圓的綜合（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點題型專項突破

專題26圓的綜合

1.(2020?陜西中考)問題提出：

(1)如圖1,在四邊形N3CD中，AB=AD=3,ZBCD=ZBAD=90°,AC=4.求8C+CD的值.

問題解決：

(2)有一個直徑為30cm的圓形配件O。，如圖2所示.現(xiàn)需在該配件上切割出一個四邊形孔洞O4BC,要求/

。=/8=60°,OA^OC,并使切割出的四邊形孔洞O4BC的面積盡可能小，試問，是否存在符合要求的面積

最小的四邊形O/8C?若存在，請求出四邊形0/8C面積的最小值，及此時的長；若不存在，請說明理

由.

A

圖I

VZBCD=ZBAD=90°,AD=AB,

ZB+ZADC=M0°,

可以將△NBC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得A4DE,

：.ZADE=ZB,AE=AC,NCAE=90°,

：.ZADE+ZADC=1SO°,

：.C.D、E在同一條直線上，

/.CD+DE=CE=42AC=4圾；

(2)如圖2,

圖2

連接。2,

VZAOC=60°,OA=OC,

.?.將繞。點順時針旋轉(zhuǎn)60°至△(%)￡,連接2E,

:./BOE=60°,OE=OB,

是等邊三角形，

：.BE=OB=15,/BEO=60°,ZCBE=ZABO=ZCEO,

：.ZCBE+ZCEB=60°,

：.ZBCE^nO°,

**S四邊形OABC=S4AOB+SABCO=SACOE^S叢BCO

=SABOE-S^BCE

潞巧■S叢BCE，

4

要使四邊形OABC的面積最小，就要使△BCE的面積最大,

作正48防，作它的外接圓。/,作直徑尸C',

當C與C'重合時，SABCE最大，

S^BCE最大二-1.X15X（西X返）=—V3>

2234

??S四邊形O4BC最小=匹?,

2

115

yOE-yL

此時OA=OC=—^-----=告=5?.

cos300返

2

2.（2021?德州中考）已知為△NCD的外接圓，AD=CD.

（1）如圖1,延長4D至點2,使BD=4D,連接C5.

①求證：△NBC為直角三角形；

②若O。的半徑為4,AD=5,求2c的值；

(2)如圖2,若N4DC=90°,E為。。上的一點，且點。，E位于NC兩側(cè)，作△/￡>￡關(guān)于/。對稱的圖形△

ADQ,連接。C,試猜想QC,0。三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.

：.DB=DC.

：.DC^^AB.

2

...△45C為直角三角形;

???AD=CD?

.?.。￡?_1"且/〃=?！?

：0。的半徑為4,

.'.OA=OD=4.

設(shè)DH=x,貝IJOH=4-x,

'：AH2=OA2-OH2,

AH2=AD2-DH1,

.'.52-X2=42-(4-X)2.

解得：x=空.

8

空.

8

由①知：BCLAC,

,：OD±AC,

J.OD//BC.

,:AH=CH,

:.BC=2DH=運.

4

(2)QA,QC,。。三者之間的數(shù)量關(guān)系為：QC2=2QD2+QA2.理由:

延長。/交OO于點尸，連接。F,FC,如圖，

VZADC=90°,AD=CD,

：.ZDAC^ZDCA^45Q.

：.ZDFA=ZE=ZDCA=45°,ZDFC=ZDAC=45°.

：.ZQFC=ZAFD+ZDFC=90°.

:.QC2=QF2+CF2.

'：/\ADQ"ADE關(guān)于AD對稱，

AZDQA=ZE=45°,

：.ZDQA=ZDFA=45°,

：.DQ=DF.

.,.N0DF=18O°-NDQA-NQFD=9Q°.

：.DQ2+DF2=QF2.

即QF2=2DQ2.

\'ZQDF=ZADC=90°,

:./QDA=NCDF.

在和△萬DC中，

rZQAD=ZDCF

<ZDQA=ZDFC=45°>

,DA=DC

:.△QDA/LFDC（//S）.

:.QA=FC.

：.QC2=2QD2+QA2.

3.（2021?湘潭中考）德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分

害I.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”.

