中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點強(qiáng)化訓(xùn)練：三角形及基本性質(zhì)（分層訓(xùn)練）解析版

專題03三角形及基本性質(zhì)（分層訓(xùn)練）

分層訓(xùn)練

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期末）在下列長度的三條線段中，能組成三角形的是（）

A.1,2,4B.2,3,4C.3,5,8D.8,4,4

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系"任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析.

【詳解】/、1+2<4,不能組成三角形，故此選項錯誤；

8、2+3>4,能組成三角形，故此選項正確；

C、3+5=8,不能夠組成三角形，故此選項錯誤；

D、4+4=8,不能組成三角形，故此選項錯誤.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大

于第三個數(shù).

2.（2023?山東淄博?統(tǒng)考二模）已知平行四邊形ABCD的一邊長為5,則對角線AC,BD的長可取下列數(shù)據(jù)中

的（）

A.2和4B.3和4C.4和5D.5和6

【答案】D

【分析】由三角形三邊關(guān)系可得三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

【詳解】解：由于兩條對角線的一半與平行四邊形的一邊組成一個三角形，

所以;（AC-BD）<5<|（AC+BD）,

由題中數(shù)據(jù)可得，AC和BD的長可取5和6,

故選D.

【點睛】本題考查了平行四邊形對角線互相平分及三角形三邊關(guān)系問題，能夠熟練求解此類問題.

3.（2023下?河北保定?七年級統(tǒng)考期末）如圖，為估計池塘岸邊48兩點的距離，小方在池塘的一側(cè)選取

一點。，測得。A=7米，OB=5米，A,8間的距離不可能是（）

o

A.12米B.10米C.5米D.8米

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可判斷結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：。4一OB<4B<+OB,

即：2<AB<12,

故選：A.

【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟記基本性質(zhì)并靈活判斷是解題關(guān)鍵.

4.（2023?山東泰安?模擬預(yù)測）如圖，一副三角板疊在一起，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角板的

斜邊AB上，AC與DE交于點M,如果NBDF=105。，則乙的度數(shù)為（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】C

【分析】先根據(jù)平角的概念求出乙40M的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可得出答案.

【詳解】4BDF=105°,AEDF=30°

???/.ADM=180°-Z.EDF-乙BDF=180°-30°-105°=45°

???^CAB=45°

???^AMD=180°-ACAB-AADM=180°-45°-45°=90°

故選：C.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理及平角的概念，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，在中，AB=AC,點。為線段BC上一動點（不與點5,C重

合），連接4D,作NADE=NB=40°,DE交線段AC于點E.

下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論:

甲同學(xué)：4ABD?ADCE；

乙同學(xué)：若=則BD=CE；

丙同學(xué)：當(dāng)DEL2C時，。為BC的中點.

則下列說法正確的是（）

A.只有甲同學(xué)正確B.乙和丙同學(xué)都正確

C.甲和丙同學(xué)正確D.三個同學(xué)都正確

【答案】D

【分析】在AABC中，依據(jù)三角形外角及已知可得N84D=NCOE,結(jié)合等腰三角形易證A4BD~AOCE；

結(jié)合an=DE,易證△ABDSADCE,得至=CE；當(dāng)DE1AC時，結(jié)合已知求得NEDC=50°,易tiE4D1

BC,依據(jù)等腰三角形"三線合一"得BD=CD

【詳解】解：在AABC中，

???AB=AC,

Z-C=Z-B=40°,

vZ.B+Z-BAD=Z.CDE+Z-ADE,Z.ADE=z_B=40°,

???Z-BAD=乙CDE,

ABD—△DCE,

甲同學(xué)正確；

vZ-C=Z-B,乙BAD=Z.CDE,AD=DE,

ABD=△DCE,

BD=CE,

乙同學(xué)正確；

當(dāng)。E1/C時，

???（DEC=90°,

???(EDC=90°-ZC=50°,

???^ADC=Z.ADE+乙EDC=90°,

???AD1BC,

vAB=AC,

BD=CD,

。為BC的中點，

丙同學(xué)正確；

綜上所述：三個同學(xué)都正確

故選：D.

【點睛】本題考查了二角形外角、相似二角形的判定、全等二角形的判定和性質(zhì)、等腰二角形的性質(zhì)；解

題的關(guān)鍵是通過"三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和"得到484。=MDE.

6.（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，已知直線a||b,與直線c分別交于/、8兩點，點C在直線6上，點。

在線段4B上，連接CD,若41=45。，42=70。，則NBDC的度數(shù)為（）

A.65°B.55°C.50°D.45°

【答案】A

【分析】由平行線的性質(zhì)得到ADBC=42=70。，由三角形內(nèi)角和定理即可求出NBDC的度數(shù).

