中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與訓(xùn)練：最值問(wèn)題中的阿氏圓模型（含答案及解析）

專(zhuān)題21最值問(wèn)題中的阿氏圓模型

【模型展示】

“PA+kPB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。

1、當(dāng)k值為1時(shí)，即為“PA+PB”之和最短問(wèn)題，用“飲馬問(wèn)題”模型來(lái)處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸

對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)處理。

2、當(dāng)k取不為1的正數(shù)時(shí)，再以常規(guī)的軸對(duì)稱(chēng)思想來(lái)解決問(wèn)題，則無(wú)法進(jìn)行，因此必須

轉(zhuǎn)換思路。此類(lèi)問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類(lèi)：

點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“胡不歸”問(wèn)題；

點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“阿氏圓”問(wèn)題。

“阿氏圓”又稱(chēng)“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿(mǎn)足PA=k-PB（k丹）的點(diǎn)的軌

跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)“阿氏圓”。

如圖1所示，圓O的半徑為r,點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=kOB,連

接PA、PB,則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

A

/Z

特點(diǎn)

…t°B\C]

圖1圖2

如圖2,在線段OB上截取OC使4BPO與小PCO相似，即k-PB=PCo故本題中“PA+lcPB”

的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)

共線時(shí)，“PA+PC”值最小,如圖3

A

圖3

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在RdABC中，ZACB=90°,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為半徑作。C,P為0c上一動(dòng)點(diǎn),

連接AP、BP,貝1AP+BP的最小值為（）

2

A

C.4+Vu)D.2A/13

二、填空題

2.如圖，在AABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)8為圓心作圓B與AC相切，點(diǎn)尸為圓2上任一動(dòng)點(diǎn),

貝IPA+^PC的最小值是.

2

3.如圖，已知正方A8CD的邊長(zhǎng)為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)尸是圓8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則尸PC的最大

值為.

4.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為。。，尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則0B4+PB的最小值為

3

DC

5.【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,所有滿(mǎn)足而=%（%為定值）的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們

把這種圓稱(chēng)之為“阿氏圓”，

【問(wèn)題解決】如圖，在AABC中，CB=4,AB=2AC,貝必ABC面積的最大值為.

6.如圖，在RtA/lBC中，A8=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是扇形AEF的印上任意一

點(diǎn)，連接BP,CP,則3BP+CP的最小值是.

7.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,OB的半徑為2,點(diǎn)P是。B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-gpC的最

大值為?

8.如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。連接

AD.BD、CD,則2AD+3BD的最小值是.

4

'D

三、解答題

9.如圖1,在RTAA3C中，NACB=90。，CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)尸為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,

BP,求:

?AP+-BP,

2

@2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+33P的最小值.

10.如圖，RtLABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形COEF（C、D、E、尸四個(gè)頂點(diǎn)按逆

時(shí)針?lè)较蚺帕校┛梢岳@點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且8=0,連接ARBD

（1）求證：△BDC會(huì)AAFC

（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段上時(shí)，直接寫(xiě)出走的值；

2

（3）直接寫(xiě)出正方形。EF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，克的最小值.

2

11.如圖，點(diǎn)A、8在。O上，S.OA=OB=6,且OALO8,點(diǎn)C是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)。在上，且。。=4,

動(dòng)點(diǎn)P在。。上.求2PC+PZ）的最小值.

5

12.婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方

程等方面均有建樹(shù)，他也研究過(guò)對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類(lèi)對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四

邊形稱(chēng)為“婆氏四邊形”.

（1）若平行四邊形ABC。是“婆氏四邊形"，則四邊形A8CD是.（填序號(hào)）

①矩形；②菱形；③正方形

（2）如圖1,Rt^ABC^,ZBAC=90°,以A8為弦的。。交AC于。，交BC于E,連接QE、AE,BD,

3

AB=6,sinC=-,若四邊形ABED是“婆氏四邊形"，求的長(zhǎng).

（3）如圖2,四邊形ABC。為。。的內(nèi)接四邊形，連接AC,8￡）,OA,OB,OC,。。，已知N8OC+/AOO=180。.

①求證：四邊形ABC。是“婆氏四邊形”；

②當(dāng)AD+BC=4時(shí)，求。。半徑的最小值.