（1）特例感知：在圖①中，若/8=100,求NC的長；

（2）知識探究：如圖②，作的內(nèi)接正五邊形；

①作兩條相互垂直的直徑AW、AI；

②作ON的中點尸，以P為圓心，P/為半徑畫弧交。河于點°；

③以點/為圓心，N0為半徑，在O。上連續(xù)截取等弧，使弦連接/氏

則五邊形ABCDE為正五邊形.

在該正五邊形作法中，點0是否為線段（W的黃金分割點？請說明理由；

（3）拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有著密

切的聯(lián)系.

延長題（2）中的正五邊形N3CDE的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點E是線段尸。的黃金分割

點，請利用題中的條件，求cos72。的值.

解：（1）根據(jù)黃金分割點的意義，

得AB-AC=?-1

'AC'

；/2=100,

."C=50遙-50；

(2)。是線段。河的黃金分割點，理由如下：

設(shè)OO的半徑為％則。尸=1?,

2

尸=、0P240A2=苧、

：.OQ=QP-0P=匡.-1?=述］?,MQ=OM-OQ=r-遙］.=&-辰

22222

.MQ=2==3一^^=(3-V^)

"0Q娓TV5-1(V5-1)(V5+1)2

2r

即。是線段。河的黃金分割點；

(3)如圖③，作P”_L4E于"，

由題可知，AH=HE,

???正五邊形的每個內(nèi)角都為(5-2)X18004-5=108°,

；.NPEH=180°-108°=72°,

即cos/P￡77=cos72°=旦11,

PE

???點E是線段PD的黃金分割點，

?DE-V5-1

?-------------,

PE2

又,：DE=AE,HE=AH=LE,

2

.-.cos72°=EH=I^.=1XAE=1XDE=VL1.

PEPE2PE2PE4

圖③

4.（2021?廣州中考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線/：y=L+4分別與x軸，y軸相交于/、3兩點，點

2

P（X,/）為直線/在第二象限的點.

（1）求/、3兩點的坐標；

(2)設(shè)△P/。的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)作△尸NO的外接圓OC,延長PC交0C于點°,當△尸。。的面積最小時，求OC的半徑.

解：(1):直線y=/x+4分別與x軸，y軸相交于42兩點，

當x=0時，y=4；

當y=0時，x=-8,

：.A(-8,0),B(0,4)；

(2),?,點尸(x,y)為直線/在第二象限的點，

??P(x,~^~x+4)，

??^/\APO~QAX(~^~x+4)=4X(/x+4)=2X+16(8<x<0)；

???S=2x+16(-8<x<0)；

(3)9：A(-8,0),B(0,4),

OA=8,05=4,

在RtZXZOB中，由勾股定理得：

^^7OA2-K)B2=782+42=4>/5,

在。。中，??,尸0是直徑，

AZPOQ=90°,

NBAO=NQ,

；?tan。=tanN8/O=工，

????P0二1,

0Q2

：.OQ=2OP,

.??s?o0=}pxOQ=4OPX20P=op2.

/.當S^POQ最小時，則OP最小，

?.?點尸在線段N3上運動，

.,.當時，。尸最小，

；?S/UOB=/xOAx0B卷xABX0P，

._OAXQB8X4875

廿AB=廿5，

*.*sing=sinZBAO,

??O?-P二OB,

PQAB

?~~5~4

「PQy

：.PQ=8,

；.OC半徑為4.

5.（2021?泰州中考）如圖，在O。中，4B為直徑,P為AB上一點,P/=l,PB=m（加為常數(shù)，且%>0）.過點

尸的弦CD_l/8,0為Rk一動點（與點2不重合），AHLQD,垂足為連接BQ.

⑴若"2=3.

①求證：NOAD=60°；

②求氈的值；

DH

（2）用含加的代數(shù)式表示世，請直接寫出結(jié)果；

DH

（3）存在一個大小確定的OO,對于點Q的任意位置，都有BQ1-2DH2+PB2的值是一個定值，求此時N。的

度數(shù).