【詳解】解：圈allb,

S/.DBC=42=70°,

0Z1+Z.DBC+Z.BDC=180°,Z1=45°,

0ZBDC=65°.

故選：A.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)

鍵.

7.（2023?北京??？家荒＃┤鐖D，C表示燈塔，輪船從A處出發(fā)以每時30海里的速度向正北（AN）方向航

行，2小時后到達(dá)B處，測得C在A的北偏東30。方向，并在B的北偏東60。方向，那么B處與燈塔C之間

的距離為（）海里.

A.60B.80C.100D.120

【答案】A

【分析】將方位表示的角度轉(zhuǎn)化為題目中對應(yīng)角的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)可求出回C=30。，再根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：00NBC=[3A+0C,0NBC=60°,HA=30°

03C=3O°.

EEABC為等腰三角形.

船從A到B以每小時30海里的速度走了2小時，

0AB=BC=6O海里.

故答案選A.

【點睛】本題考查了方向角的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是

解答本題的關(guān)鍵..

8.（2023?北京豐臺?二模）如圖，在A/BC中，05=60°,13c=50。，如果平分皿C,那么EL4D8的度數(shù)

是（）

A

BDC

A.35°B.70°C.85°D.95°

【答案】c

【分析】先據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出回BAC的度數(shù),再據(jù)角平分線定義求得朋AD的度數(shù)，最后求得回ADB度

數(shù).

【詳解】在E1ABC中：

fflB+ElC+0BAC=18Oo,ES=60°,fflC=50°

0EBAC=18O°-60°-50°=70°；

又HAD平分aa4c

11

m^BAD=-Z.BAC=±x70°=35°

22

在IBBAD中：

00B+0ADC+0BAD=18O°

EEADB=180°-60°-35°=85°.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線意義.靈活運用三角形內(nèi)角和定理、角平分線意義進(jìn)行角

的計算是解題關(guān)鍵.

9.（2023?安徽淮南?校聯(lián)考二模）已知三角形紙片4BC,其中NB=45。，將這個角剪去后得到四邊形4DEC,

則這個四邊形的兩個內(nèi)角乙4DE與NCED的和等于（）

A.235°B.225°C.215°D.135°

【答案】B

【分析】先由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合回B的度數(shù)即可得出EIBDE+EIBED的度數(shù)，再根據(jù)（3BDE與國ADE互補(bǔ)、回BED

與IBDEF互補(bǔ)，即I3BDE+EIADE+13BED+EIDEF=36O°,即可求得NZDE+NCED的大小.

【詳解】解：EZB=45°

00BDE+0BED=18O°-45°=135°

又REBDE與mADE互補(bǔ)、UIBED與I3DEF互補(bǔ)

EBBDE+回ADE+E1BED+EIDEF=36O°,即NADE+NCED=360°-135°=225°.

故答案為B.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及補(bǔ)角的定義，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出回BDE+田BED的度數(shù)是

解答題本題的關(guān)鍵.

10.（2023?新疆烏魯木齊?烏魯木齊八一中學(xué)?？级＃┤鐖D，在△ABC中，^BAC=108°,將AABC繞點2按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△44C，，若點夕恰好落在邊上，且a9=。9，則的大小為（）

c

B’

A.20°B.24°C.28°D.32°

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得454夕，已知/夕二。夕，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，

得勖二的夕慶2回C,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出回。度數(shù)，再由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出回C度數(shù).

【詳解】解：四"二CQ,

團(tuán)團(tuán)C=。8',

回胤45'5=團(tuán)。+團(tuán)。5'=2回C,

團(tuán)將445。繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到夕C,

團(tuán)團(tuán)CMEC,AB=AB,,

團(tuán)勖二回國C,

團(tuán)財+回C+團(tuán)C45=180°,

團(tuán)3團(tuán)。=180°-108°,

團(tuán)團(tuán)。二24°,

團(tuán)團(tuán)C=回。=24°,

故選：B.

【點睛】題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì).根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

及三角形的外角性質(zhì)，得魴、回。的關(guān)系為解決問題的關(guān)鍵.

11.（2023?山東濟(jì)南,統(tǒng)考二模）如圖，/施CD,EF分別與AB,CD交于點5,F.若姐=20。，團(tuán)￡尸C=130。，

則的的度數(shù)是（）

E

A--------------------7B

CFD

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】直接利用平行線的性質(zhì)得出助39=50。，進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：EL4施CO,

EB48尸+EI￡FC=180°,

HIE產(chǎn)C=130°,

EBA89=50°,

0EL4+0￡=EL45F=5O°,05=20°,

0EL4=3O°.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，正確得出回ABF=50。是解題的關(guān)鍵.