圖1圖2

13.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù).阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga）,古希臘人（公元前262~190

年），數(shù)學(xué)家，寫(xiě)了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來(lái)，書(shū)中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波

羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問(wèn)題.一動(dòng)點(diǎn)尸與兩定點(diǎn)A,8的距離之比等于定比加：〃，則點(diǎn)P的軌跡

是以定比根:“（加："/1）內(nèi)分和外分線段A3的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)

“阿氏圓

6

PAYH

如圖1,點(diǎn)A,8為兩定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足—，點(diǎn)/在線段上，點(diǎn)N在A3的延長(zhǎng)線上且

PBn

A//2AAZzlm1m)

—-^1,則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓?

MBNBn\n)

下面是“阿氏圓''的證明過(guò)程(部分)：

過(guò)點(diǎn)B悍BDIIAP交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

AZA=ZABD,ZAPM=ZBDM.

???AAPM^ABDM.

.PAMA

??法―嬴?

..MAmPA

又'嬴=T礪’

.PAPA

??茄一訪?

/.BD=BP.

:.ZBPD=ZBDP.

：.ZAPD=ZBPD.

NAPA

如圖2,在圖1(隱去MD,BD)的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)B作BE//PN交"于點(diǎn)E,可知一=——,...

NBPE

任務(wù)：

(1)判斷/W是否平分/5PC,并說(shuō)明理由；

(2)請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)(1)中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；

(3)應(yīng)用：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),8(1,0),PA=2PB,則點(diǎn)P所在圓的圓心坐標(biāo)為

14.如圖1,拋物線y=o?+法-4與x軸交于A3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),拋物

3

線的對(duì)稱(chēng)軸是直線1=

7

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使四邊形ABPC的面積為16,若存在，求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)8作3產(chǎn)，3c交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)尸，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作。C,點(diǎn)。為。C上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求正BQ+/。的最小值.

4

15.如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)、A、B都在。。外，P為。。上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=kOB.連接PA.

PB,則當(dāng)“出+左/8”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

8

16.問(wèn)題提出：如圖①，在RtZkABC中，ZC=900,CB=4,CA=6,OC的半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn),

連接AP、BP,求+的最小值.

（1）嘗試解決:為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路:如圖①，連接CP,在CB上取一點(diǎn)D,使CD=1,

CDCP1PDCD1

貝又/PCD=/BCP,所以公PCDS^BCP.所以

CPCB2BPCP2

所以=所以4尸+42尸=AP+PD.

22

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫(xiě)出答案：AP+；3P的最小值為；

（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求+的最小值；

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，NCOD=90。，0C=6,OA=3,03=5,P是CD上一點(diǎn),

求2F4+尸3的最小值.

17.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,C兩點(diǎn)，拋物線y=x?+bx+c

（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC

面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

（3）如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的。B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+；PA的

值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由.

18.如圖，拋物線>=以2+法+￡：與X軸交于4百，0）,8兩點(diǎn)（點(diǎn)8在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,

9

且O3=3OA=?）C,/Q4c的平分線AD交>軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AD的直線/交y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P

是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸F(xiàn)_Lx軸，垂足為尸，交直線AD于點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式;

（2）設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加，當(dāng)"/="?時(shí)，求加的值;

（3）當(dāng)直線PP為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，g8C為半徑作。點(diǎn)。為。X上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

+強(qiáng)的最小值.

19.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

pA

已知平面上兩點(diǎn)AB,則所有符合或=網(wǎng)左>0且左*1）的點(diǎn)尸會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家

阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱(chēng)阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問(wèn)題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，在無(wú)軸，》軸上分別有點(diǎn)。（〃2,0）,。（。,〃），點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且

OP

OP=r,設(shè)布=%，求尸C+板的最小值.

阿鼓羅尼斯

圖1

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟:

10

第一步：如圖1,在。。上取點(diǎn)使得QW:OP=OP:OD=0

第二步：證明上PD=PM；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過(guò)程（部分）：

解：在。。上取點(diǎn)使得0/0:0尸=OP:OD=3

又QAPOD=AMOP,:NPOM:NDOP.

任務(wù)：

⑴將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整.

（2）如圖2,在RSABC中，NAC8=90。,AC=4,8C=3,。為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足8=2,利用⑴中的結(jié)

2

論，請(qǐng)直接寫(xiě)出入。+§8。的最小值.

