中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練：圓的基本性質(zhì)（知識(shí)串講+9大考點(diǎn)）解析版

專題10圓的基本性質(zhì)

考點(diǎn)類型

考點(diǎn)5：弧、弦、圓心角關(guān)系

考點(diǎn)1：圓的基本認(rèn)識(shí)

考點(diǎn)6：圓周角定理

考點(diǎn)2：垂徑定理

模塊四圖形的性質(zhì)

考點(diǎn)7：圓周角定理推論

講圓的基本性質(zhì)

考點(diǎn)3：垂徑定理的推論10

考點(diǎn)8：半徑相等——等腰三角形

考點(diǎn)4：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)9：圓的內(nèi)接四邊形

口^」知識(shí)一遍過(guò)

(-)圓的相關(guān)概念

(1)圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.如圖所示的圓記做。。

(2)弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦.

(3)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

(4)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

(5)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.

(6)弦心距：圓心到弦的距離.

(7)確定圓的條件：過(guò)已知一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓,過(guò)已知兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓,過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)可

作一個(gè)圓

(二)垂徑定理及推論

(1)定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

如圖：CE=,弧BC=MBD,弧AC=3!HAD

(2)推論：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（3）延伸：根據(jù)圓的對(duì)稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：

①弧AC=MAD；②弧BD=MCB；③CE=DE；@AB±CD；⑤AB是直徑.

只要滿足其中兩個(gè)，另外三個(gè)結(jié)論一定成立，即推二知三.

（三）弧、弦、圓心角的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余

各組量都分別相笠.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，

一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等。

（四）圓周角定理及推論

（1）定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.如圖a,

ZA=-ZO.

2

（2）推論：

①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.如圖b,ZA=ZC.

②直徑所對(duì)的圓周角是直角.如圖c,ZC=90°.

③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).如圖a,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.

亳2考點(diǎn)一遍過(guò)

考點(diǎn)1：圓的基本概念

典例1：（2022上?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)4,0,D,點(diǎn)、C,D,E以及點(diǎn)B,0,C分別在一條直線上,

則圓中弦的條數(shù)為（）

C

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】A

【分析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解：圖中的弦有BC,CE共2條.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023上?安徽六安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)尸為。。內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為8,最短弦

長(zhǎng)為4,則線段OP長(zhǎng)為（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，知該圓的直徑是8；最

短弦即是過(guò)點(diǎn)P且垂直于過(guò)點(diǎn)P的直徑的弦；根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得OP的長(zhǎng).

【詳解】解：連接。C,如圖所示：

根據(jù)題意得：AB=8,CD=4,CD14B于點(diǎn)P,

則。C==4,

CD1AB,

???CP=-CD=2,

2

OP=70c2-cp2=V42-22=2V3,

故選：D.

【變式2］（2023上?山東泰安?九年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在RtAABC中,AB1BC,AB=6,

BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足NP4B=NPBC,則線段CP的長(zhǎng)的最小值為（）

A

A.2B.4C.5D.7

【答案】A

【分析】本題考查點(diǎn)與圓位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理首先證明點(diǎn)P在以48為直徑的。。上，當(dāng)。、P、

C共線時(shí)PC最小，利用勾股定理求出。。即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖所示

AB1BC,

???乙ABP+乙PBC=90°,

???Z.PAB=Z.PBC

???/.BAP+乙ABP=90°,

??.Z.APB=90°,

.?.點(diǎn)P在以力B為直徑的。。上，當(dāng)0、P、C共線時(shí)PC最小，

在RtABC。中，AB=6,BC=4,

OB=-AB=3,

2

?-.OC=yJOB2+BC2=5,

?.PC=OC-OP=5-3=2.

???PC最小值為2.

故選：A.

【變式3］（2023下?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一塊四邊形綠化園地，四角都做有半徑為R的

圓形噴水池，則這四個(gè)噴水池占去的綠化園地的面積為（）

A.2TTR2B.4TTR2C.TIR2D.不能確定

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形的特征，四邊形內(nèi)角和為360。，可得四個(gè)噴水池的面積之和正好等于一個(gè)半徑為R的圓

的面積.

【詳解】解：因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和為360。，

所以四個(gè)噴水池的面積之和正好等于一個(gè)半徑為R的圓的面積，

即這四個(gè)噴水池占去的綠化園地的面積為7TR2.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的內(nèi)角和以及圓面積公式，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。。

得到四個(gè)噴水池的面積之和正好等于一個(gè)半徑為R的圓的面積.