12.（2023上?遼寧盤錦?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在13ABe中，回ABC的平分線與回ACB的外角平分線

【答案】D

【分析】根據(jù)已知得出NDBC=|-1BC,Z.DCE=^ACE,根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和得

出NDCE=/.DBC++/.ABC=NACE,進(jìn)而得出［/ABC+z_0=+zXBC）,即可求得NA的值.

【詳解】解：???NZBC的平分線與41cB的外角平分線交于D,

11

???乙DBC=-￡.ABC,乙DCE=-/.ACE,

22

vZ-DCE=Z-DBC+乙D,Z-A+Z-ABC=Z-ACE,

ii

???-^ABC+Z.D=-￡.ACE,

22

BP|Z.ABC+40=（（NA+/.ABC},

解得：［乙4=30。，

Z-A=60°,

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?廣東中山?統(tǒng)考三模）如圖，在中，乙4=40。，以點C為圓心，任意長度為半徑畫弧，交

AC的延長線和BC于點D、E,分別以￡為圓心，大于］DE的長為半徑畫弧交于點F,連接CF,若加,

則NB的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】由題意得c尸是asco的角平分線，結(jié)合平行線、三角形外角可得的與魴的關(guān)系，即可得到答案.

【詳解】解：由題意得Cb是勖CD的角平分線，

^\BCF=^DCF,

又回CFII4B,

^B\B=^BCF=BDCF,

又EEL4+E15=a8CD

即財+05=205

甌8=40°.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形外角，角平分線、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

（2X+3

14.（2022下?陜西西安,八年級統(tǒng)考期中）等腰△ABC中一邊長為3,另外兩邊長為不等式組=二“一的

13%+2>11

兩個不同整數(shù)解，則△ABC的周長為（）

A.10或11B.10或12C.n或12D.10或13

【答案】A

【分析】先求不等式組的解集，確定正整數(shù)范圍；根據(jù)等腰M8C中一邊長為3,另外兩邊長為其中兩個不

同整數(shù)解求出邊長即可求解.

'^1>x—3①

【詳解】解：5-％3°

3x+2>11（2）

由①得x<6

由②得3Wx

團(tuán)不等式組得解集是3<%<6

回在這個范圍內(nèi)的正整數(shù)解是：3、4、5、6

回等腰中一邊長為3,另外兩邊長為其中兩個不同整數(shù)解

國兩邊長可能是3、4；3、5；

周長是：10或者11

故選：A.

【點睛】此題考查不等式組的解集和三角形邊長性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求出不等式組的解集和利用三角

形三邊之間的關(guān)系確定邊長.

15.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖,在矩形ABCD中,AD=V2AB,^BAD的平分線交BC于點、E.DHS^LE

于點H,連接并延長交CD于點R連接DE交昉于點O,下列結(jié)論：①AD=AE；②HAEDRCED；

③OE=OD；④BH=HF；⑤BC-CF=2HE,其中正確的有（）

AD

BEC

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得加E=ED4B=45。，然后求出姐BE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角

形的性質(zhì)可得從而得到即可判斷①；由得到0AE7AEL4OE,再由NOE13C,即

可得到EL4DE=I3CED,即可判斷②；證明/AEBMffl)即可推出由三角形內(nèi)角和定理

得到明?！?明班=，180°—0￡>/￡)=67.5°,^ADH=SDAH=^5°,SCED=SAED=67.5°,EL4H5=EL4SH=|(180°

SBAH)=67.5°,從而推出配歸E=67.5°=EL4E。，得至lj0￡=0H,再由皿/。=皿花-0。//￡=22.5°,SODH

=SADE-^ADH=22.5°,推出。打=。。，即可判斷③；再證明勖￡7型Effl才得到9即可判

斷④；再由HE=AE-AH=BC-CD,得到8C-CF=8C—QCD—DFb=BC~(CD—HE)=(BC-CD)

+HE=HE+HE=2HE即可判斷⑤.

【詳解】解：回四邊形/BCD是矩形，

EESAD=EL43E=90°,ADSBC

EL4E平分的ID,

^BAE=WAE=^BAD^^°,

2

^ADUBC,

釀。/￡*=的砂=45°,

^AEB=^BAE=^°,

^\AB=BE,

^AE=7AB2+BE2=&AB,

刻。=42AB

^AD=AE,故①正確；

mAED=^\ADEf

^AD^BC,

^ADE^CED.

