中考數(shù)學一輪復習重難點強化訓練：圖形的初步二（知識串講+15大考點）原卷版

專題02圖形的初步(2)

考點類型

模塊四圖形的性質(zhì)

02講圖形的初步(2)

考點15：平行線的性質(zhì)

口知識一遍過

(-)角的相關(guān)概念

(1)角的概念：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。角也可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)

而形成的圖。

(2)角的分類:

Za銳角直角鈍角平角周角

范圍0<Za<90°Za=90°90°<Za<180°Za=180°Za=360°

(3)角的表示法(四種):

①角可以用三個大寫字母表示，但表示頂點的字母一定要寫在中間，如/ABC(B為頂點)

②用一個字母表示角，必須是以這個字母為頂點的角，而且只有一個，如/A

③用一個數(shù)字表示角，在靠近頂點處畫上弧線，寫上數(shù)字，如/I

④用一個希臘字母表示,在靠近頂點處畫上弧線,寫上希臘字母，如/a

（二）角平分線及其性質(zhì)

角平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。

如圖：AC是/BCD的角平分線，則

：AC平分/BCD

1

ZACD=ZACB=-ZACD

2

（三）角度制

（1）時針和分針所成的角度：鐘表一周為360。，每一個大格為30°,每一個小格為6。.（每小時，時針

轉(zhuǎn)過30°,即一個大格，分針轉(zhuǎn)過360。，即一周；每分鐘，分針轉(zhuǎn)過6。即一個小格）

（2）角的度量：I，=60'；1'=60"；

1直角=90°；1平角=180°；1周角=360°

（四）相交線所形成的角

兩條直線相交所成的四個角中：h

（1）相鄰的兩個角叫做鄰補角，特點是兩個角共用一條邊，另一條邊互為反向延長'、

線，性質(zhì)是鄰補角互補;M

①鄰補角：兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線。具有這種關(guān)系的

兩個角，互為鄰補角。如：/1、Z2o

（2）相對的兩個角叫做對頂角,特點是它們的兩條邊互為反向延長線。性質(zhì)是對頂角相等。

②對頂角：兩個角有一個公共頂點，并且一個角的兩條邊，分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，具有

這種關(guān)系的兩個角，互為對頂角。如：N1、Z30對頂角相等。

（五）垂線及其性質(zhì)

（1）垂直：如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直；交點叫垂足；垂直是特殊的相交。

（2）垂線特點：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫點到直線的距離。連接直線外一點與

直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

（六）三線八角

（1）同位角：形如“F”型；在兩條直線的上方,又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫同位

角。如：N1和N5。

（2）內(nèi)錯角：形如“Z”型；在兩條直線之間,又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫內(nèi)錯角。

如：N3和N5。

（3）同旁內(nèi)角：形如“U”型；在兩條直線之間，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫同旁

內(nèi)角。如：N3和N6]

（七）平行公理及其推論

（1）平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

（2）平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

幾何描述:,:b〃a,c//a

：.b//c

____________b

（八）平行線的判定與性質(zhì)

（1）平行線的判定

判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行

簡稱：同位角相等，兩直線平行

判定方法2:兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行

簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行

判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行

簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

幾何符號語言：

*/Z3=Z2

AB/7CD（同位角相等，兩直線平行）

Z1=Z2

AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

Z4+Z2=180°

/.AB/7CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

（2）平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

幾何符號語言：

VAB//CD

/.Z1=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

VAB//CD

/.Z3=Z2（兩直線平行，同位角相等）

VAB//CD

；./4+/2=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

點一遍過

考點1：角的概念

典例1:（2023上?黑龍江佳木斯?七年級?？计谀┫铝懈鲌D中有關(guān)角的表示正確的個數(shù)有（）

ZABCN4O8是平角射線是周角NCAB

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1］（2023上?北京房山?七年級統(tǒng)考期末）下列四個圖中，能用Nl、N。、NMON三種方法表示同一個

角的是（）

M

1

ON

A.ONB.

