB=90°,2CBD=34°,

/APB=NAEB+ACBD=124°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三

角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使AP+PQ最小時(shí)點(diǎn)P的位置.

題目4I如圖,正方形ABCD中/M7D=22.5°,點(diǎn)P是CN上一點(diǎn)，若CD=8,CM=則_FW+PD的最

小值是.

【答案】5g

【分析】連接AC,在AC上取一點(diǎn)M,使CM'=CM=V2,連接PM',DM',結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，可得

PM+PD=PM'+PM>M'D,可確定PM+PD的最小值是M'D的長(zhǎng)，再求出M'D的長(zhǎng)即可.

【詳解】解:連接AC,在AC上取一點(diǎn)M',使CM'=CM=2，連接PM',DM',過(guò)點(diǎn)W作M'E_LCD于點(diǎn)

E,

?.?四邊形48co是正方形，

乙4CD=45°,

?//NCD=22.5°,

AM'CP=AMCP,

在AM'CP和4MCP中,(ZM'CP=ZMCF,

[CP=CP

：./\M'CP空/\MCP(SAS),

:.PM'=PM,

：.PM+PD=PM'+PM>M'D,

：.PM+PD的最小值是M'D的長(zhǎng).

在Rt^M'CE中,CM'=V2,AM'CE=45°,即AM'CE為等腰直角三角形,

:.M'E=CE=1,

?:CD=8,

:?DE=CD—CE=7,

在Rt/XM'DE中,

由勾股定理,得M'D=^/M'E2+DE2=Vl2+72=5V2,

APM+PD的最小值是5V2.

故答案為：52.

【點(diǎn)睛】本題考查最短路線問(wèn)題，解題中涉及正方形的性質(zhì)，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性

質(zhì)，根據(jù)“將軍飲馬問(wèn)題”利用軸對(duì)稱將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用一條線段的長(zhǎng)表示PM+PD的最小值是解題的關(guān)

鍵.

題目回如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,加在。。上，且ZW=2,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則。N+M7V的最

小值為.

【答案】10

【分析】要求DN+朋N的最小值，DN,朋N不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化。N,MN的值,確定最

小值為的長(zhǎng)度，再由勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解:如圖所示，

?.?正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)。是關(guān)于直線力。為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，

連接BN,BD,則直線AC即為BD的垂直平分線，

：.BN=ND,

：.DN+MN=BN+MN,

連接交AC于點(diǎn)P,

；點(diǎn)、N為上的動(dòng)點(diǎn)，

由三角形兩邊之和大于第三邊，

知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，

DN+MN=BP+MP=BM,DN+MN的最小值為BM的長(zhǎng)度.

四邊形ABCD為正方形，

:.BC=CD=8,CM=8—2=6,

ABCM=90°,BM=YBClCM?=V82+62=10,

即ON+MN的最小值為10.

故答案為：10

【點(diǎn)睛】本考查正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的難點(diǎn)在于確定滿足條件的點(diǎn)

N的位置：利用軸對(duì)稱的方法.然后熟練運(yùn)用勾股定理.

可如圖,正方形中，點(diǎn)G是BC邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)E、F、H分別是邊AD、AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，若

【分析】如圖，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Gi,作點(diǎn)Gi關(guān)于4D的對(duì)稱點(diǎn)G2，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G3,連

接G2G3交AB于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)E,連接EG,,交CD于點(diǎn)連接HG、FG,四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小，

求出此時(shí)GF即可.

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)G關(guān)于。。的對(duì)稱點(diǎn)Gi,作點(diǎn)G關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Gz,作點(diǎn)G關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)

G3,連接G2G3交AB于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)E,連接EG,交CD于點(diǎn)H,連接HG、FG,四邊形EFGH的周長(zhǎng)

最小，

由對(duì)稱的性質(zhì)知，GH=G1H,

：.HG+EH=GH+EH>EG］，當(dāng)E、H、三點(diǎn)、頭線時(shí)HG+EH=EG,值最小；

同理可得：GH+EH+EF+FOG2G3,

、、、

當(dāng)G2EFGS四點(diǎn)點(diǎn)共線時(shí)GH+EH+EF+FG=G2G3值最?。?/p>

CG=；BC=1,正方形ABCD是正方形；

:.BC=CD=4,AD//BC,/BCD=90°

由對(duì)稱的性質(zhì)知，CGFCG=\,BG§=BG=3,2BC=8,GG=2cp=8,/^3^2=90°,

.?./G3=/G2=45°,

?：FG^FG3,

：.AFGG3是等腰直角三角形，

：.BF=BG=^-GG3=3.