考點(diǎn)2：垂徑定理

典例2：（2023上?陜西渭南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。▓D中的弧初），點(diǎn)。是

這段弧所在圓的圓心，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，0C12B,垂足為點(diǎn)D,AB=300m,CD=50m,則弧池所在圓

的半徑是（）

B.250mC.300mD.350m

【答案】B

【分析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于設(shè)出半徑為廠后，用廠表示出。ZXOB的

長(zhǎng)度.根據(jù)題意，可以推出4D=8。=150,若設(shè)半徑為r,貝UOD=r—50,OB=r,結(jié)合勾股定理可推

出半徑r的值.

【詳解】解：???OC1AB,

AD=DB=150m,

在RtAA。。中，。42=。。2+4。2,

設(shè)半徑為r得：r2=（r-50）2+1502,

解得：r=250m,

???這段彎路的半徑為250m；

故選擇:B.

【變式1】（2023上?內(nèi)蒙古通遼?九年級(jí)校聯(lián)考期中）回。的半徑是10,弦4BIICD,AB=16,CD=12,則

弦48與CD的距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用.作。E于E,OF1CD于尸，由垂徑定理得4E=（48=8,CF=

\CD=6,由于4BIICD,易得E、0、/三點(diǎn)共線，在Rt△40E和Rt△OCF中，利用勾股定理分別計(jì)算出。E與

OF,然后討論：當(dāng)圓心。在弦4B與CD之間時(shí)，與CD的距離=OF+OE；當(dāng)圓心。在弦2B與CD的外部

時(shí)，與的距離=。/一OE.

【詳解】解：如圖，作。EJ.4B于E,OF_LCD于凡連。力，OC,OA=OC=10,

----、P

W

^AE=lAB=Q,CF=lCD=6,

^ABWCD,

SE、0、尸三點(diǎn)共線，

在RtAAOE中，0E=70A2-4￡2="。2-82=6,

在RtAOCF中，。尸=1。。2-CF?="。2—62=8,

當(dāng)圓心。在弦48與之間時(shí)，AB與CD的距離。尸+0E==8+6=14；

當(dāng)圓心。在弦4B與CD的外部時(shí)，與CD的距離OF-011=8-6=2.

所以28與CD的距離是14或

故選：C.

【變式2］（2023上?江蘇鹽城?九年級(jí)景山中學(xué)校考階段練習(xí)）兩個(gè)同心圓，大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)C,

則力B=6,那么該圓環(huán)的面積為（）

A.37rB.67rC.97rD.127T

【答案】C

【分析】連接OC、OA,構(gòu)造出RtiaAOC,求出OA2-OC2的值，再乘以it即為環(huán)形的面積.

【詳解】解：連接。C、0A,則。CI3AB,

在RtEIAOC中，

OA2-OC2=AC2=（-AB）2=9,

2

所以環(huán)形的面積為0A2兀-dC2n=9n,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理以及圓面積的計(jì)算公式.

【變式3］（2023廣西欽州?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A,B,C,E在。。上,0C1ZB于點(diǎn)。/E=22.5°,OB=2vL

則"的長(zhǎng)為（）

EA

5

c

A.等B.雪C.V2TTD.n

【答案】B

【分析】連接。4則CM=OB=2/，根據(jù)垂徑定理得到品=AC,由圓周角定理得到乙40C=2乙E=45°,

根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出熊的長(zhǎng)，即可得到糜的長(zhǎng).

【詳解】解：連接。力，貝|。4=。8=2近，

團(tuán)。C1于點(diǎn)D,

回阮=AC,

團(tuán)NE=22.5°,

^AOC=2乙E=45°,

團(tuán)紀(jì)的長(zhǎng)為竺經(jīng)坦=每，

1802

回肥的長(zhǎng)為雪.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理是解題的

關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：垂徑定理的推論

典例3：（2023上?廣西南寧?九年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)4B在。。上，直徑MN1

48于點(diǎn)C,下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.AC=CBB.OC=CNC.AN=BND.AM=BM

【答案】B

【分析】本題主要考查的是垂徑定理.由題意可知為垂直于弦的直徑，根據(jù)垂徑定理即可做出正確的判

斷.