【變式2］（2023下,六年級課時練習）若N力為鈍角,NB為銳角，則NA—NB是（)

A.鈍角B.銳角

C.直角D.都有可能

【變式3］（2023上?江蘇揚州?七年級統(tǒng)考期末）下列四個圖中的N1也可以用乙4OB/O表示的是()

A.O

考點2：鐘面角

典例2：（2023下?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期中）已知本學期某學校下午上課的時間為14時20分,則此時刻

鐘表上的時針與分針的夾角為（）度.

A.40°B.50°C.60°D.70°

【變式1］（2022上?江蘇淮安?七年級?？计谀┫铝袝r刻中,時針和分針所成的角為90。的是（)

A.11點20分B.3點C.10點10分D.9點30分

【變式2］（2023上?天津東麗?七年級統(tǒng)考期末）鐘面上，下列時刻分針與時針構(gòu)成的角是直角的是（）

A.3點整B.12點15分C.6點45分D.1點20分

【變式3］（2022上?重慶?七年級重慶一中?？茧A段練習）圖①鐘面的角與圖②鐘面的角分別是（）度

A.20；15B.30；25C.30；22.5D.22.5；15

考點3：方向角

典例3：（2024上?北京海淀?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中有4,B兩點，點C在點4的南偏東60。方

向上，且點C在點B的東北方向上，則點C可能的位置是圖中的（）

C.點C3處D.點處

【變式1］（2023下?河北邢臺?七年級?？计谥校├闷矫嬷苯亲鴺讼诞嫵龅哪尘皡^(qū)示意圖如圖所示（圖中

每個小正方形邊長代表100m,每個小正方形的對角線長為規(guī)定正東、正北方向為x軸、y軸的

正方向，并且景點。和景點8的坐標分別是（-200,-100）和（300,300）.嘉嘉、淇淇分別對景點C的位置進行

了描述，則下列判斷正確的是（）

嘉嘉：景點C的坐標是（0,0）；

淇淇：景點C在景點B的南偏東45。方向，相距300am處

A.只有嘉嘉說得對B.只有淇淇說得對

C.兩人說得都對D.兩人說得都不對

【變式2］（2023上?江蘇?八年級專題練習）如圖，從筆直的公路/旁一點P出發(fā)，向西走6km到達/；從尸

出發(fā)向北走6km也到達I.下列說法錯誤的是（）

北

A.公路/走向是南偏西45。

B.公路/走向是北偏東45。

C.從點尸向北走3km后，再向西走3km到達/

D.從點P向北偏西45。走3km到達/

【變式3］（2023上?河北石家莊?九年級校考期中）對于題目團"如圖所示，一艘漁船以30海里/時的速度由西

向東航行在4處看見小島C在船北偏東60。的方向上.40min后，漁船行駛到B處，此時小島C在船北偏東30。的

方向上.己知以小島C為中心，10海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險區(qū)，如果這艘漁船繼續(xù)向東航行，有

沒有進入危險區(qū)的可能？"小明同學在求解這個題過程中，求出了下面4個數(shù)據(jù)，錯誤的是（）

B.AACB=30°

C.BC=20海里

D.過點C向4B的延長線引垂線，垂足為。，求得CD=8次，小明得出結(jié)論有觸礁危險

考點4:角的單位與角度制

典例4：（2024上?廣東揭陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，一副三角板（直角頂點重合）擺放在桌面上，若乙40。=

C.36°30'33"D.36°30'3"

【變式1］（2023上?山西運城?七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個三角板60。角的頂點與另一個三角板的直角頂

A.56°50'B.33°10,C.26°50,D.63°10,

【變式2】（2023上?廣東廣州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，OC是NAOB的平分線，ZAOC=26°18',則NAOB的

度數(shù)為（）

A.42°32'B.52°36'C.48°24'D.50°38'