GF=yjBF'+BG2=V32+32=3V2

故答案為：32.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用作軸

對(duì)稱圖形解決最值問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

題目［7）如圖,在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn),則四

邊形BEFG周長(zhǎng)的最小值為

【答案】24

【分析】作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G',作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B,連接BE、FG',根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)

可得BE=BE,FG=FG,再由BE+EF+FG+BG=BE+EF+FG'+BG,B'E+EF+FG'>BG',

可得當(dāng)BE+EF+FG'=BG'時(shí),四邊形BEFG的周長(zhǎng)有最小值，最小值為BG+BG',再利用勾股定理

求得RG=20,最后利用BG+B'G'即可求解.

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G',作點(diǎn)8關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn),連接呂G'、B'E、FG',

?：BE=B!E,FG=FG',

BE+EF+FG+BG^B'E+EF+FG'+BG,

?：B'E+EF+FG'>BG',

當(dāng)PE+EF+FG'=B'G'時(shí)，四邊形BEFG的周長(zhǎng)有最小值，最小值為BG+B'G',

???BG=CG=CG'=加。=4,AB=8,

ABP=AB+AB,=16,BG'=BC+CG'=8+4=12,

BG'=y/BG'2+BB'2=V122+162=20,

BG+EG'=4+20=24,

四邊形BEFG的周長(zhǎng)的最小值為24,

故答案為：24.

BGc""Gr

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，

構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵.

題目0如圖，菱形草地ABCD中，沿對(duì)角線修建60米和80米兩條道路(AC<BD),M、N分別是草地邊

BC、CD的中點(diǎn)，在線段BD上有一個(gè)流動(dòng)飲水點(diǎn)P,若要使JW+PN的距離最短,則最短距離是

米.

【答案】50

【分析】作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接NQ,交BD于P,連接皿P,當(dāng)P點(diǎn)與P重合時(shí)，皿F+=

+NP'=NQ的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出BC長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】解:作n關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接NQ,交BD于P,連接MF',

當(dāng)P點(diǎn)與P重合時(shí)，皿P+NP=A1P'+NP'=NQ的值最小，力

?.?四邊形ABCD是菱形，

:.AC上BD,4QBP=/MBP,

?：MQ±BD,

AAC//MQ,

.?.Al為BC中點(diǎn)，C

：.Q為AB中點(diǎn)，

???N為CD中點(diǎn)，四邊形48co是菱形，

??.BQ//CD,BQ=CN,

四邊形BQNC是平行四邊形，

:.NQ=BC,

設(shè)AC與的交點(diǎn)為點(diǎn)O,

?.?四邊形ABCD是菱形，

AC±BD,OC=,AC=30米，OB=］BO=40米，

ABC="以+。。2=50米，

.?.PAf+PN的最小值是50米.

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此

題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱找出P的位置.

題目切如圖,在等邊448。中，5。，人。于。，人0=3011.點(diǎn)9,心分別為48,人。上的兩個(gè)定點(diǎn)且現(xiàn)3

=AQ=1cm,點(diǎn)河為線段BD上一動(dòng)點(diǎn),連接PM,QM，則PM+QM的最小值為cm.

【答案】5

［分析］如圖所示，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)尸，且點(diǎn)P在3。上，則PM+QM^P'M+QM,當(dāng)P,跖Q在

同一條直線上時(shí)，有最小值，證明四邊形PPQ4是平行四邊形，尸Q=AP=AB—BP,由此即可求解.