【詳解】解：根據(jù)MN為。。的直徑，且MN14B,垂足為C,則是垂直于弦的直徑，滿足垂徑定理.

所以MN是4B的垂直平分線,

因而4C=C8,AN=BN,AM=BM,都是正確的.

所以選項(xiàng)B、OC=CN不一定成立.

故選：B.

【變式1］（2023上?遼寧葫蘆島?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，以。為圓心的MN,C、。三等分MN,連MN、CD,

A.乙COM=乙CODB.若OM=MN,貝此408=20。

C.MN||CDD.MN=3CD

【答案】D

【分析】本題考查了圓周角性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理.根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到弧

相等，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到乙40B=20。，再利用垂徑定理得到弧相等進(jìn)而得到平行線，據(jù)此逐一

判斷即可.

【詳解】解：由題意得==

EIMC=CD=DN,OM=ON=OC=OD,

SMN<MC+CD+DN^3CD,故D選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤;

EIM€=CD=Em,

0乙COM=4COD=4DON,故A選項(xiàng)的結(jié)論正確；

如圖，連接ON

0OM=MN,OM=ON,

0AMON是等邊三角形，

B^MON=60°,

EIZXOB=jzMOW=20°,故B選項(xiàng)的結(jié)論正確；

作半徑OEICO,如圖，

meg=ETE,

=ME,

BOE1MN,

B1MN||CD,故C選項(xiàng)的結(jié)論正確；

故選：D.

【變式2］（2023上?甘肅武威?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，CD是。。的直徑，4B是非直徑的弦，4B與CD

相交于點(diǎn)從以下四個(gè)條件中任取一個(gè)，其中不能得到CD14B的有（）

A

A.AM=BMB.OM=CMC.AC=BED.AD=BD

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理的逆定理."平分弦(不是直徑)的直

徑垂直于弦

【詳解】解：A.^AM=BM,CD是。。的直徑，AB是非直徑的弦，

SAB1CD,故A不符合題意；

B.根據(jù)。M=CM無(wú)法判斷COLAB,故B符合題意；

C.=扉，CD是。。的直徑，是非直徑的弦，

SAB1CD,故C不符合題意；

D.EL40=CO是O。的直徑，4B是非直徑的弦，

SAB1CD,故D不符合題意.

故選：B.

【變式3](2023上?山東濟(jì)寧?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，OP與x軸分別交于A、8兩點(diǎn)，

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,—1),4B=2百，若將OP向上平移，則OP與x軸相切時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo)為()

A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(3,5)

【答案】A

【詳解】當(dāng)尸移到P'點(diǎn)時(shí)，OP與無(wú)軸相切，過(guò)尸作直徑MN14B與連接4P,

由垂徑定理得：AD=BD=^AB=V3,

勸尸=|-1|=1,

由勾股定理得：AP=7AD2+PD2=2,

SPP'=2+1=3,

I3P(3,-1),

EIP'的坐標(biāo)是(3,2),

故選A.

【分析】本題考查垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，能理解題意畫出圖形和正確作出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

考點(diǎn)4：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

典例4：(2024上?河北保定?九年級(jí)統(tǒng)考期末)筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光

啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1,筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，

如圖2,已知圓心。在水面上方，且。。被水面截得的弦力B長(zhǎng)為8米，。。半徑長(zhǎng)為5米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌

道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦所在直線的距離是()

A.1米B.3米C.2米D.1.5米

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí).連接0C交4B于點(diǎn)E.利用垂徑定理以及勾股定理求

出。E,可得結(jié)論.

【詳解】解：連接。C交AB于點(diǎn)E.

由題意。CLAB,

04E=BE=^AB=4（米），

在Rtz14E。中，0E=yJOA2-AE2=V52-42=3（米），

SCE=OC-OE=5-3=2（米），

故選：C.

【變式1］（2023上?浙江溫州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）"圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣

泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞如圖1,其數(shù)學(xué)模型為如圖2所示.園林中的一個(gè)圓弧形門洞的地面跨徑

4B=1米，￡＞為圓上一點(diǎn)，DC14B于點(diǎn)C,且CD=BC=0.7米，則門洞的半徑為（）

圖1圖2

A.1.7米B.1.2米C.1.3米D.1.4米

【答案】C

【分析】過(guò)。作。N14B于N,過(guò)。作DMJ.ON于由垂徑定理得AN=8N=再證四邊形DCNM

是矩形，則MN=CD,DM=CN=BC+BN,設(shè)該圓的半徑長(zhǎng)為r米，然后由題意列出方程組，解方程組

即可.

