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文檔簡(jiǎn)介
專題10圓的基本性質(zhì)
考點(diǎn)類型
考點(diǎn)5:弧、弦、圓心角關(guān)系
考點(diǎn)1:圓的基本認(rèn)識(shí)
考點(diǎn)6:圓周角定理
考點(diǎn)2:垂徑定理
模塊四圖形的性質(zhì)
考點(diǎn)7:圓周角定理推論
講圓的基本性質(zhì)
考點(diǎn)3:垂徑定理的推論10
考點(diǎn)8:半徑相等——等腰三角形
考點(diǎn)4:垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
考點(diǎn)9:圓的內(nèi)接四邊形
口^」知識(shí)一遍過(guò)
(-)圓的相關(guān)概念
(1)圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.如圖所示的圓記做。。
(2)弦與直徑:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,過(guò)圓心的弦叫做直徑,直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦.
(3)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧,小于半圓的弧叫做劣弧,大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.
(4)圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.
(5)圓周角:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.
(6)弦心距:圓心到弦的距離.
(7)確定圓的條件:過(guò)已知一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓,過(guò)已知兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓,過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)可
作一個(gè)圓
(二)垂徑定理及推論
(1)定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;
如圖:CE=,弧BC=MBD,弧AC=3!HAD
(2)推論:①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;
②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
(3)延伸:根據(jù)圓的對(duì)稱性,如圖所示,在以下五條結(jié)論中:
①弧AC=MAD;②弧BD=MCB;③CE=DE;@AB±CD;⑤AB是直徑.
只要滿足其中兩個(gè),另外三個(gè)結(jié)論一定成立,即推二知三.
(三)弧、弦、圓心角的關(guān)系
(1)定理:在同圓和等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等.
(2)推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余
各組量都分別相笠.
(3)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為:在同圓或等圓中,①圓心角相等,②所對(duì)的弧相等,③所對(duì)的弦相等,三項(xiàng)“知一推二”,
一項(xiàng)相等,其余二項(xiàng)皆相等。
(四)圓周角定理及推論
(1)定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.如圖a,
ZA=-ZO.
2
(2)推論:
①在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.如圖b,ZA=ZC.
②直徑所對(duì)的圓周角是直角.如圖c,ZC=90°.
③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).如圖a,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.
亳2考點(diǎn)一遍過(guò)
考點(diǎn)1:圓的基本概念
典例1:(2022上?九年級(jí)單元測(cè)試)如圖,點(diǎn)4,0,D,點(diǎn)、C,D,E以及點(diǎn)B,0,C分別在一條直線上,
則圓中弦的條數(shù)為()
C
A.2條B.3條C.4條D.5條
【答案】A
【分析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析,從而得到答案.
【詳解】解:圖中的弦有BC,CE共2條.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弦的定義,理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵.
【變式1](2023上?安徽六安?九年級(jí)??茧A段練習(xí))若點(diǎn)尸為。。內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為8,最短弦
長(zhǎng)為4,則線段OP長(zhǎng)為()
A.2B.V3C.3D.2V3
【答案】D
【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理,解題的關(guān)鍵是根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦,知該圓的直徑是8;最
短弦即是過(guò)點(diǎn)P且垂直于過(guò)點(diǎn)P的直徑的弦;根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長(zhǎng),再根據(jù)勾股定理求得OP的長(zhǎng).
【詳解】解:連接。C,如圖所示:
根據(jù)題意得:AB=8,CD=4,CD14B于點(diǎn)P,
則。C==4,
CD1AB,
???CP=-CD=2,
2
OP=70c2-cp2=V42-22=2V3,
故選:D.
【變式2](2023上?山東泰安?九年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,在RtAABC中,AB1BC,AB=6,
BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足NP4B=NPBC,則線段CP的長(zhǎng)的最小值為()
A
A.2B.4C.5D.7
【答案】A
【分析】本題考查點(diǎn)與圓位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理首先證明點(diǎn)P在以48為直徑的。。上,當(dāng)。、P、
C共線時(shí)PC最小,利用勾股定理求出。。即可解決問(wèn)題.
【詳解】解:如圖所示
AB1BC,
???乙ABP+乙PBC=90°,
???Z.PAB=Z.PBC
???/.BAP+乙ABP=90°,
??.Z.APB=90°,
.?.點(diǎn)P在以力B為直徑的。。上,當(dāng)0、P、C共線時(shí)PC最小,
在RtABC。中,AB=6,BC=4,
OB=-AB=3,
2
?-.OC=yJOB2+BC2=5,
?.PC=OC-OP=5-3=2.
???PC最小值為2.
故選:A.
【變式3](2023下?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,一塊四邊形綠化園地,四角都做有半徑為R的
圓形噴水池,則這四個(gè)噴水池占去的綠化園地的面積為()
A.2TTR2B.4TTR2C.TIR2D.不能確定
【答案】C
【分析】根據(jù)圖形的特征,四邊形內(nèi)角和為360。,可得四個(gè)噴水池的面積之和正好等于一個(gè)半徑為R的圓
的面積.