^AED^CED,故②正確;

[2LD/7I2L4E,

皿加出290°

在的5￡和的加中，

(Z.BAE=Z.DAE

\^ABE=乙AHD，

(AE=AD

^\ABE^\AHD(44S),

^BE=DH,

^AB=BE=AH=HD,

。，

^\ADE=^AED=2-(180°—M4E)=67.5^ADH=^DAH=45°

團(tuán)團(tuán)CEZ)=西￡。=67.5°,

^\AB=AH,

mAHB=^ABH=^(180°—膽4")=67.5°,^\OHE=^AHB(對頂角相等),

團(tuán)團(tuán)O7ffi=67.5°=的助，

由OE=OH,

mDHO=BDHE-^\OHE=22.5°,^\ODH=^ADE-^ADH=22.5°,

mDHO^ODH,

團(tuán)OH=OD,

國OE=OD=OH,故③正確；

------彳。

^\EBH=^\ABE-^ABH=22.5°,

^\EBH=^OHD,

在魴EH和團(tuán)4Db中,

Z.EBH=乙OHD=22.5°

BE=DH

^LAEB=乙HDF=45°

^BEH^HDF(ASA),

^BH=HF,HE=DF,故④正確；

WE=AE-AH=BC-CD,

WC-CF=BC~(CD-DF)=BC~(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故⑤正確；

故選D.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等

腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

二、填空題

16.(2023下?陜西西安?七年級高新一中?？茧A段練習(xí))在4ABC中，乙4+NB=115°,則NC=.

【答案】65。/65度

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。，可得N4+ZB+ZC=180°,再結(jié)合44+48=115。即可求出NC的度

數(shù).

【詳解】解：?；乙4+乙8+乙。=180。，

???ZC=180°-+乙B)=65°,

故答案為：65°.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和的度數(shù)，掌握三角形內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵.

17.(2023下?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？计谥?如圖，在4ABC^ABCC中，N4=80°,

4ABD=55°,^ACD=20°,則4。=°,

【答案】115

【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)交于點E,

D

BC

則：乙BEC=乙4+/.ABD=z_0+AACD,

0ZX=80°,乙ABD=55°,^ACD=20°,

KIND=80°+55°-20°=115°；

故答案為：115.

【點睛】本題考查外角的性質(zhì).熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖是一副三角尺拼成四邊形22C。，E為斜邊BD的中點，貝此4。￡"=.

【答案】15。

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求得4E=DE=BE=CE=\BD,從而由含30。、

45。角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)可得到N4ED=60。、同時由等腰三角形的三線合一

可得到4CED=90。，進(jìn)而由角的和差可求得乙4EC=150。，然后由等腰三角形的等邊對等角以及三角形的

內(nèi)角和定理即可求得答案.

【詳解】解：團(tuán)在中，/.BAD=90°,E為斜邊8。的中點；

在RtABCD中，L.BCD=90°,E為斜邊BQ的中點

1

^AE=DE=BE=CE=-BD

2

國乙ADB=60°；BC=DC

回△40E是等邊三角形；CE1BD

^AED=60°；乙CED=90°

^AEC=Z.AED+乙CED=150°

團(tuán)在等腰△/CE中，乙4?！?竺亭空=15。.

故答案是:15。

【點睛】本題考查了含30。、45。角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、

角的和差、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

19.（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?八年級?？计谥校┤鐖D，AB^CD,團(tuán)C42和a4co的平分線相交于8點，￡為ZC的

中點，若EH=4.則/C=_.

【分析】根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)可得，^AHC=90°,再利用直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：HABIICD

0ZBXC+/-DCA=180°

由題意可得：4H平分ABAC,CH平分ADC4

0ZW4C=-ABAC,乙HCA=-ADCA

22

11

^HAC+^HCA=-Z,DCA+-^BAC=90°

22

團(tuán)乙AHC=90°

又蛇為4C的中點

-i

SEH=jXC,即AC=2EH=8

故答案為8

【點睛】此題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，涉及了平行線和角平分線的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.

20.（2022下?貴州畢節(jié)?八年級統(tǒng)考期中）如圖，將A48C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至ZkOEC,使點。落在8C的延

長線上，已知&4=26°,05=40°,則GL4CE=.

D

【答案】48。/48度

【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出EUCD=67。，再由A/BC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△DEC,得到

LABC^&DEC,證明aBCE=EL4CD,利用平角為180。即可解答.

【詳解】解：0EL4=26°,05=40°,

0EL4CD=EL4+E3=26°+4O°=66°,

fflABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△￡>口?,

0EL45C00Z）￡C,

SBACB=mDCE,

^\BCE=SACD,

EIEBCE=66°,

00^^=180°-a40）-05^=1800-660-660=480.

故答案為：48。.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到△43C13m）EC.