【變式3】（2023上?內(nèi)蒙古烏海?七年級統(tǒng)考期末）已知Ela=21。郵=0.36。,則Ela和鄴的大小關(guān)系是（）

A.0a=0PB.0a>BPC.Ela<邨D.無法確定

考點5:角的大小比較

典例5：（2022上?山東棗莊?七年級校考期末）已知戊=36。18',￡=36.18。，y=36.3。，下面結(jié)論正確的是

（）

A.a<y<^B.y>a=PC.a=y>pD.y<a<^

【變式1］（2022下?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期中）若乙1=25。15',42=25。13'30〃，Z3=25.35°,貝（）

A.z3>zl>z2B.z2>zl>z3C.zl>z3>z2D.zl>z2>z3

【變式2］（2023上?七年級課時練習）已知回A=25.12。，朋二25。12，，團01518，，那么的大小關(guān)系為（）

A.團A>團B>回CB.團AV團BVB1CC.回B>R1A>團CD.團C>團A>回B

【變式3］（2023上?北京通州?七年級統(tǒng)考期末）已知乙4=20。50',乙8=20.5。,4c=19。58,那么（）

A.Z.A>Z-B>Z.CB.Z,A=/-B>乙C

C.Z.C>Z.A=乙BD.Z-B>Z-A>乙C

考點6：角度制運算

典例6：（2023上?七年級課時練習）下列關(guān)于度、分、秒的換算正確的是（）

A.83.3°=83°30'B.26°12,15"=26.3°C.15°18'18"=15'36°D.41.15°=41°9,

【變式1］（2023上?山東棗莊?七年級校聯(lián)考階段練習）下列各式計算正確的是（）

A.（-）°=118z,B.38°15'=38.15°

2

C.24.8°x2=49.6°D.90°—85°45'=4°55'

【變式2］（2023上?四川眉山?七年級統(tǒng)考期末）下面等式成立的是（）

A.83.5°=83°50,B.90--57°23'27"=32°37'33"

C.15°48'36''+37°27’59”=52°16’35"D.41.25°=41°15

【變式3］（2023下?山東東營?六年級校考階段練習）下列各式中，正確的是（）

A.35.5°=35°50'B.15°12'36"=15.48°

C.28°18'18"=28.33°D.65.25°=65°15'

考點7:角平分線計算

典例7：（2023上?全國?七年級專題練習）如圖，直線AB、CD相交于點0,射線OE在"08內(nèi)部，且NDOE=

（1）若NCOF=54°,求N80E的度數(shù)；

（2）若NCOF=ADOE,可|3么。B平分NDOF嗎？為什么？

【變式1】(2024上,重慶沙坪壩?七年級重慶一中?？计谀?如圖，NAOB為鈍角，射線。C平分4WB,射線

。。在N40C內(nèi)部，射線。E平分NBOD.

⑴若NCOD=10°,AAOB=140°.求NCOE的度數(shù).

(2)請寫出乙40。與"OE度數(shù)之間的等量關(guān)系，并說明理由.

【變式2】(2024上?江蘇?七年級?？贾軠y)已知乙4OB=120。，射線OC在乙408的內(nèi)部，射線OM是乙4OC靠

近04的三等分線，射線ON是NBOC靠近。B的三等分線.

(1)若。C平分立力。8,求NM0N的度數(shù)；

(2)小明說：當射線0C繞點。在NAOB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，NM0N的度數(shù)始終保持不變，你認為小明的說法是否

正確？說明理由；

⑶若。M、ON、OA,。8中有兩條直線互相垂直，請直接寫出N20C所有可能的值.

【變式3］（2022上?河北?七年級校聯(lián)考期末）定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成1:2兩個部分的射

線，叫做這個角的三分線，一個角的三分線有兩條.如圖1,N40B=2ABOC,貝UOB是“。C的一條三分線.

（1）如圖1,若乙4OC=57。，貝ikBOC=_；

（2）如圖2,若=120。，OC,。。是乙4。8的兩條三分線，5.ZBOC<^AOC.