【詳解】解:因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和為360。,
所以四個(gè)噴水池的面積之和正好等于一個(gè)半徑為R的圓的面積,
即這四個(gè)噴水池占去的綠化園地的面積為7TR2.
故選:C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的內(nèi)角和以及圓面積公式,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。。
得到四個(gè)噴水池的面積之和正好等于一個(gè)半徑為R的圓的面積.
考點(diǎn)2:垂徑定理
典例2:(2023上?陜西渭南?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。▓D中的弧初),點(diǎn)。是
這段弧所在圓的圓心,點(diǎn)C是上一點(diǎn),0C12B,垂足為點(diǎn)D,AB=300m,CD=50m,則弧池所在圓
的半徑是()
B.250mC.300mD.350m
【答案】B
【分析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用,關(guān)鍵在于設(shè)出半徑為廠后,用廠表示出。ZXOB的
長(zhǎng)度.根據(jù)題意,可以推出4D=8。=150,若設(shè)半徑為r,貝UOD=r—50,OB=r,結(jié)合勾股定理可推
出半徑r的值.
【詳解】解:???OC1AB,
AD=DB=150m,
在RtAA。。中,。42=。。2+4。2,
設(shè)半徑為r得:r2=(r-50)2+1502,
解得:r=250m,
???這段彎路的半徑為250m;
故選擇:B.
【變式1】(2023上?內(nèi)蒙古通遼?九年級(jí)校聯(lián)考期中)回。的半徑是10,弦4BIICD,AB=16,CD=12,則
弦48與CD的距離是()
A.2B.14C.2或14D.7或1
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用.作。E于E,OF1CD于尸,由垂徑定理得4E=(48=8,CF=
\CD=6,由于4BIICD,易得E、0、/三點(diǎn)共線,在Rt△40E和Rt△OCF中,利用勾股定理分別計(jì)算出。E與
OF,然后討論:當(dāng)圓心。在弦4B與CD之間時(shí),與CD的距離=OF+OE;當(dāng)圓心。在弦2B與CD的外部
時(shí),與的距離=。/一OE.
【詳解】解:如圖,作。EJ.4B于E,OF_LCD于凡連。力,OC,OA=OC=10,
----、P
W
^AE=lAB=Q,CF=lCD=6,
^ABWCD,
SE、0、尸三點(diǎn)共線,
在RtAAOE中,0E=70A2-4£2="。2-82=6,
在RtAOCF中,。尸=1。。2-CF?="。2—62=8,
當(dāng)圓心。在弦48與之間時(shí),AB與CD的距離。尸+0E==8+6=14;
當(dāng)圓心。在弦4B與CD的外部時(shí),與CD的距離OF-011=8-6=2.
所以28與CD的距離是14或
故選:C.
【變式2](2023上?江蘇鹽城?九年級(jí)景山中學(xué)校考階段練習(xí))兩個(gè)同心圓,大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)C,
則力B=6,那么該圓環(huán)的面積為()
A.37rB.67rC.97rD.127T
【答案】C
【分析】連接OC、OA,構(gòu)造出RtiaAOC,求出OA2-OC2的值,再乘以it即為環(huán)形的面積.
【詳解】解:連接。C、0A,則。CI3AB,
在RtEIAOC中,
OA2-OC2=AC2=(-AB)2=9,
2
所以環(huán)形的面積為0A2兀-dC2n=9n,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì),勾股定理以及圓面積的計(jì)算公式.
【變式3](2023廣西欽州?統(tǒng)考一模)如圖,點(diǎn)A,B,C,E在。。上,0C1ZB于點(diǎn)。/E=22.5°,OB=2vL
則"的長(zhǎng)為()
EA
5
c
A.等B.雪C.V2TTD.n
【答案】B
【分析】連接。4則CM=OB=2/,根據(jù)垂徑定理得到品=AC,由圓周角定理得到乙40C=2乙E=45°,
根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出熊的長(zhǎng),即可得到糜的長(zhǎng).
【詳解】解:連接。力,貝|。4=。8=2近,
團(tuán)。C1于點(diǎn)D,
回阮=AC,
團(tuán)NE=22.5°,
^AOC=2乙E=45°,
團(tuán)紀(jì)的長(zhǎng)為竺經(jīng)坦=每,
1802
回肥的長(zhǎng)為雪.
故選:B.
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí),熟練掌握垂徑定理、圓周角定理是解題的
關(guān)鍵.