21.（2022下?北京?七年級北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┤鐖D1,為響應(yīng)國家新能源建設(shè)，某市公交站

亭裝上了太陽能電池板.當(dāng)?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光（平行光線）與水平線最大夾角為62。，如圖2,電池板

與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，此時電池板CD與水平線夾角為48°,要使48||CD,需將電池板CD

逆時針旋轉(zhuǎn)a度，貝以為____.（0<a<90°）

\48

（圖1）（圖2）

【答案】20。/20度

【分析】求出蛇。尸的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出四缶0￡>=始。尸=28。,再求出答案即可.

AC

。工k

【詳解】BD

品歷產(chǎn)。=90°,

aaoE/=62°,

EEEO=180°-90°-62°=28°,

EL450CZ),

EEA@）=EI￡O尸=28°,

團(tuán)要使48團(tuán)CD,需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)a度，

回a°=48°-28°=20°

故答案為：20.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義等知識點，能求出必0D

的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

22.（2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，小正方形邊長為1,則西3c中/C邊上的高等于—.

【答案】詈

【分析】用大正方形面積減去外面三個小三角形的面積就是S"BC，再用勾股定理算出AC的長，即可算出B

到AC邊上的距離.

【詳解】解：過2作水泡4。，交NC于點G,

在RtEL4CF中，AF=2,CF=1,

根據(jù)勾股定理得：AC=y/CF2+AF2=V5,

113

回SMBC=S正方形AFED-SABCE-SAABD-S^ACF—^--xlxl-2x-x2xl=",

S^ABC=^AC?BG,

星XV5BGT

22

則8G耆.

故答案為：手.

DA

止

Ec.F

【點睛】本題考查了三角形的勾股定理及三角形面積相關(guān)的知識點，考生應(yīng)熟練掌握.

23.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考一模）如圖，在AdBC中，NC=90。，點。為4C上一點,

/.ABD=45°,2.ABD=2ABAC,若4D=4,則BC的長為.

【答案】2

【分析】如圖，作DE1BD交48于E,可知=90°,^BED=1800-A.ABD-乙BDE=45。,貝=DE,

BE=-^―=近BD,由題意得N84C=22.5°,由ZBEO=N2+/.ADE,可求ZJ1DE=22.5°,則4E=DE,

cos45°

AB=BE+AE=V2BD+BD=(y/2+i)BD,證明△ABCBDC,則些=—=—,即些=—=^+1)BD,

整理得BC=(迎+1)CD,4+CD=(V2+1)BC,貝=(魚+1)[(&+1)BC-4],計算求解即可.

【詳解】解：如圖，作0E_LBD交4B于E,

SZ.BDE=90°,

^Z.ABD=45°,

fflzSED=180°-2LABD-乙BDE=45°,

0BD=DE,BE=-^-=&BD,

cos45°

包乙ABD=2/-BAC,

^BAC=22.5°,

^BED=^A+AADE,即45。=22.50+/4OE,

解得“OE=22.5°,

^AE=DE=BD,

^AB=BE+AE=V2BD+BP=(V2+1)BO,

^ABC=180°-ABAC-Z-C=67.5°,乙DBC=/-ABC一乙ABD=22.5°,

^BAC=Z-DBC,

^\Z-BAC=乙DBC,乙ACB=Z-BCD,

ISAABCfBDC,

「8cACAB口BC4+CD_(V2+1)BD

團(tuán)1一=—=—,即n一=---

CDBCBDCDBCBD

整理得BC=(V2+1)CD,4+CD=(V2+1)BC,

則BC=(V2+1)[(V2+1)BC-4],

解得BC=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.解

題的關(guān)鍵在于正確的添加輔助線.

24.（2022,山東聊城,統(tǒng)考一模）如圖，在4/臺。中，^CAB=70°,在同一平面內(nèi)，將A/BC繞點/逆時針

旋轉(zhuǎn)到的位置,使CC1I4B,作夕DIIAC交3C于點D,則乙4B'C=

【答案】30。/30度

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得/CMC',SCAB=SC'AB',由平行線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得回C/C；

進(jìn)而求得回C4夕即可解答;

【詳解】解：BCCWAB,

^C'CA=SCAB=70°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=AC',BCAB^BC'AB'=70°,

ffiL4CC'=EL4C'C=70°,

00C,^C=18O°-7OO-7O°=4O°,

EBCAB'=國C'A8'-E1C'/C=7OJ4O°=3O°,

SB'DWAC,

^B'D=SCAB'=30°,

故答案為：30。.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)；掌握旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

25.（2023上?重慶?八年級重慶市大學(xué)城第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，E是BC上一點，3EC=