備用圖

解：（1）①連接OC,如圖:

：.AB=AP+PB=4,

：.OA=OD=1-AB=2,

2

；.0P=04-4P=1=4P,

尸是CM中點，

又CDLAB,

:.CD是04的垂直平分線，

：.AD=0D=0A=2,即△/(?￡)是等邊三角形,

：.ZOAD=60°；

②連接如圖：

?.18是。。直徑，

ZAQB=90°,

'：AH±DQ,

:.NAHD=90°,

：.ZAQB=ZAHD,

VAQ=AQ-

ZADH=ZABQ,

：.4ADHS&4BQ,

?BQ=AB

"DHAD"

由①知：4B=4,AD=2,

.?.世=2；

DH

AZADB=90°,

ZADB=ZAPD,

又NPAD=NDAB,

：./XAPD^￡\ADB,

AD=AP,

"ABAD'

'：AP=\,PB=m,

'.AB—1+m,>田

1+mAD

?"AD=yjl+jf?

與(i)中②同理，可得：斑=3殳，

DHAD

.尋曾=后

DHV1+m

(3)由(2)得四=痂，

DH

：.BQ=y[i^-DH,即802=(1+加)?。//2,

：.BQ2-2DH2+PB2=Cl+m>DH2-2DH2+m2=(w-^?DH2+m2,

2222

若BQ-2DH+PB是定值，則（加-1"OH+加2的值與DH無關(guān),

當心=1時，B?-2DH2+PB2的定值為1,此時P與。重合，如圖:

c

"JABLCD,CM=OD=1,

...△NOD是等腰直角三角形，

：.ZOAD=45°,

,?,BD=BD-

AZBQD=45°,

故存在半徑為1的o。，對Q的任意位置，都有BQ2-2DH2+PB2是定值1,此時N2QD為45°.

6.（2021?宜昌中考）如圖，在菱形N8CD中，。是對角線8。上一點（BO>DO）,OELAB,垂足為E,以。E為

半徑的。。分別交DC于點交￡。的延長線于點尸，EF與DC交于點G.

（1）求證：8c是的切線；

（2）若G是。尸的中點，OG=2,0G=1.

①求命的長；

②求ND的長.

解：（1）證明：如圖1,過點。作。ML8c于點初,

,:BD是菱形/BCD的對角線，

NABD=NCBD,

\'OM±BC,OELAB,

：.0E=0M,

是。。的切線.

圖1

(2)①如圖2,

圖2

：G是。廠的中點，OF=OH,

:.OG=LOH,

2

'：AB//CD,OE±AB,

：.OF.LCD,

：.NOGH=90°,

.?.sinZG//O=A,

2

：.ZGHO=30°,

：.ZGOH=60°,

：.ZHOE=nO0,

；0G=2,

：.OH=4,

由弧長公式得到黃的長：12絲4X兀=2.

1803

②如圖3,過工作ZNLBD于點N,

'：DG=\,OG=2,OE=OH=4,

；.OD=泥，02=2旄，

2

△DOGsADAN,

??-O-D-二DG,

ADDN

7.(2021?寧波中考)如圖1,四邊形/BCD內(nèi)接于。。,AD為直徑，俞上存在點E,滿足金=而，連結(jié)BE并延

長交CD的延長線于點尸，BE與AD交于點、G.

(1)若/￡>8C=a,請用含a的代數(shù)式表示//GB.

(2)如圖2,連結(jié)CE,CE=BG.求證：EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)CG,AD=2.

①若tan/4D2=^,求△FG。的周長.

②求CG的最小值.

圖3

ZABG=ZDBC=a,

：.ZAGB^90°-a；

(2)為。。的直徑,

AZBCD=90°,

:.NBEC=/BDC=90。-a,

：.ZBEC=/AGB,

VZCEF=180°-Z.BEC,ZBGD=1SO°-ZAGB,

：.ZCEF=ZBGDf

又?：CE=BG,NECF=NGBD,

:?△CFEQABDG(ASA),

:.EF=DG；

(3)①如圖，連接。E,

----------------7C

???5。為。。的直徑，

；?NA=NBED=90°,

在RtZXZAD中，tanNADB=遮,40=2,

；?AB=y^~XAD=73,

2

AE=CD-

.1.AE+DE=C^DE)

即面=翁，

:.AD=CE9

,:CE=BG,

:?BG=AD=2,

???在RtZ^45G中，sinN/GB=3^=

AZAGB=60°,AG=l-BG=l,

：.EF=DG=AD-AG=1,

???在RtZXOEG中，ZEGD=60°,

.?.￡G=4G=LDE=

2222

在Rt△F￡￡>中，^F=7EF2+DE2='