【詳解】解:過(guò)。作。NJ.AB于N,過(guò)。作DM_LON于M,如圖所示:

o

貝！MN=BN=^AB=0.5米，ONC=乙DMN=90°,

0￡）C1AB,

0ZDC/V=90°,

團(tuán)四邊形DCNM是矩形，

SMN=CD=0.7,OM=ON-0.7,DM=CN=BC+BN=1.2,

設(shè)該圓的半徑長(zhǎng)為r米，

根據(jù)題意得，嬴％）匚”品2

解得：｛。丁匕2，

即門洞的半徑長(zhǎng)為1.3米，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，以及二元二次方程組的

應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2]（2024上?黑龍江齊齊哈爾?九年級(jí)統(tǒng)考期末）一次綜合實(shí)踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，

如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯

口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于四點(diǎn),然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,4B=8cm,

CD=6cm.請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（）

A.5cmB.9.6cmC.10cmD.10.2cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，由垂徑定理，勾股

定理求出。M的長(zhǎng).由垂徑定理求出BN,DM的長(zhǎng)，設(shè)OM=x,由勾股定理得到/+42=（7-x/+32,求

出x的值，得到。M的長(zhǎng)，由勾股定理求出。。長(zhǎng)，即可求出紙杯的直徑長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。做MN1AB于點(diǎn)N,交CD于點(diǎn)

0CD||AB,

MN1CD,

SDM=-CD=-x6=3,BN=-AB=-x8=4,

2222

設(shè)。M=%,

由ON=MN—OM=7-x,

S10M2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,

SOM2+MD2=ON2+BN2,

0x2+32=（7-%）2+42

團(tuán)％=4,

團(tuán)。M=4,

0OD=V32+42=5,

回紙杯的直徑為5x2=10.

故選：C.

【變式3]（2023上?浙江杭州?九年級(jí)杭州市豐潭中學(xué)?？计谥校┖贾輥嗊\(yùn)會(huì)開幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底

橋，橋面呈拱形.該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）

3.2m,拱高（橋拱圓弧的中點(diǎn)到弦的距離）約為2m,則此橋拱的半徑是（）

A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m

【答案】B

【分析】該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判

斷、推理或解答.設(shè)圓心為0,作0D1A8于點(diǎn)D,。。的延長(zhǎng)線交圓弧為點(diǎn)C,設(shè)半徑為Rm,根據(jù)垂徑定理

得4D=BD=1.6m,?！?=(2-R)m,由勾股定理得：/?2=1.62+(2-/?)2,即可求出答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)圓心為。，作。。148于點(diǎn)。，。。的延長(zhǎng)線交圓弧為點(diǎn)C,則C為優(yōu)弧48的中點(diǎn)，設(shè)

半徑為Rm,

AD—BD--AB—1.6m,CD—2m,

2

.--0D=(2—R)m,

由勾股定理得：。42=。02+4￡)2,

AR2=1.62+(2-R)2,

解得:R=1.64,

故選：B.

考點(diǎn)5：弧、弦、圓心角關(guān)系

典例5：(2023上?遼寧鞍山?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，點(diǎn)A,B,C,。在。。上，乙40C=132°,點(diǎn)2是弧4C的

中點(diǎn)，則AD的度數(shù)是()

A.66°B.35.5°C.33°D.24°

【答案】C

【分析】本題考查了同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等，圓周角定理.熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等,

圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

如圖，連接。8,則肪=協(xié)3乙408=1乙40C,由圓周角定理可得4。=(乙4。8,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接0B,

0AB=況，

回乙40B=乙BOC=-Z.AOC=66°,

2

EL4B=AS,

1

0ZD=-Z.AOB=33°,

2

故選：C.