20.數(shù)學(xué)概念

如圖①，AE是△A8C的角平分線，。是直線BC上一點(diǎn)，如果點(diǎn)。滿(mǎn)足D4=DE,那么點(diǎn)。叫做aABC的

邊BC上的“阿氏點(diǎn)”.

概念理解

（1）在圖②中，利用直尺和圓規(guī)作△ABC的邊8C上的“阿氏點(diǎn)”，用字母。表示（不寫(xiě)作法，保留作圖痕

跡）；

性質(zhì)探究

（2）在（1）中，求證：△DABs^DCA；

11

知識(shí)運(yùn)用

(3)如圖③，四邊形A8CD內(nèi)接于。0,對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)E,以。為圓心，ZM為半徑的圓恰好經(jīng)

過(guò)點(diǎn)C,且與8。交于點(diǎn)

①求證：點(diǎn)。是AABE的邊BE上的“阿氏點(diǎn)”；

②若BE=|,DE=2,AE=3,則。D和。。的半徑長(zhǎng)分別為,.

12

專(zhuān)題21最值問(wèn)題中的阿氏圓模型

【模型展示】

-“PA+k?P畝，型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。

3、當(dāng)k值為1時(shí)，即為“PA+PB”之和最短問(wèn)題，用“飲馬問(wèn)題”模型來(lái)處理，即可

以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)處理。

4、當(dāng)k取不為1的正數(shù)時(shí)，再以常規(guī)的軸對(duì)稱(chēng)思想來(lái)解決問(wèn)題，則無(wú)法進(jìn)行，因

此必須

轉(zhuǎn)換思路。此類(lèi)問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類(lèi)：

點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“胡不

歸”問(wèn)題；

點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“阿氏圓”問(wèn)題。

“阿氏圓”又稱(chēng)“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿(mǎn)足PA=k-PB（k，l）

的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)“阿氏

圓”。

如圖1所示，圓O的半徑為r,點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知

r=kOB,連接PA、PB,貝可當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

如圖2,在線段OB上截取OC使ABPO與APCO相似，即k?PB=PC。故本題中

“PA+lcPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)

點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小，如圖3

13

5、一般將含有k的線段兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連接OB、OP;

6、計(jì)算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況

7、連接AC,與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P

8、將圖2中4BPO單獨(dú)提取出，如圖4,△PCO^ABPO（母子型相似模型）

—

圖2國(guó)$

（構(gòu)造出APCOsaBPO,就可以得到OC/OP=OP/OB,進(jìn)而推出OP2=OB-OC,

即“半徑的平方=原有線段x構(gòu)造線段”，確定C的位置后，連接AC,求出AC的

長(zhǎng)度“阿氏圓”即可破解）

P（動(dòng)點(diǎn)）

5（定點(diǎn)）C0（圓心）

構(gòu)造的點(diǎn)

結(jié)論“PA+kPB”型的最值

14

似三角形的性質(zhì)證明“尸=!以，可得;AP+BP=PM+P更BM,利用勾股定理求出5M即可

解決問(wèn)題.

答案詳解：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接尸M,PC,BM.

?：PC=3,CM=1,CA=9,

:.PC2=CM*CA,

.PCCM

，，~CA~~CP，

,：ZPCM=ZACP,

.PM_PC1

，e-PA-AC-3r

：.PM=-PA,

3

LAP+BP=PM+PB,

3

?；PM+PB^BM,

在Rt/kBCM中，VZBCM=90°,CM=1,BC=7,

：.BM=df春=5。

1廠

：.-AP+BP>5y/2

???IAP+BP的最小值為572.

故選：B.

二、填空題

2.如圖，在AABC中，NB=90。,AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作圓2與AC相切，點(diǎn)P為圓

B上任一動(dòng)點(diǎn)，則PA+顯PC的最小值是.

2

15

【答案】x/5

【分析】作8HLAC于H,取BC的中點(diǎn)。，連接P。，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得為0B

的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到38=；AC=0,接著證明△2尸。6420尸得到

PD=^2LPC,所以B4+1PC=B4+P。，而B(niǎo)4+P。沙￡）（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、。共線時(shí)取等號(hào)），

22

從而計(jì)算出4。得到B4+Ipc的最小值.