考點(diǎn)3:垂徑定理的推論
典例3:(2023上?廣西南寧?九年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,點(diǎn)4B在。。上,直徑MN1
48于點(diǎn)C,下列結(jié)論中不一定成立的是()
A.AC=CBB.OC=CNC.AN=BND.AM=BM
【答案】B
【分析】本題主要考查的是垂徑定理.由題意可知為垂直于弦的直徑,根據(jù)垂徑定理即可做出正確的判
斷.
【詳解】解:根據(jù)MN為。。的直徑,且MN14B,垂足為C,則是垂直于弦的直徑,滿足垂徑定理.
所以MN是4B的垂直平分線,
因而4C=C8,AN=BN,AM=BM,都是正確的.
所以選項(xiàng)B、OC=CN不一定成立.
故選:B.
【變式1](2023上?遼寧葫蘆島?九年級(jí)??计谥校┤鐖D,以。為圓心的MN,C、。三等分MN,連MN、CD,
A.乙COM=乙CODB.若OM=MN,貝此408=20。
C.MN||CDD.MN=3CD
【答案】D
【分析】本題考查了圓周角性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系,垂徑定理.根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到弧
相等,再利用等邊三角形的性質(zhì)得到乙40B=20。,再利用垂徑定理得到弧相等進(jìn)而得到平行線,據(jù)此逐一
判斷即可.
【詳解】解:由題意得==
EIMC=CD=DN,OM=ON=OC=OD,
SMN<MC+CD+DN^3CD,故D選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤;
EIM€=CD=Em,
0乙COM=4COD=4DON,故A選項(xiàng)的結(jié)論正確;
如圖,連接ON
0OM=MN,OM=ON,
0AMON是等邊三角形,
B^MON=60°,
EIZXOB=jzMOW=20°,故B選項(xiàng)的結(jié)論正確;
作半徑OEICO,如圖,
meg=ETE,
=ME,
BOE1MN,
B1MN||CD,故C選項(xiàng)的結(jié)論正確;
故選:D.
【變式2](2023上?甘肅武威?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,CD是。。的直徑,4B是非直徑的弦,4B與CD
相交于點(diǎn)從以下四個(gè)條件中任取一個(gè),其中不能得到CD14B的有()
A
A.AM=BMB.OM=CMC.AC=BED.AD=BD
【答案】B
【分析】本題考查了垂徑定理的逆定理,解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理的逆定理."平分弦(不是直徑)的直
徑垂直于弦
【詳解】解:A.^AM=BM,CD是。。的直徑,AB是非直徑的弦,
SAB1CD,故A不符合題意;
B.根據(jù)。M=CM無(wú)法判斷COLAB,故B符合題意;
C.=扉,CD是。。的直徑,是非直徑的弦,
SAB1CD,故C不符合題意;
D.EL40=CO是O。的直徑,4B是非直徑的弦,
SAB1CD,故D不符合題意.
故選:B.
【變式3](2023上?山東濟(jì)寧?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,OP與x軸分別交于A、8兩點(diǎn),
點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,—1),4B=2百,若將OP向上平移,則OP與x軸相切時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo)為()
A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(3,5)
【答案】A
【詳解】當(dāng)尸移到P'點(diǎn)時(shí),OP與無(wú)軸相切,過(guò)尸作直徑MN14B與連接4P,
由垂徑定理得:AD=BD=^AB=V3,
勸尸=|-1|=1,
由勾股定理得:AP=7AD2+PD2=2,
SPP'=2+1=3,
I3P(3,-1),
EIP'的坐標(biāo)是(3,2),
故選A.
【分析】本題考查垂徑定理,切線的性質(zhì),勾股定理,能理解題意畫出圖形和正確作出輔助線是解題的關(guān)
鍵.
考點(diǎn)4:垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
典例4:(2024上?河北保定?九年級(jí)統(tǒng)考期末)筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,明朝科學(xué)家徐光
啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理,如圖1,筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓,
如圖2,已知圓心。在水面上方,且。。被水面截得的弦力B長(zhǎng)為8米,。。半徑長(zhǎng)為5米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌
道的最低點(diǎn),則點(diǎn)C到弦所在直線的距離是()
A.1米B.3米C.2米D.1.5米
【答案】C
【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用,勾股定理等知識(shí).連接0C交4B于點(diǎn)E.利用垂徑定理以及勾股定理求
出。E,可得結(jié)論.
【詳解】解:連接。C交AB于點(diǎn)E.
由題意。CLAB,
04E=BE=^AB=4(米),
在Rtz14E。中,0E=yJOA2-AE2=V52-42=3(米),
SCE=OC-OE=5-3=2(米),
故選:C.