【變式1X2023上?河南周口?九年級(jí)校考期中）如圖,2B為o。的直徑,C、D是。。上的兩點(diǎn)，N84C=20°,

AD=CD,貝吐口4c的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理，以及弦，弧，圓心角三者的關(guān)系，作出輔助線，找出未知角與己知角的

聯(lián)系，是解此題的關(guān)鍵；

根據(jù)圓周角定理和弦，弧，圓心角三者的關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】連接。C,。。如圖所示，

???ABAC與NBOC所對(duì)的弧都是品，4BAC=20°,

.-.乙BOC=2/.BAC=40°,

AAOC=140°,

又???AD=CD,

.-.乙COD=^AOD=-2Z.AOC=70°,

???NOAC和NO。。所對(duì)的弧者B是cs,

1

ADAC=-2ACOD=35°,

故選：B.

【變式2］（2023上,甘肅平?jīng)?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在。。中，AB=2C0,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.無(wú)法比較

【答案】B

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和三角形的三邊關(guān)系，在圓上截取物=6,再根據(jù)"根據(jù)

三角形的三邊關(guān)系"可解，熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦之間的關(guān)系和三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

在圓上截取05=CD,

0AB=2c0,

0AB=CE,

^\AB=CE,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，CD+DE2CD〉CE=AB,

EL4B<2CD,

故選：B.

【變式31（2022上?河北廊坊?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，眈=⑶=碓,已知4B是O。的直徑，=35°,

【答案】C

【分析】由此=6=ETE,/.COD=35°,可求得NB。。=乙EOD=4COD=35°,繼而可求得乙40E的度數(shù).

【詳解】解：?.?4'=6=ETE,ACOD=35°,

???4BOC=乙EOD=乙COD=35°,

.-./.AOE=180°-4EOD-乙COD-Z.BOC=75°.

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)6：圓周角定理

典例6：（2023上?遼寧盤錦?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，力8是。。直徑，。、￡?是。。上的兩點(diǎn)，且。。IIBC,

連接4C和BD,下列四個(gè)結(jié)論中：@AD=CD；②。。垂直平分力C；③乙AOD=24DBC；@BD=AC.所

有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，根據(jù)圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系

判斷求解即可，熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】回力B是。。直徑，

0ZC=90°,

0BC1AC,

回。。||BC,

回。01AC,

團(tuán)。。平分ZC,

團(tuán)。。垂直平分/C,

故②正確，符合題意；

EL4S=m

故①正確，符合題意；

國(guó)乙4。。=2乙DBC,

故③正確，符合題意；

根據(jù)題意，無(wú)法求解BD=4C,

故④錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

【變式1］（2023上?江蘇南京?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，。。經(jīng)過(guò)菱形A8CD的頂點(diǎn)A,B,C,頂點(diǎn)D在。。

內(nèi)，延長(zhǎng)A。，CD與。。分別交于點(diǎn)E,F,連接BE,BF,下列結(jié)論：①BE=BF；②4S=AF=FF；

③N4BC=900+;NEBF,其中正確的結(jié)論是（）

B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出N4=NC,根據(jù)相同的圓周角所對(duì)的弦相等，得出BE=BF,即可判斷①

正確；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出28=8C,AB\ICD,BCWAD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZF=44BF,乙E=^CBE,從

而得出NF=A4BF=NE=NCBE,肪=和=廓=），但不能確定48=砰，判斷②錯(cuò)誤；

③先證明NC=2N4BF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N4BC+NC=180。，根據(jù)乙48F=NCBE,得出4zCBE+

Z.EBF=180°,求出2NCBE=90°-|zFBF,根據(jù)4ABe=/.ABF+Z.CBE+即可判斷③正確.

【詳解】解：①團(tuán)四邊形4BCD為菱形，

團(tuán)乙4=乙C,

團(tuán)BE=BF,

WE=BF,故①正確；

②團(tuán)四邊形/BCD為菱形，

團(tuán)AB=BC,ABHCDfBC\\AD,

24B=BC,

團(tuán)乙E=ZF,

國(guó)4BIICF,BC\\AEf

國(guó)乙F=4ABF,乙E=cCBE,

azF=Z-ABF=Z,E=Z-CBE,

團(tuán)舫=AF=既=CE,

不能確定加=釬，故②錯(cuò)誤；

③團(tuán)加=妤=阮*="

國(guó)用F=2AF,

0zC=2Z.ABFf

BABWCF,

團(tuán)乙4BC+4c=180°,

^ABF+乙EBF+Z.CBE+2乙4BF=180°,

團(tuán)匕ABF=乙CBE,

⑦4乙CBE+乙EBF=180°,

EI2ZCBF=90°--Z.EBF,

2

⑦乙ABC=/-ABF+Z,CBE+乙EBF

=2乙CBE+Z.EBF

1

=90。-"EBF+NEBF

2

=90°+|zEBF,故③正確；

綜上分析可知，①③正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，圓周角和弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和菱形的性質(zhì).