2

【詳解】解：作①/LAC于X,取2C的中點(diǎn)。，連接尸￡）,如圖，

；AC為切線，

.?.28為。B的半徑，

VZABC=90°,AB=CB=2,

:?AC=6BA=2近,

:.BH=；AC=6'

：.BP=42,

..PByjlBD1_A/2

'BC-VBP~2

而/PBD=/CBP,

:.ABPDsABCP,

.PD_PB41

：.PD=^PC,

2

：.PA+^PC=PA+PD,

2

而B(niǎo)4+PZ2A。（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、。共線時(shí)取等號(hào)），

而在+儼=#,,

...以+PD的最小值為君,

16

即出+爭(zhēng)C的最小值為折

故答案為：卮

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用

相似比確定線段也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).

2

3.如圖，已知正方的邊長(zhǎng)為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)尸是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

2

的最大值為.

【答案】y

3

【分析】如圖，連接BP,在3c上取一點(diǎn)使得創(chuàng)/二萬(wàn)，進(jìn)而證明尸

則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=$C,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PDPM的最大值.連接

PD,在中，PD-PMCDM,故當(dāng)￡＞、M、尸共線時(shí)，為最大值，勾股定

理即可求得￡）加.

3

【詳解】如圖，連接3P,在2c上取一點(diǎn)使得3河=二，

2

17

AD

BMBP

'^P~~BC

???NPBM=ZCBP

???ABPMs^BCP

MPBM

,^C~~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在APDA/中，PD-PM<DM,

當(dāng)。、M.尸共線時(shí)，為最大值,

四邊形ABCD是正方形

.?."=90。

在Rt^CDM中，DM=>JDC2+MC2=卜?電=y

故答案為：彳.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造〈PC是解題的

18

關(guān)鍵.

4.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為。0,尸是。。上一動(dòng)點(diǎn),則0B4+P2的最小

值為.

【答案】2百

【分析】y[2PA+PB=y/2(.PA+^PB),利用相似三角形構(gòu)造

PB即可解答.

【詳解】解：設(shè)。。半徑為r,

0P=r=；BC=2,OB=0r=20,

取的中點(diǎn)/,連接P/,

：.0I=IB=母,

-6OB_2y/2_r-

OI'而，

°P器,NO是公共角,

01

△BOPs^poi,

PI_OI_42

礪一麗一號(hào)‘

也

PI=PB,

2

AP+立

PB=AP+PI,

2

當(dāng)4、P、/在一條直線上時(shí)，AP+lpB最小,

2

作IELAB于E,

19

,/ZABO=45°,

：.IE=BE=—BI=1,

2

：.AE=AB-BE=3,

???A/="+肝=加,

???AP+]PB最小值=A/=而，

■:近PA+PB=O（以+2尸8）,

???^PA+PB的最小值是及4=0x=20.

故答案是2石.

【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形.

pA

5.【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,所有滿(mǎn)足：石=翅％為定值）的尸點(diǎn)形成的

CD

圖形是圓，我們把這種圓稱(chēng)之為“阿氏圓”，

【問(wèn)題解決】如圖，在△ABC中，CB=4,AB^2AC,則△ABC面積的最大值為.

.此生.16

【答案】y

【分析】以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在△ABC外部作NCAP=NABC,AP與BC的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)P,證出AAPCS^BPA,列出比例式可得BP=2AP,CP=yAP,從而求出AP、BP和

CP,即可求出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后找出距離BC最遠(yuǎn)的A點(diǎn)的位置即可求出結(jié)論.

【詳解】解：以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在△ABC外部作NCAP=NABC,AP與BC的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)P,

；/APC=NBPA,AB=2AC

.,.△APC^>ABPA,

.APCPAC_1

"BP-AP-AB-2

；.BP=2AP,CP=；AP

VBP-CP=BC=4

/.2AP-|AP=4

o

解得：AP=|

20

164

ABP=—,CP=-,即點(diǎn)P為定點(diǎn)

33

Q

?,?點(diǎn)A的軌跡為以點(diǎn)P為圓心，］為半徑的圓上，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，交

圓P于點(diǎn)Ai,此時(shí)Ai到BC的距離最大，即AABC的面積最大

SAA1BC二;BCAiP=；x4x-=—

/233

即△ABC面積的最大值為T(mén)

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)、確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和求三角形的面積，掌

握相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的定義和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵.

6.如圖，在RtAABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF

的砂上任意一點(diǎn)，連接BP,CP,則^BP+C尸的最小值是.