【變式1](2023上?浙江溫州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)"圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素,在中式建筑中有著廣
泛的應(yīng)用,例如古典園林中的門洞如圖1,其數(shù)學(xué)模型為如圖2所示.園林中的一個(gè)圓弧形門洞的地面跨徑
4B=1米,£>為圓上一點(diǎn),DC14B于點(diǎn)C,且CD=BC=0.7米,則門洞的半徑為()
圖1圖2
A.1.7米B.1.2米C.1.3米D.1.4米
【答案】C
【分析】過(guò)。作。N14B于N,過(guò)。作DMJ.ON于由垂徑定理得AN=8N=再證四邊形DCNM
是矩形,則MN=CD,DM=CN=BC+BN,設(shè)該圓的半徑長(zhǎng)為r米,然后由題意列出方程組,解方程組
即可.
【詳解】解:過(guò)。作。NJ.AB于N,過(guò)。作DM_LON于M,如圖所示:
o
貝!MN=BN=^AB=0.5米,ONC=乙DMN=90°,
0£)C1AB,
0ZDC/V=90°,
團(tuán)四邊形DCNM是矩形,
SMN=CD=0.7,OM=ON-0.7,DM=CN=BC+BN=1.2,
設(shè)該圓的半徑長(zhǎng)為r米,
根據(jù)題意得,嬴%)匚”品2
解得:{。丁匕2,
即門洞的半徑長(zhǎng)為1.3米,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用,矩形的判定與性質(zhì),以及二元二次方程組的
應(yīng)用,熟練掌握垂徑定理,勾股定理是解題的關(guān)鍵.
【變式2](2024上?黑龍江齊齊哈爾?九年級(jí)統(tǒng)考期末)一次綜合實(shí)踐主題為:只用一張矩形紙條和刻度尺,
如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑?小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法:如圖,將紙條拉直并緊貼杯
口,紙條的上下邊沿分別與杯口相交于四點(diǎn),然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,4B=8cm,
CD=6cm.請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為()
A.5cmB.9.6cmC.10cmD.10.2cm
【答案】C
【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用,勾股定理,關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形,由垂徑定理,勾股
定理求出。M的長(zhǎng).由垂徑定理求出BN,DM的長(zhǎng),設(shè)OM=x,由勾股定理得到/+42=(7-x/+32,求
出x的值,得到。M的長(zhǎng),由勾股定理求出。。長(zhǎng),即可求出紙杯的直徑長(zhǎng).
【詳解】解:如圖,過(guò)點(diǎn)。做MN1AB于點(diǎn)N,交CD于點(diǎn)
0CD||AB,
MN1CD,
SDM=-CD=-x6=3,BN=-AB=-x8=4,
2222
設(shè)。M=%,
由ON=MN—OM=7-x,
S10M2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,
SOM2+MD2=ON2+BN2,
0x2+32=(7-%)2+42
團(tuán)%=4,
團(tuán)。M=4,
0OD=V32+42=5,
回紙杯的直徑為5x2=10.
故選:C.
【變式3](2023上?浙江杭州?九年級(jí)杭州市豐潭中學(xué)??计谥校┖贾輥嗊\(yùn)會(huì)開幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底
橋,橋面呈拱形.該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋,此圓拱橋的跨徑(橋拱圓弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))
3.2m,拱高(橋拱圓弧的中點(diǎn)到弦的距離)約為2m,則此橋拱的半徑是()
A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m
【答案】B
【分析】該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題;解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判
斷、推理或解答.設(shè)圓心為0,作0D1A8于點(diǎn)D,。。的延長(zhǎng)線交圓弧為點(diǎn)C,設(shè)半徑為Rm,根據(jù)垂徑定理
得4D=BD=1.6m,?!?=(2-R)m,由勾股定理得:/?2=1.62+(2-/?)2,即可求出答案.
【詳解】解:如圖,設(shè)圓心為。,作。。148于點(diǎn)。,。。的延長(zhǎng)線交圓弧為點(diǎn)C,則C為優(yōu)弧48的中點(diǎn),設(shè)
半徑為Rm,
AD—BD--AB—1.6m,CD—2m,
2
.--0D=(2—R)m,
由勾股定理得:。42=。02+4£)2,
AR2=1.62+(2-R)2,
解得:R=1.64,
故選:B.
考點(diǎn)5:弧、弦、圓心角關(guān)系
典例5:(2023上?遼寧鞍山?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn)A,B,C,。在。。上,乙40C=132°,點(diǎn)2是弧4C的
中點(diǎn),則AD的度數(shù)是()
A.66°B.35.5°C.33°D.24°
【答案】C
【分析】本題考查了同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等,圓周角定理.熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等,
圓周角定理是解題的關(guān)鍵.
如圖,連接。8,則肪=協(xié)3乙408=1乙40C,由圓周角定理可得4。=(乙4。8,計(jì)算求解即可.
【詳解】解:如圖,連接0B,
0AB=況,
回乙40B=乙BOC=-Z.AOC=66°,
2
EL4B=AS,
1
0ZD=-Z.AOB=33°,
2
故選:C.