5BE,點尸是4C的中點，若S-BC=12,貝IJS-BD的值為

【答案】」/3V

【分析】過點尸作FGIIBC交BC于點G,根據(jù)點F是4C的中點，求出治人砰=S.CF=（S^ABC=6,設(shè)BE為

3%,則CE為5x,根據(jù)FGWBC,得到△CFG-△CAE,△BDE-△BGF,由相似三角形的性質(zhì)可得段=蕓=[

CECA2

器=隈,進(jìn)而表示出BG的長，求出翌的值，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點尸作FGIIBC交BC于點G,

A

團(tuán)點尸是ac的中點,

回=S^BCF~2=6,

團(tuán)3EC=5BE,

「BE3

設(shè)BE為3x,貝！|CE為5尤,

EIFGWBC,

CFG-△CAE,△BDE—△BGF,

CG__1BE_BD

CE~CA~2fBG~BF

15

^G=-CE=-x,

511

團(tuán)=-x+3%=—%

22

「BD_BE_3x_6

BF~BG~—x~11

2

回SMBD=五S—BF=~,

故答案為停.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積比等于底邊的比，解題的關(guān)鍵是利用

相似三角形的性質(zhì)求出器的值.

BF

三、解答題

26.（2023?山西太原?統(tǒng)考一模）如圖，回。是AABC的外接圓，EL405=96°,EO8=60。，點。是廢的中點.求

EL4SD的度數(shù).

A

【答案】SABD=W2°.

【分析】根據(jù)團(tuán)C48=60。，可得比經(jīng)120。，再由點。是此的中點可得6260。，由圓周角定理可知回CBD

=30°,由此即可求出EMAD的度數(shù).

【詳解】解：m。3=96。，

EEL4c8=48°,

B3C48=60°,

m

0EL4SC=180°-BACB-SCAB=72°,廢=120°,

又回點。是此的中點，

0CS=60°,

00C5Z）=30°,

0EL4SD=SABC+BCBD=102°.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，找準(zhǔn)同弧所對圓周角和圓心角是解題關(guān)鍵.

27.（2023下?河北唐山?七年級統(tǒng)考期末）如果一個三角形的一邊長為5cm,另一邊長為2cm,若第三邊長

為xcm.

⑴第三邊x的范圍為.

⑵當(dāng)?shù)谌呴L為奇數(shù)時，求出這個三角形的周長，并指出它是什么三角形（按邊分類）.

【答案】（1）3<x<7

（2）12cm底邊和腰不相等的等腰三角形

【分析】（1）三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，據(jù)此可求得答案.

（2）先求得第三邊的長度，然后計算三角形的周長并按邊的相等關(guān)系分類即可.

【詳解】（1）根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊，則

%<5+2.

即％<7.

根據(jù)三角形兩邊的差小于第三邊，則

5—2<%.

即3Vx.

綜上所述

3<%<7.

故答案為：3<x<7.

(2)回第二邊的長為奇數(shù)，

回第三邊的長為5cm.

回三角形的周長=5+5+2=12(cm).

回兩條邊的長為5cm,另外一條邊的長為2cm,

國這個三角形是底邊和腰不相等的等腰三角形.

【點睛】本題主要考查三角形三邊之間的大小關(guān)系以及三角形按邊的相等關(guān)系分類，牢記三角形三邊之間

的大小關(guān)系(三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊)和三角形按邊的相等關(guān)系分類是

解題的關(guān)鍵.

28.(2023上?福建廈門?八年級校考期中)如圖，在A4BC中，

(1)CE是A4BC的外角N4CD的平分線，且交B4的延長線于點E(依題意補(bǔ)出圖形).

(2)NB=40°,AAEC=30°,求ABAC的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)100°

【分析】(1)根據(jù)題意作圖即可；

(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出4EC。，根據(jù)角平分線定義求出乙4CD,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可.

【詳解】(1)如圖所示：

E

(2)ZF=40°,/.AEC=30°,

???4DCE=NB+乙AEC=40°+30°=70°,

vCE平分"CD,

.-.Z.ACD=2Z.DCE=140°,

ABAC=AACD-乙B=140°-40°=100°.

【點睛】本題的關(guān)鍵是掌握三角形外角性質(zhì)，并能靈活運用定理進(jìn)行推理.

29.(2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在AABC中，AB=aC,4￡＞為△ABC的角平分線.以點2圓心，

長為半徑畫弧，與4B,AC分別交于點E,F,連接DE,DF.

⑴求證：△4DE三AADF；

(2)若ABAC=80°,求NBDE的度數(shù).

【答案】⑴見解析

⑵乙BDE=20°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得出NB40=NC4D,由作圖可得4E=aF,即可證明△4DE三AAD尸；

(2)根據(jù)角平分線的定義得出4E4D=40。，由作圖得出AE=AD,則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角

形的性質(zhì)得出乙4DE=70°,AD1BC,進(jìn)而即可求解.