①貝!UCOD=_；

②若以點。為中心，將NCOD順時針旋轉(zhuǎn)打。（0<<90）得到NC，。），當。4恰好是Z_LO?的三分線時,

n的值為

考點8：余角和補角

典例8：（2023上?江蘇蘇州?七年級統(tǒng)考期末）若乙4,NB互為補角，且乙4<NB,貝吐4的余角是（）

A.5（Z_/1+Z_B）B.—Z.BC.］（NB—Z_4）D.—Z.A

【變式1］（2024上?陜西商洛?七年級統(tǒng)考期末）若41與42互為余角，N1與43互為補角，則下列選項，錯誤

的是（）

A.Z3+Z1=180°B.Z3-Z2=90°

C.Z3+Z2=270°—241D.Zl+Z2=180°

【變式2］（2023上?湖南長沙?八年級湖南師大附中博才實驗中學?？计谥校┮阎?如圖=CD,乙B=NE=

90°,AC1CD,則正確的結(jié)論是（）

A.Z.A=乙DB.Z,A=Z2C.AB=EDD.Z1=Z2

【變式3］（2023上?北京房山?九年級統(tǒng)考期中）已知：在四邊形4BCD中，AB||CD,NB=90。，點E是線

段BC上一點，且4E平分NBA。，DE平分給出下面四個結(jié)論：

①4EJ.DE；@￡.AEB=AEDC；③AB?CD=BE?EC；@BE-ED=AE-EC

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

C.①②③D.①②③④

考點9：三線八角

典例9：（2024上?江蘇南京,七年級校聯(lián)考期末）如圖，AB,CD相交于點0,OE1CD,射線。F平分NB。。,

下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.NB。。與乙BOC互為補角B.乙BOF與乙EOF互為余角

C.NB。尸與NCOF互為補角D.

【變式1】（2023上,黑龍江綏化?七年級?？茧A段練習）如圖，點。在直線力B上，OC1OD,OC、OF分別

平分N40E和NB。。，若N40C=20。，貝I|NBOF=（）

【變式2］（2022下?上海,七年級期中）如圖，下列判斷中正確的個數(shù)是（）

（1）NA與/I是同位角；（2）NA和NB是同旁內(nèi)角；（3）/4和N1是內(nèi)錯角；（4）N3和/I是同位角.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式3］（2023上?四川巴中?七年級四川省巴中中學?？茧A段練習）如圖所示，有下列五種說法：①N1和

N4是同位角；②乙3和45是內(nèi)錯角；③/2和乙6是同旁內(nèi)角；④和42是同位角；⑤N1和43是同旁內(nèi)角；

其中正確的是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②④⑤

考點10:垂線的應(yīng)用

典例10：（2023下?七年級課時練習）如圖，已知AOI3OB,COSDO,EIBOC=￡。，則0A。。的度數(shù)為（）

AD

C、/

E

OB

A.?。一90°B.2￡°—90°C.180°D.2/?°-180°

【變式1］（2023?廣東清遠?統(tǒng)考三模）如圖所示，直線a||b,直線c與直線a,b分別交于點D,E,射線DF1

直線c,若=32。，貝吐2的度數(shù)是（）

C.32°D.58°

【變式2］（2023上?廣東東莞,八年級東莞市東華初級中學?？茧A段練習）如圖，RtAABC中，乙4cB=

90。,。。于點。，則下列結(jié)論不一定成立的是（）

C.z2+z4=90°D.z2=z3

【變式3］（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱市第十七中學校?？茧A段練習）如圖，直線AB、CD相交于

則NBMC的度數(shù)是（）.