【變式1X2023上?河南周口?九年級(jí)校考期中)如圖,2B為o。的直徑,C、D是。。上的兩點(diǎn),N84C=20°,
AD=CD,貝吐口4c的度數(shù)是()
【答案】B
【分析】此題考查了圓周角定理,以及弦,弧,圓心角三者的關(guān)系,作出輔助線,找出未知角與己知角的
聯(lián)系,是解此題的關(guān)鍵;
根據(jù)圓周角定理和弦,弧,圓心角三者的關(guān)系即可得到結(jié)論.
【詳解】連接。C,。。如圖所示,
???ABAC與NBOC所對(duì)的弧都是品,4BAC=20°,
.-.乙BOC=2/.BAC=40°,
AAOC=140°,
又???AD=CD,
.-.乙COD=^AOD=-2Z.AOC=70°,
???NOAC和NO。。所對(duì)的弧者B是cs,
1
ADAC=-2ACOD=35°,
故選:B.
【變式2](2023上,甘肅平?jīng)?九年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖所示,在。。中,AB=2C0,那么()
A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.無(wú)法比較
【答案】B
【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和三角形的三邊關(guān)系,在圓上截取物=6,再根據(jù)"根據(jù)
三角形的三邊關(guān)系"可解,熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦之間的關(guān)系和三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:如圖,
在圓上截取05=CD,
0AB=2c0,
0AB=CE,
^\AB=CE,
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知,CD+DE2CD〉CE=AB,
EL4B<2CD,
故選:B.
【變式31(2022上?河北廊坊?九年級(jí)??计谥校┤鐖D,眈=⑶=碓,已知4B是O。的直徑,=35°,
【答案】C
【分析】由此=6=ETE,/.COD=35°,可求得NB。。=乙EOD=4COD=35°,繼而可求得乙40E的度數(shù).
【詳解】解:?.?4'=6=ETE,ACOD=35°,
???4BOC=乙EOD=乙COD=35°,
.-./.AOE=180°-4EOD-乙COD-Z.BOC=75°.
故選:C
【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系,掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)6:圓周角定理
典例6:(2023上?遼寧盤錦?九年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,力8是。。直徑,。、£?是。。上的兩點(diǎn),且。。IIBC,
連接4C和BD,下列四個(gè)結(jié)論中:@AD=CD;②。。垂直平分力C;③乙AOD=24DBC;@BD=AC.所
有正確結(jié)論的序號(hào)是()
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
【答案】A
【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識(shí),根據(jù)圓周角定理,垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系
判斷求解即可,熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵.
【詳解】回力B是。。直徑,
0ZC=90°,
0BC1AC,
回。。||BC,
回。01AC,
團(tuán)。。平分ZC,
團(tuán)。。垂直平分/C,
故②正確,符合題意;
EL4S=m
故①正確,符合題意;
國(guó)乙4。。=2乙DBC,
故③正確,符合題意;
根據(jù)題意,無(wú)法求解BD=4C,
故④錯(cuò)誤,不符合題意;
故選:A.
【變式1](2023上?江蘇南京?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,。。經(jīng)過(guò)菱形A8CD的頂點(diǎn)A,B,C,頂點(diǎn)D在。。
內(nèi),延長(zhǎng)A。,CD與。。分別交于點(diǎn)E,F,連接BE,BF,下列結(jié)論:①BE=BF;②4S=AF=FF;
③N4BC=900+;NEBF,其中正確的結(jié)論是()
B.①③C.②③D.①②③
【答案】B
【分析】①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出N4=NC,根據(jù)相同的圓周角所對(duì)的弦相等,得出BE=BF,即可判斷①
正確;
②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出28=8C,AB\ICD,BCWAD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZF=44BF,乙E=^CBE,從
而得出NF=A4BF=NE=NCBE,肪=和=廓=),但不能確定48=砰,判斷②錯(cuò)誤;
③先證明NC=2N4BF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N4BC+NC=180。,根據(jù)乙48F=NCBE,得出4zCBE+
Z.EBF=180°,求出2NCBE=90°-|zFBF,根據(jù)4ABe=/.ABF+Z.CBE+即可判斷③正確.
【詳解】解:①團(tuán)四邊形4BCD為菱形,
團(tuán)乙4=乙C,
團(tuán)BE=BF,
WE=BF,故①正確;
②團(tuán)四邊形/BCD為菱形,
團(tuán)AB=BC,ABHCDfBC\\AD,
24B=BC,
團(tuán)乙E=ZF,
國(guó)4BIICF,BC\\AEf
國(guó)乙F=4ABF,乙E=cCBE,
azF=Z-ABF=Z,E=Z-CBE,
團(tuán)舫=AF=既=CE,
不能確定加=釬,故②錯(cuò)誤;
③團(tuán)加=妤=阮*="
國(guó)用F=2AF,
0zC=2Z.ABFf
BABWCF,
團(tuán)乙4BC+4c=180°,
^ABF+乙EBF+Z.CBE+2乙4BF=180°,
團(tuán)匕ABF=乙CBE,
⑦4乙CBE+乙EBF=180°,
EI2ZCBF=90°--Z.EBF,
2
⑦乙ABC=/-ABF+Z,CBE+乙EBF
=2乙CBE+Z.EBF
1
=90。-"EBF+NEBF
2
=90°+|zEBF,故③正確;
綜上分析可知,①③正確.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),圓周角定理,圓周角和弦的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟
練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和菱形的性質(zhì).