【詳解】(1)證明：刻。為△ABC的角平分線，

回4=Z.CAD,

由作圖可得AE=4F,

在AADE和AADF中，

'AE=AF

/.BAD=Z.CAD，

.AD=AD

[3AADE=△ADF(SAS)；

(2)0Z5XC=80°,4。為△ABC的角平分線，

SZ.EAD=40°

由作圖可得AE=ZD,

ELG4DE=70°,

EL4B=AC,4。為AZBC的角平分線，

EL4D1BC,

^Z.BDE=20°

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等

腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

30.(2023?山西?統(tǒng)考一模)如圖，在13ABe中，AD0BC于點D,點E為BD邊上一點，過點E作EG0AD,

分別交AB和CA的延長線于點F,G,0AFG=0G.

(1)證明：0ABD00ACD

(2)若回B=40°,直接寫出E1FAG=:

【答案】(工)詳見解析；(2)80

【分析】(1)由已知條件可直接得到AD為公共邊,0ADB=I3ADC=9O。,據(jù)兩直線平行間接可得到E1CAD=EIBAD,

即可判定tSABDEHACD(ASA)；

(2)利用(1)中結(jié)論易求得此度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得4凡4G的度數(shù).

【詳解】解:(1)SAD1BC,

國乙4DB=Z4PC=90°

SGE//AD,

=NG,乙4FG=/.BAD.

^Z-AFG—z_G,

0zCi4D=4BAD.

在448。和44。。中，

(ABDA=Z.CDA

AD=AD

{/.BAD=7.CAD

^AABD^AACD(.ASA)

(2)解：由(1)44BDE1ZMCD可得：NB=4

03B=4O",

EEC=40°,

E1ZF4G=ZB+NC=40°+40°=80°,

故答案為：80°.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及三角形外角的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)證明/以。=NB4D是

解題的關(guān)鍵.

31.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，BD是448c的角平分線，AE1BD,垂足為F.若N28C=36°,ZC=

44°,求NE4C的度數(shù).

【答案】/-EAC=28°.

【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得ABAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得N4BD的度數(shù)，由4E_L

BD得到NB4F=72°,即可求解.

【詳解】解：^ABC=36°,ZC=44°,

EZBXC=180°-36°-44°=100°.

I3BD平分2BC,

^ABD=LBC=18°.

2

^\AE1BD,

^BFA=90°,

SABAF=90°-18°=72°,

SZ.EAC=4BAC-^BAF=100°-72°=28°.

【點睛】本題考查角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等內(nèi)容，靈活利用三角形內(nèi)角和定理求角度是解題

的關(guān)鍵.

32.（2023廣東汕頭?統(tǒng)考一模）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,0AOB=fflCOD=4O",

連接AC,BD交于點M,

c

c

圖2

0AMB的度數(shù)為.

(2)類比探究，如圖2,在AOAB和AOCD中，0AOB=0COD=9O0,0OAB=0OCD=3O°,連接AC交BD的延長

線于點M,請判斷黑的值及回AMB的度數(shù)，并說明理由:

BD

【答案】（1）1；40°；（2）黑的值為舊，NAMB的度數(shù)為90。，理由見解析.

BD

【分析】（］）利用S4S定理證出ACOAMADOB,根根三角形全等的性質(zhì)可得堂的值；再由三角形全等的性

BD

質(zhì)得NC4。=408。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得;

（2）先利用相似三角形的判定定理推出A40C?ABOD,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得黨的值；與（1）的解

BD

法類似，先由相似三角形的性質(zhì)得NC4。=NDB。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】解：(1)/.AOB=乙COD=40°

/.COD+/.AOD=AAOB+乙400,即“。4=乙DOB

0A=OB,OC=OD

???/^COA=△00B(S4S)

AAC=BD,Z-CAO=Z-DBO

AC

???—=1

BD

在A(MB中，^0AB+AOBA=180°-AAOB=140°

在AABM中，

"MB=180°-(^CAO+乙OAB+^DBA)

=180°-⑷)BO+40AB+ADBA)

=180°-{/.OBA+Z.OAB}=180°-140°=40°

故答案為：1；40°；

(2)—=V3,ZXMB=30°,理由如下：

BD

在RtACOD中，ACOD=90°,ZOCD=30°

ODA/3

???——?=tanZ,OCD=tan30°=—

OC3

同理可得：*=日

OCOAL

???一=—=V3

ODOB

又???LAOB=匕COD=90°

???乙COD+AAOD=乙AOB+/-AOD,^Z,COA=乙DOB

.??^AOC?ABOO(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似)

ACOC「

.??麗=麗=鹵皿。=皿。

在AOA*,Z.OAB+乙OBA=180°-Z.AOB=90°

在A4BM中，Z.AMB=180°-(zCXO+/.OAB+/.DBA)

=180°-QDBO+AOAB+/.DBA)

=180°-^OBA+AOAB)=180°-90°=90°

故黑的值為百，乙4MB的度數(shù)為90。.