【變式2］（2023上?廣東江門?九年級(jí)校考期中）如圖，在。。中，P是弦的中點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的直徑，則

下列結(jié)論中不正確的是（）

C

D

A.AB1CDB./.AOD=ABODC.AD=BDD.PO=PD

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，弧、弦、圓心角的關(guān)系等知識(shí)，理解并掌握垂徑定理及其推論

是解題關(guān)鍵.平分弦的直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條??；同弧或等弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)

的圓心角也相等，據(jù)此即可獲得答案.

【詳解】解：SP是弦48的中點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的直徑，

EL4B1CD,#9=附，AP=BP,故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

BAD=BD,

國(guó)乙4。。=4300,AD=BD,故選項(xiàng)B,C正確，不符合題意；

已知條件無(wú)法確定P。=PD,故選項(xiàng)D不正確，符合題意.

故選：D.

【變式3］（2022上?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在。。中，4。、。、8是。。上

四點(diǎn)，0C、。。交48于E、F,且力E=BF.下列結(jié)論不正確的是（）

rC

A

A.OE=OF

B.標(biāo)=的

C.AC=CD=DB

D.CDWAB

【答案】C

【分析】連接。a,OB,可以利用SAS判定△04E三△OBF,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得到OE=OF,

判斷A選項(xiàng)正確；由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可NB4D=N4DC得至IJ乙40E=NBOF,即乙40C=乙BOD,

根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得出AC=屬0,判斷B選項(xiàng)正確；連接4D.由AC=的，根據(jù)圓周角定理

得出，貝!]CDII4B,判斷D選項(xiàng)正確；由NB。。=乙4。。不一定等于NCOD,得出此1=仍不一定等于第，那

么AC=BD不一定等于CD,判斷C選項(xiàng)不正確.

【詳解】解：連接。40B,

0A-0B,

Z.OAB=Z.OBA.

在八CME與AOBF中，

-0A=0B

Z.OAE—/.OBF，

.AE=BF

???△OAE=AOBF(SAS),

OE=OF,故A選項(xiàng)正確；

???NAOE=NBOF,即N40C=N8。。,

=KD,故B選項(xiàng)正確；

連接力，

B

w=血

Z.BAD—Z.ADC,

???CDWAB,故D選項(xiàng)正確;

???LBOD=44。。不一定等于〃。。，

0AC="不一定等于6,

EL4C=BD不一定等于CD,故C選項(xiàng)不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，圓周角定理，平行線的判定，

難度適中.準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)7：圓周角定理推論

典例7：（2024上?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在。。中，48為直徑，C為圓上一點(diǎn)，ABAC的角平分

線與O。交于點(diǎn)D,若乙4DC=20。，則乙4CD的大小為（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理及其推論、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識(shí)，根據(jù)圓周角定理

和直徑所對(duì)圓周角是直角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案，牢記各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??乙4。。=20。

NB=20°

在。。中，為直徑

.-.Z.XCB=90°

ABAC=180°-90°-20°=70°

???AD平分NB4C

???^DAC=35°

AACD=180°—35°-20°=125°

故選：B.

【變式1】(2023上?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，ABAC=40。,。。的圓心。在48上，且與邊4C相切

于點(diǎn)D,與AB交于點(diǎn)E,F,連接FD,則乙4FD=()

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】C

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，連接。。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到乙4。。=90。，根據(jù)直角三角

形的性質(zhì)得到乙力。。=90°-40°=50°,根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】連接0D,

團(tuán)O。與邊4C相切于點(diǎn)

國(guó)匕ADO=90°,

^BAC=40°,

^AOD=90°-40°=50°,

國(guó)匕AFD=-^AOD=ix50°=25°,

22

故選：c.

【變式2］（2024上?北京西城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB為。。的直徑，弦CO交48于點(diǎn)E,BE=BC.若

^CAB=40°,則4以4。的大小為（）

A.45°B.50°C.55°D.65°

【答案】D

【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角，結(jié)合直角三角形兩銳角互余得到乙8二50。，再由等腰三角形性質(zhì)及

三角形內(nèi)角和定理即可得到4雙方=乙CEB=65°,再由圓周角定理即可得到答案.