【變式2](2023上?廣東江門?九年級(jí)校考期中)如圖,在。。中,P是弦的中點(diǎn),CD是過(guò)點(diǎn)P的直徑,則
下列結(jié)論中不正確的是()
C
D
A.AB1CDB./.AOD=ABODC.AD=BDD.PO=PD
【答案】D
【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論,弧、弦、圓心角的關(guān)系等知識(shí),理解并掌握垂徑定理及其推論
是解題關(guān)鍵.平分弦的直徑垂直于這條弦,且平分這條弦所對(duì)的兩條??;同弧或等弧所對(duì)的弦相等,所對(duì)
的圓心角也相等,據(jù)此即可獲得答案.
【詳解】解:SP是弦48的中點(diǎn),CD是過(guò)點(diǎn)P的直徑,
EL4B1CD,#9=附,AP=BP,故選項(xiàng)A正確,不符合題意;
BAD=BD,
國(guó)乙4。。=4300,AD=BD,故選項(xiàng)B,C正確,不符合題意;
已知條件無(wú)法確定P。=PD,故選項(xiàng)D不正確,符合題意.
故選:D.
【變式3](2022上?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)??计谥校┤鐖D,在。。中,4。、。、8是。。上
四點(diǎn),0C、。。交48于E、F,且力E=BF.下列結(jié)論不正確的是()
rC
A
A.OE=OF
B.標(biāo)=的
C.AC=CD=DB
D.CDWAB
【答案】C
【分析】連接。a,OB,可以利用SAS判定△04E三△OBF,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,可得到OE=OF,
判斷A選項(xiàng)正確;由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,可NB4D=N4DC得至IJ乙40E=NBOF,即乙40C=乙BOD,
根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得出AC=屬0,判斷B選項(xiàng)正確;連接4D.由AC=的,根據(jù)圓周角定理
得出,貝!]CDII4B,判斷D選項(xiàng)正確;由NB。。=乙4。。不一定等于NCOD,得出此1=仍不一定等于第,那
么AC=BD不一定等于CD,判斷C選項(xiàng)不正確.
【詳解】解:連接。40B,
0A-0B,
Z.OAB=Z.OBA.
在八CME與AOBF中,
-0A=0B
Z.OAE—/.OBF,
.AE=BF
???△OAE=AOBF(SAS),
OE=OF,故A選項(xiàng)正確;
???NAOE=NBOF,即N40C=N8。。,
=KD,故B選項(xiàng)正確;
連接力,
B
w=血
Z.BAD—Z.ADC,
???CDWAB,故D選項(xiàng)正確;
???LBOD=44。。不一定等于〃。。,
0AC="不一定等于6,
EL4C=BD不一定等于CD,故C選項(xiàng)不正確.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系定理,圓周角定理,平行線的判定,
難度適中.準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)7:圓周角定理推論
典例7:(2024上?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在。。中,48為直徑,C為圓上一點(diǎn),ABAC的角平分
線與O。交于點(diǎn)D,若乙4DC=20。,則乙4CD的大小為()
A.120°B.125°C.130°D.135°
【答案】B
【分析】本題考查了圓周角定理及其推論、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識(shí),根據(jù)圓周角定理
和直徑所對(duì)圓周角是直角,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案,牢記各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:,??乙4。。=20。
NB=20°
在。。中,為直徑
.-.Z.XCB=90°
ABAC=180°-90°-20°=70°
???AD平分NB4C
???^DAC=35°
AACD=180°—35°-20°=125°
故選:B.
【變式1】(2023上?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,ABAC=40。,。。的圓心。在48上,且與邊4C相切
于點(diǎn)D,與AB交于點(diǎn)E,F,連接FD,則乙4FD=()
A.15°B.20°C.25°D.30°
【答案】C
【分析】本題考查了切線的性質(zhì),圓周角定理,連接。。,根據(jù)切線的性質(zhì)得到乙4。。=90。,根據(jù)直角三角
形的性質(zhì)得到乙力。。=90°-40°=50°,根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論,正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形
是解題的關(guān)鍵.
【詳解】連接0D,
團(tuán)O。與邊4C相切于點(diǎn)
國(guó)匕ADO=90°,
^BAC=40°,
^AOD=90°-40°=50°,
國(guó)匕AFD=-^AOD=ix50°=25°,
22
故選:c.