【答案】717.

PT

【分析】在A3上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接尸T,B4,CT.證明4TsHP,推出百

A4PB

Apiii

=——=-，推出尸T=丁尸5,推出刀尸3+。尸=。尸+尸7,根據(jù)尸。+尸史7。，求出CT即可解

AB222

決問(wèn)題.

【詳解】解：在上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接PT,PA,CT.

21

9：PA=2,AT=l,A3=4,

：.PA2=4=AT*AB,

.PA__AB

??AT—71，

9：APAT=APAB,

:?△PATSRAP,

.PT_AP_i

*'PB-AB-

：.PT=^PB,

：.^PB+CP=CP+PT,

'：PC+PT>TC,

在RQACT中，

；NCAT=90。，AT=1,AC=4,

■1?cr=VAT2+AC2=717,

；.3PB+PS歷,

???IPB+PC的最小值為V17.

故答案為J17.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三

角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,OB的半徑為2,點(diǎn)P是。B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

PD-|PC的最大值為.

【答案】5

22

【詳解】分析：由PD-gPC=PD-PGSDG,當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-^PC的值最

大，最大值為DG=5.

詳解：在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1,如圖,

..PB2BC4

?=—=2,=—=2,

BG1PB2

.PBBC

??—9

BGPB

VZPBG=ZPBC,

.?.△PBG^ACBP,

.PGBG

.?.PG=yPC,

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-：PC的值最大，最大值為DG=J42+32=5.

故答案為5

點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最

短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題.

8.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)D連接A。、BD.CD,則2AD+38O的最小值是.

【答案】12A/10

2

【分析】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4,先證ADCES/^ACD,將］轉(zhuǎn)化為

23

2

DE,從而求得+的最小距離，進(jìn)而得出2AD+3BD的最小值.

【詳解】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4

VAC=9,CD=6,CE=4

.CDAC

^~CE~~CD

NECD二NACD

.'.△DCE^AACD

.EDDC_6

**AC-9

：.ED=-AD

3

在△EDB中，ED+DB>EB

???ED+DB最小為EB,即ED+DB=EB

-AD+DB=EB

3

在RtAECB中，EB=7122+42=4回

D__

：.-AD+DB=4y/10

3

/.2AD+3DB=12710

故答案為：12函.

【點(diǎn)睛】本題考查求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出ADCEs^ACD.

三、解答題

9.如圖1,在中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)尸為圓上

一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,求：

24

@AP+-BP,

2

?2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+3取的最小值.

【答案】①歷；②2歷；③之暑；④2用.

【分析】①在CB上取點(diǎn)。，使CD=1,連接CP、DP、AZX根據(jù)作圖結(jié)合題意易證

ADCP~APCB,即可得出尸O從而推出=A尸+尸。，說(shuō)明當(dāng)4、尸、D三

22

點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD最小，最小值即為AD長(zhǎng).最后在中，利用勾股定理求出

的長(zhǎng)即可；

②由2AP+3P=2(AP+ggP),即可求出結(jié)果；

2

③在CA上取點(diǎn)E,使CK=g,連接CP、EP、BE.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證AECP?APC4,

即可得出即=3AP,從而推出gAP+BP=EP+8P,說(shuō)明當(dāng)3、尸、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最

小，最小值即為班長(zhǎng).最后在RfZXBCE中，利用勾股定理求出8E的長(zhǎng)即可；

④由A尸+33P=3(gAP+BP),即可求出結(jié)果.

【詳解】解：①如圖，在CB上取點(diǎn)。，使CD=1,連接CP、DP,AD.

.CDCP1

"CP~CB~2'

又：NDCP=NPCB,

：.&DCP?&PCB,

BPPD=-B

BP22J

AP+-BP=AP+PD,

2

25

...當(dāng)A、尸、。三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD最小，最小值即為AZ）長(zhǎng).

:在R/AACD中，AD=y/AC2+CD2=762+12=737-

AAP+g^P的最小值為折；

②2AP+BP=2(AP+|BP),

2Ap+3P的最小值為2x^=2質(zhì)；

2

③如圖，在CA上取點(diǎn)E,使CE=§,連接CP、EP、BE.