BD

【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定定理與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，

根據(jù)已知條件推出兩個三角形全等或相似是解題關(guān)鍵.

33.(2023?山西太原?統(tǒng)考二模)如圖，在凹四邊形4BCD中，ZA=55°,ZB=30°,ZD=20°,求N8CD的

度數(shù).

A

下面是學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流時得到的解決問題的三種方法：

方法一：作射線/C；

方法二：延長8C交/。于點E；

方法三：連接2D

請選擇上述一種方法，求NBCD的度數(shù).

【答案】乙BCD=105°,方法見解析

【分析】選擇方法一：作射線AC并在線段AC的延長線上任取一點E,根據(jù)外角的性質(zhì)求出=+

NB4E即可解得；

選擇方法二：延長3c交4。于點E,根據(jù)外角的性質(zhì)求出ABED=NB+N4即可解得；

選擇方法三：連接BD,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出乙4+乙48。+乙4。8=180。，在ABC。中，^BCD=180°-

乙CBD-MDB,再根據(jù)角之間的和差即可求出.

【詳解】解：選擇方法一：

如答圖1,作射線AC并在線段AC的延長線上任取一點E.

回NBCE是AaBC的外角，

=48+乙BAE.

同理可得NOCE=ND+Z.DAE.

⑦乙BCD=Z-B+Z-BAE+Z.D+Z-DAE.

回乙BCD=Z.B+乙BAD+乙D.

^BAD=55°,乙B=30°,乙D=20°,

^BCD=105°

A

選擇方法二：

如答圖2,延長交/。于點E.

團(tuán)乙BEO是△ABE的外角，

國乙BED=Z-B+Z-A.

同理可得4BCO=乙BED+乙D.

國乙BCD=乙8+4/+40.

0ZX=55°,乙B=30°,乙D=20°,

團(tuán)2BCD=105°

A

（答圖2）

選擇方法三：

如答圖3,連接5D

在△4BD中，Z,A+Z.ABD+Z.ADB=180°.

團(tuán)乙/+/.ABC+乙CBD+/.ADC+乙CDB=180°

團(tuán)乙A+Z.ABC+/.ADC=180°一乙CBD-乙CDB.

在△BCO中，乙BCD=180。一乙CBD一乙CDB.

國乙BCD=44+乙ABC+Z-ADC.

團(tuán)乙/=55°,/.ABC=30°,乙ADC=20°,

回4BCD=105°

A

（答圖3）

【點睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，會用三角形的外角性

質(zhì)、三角形內(nèi)角和解題.

34.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAABC中，NC=90。，點。為4B邊上任意一點（不與點/、

3重合），過點。作DEIIBC,DFWAC,分別交4C、BC于點E、F,連接EF.

⑴求證：四邊形ECFD是矩形；

⑵若CF=2,CE=4,求點C至!JEF的距離.

【答案】⑴見解析

（2）^75

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)證明NCED=ACFD=90°,再利用四邊形內(nèi)角和為360。，證明NEDF=90°,

即可由矩形判定定理得出結(jié)論；

（2）先由勾股定理求出EF=VCF2+CE2=2后再根據(jù)三角形面積公式求解即可.

【詳解】（1）證明：SDEIIBC,DFWAC,

國四邊形ECFO為平行四邊形，

回乙C=90°,

團(tuán)四邊形是矩形.

(2)解：0ZC=90°,CF=2,CE=4,

0FF=7CF2+CE2=2A/5

設(shè)點C至1JEF的距離為人，

^S^CEF=\CE-CF=\EF-h

02x4=2V5/i

0h=—

5

答：點c至隨尸的距離為

【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段

長是解題的關(guān)鍵.

35.（2023?遼寧??？家荒＃┤鐖D，△ABC是等腰直角三角形，^BAC=90°,AB=AC,^BDC=45°,E是BD

上的一點，S.^BAE=/.CBD,AE交BC于點M,將△CBD沿BC翻折得△8CF,BF交4E于G,交4c于H.

A

（2）探究BG與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）若4G=kGM,求案的值.

【答案】（1）45°；（2）CD=V2BG,見解析；（3）史尹

【分析】（1）證明=利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可.

（2）結(jié)論CD=&BG.作BT1BF交AE的延長線于T.證明BG=BT,推出AABT?△BCD,可得絲=