【變式2](2024上?北京西城?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,AB為。。的直徑,弦CO交48于點(diǎn)E,BE=BC.若
^CAB=40°,則4以4。的大小為()
A.45°B.50°C.55°D.65°
【答案】D
【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角,結(jié)合直角三角形兩銳角互余得到乙8二50。,再由等腰三角形性質(zhì)及
三角形內(nèi)角和定理即可得到4雙方=乙CEB=65°,再由圓周角定理即可得到答案.
【詳解】解:???為。。的直徑,
???乙ACB=90°,
???Z.CAB=40°,
.?.z_B=90°-40°=50°,
???BE=BC,
乙ECB=乙CEB=—0°-50°=65°,
2
?:BD=
???4BAD=乙BCE=65°,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度,涉及圓周角定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角、直角三角形兩銳角互余、等
腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
【變式3](2023上?浙江杭州?九年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)(總校)??茧A段練習(xí))如圖,等腰△ABC內(nèi)接
于。O,AB=AC,連結(jié)OC,過(guò)點(diǎn)B作4?的垂線交。。于點(diǎn)。,交。。于點(diǎn)M,交/C于點(diǎn)以連結(jié)AD,若ND=a,
A.90°—aB.60°—aC.90°—2aD.45°+a
【答案】A
【分析】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),連接。4、0B,證AAOB三
△力。C可得NOAB=ZOXC=jzBXC,求出NB4C,再結(jié)合。4=OC即可求解.
【詳解】解:連接。4、OB,如圖所示:
EL4B=AC,OB=OC,OA=OA,
0AAOBSAAOC
^AOAB=^OAC=-Z.BAC
2
團(tuán)乙BCA=Z-D=a,AB=AC,
^BAC=180°-2(BCA=180°-2a
國(guó)乙OAC=90°-a
回。4=OC
團(tuán)乙OCA=匕OAC=90°-a
故選:A
【變式4](2023上?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)校考期末)如圖,AB是半圓。的直徑,點(diǎn)C,D在半圓。上.若N4BC=55°,
則N8DC的度數(shù)為()
C.135°D.125°
【答案】B
【分析】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的
圓心角的一半.半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.先根據(jù)圓周角定理得
到乙4c8=90。,則利用互余計(jì)算出N4的度數(shù),然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算出48DC的度數(shù).
【詳解】解:?MB是半圓。的直徑,
AACB=90°,
ZX=90°-/.ABC=90°-55°=35°,
???乙BDC+^A=180°,
.-./.BBC=180°-35°=145°.
故選:B.
【變式51(2023上?湖北武漢?九年級(jí)武漢市武珞路中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,48是。。切線,點(diǎn)兒E是。。
上的點(diǎn),CD的直徑,乙4BC=NE=45。,△BCD面積為27,貝的長(zhǎng)為()
A.3B.2V3C.4D.3顯
【答案】D
【分析】此題考查了圓切線的性質(zhì),圓周角的定理,弦、弧、圓心角的關(guān)系,等腰直角三角形的判定與性
質(zhì),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.連接。力、AD.AC,利用圓切線的性質(zhì)定理、圓周角定理等
性質(zhì)可得4DIIBC,BC=AD,再根據(jù)△BCD的面積為27,即可求解.
【詳解】解:連接。4AD.AC,如下圖:
團(tuán)CD為直徑
團(tuán)匕CAD=90°,
固4力=AD
^ACD=Z.E=45°,Z.AOD=2乙E=90°
回△AC。、△AOD為等腰直角三角形,
回匕OAD=/-OAC=45°,
團(tuán)4B與團(tuán)O相切
回乙OAB=90°,
團(tuán)4CAB=45°,
團(tuán)乙4cB=ACAD=90°,△/CB為等腰直角三角形,
回BC||AD,AC=BC,
2
^ShBCD=-BCxAC=-BC=27,
解得BC=3V6,
故選D.
【變式6](2023上?山東濱州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,OC過(guò)原點(diǎn)0,且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)4、B,點(diǎn)人的
坐標(biāo)為(0,5),點(diǎn)M是第三象限內(nèi)附上一點(diǎn),Z.BMO=120°,則。。的半徑為()
【答案】B
【分析】由題意知。4=5,由N力。B=90。,可得為。。的直徑,由4、B、M、。四點(diǎn)共圓,可求NOAB=
180°-ZBMO,則乙48。=30。,然后求直徑,求半徑即可.
【詳解】解:團(tuán)點(diǎn)2的坐標(biāo)為(0,5),
團(tuán)。力=5,
團(tuán)乙40B=90°,
0XB為OC的直徑,
囿4、B、M、。四點(diǎn)共圓,
IS^OAB=180°-4BMO=60°,
0ZX5O=30°,
SAB=20A=10,
團(tuán)半徑為5,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑,圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),含30。的直角三角形,三角形
內(nèi)角和定理等知識(shí).熟練掌握90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑,圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),含30。的直角三角形
是解題的關(guān)鍵.