FG+DG+DF=空巨，

2

:ZGD的周長為史無；

2

②如圖，過點C作。用」3尸于〃，

:.BD=CF,/CFH=NBDA,

VZBAD=ZCHF=90°,

:.ABADmACHF(AAS),

：.FH=AD,

;AD=BG,

：.FH=BG,

'：ZBCF=90°,

：.ZBCH+ZHCF=90°,

,:NBCH+NHBC=9Q°,

：.ZHCF=ZHBC,

,：ZBHC=ZCHF=90°,

:.叢BHCs叢CHF,

.BH=CH

"CHFH"

設(shè)GH=x,

：.BH=2-x,

：.C用=2(2-x),

在RtZ\G〃C中，CG2=G〃2+C7/2,

：.CG2=X2+2(2-x)=(x-1)2+3,

當x=l時，CG2的最小值為3,

；.CG的最小值為

8.(2021?溫州中考)如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過原點O,分別交x軸、y軸于點/(2,0),B(0,8),

連結(jié)/反直線CAf分別交O"于點。，￡(點。在左側(cè))，交x軸于點C(17,0),連結(jié)

(1)求的半徑和直線CM的函數(shù)表達式；

(2)求點D,E的坐標；

(3)點尸在線段NC上，連結(jié)尸E.當/NEP與△08。的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的。尸的長.

解：⑴VZAOB=90°,

為?！钡闹睆?

?.?點〃■是48的中點，則點加(1,4),

則圓的半徑為AM^7(2-1)2+42=

設(shè)直線CW的表達式為>=履+6,則17k+b=0

k+b=4

故直線CM的表達式為y=-*+1；

(2)設(shè)點。的坐標為(x,-Ar+_lj_),

44

由4M=?j得:(x-1)2+(-1.X+1L-4)2=(百方2,

44

解得x=5或-3,

故點。、￡的坐標分別為(-3,5)、(5,3)；

(3)過點。作?！癬L08于點〃，則。H=3,BH=8-5=3=DH,

故/。8。=45°,

由點/、E、B、D的坐標得，4E=q（5―2）2+（0-3）2=3^"^，

同理可得：BD=3近,08=8,

①當4080=45。時，

則為等腰直角三角形，EPLAC,

故點P的坐標為（5,0）,

故。尸=5；

②時，

AEAP=ZDBO,

③時，

ZEAP=ZDBO,

：.AEAPsAOBD,

AAE=AP；即心巨解得/尸二旦，

OBBD83724

則PO=2+^-=XL,

44

綜上所述，OP為5或10或工L

4

9.（2021?泰安中考）如圖1,。為半圓的圓心，C、。為半圓上的兩點，且而=向.連接/C并延長，與8。的延

長線相交于點E.

（1）求證：CD=ED；

（2）AD與OC,8c分別交于點足H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CF?AF=FO,AH；

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求NC的值.

圖2

(1)證明：如圖1中，連接8C.

圖1

??,DC=BD>

ZDCB=ZDBC,

是直徑,

:.NACB=NBCE=9Q°,

AZE+ZDBC=90°,NECD+NDCB=90°,

ZE=ZDCE,

：.CD=ED.

(2)①證明：如圖2中,

ZCFH=ZCHF,

'：NAFO=ZCFH,

NAFO=NCHF,

BD=CD-

：.ZCAD=ZBAD,

:.AAFOsL4HC,

A-FOF

AHCH

A-FOF

，，

AHCF

：.CF'AF=OF'AH.

②解：如圖3中，連接交BC于G.設(shè)。G=x,則。G=2-x.

,?,CD=BD)

：.ZCOD^ZBOD,

'：OC=OB,

：.OD±BC,CG=BG,

在RtAOCG和RtABGD中，則有22-N=P-(2-x)2,

.,.x=工，即OG=工，

44

；OA=OB,

：.OG是△/3C的中位線，

；.OG=LC,

2

.?./c=工.

2

10.(2020?廣州中考)如圖，o。為等邊△48C的外接圓，半徑為2,點。在劣弧篇上運動(不與點4,8重合),

連接DB,DC.

(1)求證：DC是的平分線；

(2)四邊形/D2C的面積S是線段。C的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由;

(3)若點N分別在線段C4,C8上運動(不含端點)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點