'：CE=-,CP=2,CA=6,

3

.CECP1

"~CP~~CA~3'

又：NECP=NPCA,

:.AECP?APCA,

gpEP=-AP,

AP33

-AP+BP=EP+BP,

3

...當(dāng)2、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最小，最小值即為BE長(zhǎng).

,在中，BE=y/BC2+CE2=J42+(1)2=.

???^AP+BP的最小值為烏；

④AP+3BP=3(|AP+BP),

，AP+3BP的最小值為3x3巨=2取.

3

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.正確的作出輔助線,

并且理解三點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，Rt^ABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形C￡>EF（C、D、E、

尸四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┛梢岳@點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且8=0,連接ARBD

26

(1)求證：RBDgXAFC

(2)當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫(xiě)出8。十1的值；

2

(3)直接寫(xiě)出正方形COE尸旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，3。+走4。的最小值.

2

【答案】⑴見(jiàn)解析；(2)0+1或應(yīng)+正；(3)75

【分析】(1)利用SAS,即可證明△FCA等△DC&

(2)分兩種情況當(dāng)點(diǎn)。，E在邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E,P在邊上時(shí)，討論即可求解；

萬(wàn)

(3)取AC的中點(diǎn)連接DM,BM.貝?。軨Af=l,可證得△DCMs△&(；￡),可得。加=注

2

AD,從而得到當(dāng)2,D,M共線時(shí)，瓦)+1A￡)的值最小，即可求解.

2

【詳解】(1)證明：???四邊形。EF是正方形，

：.CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

ZACF=ZDCB,

'：AC=CB,

:.4FCA沿4DCB(SAS)；

(2)解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)。，E在AB邊上時(shí)，

圖2

\'AC=BC=2,NACB=90。，

AB=AC=2A/2,

sin45°

\'CD±AB,

.?.AO=BO==ACxsin45°=0，

27

**?BD+AD==yf2+xy/2=^/2+1；

22

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E,尸在邊A3上時(shí).

J?/-

BD—CF=BCxsin45°=2x----=6,

2

AD=Y/BD2+AB2=M，

:?BD+^AD=也+2X回=0+非,

22

綜上所述，%>+爭(zhēng)。的值及+1或員底

(3)如圖4中.取AC的中點(diǎn)M.連接。M,BM.貝ljCM=1,

.CZ^^CM-CA,

,CD_CM

9~CA~~CD9

：ZDCM=ZACD,

?/\DCMs/\ACD,

DMCDy/2

*^4D-AC-V

.DM=^-ADf

2

28

昱AD=BD+DM,

2

.,.當(dāng)2,D,M共線時(shí)，BO+YIAZ）的值最小，

2

最小值BM=yjCB2+CM2=75.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，點(diǎn)A、B在。。上，且。4=。8=6,且點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)。在

上，且0D=4,動(dòng)點(diǎn)尸在。。上.求2PC+P。的最小值.

【答案】4a

【分析】連接。尸，在射線。4上截取AE=6,連接尸E.由題意易證AOPC?AOEP,即得出

PE=2PC,從而得出2PC+PD=PE+PD,由此可知當(dāng)尸、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PD最

小，最小值為。E的長(zhǎng)，最后在處△OED中利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)即可.

【詳解】如圖，連接0P,在射線OA上截取AE=6,連接尸E.

：C是。4的中點(diǎn),

29

ZCOP=NPOE

...在△OPC和△OEP中，-OCOP,

,OP-OE-2

qpc?4EP,

---=—,即PE=2PC，

PE2

/.2PC+PD=PE+PD,.

當(dāng)尸、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PD最小,最小值即為。E的長(zhǎng)，如圖,

在中，DE=4OD?+="2+12?=4而，

A2PC+PD的最小值為4加.

【點(diǎn)睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識(shí).正確作出輔

助線并理解當(dāng)P、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PD最小，最小值為。E的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵.

12.婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算

規(guī)則，二次方程等方面均有建樹(shù)，他也研究過(guò)對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類(lèi)

對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱(chēng)為“婆氏四邊形

(1)若平行四邊形48CO是“婆氏四邊形"，則四邊形A8C。是.(填序號(hào))

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如圖1,R/AABC中，ZBAC=90°,以AB為弦的。。交AC于。，交BC于E,連接

3

DE、AE,BD,AB=6,sinC=-,若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求。E的長(zhǎng).

(3)如圖2,四邊形A8C。為。。的內(nèi)接四邊形，連接AC,BD,OA,OB,OC,OD,已

知N8OC+NAOO=180°.