【變式7](2023上?全國(guó)?九年級(jí)期末)如圖,由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)
上,以4B為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,D,貝!JsinNADC的值為()
A2-3cV13n2V13
A.-B.-C.—D.
32313
【答案】D
【分析】首先根據(jù)圓周角定理的推論可知,^ADC=^ABC,然后在RtAACB中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義
求出N4BC的正弦值.
本題考查了圓周角定理的推論,解直角三角形,勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義,解答本題的關(guān)鍵是利用
圓周角定理的推論把求乙WC的正弦值轉(zhuǎn)化成求N4BC的正弦值,本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題.
【詳解】解:如圖,連接力C、BC.
???N4DC和乙4BC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是此1,
???根據(jù)圓周角定理的推論知,^ADC=AABC.
在RtAACB中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知,
AC
AB
AC=2,BC=3,
AB=y/AC2+BC2=V13,
?,人口「22V13
siviZ-ABC=—;=----,
V1313
.,_2V13
**?siiiZ-ADC----.
13
故選:D.
考點(diǎn)8:半徑相等一一等腰三角形
典例8;(2023?甘肅平?jīng)?統(tǒng)考二模)如圖,A、B、C是圓。上的三點(diǎn),且四邊形ABC。是平行四邊形,OF1OC
交圓。于點(diǎn)尸,則N40F等于()
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到AAOB為等邊三角形,根據(jù)等腰三角形的三線合一得
到答案.
【詳解】解:
團(tuán)四邊形力BC。是平行四邊形,
HOC=AB,又。力=OB=OC,
團(tuán)04=OB=AB,
團(tuán)AAOB為等邊三角形,
HOF1OC,OCWAB,
EOF1AB,
EIZXOF=乙BOF=30°,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)半徑相等,平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用,掌握等腰
三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.
【變式11(2023?四川廣元?統(tǒng)考一模)如圖,4B為。。的直徑,CD是。。的弦,4B、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,
已知4B=2DE,^AEC=20°,貝!U&OC的度數(shù)為()
【答案】C
【分析】連接。。,根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì),得到AD0E=N4EC=20。,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì),
得到NDC。=MD0=40°,利用三角形內(nèi)角和定理,得到NCOD=100°,即可求出NAOC的度數(shù).
【詳解】解:連接。D,
???AB=2DE,
.?.0D=DE,
???Z-AEC=20°,
???LDOE=20°,
???"0。=Z.DOE+"=40°,
???0C=0D,
???乙DCO=乙CDO=40°,
???乙COD=180°-Z,DCO-乙CDO=100°,
AAOC=180°-4DOE-乙COD=60°,
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握等腰三
角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
【變式2](2023下?浙江金華?九年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,在扇形40B中,。為弧4B上的點(diǎn),連接AD并延
長(zhǎng)與。B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,若CD=OA,乙AOC=69°,貝吐。4C的度數(shù)為()
A.35°B.52.5°C.70°D.74°
【答案】D
【分析】連接。。,則CD=OA,OA=。。,設(shè)”=a,根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)可得4047=2a,
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果.
【詳解】解:如圖,連接。。,如圖所示:
團(tuán)。力=OD
Z.CAO=Z.ODA
???CD=OA,
團(tuán)CO=0D,
Z.C=乙DOC
設(shè)=a,
???Z-CAO=Z.ODA=Z-DOC+Z.C=2a,
在△AOC中,AAOC=69°
???乙CAO+Nf=180°-69°=111°,
2a+a=111°
???a=37°
???/,CAO=2a=74°,故D正確.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本概念,等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),掌握以
上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
【變式3】(2023上?廣東汕頭?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,是。。的弦,。。為。。半徑.0C14B,垂足為
C,ODWAB,OD=20C,貝此。為()度
A.60B.65C.70D.75
【答案】D
【分析】連接。8,貝1]08=00,由0clz8,貝此。8。=30。,再由。。||48,即可求出答案.
【詳解】解:如圖:連接08,貝!)08=。。,
?
:℃*OD,
1
■-OC=-OB,
??,OC1AB,
??.Z.OBC=30°,
?
??OD\\ABf
???乙BOD=乙OBC=30°,
??.Z.OBD=乙ODB=75°,
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓,平行線的性質(zhì),等腰三角形的有關(guān)知識(shí);正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是
解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)9:圓的內(nèi)接四邊形
典例9:(2023上?廣東汕頭?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,4B為。。的直徑,點(diǎn)C,。在O。上,若乙4DC=130。,
則NB4C的度數(shù)為()
A.30°B.35°C.40°D.50°
【答案】C
【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),直徑所對(duì)的圓周角是直角,直角三角形兩個(gè)銳角互余,根據(jù)
圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求得48,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得乙4c8=90。,根據(jù)直角三角形的
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