【詳解】解:如圖所示，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)尸，

AABC是等邊三角形,BDd_AC,

：./.ABD=Z.DBC=jZABC=yX60°=30°,

；.點(diǎn)、P在BC上,

：.PM=PM,則PM+QM=PM+QM,當(dāng)Q在同一條直線上時(shí)，有最小值，

；點(diǎn)、P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P,AABD=ADBC=30°,

PP_LBM,BP=BP'=1cm,4

.../BPP=6O。，7\

.?.△BP/是等邊三角形，即/B戶P=NC=60°,/

.?.PP7/47,JLPP=4Q=lcm,//\D

四邊形。尸。4是平行四邊形，/

：.P'Q=AP=AB-BP,\

在RtdABD中，AABD=30°,AD=3,1^1.\

BpC

??.48=240=2X3=6,

ff

.?.AP=PQ=PM+QM=PM+QM=AB-BP=6-l=5f

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與等邊三角形，對(duì)稱一最短路徑，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，理解并掌握

10

等邊三角形得性質(zhì)，對(duì)稱一最短路徑的計(jì)算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目改I如圖，在/\ABC中，/BAG=90°,AB=3,AC=4,EF垂直平分BC,點(diǎn)P為直線EF上任意一

點(diǎn)，則AP+BP的最小值是.

【答案】4

【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BP=P。，可得當(dāng)點(diǎn)A,P,。在一條直線上時(shí)，PA+BP有最小值,

最小值為4。的長(zhǎng).

【詳解】解:連接PC.

是的垂直平分線，

：.BP=PC,

：.PA+BP^AP+PC,

：.當(dāng)點(diǎn)力，P,。在一條直線上時(shí)，PA+BP有最小值，最小值為力。=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，明確線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題

的關(guān)鍵.

模型二:阿氏圓問(wèn)題

1題目|11］如圖，在用ZVIBC中，乙4cB=90°,CB=7,47=9,以。為圓心、3為半徑作。為。。上

一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則+的最小值為（）

O

A.7B.5V2C.4+V10D.2V13

【答案】B

【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質(zhì)證

明皿尸=可得:AP+BP=PM+PB>BA7,利用勾股定理求出BM即可解決問(wèn)題.

OO

答案詳解:如圖，在C4上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.

???PC=3,CM=1,CA=9f

2

???PC=CM-CA9

.PCCM

9'~CA~~CP"

???ZPCM=AACP,

：./\PCM-/\ACP,

.PM=PC=\

"PT-AC-y,

：.PM=^-PA,

o

~AF+BP=PM+PB,

o

■：PM+PB>BM,

在RtdBCM中，,:4BCM=90°,CM=1,BC=7,

.-.BM=Vl2+72=5V2,

*P+BP>5侑

o

^-AP+BP的最小值為52.

o

故選：B.

［題目口。如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),3(4,0),P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OP=2,連接AP、BP,

【分析】取點(diǎn)T(0,1),連接PT,BT.根據(jù)OP'OT?04,有器=器，即可證明NOT?/\AOP,即有

界=善?=進(jìn)而可得PT=則有BB+JP4=PB+PT,利用勾股定理可得BT=JP”=

47,則有BP+yAP>47,問(wèn)題得解.

【詳解】解:如圖，取點(diǎn)T(0,l),連接PT,BT.

???T（0,l）,A（0,4）,B（4,0）,

07=1,OA=4,OB=4,

?：OP=2,

OP2=OT-OA,

?OP=04

"OT~OP'

?：/POT=NAOP,

：.APOT-/\AOP,

.PT_OPl1

"TA~~OA~^!

：.PT^~PA,

：.PB+yPA=PB+PT,

■：BT=V12+42=A/17,

：.PB+PT>VY7,

.?.BP+]AP>47,（當(dāng)B、P、T三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）

BP+gpB的最小值為V17.

故答案為：47.

【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔

助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題.

題目亙?nèi)鐖D，在。。中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在。。上，乙408=90°,04=6,點(diǎn)。在。4上，且OC=2AC,點(diǎn)。

是