①求證：四邊形A8CD是“婆氏四邊形”；

②當(dāng)AD+BC=4時(shí)，求。。半徑的最小值.

30

圖1

【答案】（1）③；（2）3；（3）①見(jiàn)解析；②0

【分析】⑴根本圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和平行四邊形對(duì)角相等可得/ABC=N">C=90。，

從而可證明四邊形ABC。為矩形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形即可判斷；

（2）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可得入。二0區(qū)NDEB=NDEC=90。,^AD=DE=m,則

DC=8-m,EC=10-6=4,在DEC中解直角三角形即可；

（3）①根據(jù)圓周角定理即可得出ZDC4+ZBZX?=90。，從'而可得NCED=90。,繼而證明結(jié)論；

②作。M,ON分別垂直與AD,BC,證明AOAM/△20N,設(shè)ON=AM=n,則AD=2”,

BC=4-2n,BN=2-n,在RdBON中，根據(jù)勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出半徑的

最小值.

【詳解】解：（1）如下圖，

???平行四邊形ABC。為0O的內(nèi)接四邊形，

ZABC=ZADC,ZABC+ZAZ)C=180°,

ZABC=ZADC=90°,

平行四邊形ABC。為矩形，

:四邊形48CD是“婆氏四邊形”，

：.AC±BD,

...矩形ABCO為正方形，

故答案為：③；

3

(2)VZBAC=90°,AB=6,sinC=-,

AR_________

/.BC=--=10,AC=J3c2—AB?=&,BD為直徑,

sinC

???ZBED=ZDEC=90°,

??,四邊形ABED是“婆氏四邊形”,

31

：.AE±BD,

：.AD=DE,AB=BE=6,

設(shè)AO=OE=m,則OC=8M,EC=10-6=4,

在&△EDC中，根據(jù)勾股定理，

OE2+EC2=OC2,即根2+4?=(8一根了，解得相=3,即。E=3；

(3)①設(shè)AC,8。相交于點(diǎn)E如圖所示

VZDCA=-ZAOD,ZBDC=-ZBOC,ZBOC+ZAOD=180°,

22

ZDCA+ZBDC=1(ZAOD+NBOC)=1x180°=90°,

ZCED=90°,

即AC±BD,

又：四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，

四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；

②如下圖，作OM,ON分別垂直與AD,BC,

：.AM=-AD,BN=LBC,/AMO=NBNO=90。，

22

ZAOM+ZOAM=90°,

'：OA=OB=OC=OD,

：.?AOM-1AOD,1BON-?BOC,

22

'：ZBOC+ZAOD=1SO°,

：.\j\OM+3ON=90?,

WfAM;BON,

在^OAM和^BON中

ZAMO=ZBNO=90°

IZOAM=ZBON

OA=OB

:AOAM沿ABON(A4S),

ON=AM=-AD,

2

,：AD+BC=4

設(shè)ON=AM="，貝l]AD=2"，BC=4-2n,BN=2-n,

32

在RtXBON中,

OB=y/ON2+BN2=而+(2-〃>=^2(n-I)2+2,

當(dāng)”=1時(shí)，取得最小值也，即。。半徑的最小值為亞.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定

定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等.(1)中能正確證明出四邊形的一個(gè)角是90。是解題關(guān)鍵；(2)中

能正確表示出放AEDC的三個(gè)邊是解題關(guān)鍵；(3)中①正確利用圓周角定理是解題關(guān)鍵；

②正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

13.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù).阿波羅尼斯(ApolloniusofPerga),古希臘人(公

元前262~190年)，數(shù)學(xué)家，寫(xiě)了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來(lái)，書(shū)中詳細(xì)討論

了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問(wèn)題.一動(dòng)點(diǎn)尸與兩定點(diǎn)A,

B的距離之比等于定比m：n,則點(diǎn)P的軌跡是以定比m:n(m:#1)內(nèi)分和外分線段AB的兩

個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)“阿氏圓

tn()

延長(zhǎng)線上且-=—=——wl,則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓.

MBNBnyn)

下面是“阿氏圓''的證明過(guò)程(部分)：

過(guò)點(diǎn)B作BD//AP交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

：.ZA=ZABD,ZAPM=ZBDM.

???^APM^ABDM.

.PAMA