【詳解】解：???為。。的直徑，

???乙ACB=90°,

???Z.CAB=40°,

.?.z_B=90°-40°=50°,

???BE=BC,

乙ECB=乙CEB=—0°-50°=65°,

2

?：BD=

???4BAD=乙BCE=65°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度，涉及圓周角定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角、直角三角形兩銳角互余、等

腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023上?浙江杭州?九年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？茧A段練習(xí)）如圖，等腰△ABC內(nèi)接

于。O，AB=AC,連結(jié)OC,過(guò)點(diǎn)B作4?的垂線交。。于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)M,交/C于點(diǎn)以連結(jié)AD,若ND=a,

A.90°—aB.60°—aC.90°—2aD.45°+a

【答案】A

【分析】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，連接。4、0B,證AAOB三

△力。C可得NOAB=ZOXC=jzBXC,求出NB4C,再結(jié)合。4=OC即可求解.

【詳解】解：連接。4、OB,如圖所示：

EL4B=AC,OB=OC,OA=OA,

0AAOBSAAOC

^AOAB=^OAC=-Z.BAC

2

團(tuán)乙BCA=Z-D=a,AB=AC,

^BAC=180°-2(BCA=180°-2a

國(guó)乙OAC=90°-a

回。4=OC

團(tuán)乙OCA=匕OAC=90°-a

故選：A

【變式4］（2023上?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)校考期末）如圖,AB是半圓。的直徑，點(diǎn)C,D在半圓。上.若N4BC=55°,

則N8DC的度數(shù)為（）

C.135°D.125°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.先根據(jù)圓周角定理得

到乙4c8=90。，則利用互余計(jì)算出N4的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算出48DC的度數(shù).

【詳解】解：?MB是半圓。的直徑，

AACB=90°,

ZX=90°-/.ABC=90°-55°=35°,

???乙BDC+^A=180°,

.-./.BBC=180°-35°=145°.

故選：B.

【變式51（2023上?湖北武漢?九年級(jí)武漢市武珞路中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，48是。。切線，點(diǎn)兒E是。。

上的點(diǎn)，CD的直徑，乙4BC=NE=45。，△BCD面積為27,貝的長(zhǎng)為（）

A.3B.2V3C.4D.3顯

【答案】D

【分析】此題考查了圓切線的性質(zhì)，圓周角的定理，弦、弧、圓心角的關(guān)系，等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.連接。力、AD.AC,利用圓切線的性質(zhì)定理、圓周角定理等

性質(zhì)可得4DIIBC,BC=AD,再根據(jù)△BCD的面積為27,即可求解.

【詳解】解：連接。4AD.AC,如下圖:

團(tuán)CD為直徑

團(tuán)匕CAD=90°,

固4力=AD

^ACD=Z.E=45°,Z.AOD=2乙E=90°

回△AC。、△AOD為等腰直角三角形，

回匕OAD=/-OAC=45°,

團(tuán)4B與團(tuán)O相切

回乙OAB=90°,

團(tuán)4CAB=45°,

團(tuán)乙4cB=ACAD=90°,△/CB為等腰直角三角形，

回BC||AD,AC=BC,

2

^ShBCD=-BCxAC=-BC=27,

解得BC=3V6,

故選D.

【變式6](2023上?山東濱州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，OC過(guò)原點(diǎn)0,且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)4、B,點(diǎn)人的

坐標(biāo)為(0,5),點(diǎn)M是第三象限內(nèi)附上一點(diǎn)，Z.BMO=120°,則。。的半徑為()

【答案】B

【分析】由題意知。4=5,由N力。B=90。，可得為。。的直徑，由4、B、M、。四點(diǎn)共圓，可求NOAB=

180°-ZBMO,則乙48。=30。，然后求直徑，求半徑即可.

【詳解】解：團(tuán)點(diǎn)2的坐標(biāo)為(0,5),

團(tuán)。力=5,

團(tuán)乙40B=90°,

0XB為OC的直徑，

囿4、B、M、。四點(diǎn)共圓，

IS^OAB=180°-4BMO=60°,

0ZX5O=30°,

SAB=20A=10,

團(tuán)半徑為5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，含30。的直角三角形，三角形

內(nèi)角和定理等知識(shí).熟練掌握90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，含30。的直角三角形

是解題的關(guān)鍵.