A.15°B.75°C.105°D.108°

考點11:垂線段最短

典例11:（2023下?山東濰坊,七年級統(tǒng)考期中）如圖，一根筆直木棒（不計粗細）的一端固定在一豎直墻面

上的A點，另一端可以繞A點自由轉(zhuǎn)動，在墻面上畫一條水平直線/,當木條另一端逆時針從點8轉(zhuǎn)動到點

C的過程中，在直線/下方木條長度的變化情況是（）

A

A.不變B.變大C.先變大再變小D.先變小再變大

【變式1】（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級校聯(lián)考期中）點P是直線a外一點，2、B、C三點在直線a上，又已

知24=12,PB=10,PC=8,那么點P到直線a的距離（）

A.8B.10C.大于8D.不大于8

【變式2】（2023上?河北衡水?八年級校聯(lián)考階段練習）如圖2,OP平分N40B,PC1OA,。是。B上的動點，

若PC=3,貝UPD長的裹小值為（）

【變式3］（2023上?山西大同?八年級大同一中校考階段練習）如圖，在等邊三角形4BC中，8C邊上的中線

AD=6,E是力。上的一個動點，尸是邊4B上的一個動點，在點E,尸運動的過程中，EB+EF的最小值是

考點12:點到直線的距離

典例12：（2024上?江蘇南京,七年級校考期末）如圖.PB1AC,PA1PC,垂足分別為B、P.下列說法中

錯誤的是（）

A

A.線段PB的長是點P到AC的距離

B.PA、PB、PC三條線段，PB最短

C.線段AC的長是點4到PC的距離

D.線段PC的長是點C到直線PA的距離

【變式1】（2023上?河南駐馬店?八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在△ABC中，ZC=90°,若力C=6,AD=2CD,

BD平分乙ABC,則點。至必B的距離等于（）

A.4B.3C.2D.1

【變式2］（2023下?山東荷澤?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB1AC,AD1BC,垂足為。，AB=3,AC=4,

BC=5,則點A到直線BC的距離為（）

A.5B.4C.3D.—

5

【變式31（2023下,安徽宿州?七年級統(tǒng)考期中）如圖所示,ABAC=90°,AD1BC,則下列結(jié)論中：①1AC；

②4D與力C互相垂直；③線段4B的長度是點B到4C的距離；@^BAD=^C,其中正確的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

考點13：對頂角與鄰補角

典例13：（2024上?重慶渝中?七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線48,CD相交于點O,^AOD=2乙DOE,若乙BOE=

30°,貝此4。。的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.40°D.45°

【變式1］（2024上?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末）如圖，NC。。是一個平角，OE平分NBOD.請根據(jù)量角器的

【變式2］（重慶市渝北區(qū)2023-2024學年七年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，已知直線48、CD相交于點O,

OE平分4COB,若NEO8=50°,貝此8。。的度數(shù)是（）

【變式3］（2023上?四川達州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，。是直線4B上一點.4BOC=52。,射線。。平分

NAOC,OE1OC,貝UNE。。的度數(shù)為（）

AOB

A.21°B.26°C.36°D.38°

考點14：平行線的判定

典例14：（2023上?黑龍江綏化?七年級?？茧A段練習）如圖，已知4D1BC,EF1BC,垂足分別為。、F,

N2+N3=180°.

求證：Z.GDC=ZB.

（）：SAD1BC,EF1BC（已知）

回乙4DB=4EFB=90°（）

團（）（同位角相等，兩直線平行）

EJZ1+Z2=180°()

SZ2+N3=180°()

0Z1=Z3()

^ABWDG()

0ZGOC=ZB()

【變式1］（2023上?福建泉州,八年級?？计谥校┱埌严铝凶C明過程補充完整.

已知：如圖，B、C、E三點在同一直線上，力、F、E三點在同一直線上，N1=N2=NE,Z3=Z4.求證:

ABWCD.

證明：Z2=乙E,（己知）

II（），

Z3-Z（）

,:z3=z4（已知）

Z4=z（等量代換）.

???zl=Z2（已知）

???z.1+Z.CAF=Z.2+Z.CAF,

即N=Z

z4=z（等量代換），

ABWCD（