【變式7］（2023上?全國(guó)?九年級(jí)期末）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)

上，以4B為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,D,貝!JsinNADC的值為（）

A2-3cV13n2V13

A.-B.-C.—D.

32313

【答案】D

【分析】首先根據(jù)圓周角定理的推論可知，^ADC=^ABC,然后在RtAACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義

求出N4BC的正弦值.

本題考查了圓周角定理的推論，解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是利用

圓周角定理的推論把求乙WC的正弦值轉(zhuǎn)化成求N4BC的正弦值，本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題.

【詳解】解：如圖，連接力C、BC.

???N4DC和乙4BC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是此1,

???根據(jù)圓周角定理的推論知，^ADC=AABC.

在RtAACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，

AC

AB

AC=2,BC=3,

AB=y/AC2+BC2=V13,

?,人口「22V13

siviZ-ABC=—；=----,

V1313

.,_2V13

**?siiiZ-ADC----.

13

故選：D.

考點(diǎn)8:半徑相等一一等腰三角形

典例8；（2023?甘肅平?jīng)?統(tǒng)考二模）如圖，A、B、C是圓。上的三點(diǎn)，且四邊形ABC。是平行四邊形，OF1OC

交圓。于點(diǎn)尸，則N40F等于（）

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到AAOB為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得

到答案.

【詳解】解：

團(tuán)四邊形力BC。是平行四邊形,

HOC=AB,又。力=OB=OC,

團(tuán)04=OB=AB,

團(tuán)AAOB為等邊三角形，

HOF1OC,OCWAB,

EOF1AB,

EIZXOF=乙BOF=30°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)半徑相等，平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握等腰

三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.

【變式11（2023?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，4B為。。的直徑，CD是。。的弦，4B、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,

已知4B=2DE,^AEC=20°,貝！U&OC的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】連接。。，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)，得到AD0E=N4EC=20。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì),

得到NDC。=MD0=40°,利用三角形內(nèi)角和定理，得到NCOD=100°,即可求出NAOC的度數(shù).

【詳解】解：連接。D,

???AB=2DE,

.?.0D=DE,

???Z-AEC=20°,

???LDOE=20°,

???"0。=Z.DOE+"=40°,

???0C=0D,

???乙DCO=乙CDO=40°,

???乙COD=180°-Z,DCO-乙CDO=100°,

AAOC=180°-4DOE-乙COD=60°,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三

角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式2］（2023下?浙江金華?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在扇形40B中，。為弧4B上的點(diǎn)，連接AD并延

長(zhǎng)與。B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,若CD=OA,乙AOC=69°,貝吐。4C的度數(shù)為（）

A.35°B.52.5°C.70°D.74°

【答案】D

【分析】連接。。，則CD=OA,OA=。。，設(shè)”=a,根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)可得4047=2a,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接。。，如圖所示：

團(tuán)。力=OD

Z.CAO=Z.ODA

???CD=OA,

團(tuán)CO=0D,

Z.C=乙DOC

設(shè)=a,

???Z-CAO=Z.ODA=Z-DOC+Z.C=2a,

在△AOC中，AAOC=69°

???乙CAO+Nf=180°-69°=111°,

2a+a=111°

???a=37°

???/,CAO=2a=74°,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本概念，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握以

上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式3】（2023上?廣東汕頭?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是。。的弦，。。為。。半徑.0C14B,垂足為

C,ODWAB,OD=20C,貝此。為（）度

A.60B.65C.70D.75

【答案】D

【分析】連接。8,貝1]08=00,由0clz8,貝此。8。=30。，再由。。||48,即可求出答案.

【詳解】解：如圖：連接08,貝!）08=。。，

?

：℃*OD，

1

■-OC=-OB,

??,OC1AB,

??.Z.OBC=30°,

?

??OD\\ABf

???乙BOD=乙OBC=30°,

??.Z.OBD=乙ODB=75°,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的有關(guān)知識(shí)；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是

解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)9：圓的內(nèi)接四邊形

典例9：（2023上?廣東汕頭?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，4B為。。的直徑，點(diǎn)C,。在O。上，若乙4DC=130。，

則NB4C的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，直角三角形兩個(gè)銳角互余，根據(jù)

圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求得48,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得乙4c8=90。，根據(jù)直角三角形的